華東師大版初中八年級數(shù)學下冊第19章集體備課教案含教學反思

第19章矩形、菱形與正方形

19.1矩形

1.矩形的性質(zhì)

教字目標

【知識與技能】

了解矩形的有關(guān)概念,理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì)

【過程與方法】

經(jīng)過探索矩形的概念和性質(zhì)的過程，發(fā)展學生合情推理意識,掌握幾何思維

方法

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)嚴謹?shù)耐评砟芰σ约白灾骱献骶?；體會邏輯推理的思維價值

【教學重點】

掌握矩形的性質(zhì)，并學會應用

【教學難點】

理解矩形的特殊性

教學國旌

一、情境導入，初步認識

收集有關(guān)長方形的圖片，讓學生進行感性認識，引入新課一一矩形.

【教學說明】讓學生體會到數(shù)學來源于生活，找到數(shù)學的價值.

二、思考探究，獲取新知

探究：矩形的性質(zhì)

1.思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點，觀察.不管怎么

拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？（演示拉動過程如圖）

2.再次演示平行四邊形的移動過程,當移動到一個角是直角時停止，讓學

生觀察這是什么圖形？

【歸納結(jié)論】矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫

長方形）.

3.讓學生觀察教師的教具，研究其變化情況，可以發(fā)現(xiàn)：矩形是平行四邊形

的特例，屬于平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì).思考矩形還具有

哪些特殊的性質(zhì)？為什么？

【教學說明】采用觀察、操作、交流、演繹的方法來解決重點，突破難點.

【歸納結(jié)論】矩形性質(zhì)1矩形的四個角都是直角.

矩形性質(zhì)2矩形的對角線相等.

4.矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？

【教學說明】引導學生盡可能多的發(fā)現(xiàn)結(jié)論，養(yǎng)成善于觀察的好習慣.

三、運用新知，深化理解

1.已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,ZAOB=60°,AB=4cm,

分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的

特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個特性和已知，可得A0AB是等邊三角形，因此對角

線的長度可求.

解：?..四邊形ABCD是矩形，

.'AC與BD相等且互相平分.

/.0A=0B.又NAOB=60°,

/.△0AB是等邊三角形.

0A=AB=4cm.

.?.矩形的對角線長AC=BD=2OA=2X4=8（cm）.

2.已知：如圖，矩形ABCD,AB長8cm,對角線比AD邊長4cm.求AD

的長及點A到BD的距離AE的長.

分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三

角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算

題中常用的方法.

解：設(shè)AD=xcm,則對角線BP長(x+4)cm,在RtAABD中，由勾股定理:

X2+82=(X+4)2,解得x=6.則AD=6cm.

“直角三角形斜邊上的高”是一個基本條件，利用面積公式，可得到兩直角

邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式：AEXDB=ADXAB,解得AE=4.8cm.

3.已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF1AE于F,若AE=BC.求

證：CE=EF.

分析：CE、EF分別是BC,AE等線段上的一部分，若AF=BE,則問題解

決，而證明AF=BE,只要證明4ABE絲4DFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的

直角三角形.

證明：???四邊形ABCD是矩形，

AZB=90°,且AD〃BC.

/.Z1=Z2.

VDF±AE,/.ZAFD=90°.

.\ZB=ZAFD.又AD=AE,

/.△ABE^ADFA(AAS).

:.AF=BE.

，EF=EC.

此題還可以連接DE,證明ADEF之得至ljEF=EC.

【教學說明】給予學生足夠的時間，讓學生先獨立思考后，小組合作，由不

同學生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使學生能做一題會一類，熟知矩

形中的基本圖形.

4.若矩形一個角的平分線分一邊為4cm和3cm的兩部分，則矩形的周長為

22或20cm.

分析：本題需分兩種情況解答

即矩形的一個角的平分線分一邊為4cm和3cm,或者矩形的角平分線分一

邊為3cm和4cm.

當矩形的一個角的平分線分一邊為4cm和3cm時，矩形的周長為2X(3+4)

+2X4=22cm；

當矩形的角平分線分一邊為3cm和4cm時，矩形的周長為2X(3+4)+2X

3=20cm.

解：分兩種情況

當矩形的一個角的平分線分一邊為4cm和3cm時，矩形的周長為2X(3+4)

+2X4=22cm；

當矩形的角平分線分一邊為3cm和4cm時，矩形的周長為2X(3+4)+2X

3=20cm.

【教學說明】本題考查的是基本的矩形性質(zhì)，學生需要注意的是分兩種情況

作答即可.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.師生回顧矩形的性質(zhì).

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材P101練習.

2.完成同步練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節(jié)課以“平行四邊形變形為矩形的過程”的演示引入課題，將學生視線集

中在數(shù)學圖形上，思維集中在數(shù)學思考上，更好地突出了觀察的對象，使學生容

易把握問題的本質(zhì).真實、自然、和諧，體現(xiàn)了數(shù)學學習的內(nèi)在需要，加強了學

生對知識之間的理解和把握，形成了和本質(zhì)相關(guān)的認知結(jié)構(gòu).

2.矩形的判定

教字目標

【知識與技能】

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使學生能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計算題，進一

步培養(yǎng)學生的分析能力.

【過程與方法】

通過探索矩形判定的過程，培養(yǎng)學生實驗探索的意識；形成幾何分析思路和

方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)推理能力，會根據(jù)需要選擇有關(guān)的結(jié)論證明，體會來自于實踐的需要.

【教學重點】

理解并掌握矩形的判定方法及其證明，掌握判定的應用.

【教學難點】

定理的證明方法及運用.

事教學國震

一、情境導入，初步認識

1.什么叫做平行四邊形？什么叫做矩形？

2.矩形有哪些性質(zhì)？

3.矩形與平行四邊形有什么共同之處？有什么不同之處？

【教學說明】通過這些問題，教師可以檢查學生學習的情況.

4.事例引入：小華想要做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩

根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做

的是矩形相框嗎？看看誰的方法可行？

【教學說明】事例引入，激發(fā)學生的興趣.

二、思考探究，獲取新知

1.矩形的四個角都是直角，反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這

個四邊形就是矩形呢？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流.

【歸納結(jié)論】有三個角是直角的四邊形是矩形.

2.動手操作：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點.

思考：（1）隨著Na的變化，兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？

（2）當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形有什么特征？你能證明嗎？

【教學說明】讓學生動腦思考，動手操作.為下面的學習做好知識上的準備；

【歸納結(jié)論】對角線相等的平行四邊形是矩形

三、運用新知，深化理解

1.的平行四邊形是矩形.

_________________的四邊形是矩形.

2.下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行且相等的四邊形是矩形

B.一組對邊平行且有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是矩形

D.一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形

分析：矩形的判定定理有：

（1）對角線相等的平行四邊形是矩形

（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；據(jù)此判斷.

解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A錯誤；

B、一組對邊平行且相等有一個是直角的四邊形是矩形，也有可能為梯形,

故B錯誤；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形

是矩形"），故C錯誤；

D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故D正確.

【教學說明】學生口答展示第1、2道題，訓練學生的語言表達能力，

3.如圖所示，OABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E,F,G,H,試說

明四邊形EFGH是矩形.

R

解：VZHAB+ZHBA=90°

，ZH=90°

同理可求得

ZHEF=ZF=ZFGH=90°

...四邊形EFGH是矩形.

4.（一題多解題）如圖所示，AABC為等腰三角形，AB=AC,CDLAB于

D,P為BC上的一點，過P點分別作PE_LAB,PF_LCA,垂足分別為E,F,

則有PE+PF=CD,你能說明為什么嗎？

A

BPC

解法一：能.如圖所示，過P點作PHLDC,垂足為H,

A

BPC

可得四邊形PHDE是矩形

，PE=DH,PH〃BD

，ZHPC=ZB

又?.?AB=AC

/.ZB=ZACB

:.ZHPC=ZFCP.

又?.?PC=CP,ZPHC=ZCFP=90°

.,.△PHC^ACFP

APF=HC

.,.DH+HC=PE+PF

即：DC=PE+PF.

解法二：能.延長EP,過C點作CH_LEP,垂足為H,如圖所示,

A

!)/

F.A

?.?可得四邊形HEDC是矩形

，EH=PE+PH=DC,CH〃AB

/.ZHCP=ZB.

.,.△PHC^APFC

.,.PH=PF

.,.PE+PF=DC.

【教學說明】到黑板展示第3、4道題，有多種證明方法的題目學生口答展

示，教師予以總結(jié).既訓練了學生的語言表達能力，也訓練了學生的書寫能力和

分析問題的能力.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.師生共同回顧矩形有哪些判定定理？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題19.1”中的第1、2、3、5題.

2.完成本課時對應練習.

教學反思

本節(jié)課用邏輯推理的方法對以前曾用直觀感知，操作說明而得到的矩形判定

進行重新研究，讓學生充分感受到邏輯推理是研究幾何的重要方法.盡可能地提

供多種機會讓學生自己去理解、感悟、體驗，從而加深學生對數(shù)學的認識，激發(fā)

學生的數(shù)學興趣，提高學生的數(shù)學水平.

19.2菱形

1.菱形的性質(zhì)

教字目標

【知識與技能】

理解菱形的概念，掌握菱形的性質(zhì)

【過程與方法】

經(jīng)過探索菱形的性質(zhì)和基本概念的過程，在操作、觀察、分析過程中培養(yǎng)學

生思維意識，體會幾何說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生主動探究的習慣和嚴密的思維意識、審美觀、價值觀

【教學重點】

理解并掌握菱形的性質(zhì)

【教學難點】

形成合情推理的能力

5教學亙旌

一、情境導入，初步認識

分四人小組，先在組內(nèi)交流自己收集的有關(guān)菱形的圖片，實物等.然后進行

全班性交流.

引入定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

【教學說明】認識菱形，感受菱形的生活價值.

二、思考探究，獲取新知

教師拿出平行四邊形木框（可活動的），操作給學生看，讓學生體會到：平

移平行四邊形的一條邊，使它與相鄰的一條邊相等，可以得到一個菱形，說明菱

形也是平行四邊形的特例，因此，菱形也具有平行四邊形的所有性質(zhì).

【教學說明】通過教師的教具操作感受菱形的定義.

如圖：將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，再打開.

思考：1.這是一個什么樣的圖形呢？

2.有幾條對稱軸？

3.對稱軸之間有什么位置關(guān)系？

4.菱形中有哪些相等的線段？

【教學說明】充分地應用直觀學具的制作，發(fā)現(xiàn)菱形所具有的性質(zhì)，激發(fā)課

堂學習的熱情.

【歸納結(jié)論】菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，另外，菱形的四條邊相等、

對角線互相垂直.

三、運用新知，深化理解

1.如圖,菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,則B、D兩點之間的距離

為（A）

A.15B.1523

C.7.5D.153

【教學說明】本題考查有一個角是60°的菱形，有一條對角線等于菱形的

邊長.

2.如圖所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC且DE交BC的延

長線于點E.

求證：DE=-BE.

2

分析：由四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BDJ_AC,ZDBC=30°,

又由DE〃AC,即可證得DELBD,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,

即可證得DE=』BE.

2

證明：方法一：如下圖，連接BD,

,四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

.,.BD±AC,ZDBC=30°,VDE^AC,

ADEIBD,即NBDE=90°,

.\DE=-BE.

2

刁

BE

方法二：?.?四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

，AD〃BC,AC=AD,VAC/7DE,

二四邊形ACED是菱形，

，DE=CE=AC=AD,又四邊形ABCD是菱形，

.\AD=AB=BC=CD,

/.BC=EC=DE,即C為BE中點,

.*.DE=BC=-BE.

2

【教學說明】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識.此題難度

不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,0為對角線BD的中點，過

O點作OELAB,垂足為E.

(1)求NABD的度數(shù)；

(2)求線段BE的長.

分析：(1)根據(jù)菱形的四條邊都相等，又NA=60°,得到4ABD是等邊三

角形，/ABD是60°；

(2)先求出OB的長和NBOE的度數(shù)，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜

邊的一半即可求出.

解：(1)在菱形ABCD中，AB=AD,ZA=60°,

AAABD為等邊三角形，

?,.ZABD=60°；

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又丁。為BD的中點，

/.OB=2,

XV0E1AB,及NABD=60°,

/.ZBOE=30°,

.\BE=1.

【教學說明】本題利用等邊三角形的判定和直角三角形30°角所對的直角

邊等于斜邊的一半求解，需要熟練掌握.學生自主完成，對有一定難度可相互交

流，最后由教師總結(jié).

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補

充.

博課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材教13“練習”

2.完成本課時對應練習.

爭教學反思

在本節(jié)課中，重在經(jīng)歷探索菱形性質(zhì)的過程，在操作活動和觀察分析過程中

發(fā)展學生的主動審美意識，進一步體會和理解說理的基本步驟，了解菱形的現(xiàn)實

應用和常用方法.

2.菱形的判定

教與目標

【知識與技能】

1.理解并掌握菱形的定義及兩個判定方法.

2.會用菱形的兩個判定方法進行有關(guān)的論證和計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索菱形判定思想的過程，領(lǐng)會菱形的概念以及應用方法，發(fā)展學生主

動探究的思想和說理的能力.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)良好的思維意識以及合情推理的能力，感悟其應用價值及培養(yǎng)學生的觀

察能力、動手能力及邏輯思維能力.

【教學重點】

菱形的兩個判定方法.

【教學難點】

判定方法的證明方法及運用.

,“教學國程

一、情境導入，初步認識

回顧：

（1）菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形；

（2）菱形的性質(zhì)：性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；

性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；

（3）運用菱形的定義進行菱形的判定，應具備幾個條件？（判定：2個條

件）

【教學說明】通過對菱形的性質(zhì)復習回顧，讓學生養(yǎng)成勤復習的習慣.溫故

而知新.

二、思考探究，獲取新知

1.試一試.

如圖作一個四條邊都相等的四邊形.

口DC

AR

步驟：

（1）畫兩條相等的線段AB、AD；

（2）分別以點B和點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩條相交于點C；

（3）連結(jié)BC、CD,即得一個四條邊都相等的四邊形ABCD.

觀察你所畫的圖形，它是菱形嗎？

你能證明你的結(jié)論嗎？

【歸納結(jié)論】菱形判定方法1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂

直.

［教學說明】首先教師活動讓學生觀察，而后讓學生自己動手親自體驗活動,

從而猜想出結(jié)論來.

已知：在OABCD中，AC±BD

求證：DABCD是菱形

數(shù)學語言：

???四邊形ABCD是平行四邊形，AC1BD;

，0ABCD是菱形.

2.畫一畫

如圖，作一個兩條對角線互相垂直的平行四邊形.

步驟：

(1)作兩條互相垂直的直線m,n,記交點為點0；

(2)以點0為圓心、適當長為半徑畫弧，在直線m上截取相等的兩條線段

0A、0C；

(3)以點0為圓心，另一適當長為半徑畫弧，在直線上截取相等的兩條線段

OB、0D；

(4)連結(jié)A,B,C,D四點，即得到一個對角線互相垂直且平分的四邊形ABCD,

顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形.

和你的同伴交流一下，看看它是否也是一個菱形.

思考：四邊形ABCD是什么四邊形？你能證明嗎？

【歸納結(jié)論】菱形的判定方法2：四條邊相等的四邊形是菱形.

數(shù)學語言：

?.,在四邊形ABCD中，

AB=BC=CD=DA

四邊形ABCD是菱形.

【教學說明】讓學生自己動手親自體驗活動，從而猜想出結(jié)論來并進行證明.

從而加深印象.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，在菱形ABCD中，E、F、G、H分別是菱形四邊的中點，連結(jié)EG

與FH交于點0,則圖中的菱形共有（B）

C.6個D.7個

2.下列說法正確的是（B）

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形

D.對角線相等的四邊形是菱形

3.已知：如圖0ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、

求證：四邊形AFCE是菱形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

，AE〃FC.

/.Z1=Z2.

又/A0E=NC0F,A0=C0,

.".△AOE^ACOF.

.*.EO=FO.

四邊形AFCE是平行四邊形.又EFLAC,

￡7AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

4.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,ADJ_BC于D,CE平分NACB,交

AD于G,交AB于E,EFLBC于F,求證：四邊形AEFG是菱形;

證明：；CE平分NACB,EA±CA,EF±BC,/.AE=FE,

VZ1=Z2,

.?.△AEC四△FEC,

，AC=FC,

VCG=CG,

/.△ACG^AFCG,

/.Z5=Z7=ZB,

，GF〃AE,

VAD±BC,EF±BC,

:.AG〃EF,

VAG=GF（或AE=EF）,

四邊形AGFE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

【教學說明】讓學生先獨立完成，而后將不會的問題各小組交流討論得出結(jié)

果.讓學生養(yǎng)成從題目中找解題信息、，從圖形中找解決問題的突破口.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.師生回顧判定一個四邊形是菱形的方法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是

菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

2.通過本節(jié)課的學習，你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

：,課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題19.2"中第2、3、4題.

2.完成本課時對應練習.

孽教學反思

本節(jié)課讓學生動手操作，不僅可以調(diào)動學生的積極性,而且通過動手做一做,

然后再說一說的過程，鞏固了菱形的判定.只有這樣，才能使學生在今后的學習

中有更嚴密的思維，使他們的抽象概括能力有更好的提升.

19.3正方形

敦與目標

【知識與技能】

1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，并會用它們進行有關(guān)的論證和計算.

2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知，在探

索中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學對學生進行辯證唯物主

義教育，提高學生的邏輯思維能力.

【教學重點】

正方形的判定方法.

【教學難點】

正方形的判定方法.

孽教學亙旌

一、情境導入，初步認識

1.在我們的生活中，除了平行四邊形、矩形、菱形外，還有什么特殊的平行

四邊形呢？

2.出示正方形圖片，學生觀察它們有什么共同特征？

【教學說明】學生回答后，再舉例.使學生感受生活中到處存在數(shù)學，激發(fā)

其學習熱情.

【歸納結(jié)論】有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方

形.

二、思考探究，獲取新知

1.正方形是我們熟悉的圖形，它是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？

2.正方形有哪些性質(zhì)？正方形可以看成哪些圖形？

【歸納結(jié)論】正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等

且互相垂直平分.

正方形可以看成是：有一個角是直角的菱形；有一組鄰邊相等的矩形.

3.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個

圖直觀地說明嗎？

【教學說明】小組交流，引導學生從角、對角線的角度歸納總結(jié).使學生感

受變化過程，更清晰地了解各種四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，AABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方

形的對角線交點；那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對

數(shù)為()

A.12B.13

C.26D.30

分析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三

角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.

解：設(shè)AB=3,圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的

有5個，它們組成10對全等三角形；

斜邊長為夜的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2的有2個,

它們組成1對全等三角形；共計26對.

故選C.

2.已知正方形ABCD在直角坐標系內(nèi)，點A(0,1),點B(0,0),則點C,

D坐標分別為和.(只寫一組)

分析：首先根據(jù)正方形ABCD的點A(0,1),點B(0,0),在坐標系內(nèi)

找出這兩點，根據(jù)正方形各邊相等，從而可以確定C,D的坐標.

解：?.?正方形ABCD的點A(0,1),點B(0,0),

，AD〃x軸，CD〃y軸，這樣畫出正方形，即可得出C與D的坐標，分別

為:C(1,0),D(1,1).或C(-l,0),D(-l,l).(寫其中一組即可)

3.如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG±EF,垂足為

G,月.AG=AB,求NEAF度數(shù).

分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出4ABF之a(chǎn)AGF,故有NBAF=NGAF,

再證明AAGE之AADE,有NGAE=NDAE；

所以可求NEAF=45°

解：在RtAABF與RtAAGF中，

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZAGF=90°,

/.△ABF^AAGF(HL),

，NBAF=NGAF,

同理易得：Z\AGE絲Z\ADE,

有NGAE=NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG=1ZDAG+-ZBAG=-ZDAB=45°,

222

故NEAF=45。.

4.如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E、F分別在BC、CD上，且NBAE=30。,

ZDAF=15°.

(1)求證：DF+BE=EF；

(2)求NEFC的度數(shù)；

分析：(1)延長EB至G,使BG=DF,連接AG.利用正方形的性質(zhì)，證明

△A'BG^AADF,AFAE^AGAE,得出DF+BE=EF；

(2)根據(jù)4AGE且4AFE及角之間的關(guān)系從而求得NEFC的度數(shù);

解：(1)延長EB至G,使BG=DF,連結(jié)AG

?.?正方形ABCD,

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90°,

VBG=DF,

.,.△ABG^AADF,

，AG=AF,ZGAB=ZDAF.

VZBAE=30°,ZDAF=15°,

.,.ZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

/.△FAE^AGAE,

，EF=EG=GB+BE=DF+BE；

(2)VAAGE^AAFE,

/.ZAFE=ZAGE=75°,

VZDFA=90°-ZDAF=75°,

/.ZEFC=180o-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

ZEFC=30

5.已知：如圖，D是aABC的BC邊上的中點，DE±AC,DF±AB,垂足

分別是E、F.且BF=CE.

(1)求證：AABC是等腰三角形；

(2)當NA=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論.

分析：先利用HL判定Rt/XBDFgRCCDE,從而得到NB=NC,即4ABC

是等腰三角形；

由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正

方形.

(1)證明：VDE±AC,DF±AB,

/.ZBFD=ZCED=90°,

又?.?BD=CD,BF=CE,

.,.RtABDF^RtACDE,

/.ZB=ZC.

故AABC是等腰三角形；

(2)解：四邊形AFDE是正方形.

證明：VZA=90°,DE±AC,DF±AB,

...四邊形AFDE是矩形，

又?:RtABDF^RtACDE,

，DF=DE,

四邊形AFDE是正方形.

6.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,E是BD延

長線上的點，且4ACE是等邊三角形.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若NAED=2NEAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

分析：(1)根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.由題意易得A0=0C.

又?.?△AEC是等邊三角形.，BEJ_AC,...四邊形ABCD是菱形；

(2)根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形.由題意易得NADO=NDAE+

ZDEA=15°+30°=45°,?四邊形ABCD是菱形，AZBAD=2ZDAO=90°,

四邊形ABCD是正方形.

證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AO=CO.

:△ACE是等邊三角形，

/.EO±AC(三線合一)

四邊形ABCD是菱形.

(2)從上易得：^AOE是直角三角形，

.\ZAED+ZEAO=90o

「△ACE是等邊三角形，

AZEAO=60°,

ZAED=30°

VZAED=2ZEAD

.,.ZEAD=15°,

,ZDA0=ZEAO-ZEAD=45°

?..四邊形ABCD是菱形.

/.ZBAD=2ZDAO=90°

,平行四邊形ABCD是正方形.

【教學說明】由學生獨立完成以培養(yǎng)學生的獨立意識.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.師生共同回顧正方形有哪些性質(zhì)？

2.師生共同回顧正方形有哪些判定定理？

3.通過本節(jié)課的學習，你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

;,課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題19.3"中第1、2、3題.

2.完成本課時對應練習.

教學反思

本課雖然是學習正方形的性質(zhì)和判定，實際上也是對平行四邊形、矩形、菱

形的復習、歸納和總結(jié)，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力.前邊已經(jīng)學習了平行四邊

形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四邊形、矩形、菱形的判定的

綜合.可以通過本節(jié)的學習，總結(jié)、歸納前面所學內(nèi)容，弄清學習中存在的一些

模糊概念，有助于我們發(fā)展演繹推理能力.

章末復習

'教學目標

【知識與技能】

熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，并運用它們進

行有關(guān)的證明和計算

【過程與方法】

引導學生通過練習回憶已學過的知識，提高邏輯思維能力、合情推理能力和

歸納概括能力，訓練思維的靈活性，領(lǐng)悟數(shù)學思想

【情感態(tài)度】

在整理知識點的過程中培養(yǎng)學生的獨立思考習慣，讓學生找到解決特殊平行

四邊形問題的一般方法，并感受成功

【教學重點】

使學生能熟練運用特殊平行四邊形的性質(zhì)、判定定理

【教學難點】

構(gòu)造平行四邊形解決問題

"承教學亙睚

一、知識結(jié)構(gòu)

一個角是

直角矩一組鄰邊

對角線形相等

平相等

四

行四邊形

邊

四一組鄰邊相等且有一個

形

邊角是直角平行四邊形

形

一組鄰邊

正

菱

形

一個角方

矩

對角線形

互相垂直

兩條邊相等

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，使學生系統(tǒng)地了解本章知識及它們

之間的關(guān)系

二、釋疑解惑，加深理解

1.矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.

2.矩形的判定：對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形

是矩形.

3.菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，另外，菱形的四條邊相等、

對角線互相垂直.

4.菱形的判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形

是菱形.

5.正方形的性質(zhì)：正方形的四個角都是直角，四條邊相等；正方形的對角線

相等且互相垂直平分.

6.正方形的判定：對角線相等的菱形是正方形；對角線垂直的矩形是正方形;

有一個角是直角的菱形叫做正方形.

【教學說明】讓學生對知識進行回憶，進一步體會特殊平行四邊形的性質(zhì)、

判定.

三、典例精析，復習新知

1.矩形的一條較短邊的長為5cm,兩條對角線的夾角為60°,則它的對角線

的長等于Wcm.

2.已知菱形的銳角是60°,邊長是ZQcm,則較長的對角線是206cm.

3.如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點，如果4ABE為等邊三角形，那么

NDCE=11度.

4.如圖，周長為68的矩形ABCD被分成7個大小完全一樣的小矩形，則矩

形ABCD的面積為(C)

A.98B.196

C.280D.248

分析：設(shè)小長方形的長、寬分別為x、y,根據(jù)周長為68的矩形ABCD,可

以列出方程4x+7y=68；根據(jù)圖示可以列出方程2x=5y,聯(lián)立兩個方程組成方程

組，解方程組就可以求出矩形ABCD的面積.

解：設(shè)小長方形的長、寬分別為x、y,

心?口4x+7y=68

依題意得-

解之得[IO

[y=4

，則矩形ABCD的面積為7X10X4=280.故選C.

5.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AP〃BD,DP〃AC,

AP、DP相交于點P,則四邊形AODP是什么樣的特殊四邊形，并說明你的理由.

分析：由AP〃BD,DP〃AC先判斷四邊形AODP是平行四邊形，再由

AO=DO判斷四邊形AODP為菱形.

解：四邊形AODP是菱形，理由如下：

?.?AP〃BD,DP//AC,

...四邊形AODP是平行四邊形

又???矩形的對角線互相平分且相等，

得AO=DO,

由菱形的判定得四邊形AODP為菱形.

6.如圖所示，有兩條筆直的公路BD和EF（寬度不計），從一塊矩形的土地

ABCD中穿過，已知EF是BD的垂直平分線，BD=40米，EF=30米，求四邊形

BEDF的面積.

分析：連結(jié)DE、BF,因為四邊形ABCD是矩形，所以AB〃CD,進而求

證DF=BE,再求證FD=FB,即可判定四邊形BFDE是菱形，根據(jù)菱形面積計算

公式即可計算菱形BFDE的面積.

解：如圖，連接DE、BF,

?.?四邊形ABCD是矩形，

，AB〃CD,

.,.ZODF=ZOBE,

由EF垂直平分BD,

得OD=OB,ZDOF=ZBOE=90°,

.'.△DOF且△BOE,

故DF=BE,

...四邊形BEDF是平行四邊形，

又...EF是BD的垂直平分線，

四邊形BFDE是菱形，

S菱形BFDE=-EF-BD=-X30X40=600(m2).

22

7.如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形

組成，設(shè)中間最小的一個正方形邊長為1,求這個矩形色塊圖的面積.

分析：因為矩形內(nèi)都是正方形，正方形的各邊長相等，又有中間小正方形的

邊長為1,可利用邊長之間的關(guān)系建立等式.

解：DF-AE=1,AE=BE+1,2CF-DF=1

DF=AE+1,AE=CF+1+1,DF=CF+3,

2CF-CF-3=1,解得CF=4,

，BE=5,AE=6,

.,.AB=11,BC=13

S=ABXBC=1IX13=143.

【教學說明】通過上面的解題分析，再對整個學習過程進行總結(jié)，能夠促進

理解，提高認識水平，從而促進數(shù)學觀點的形成和發(fā)展.

四、復習訓練，鞏固提高

1.矩形的兩條對角線的夾角為60°,一條對角線與短邊的和為15cm,則短

邊的邊長為5cm.

分析：本題首先求證由兩條對角線的夾角為60°的角為等邊三角形，易求

出短邊邊長.

2.已知：如圖，在矩形ABCD中，CE±BD,E為垂足，ZDCE：ZECB=3：

1,則NACE=41度

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)首先求出NDCE,ZECB的度數(shù).然后利用三角形

內(nèi)角和定理求解即可.

3.如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，且CE=AC,AE交CD

于點F,貝FNE=22.5度.

分析：由于正方形的對角線平分一組對角，那么NACB=45°,即

ZACE=135°,在等腰4CAE中，已知了頂角的度數(shù)，即可由三角形內(nèi)角和定理

求得NE的度數(shù).

【教學說明】讓學生先獨立完成，而后不會的問題各小組交流討論得出結(jié)果.

養(yǎng)成學以致用的好習慣.

4.如圖，以AABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形，即4

ABD、ABCE>AACF,請回答下列問題，并說明理由.

（1）四邊形ADEF是什么四邊形；

（2）當4ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形；

分析：（1）四邊形ADEF是平行四邊形.根據(jù)aABD,aEBC都是等邊三

角形，容易得到全等條件證明△DBEgAABC,然后利用全等三角形的性質(zhì)和平

行四邊形的判定可以證明四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）若四邊形ADEF是矩形，則NDAF=90°,然后根據(jù)已知可以得到N

BAC=150°.

解：(1)四邊形ADEF是平行四邊形.

理由：

VAABD,AEBC都是等邊三角形.

，AD=BD=AB,BC=BE=EC

ZDBA=ZEBC=60°

，ZDBE+ZEBA=ZABC+ZEBA.

/.ZDBE=ZABC.

在ADBE和AABC中

VBD=BA

NDBE=NABC

BE=BC,

.".△DBE^AABC.

.,.DE=AC.

又???△ACF是等邊三角形，

:.AC=AF.

.\DE=AF.

同理可證：AD=EF,

...四邊形ADEF是平行四邊形.

(2)：四邊形ADEF是矩形，

/.ZFAD=90°.

AZBAC=360°-ZDAF-ZDAB-ZFAC=360°-90°-60°-60°=150°.

/.ZBAC=150°時，四邊形ADEF是矩形.

五、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補

充.

【教學說明】歸納平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定，體驗事物之間

的聯(lián)系與區(qū)別.

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“復習題”中第6、7、9、10、13、15題.

2.完成本課時對應練習.

,*教導反思

通過本節(jié)課的復習，歸納矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，使學生體驗事

物之間的聯(lián)系與區(qū)別.從而加強對新知識的應用與理解.

八年級數(shù)學下知識點總結(jié)

四邊形知識點:

正方形

一個角是直角直角梯形

三、串犍瑚舞勺性質(zhì)（重點）:

(1)兩組對邊分別平行;

(2)兩組對邊分別相等;

ABCD是平行四邊形n，⑶兩組對角分別相等;

—■—*,—??■?，、I，，，.I.t.V.,-，、［一、

一.兩組對邊分別平行｝的四邊形是平行四邊形.

從邊看J一組對邊平行且相等

I三.兩組對邊分別相等

從角看----四.兩組對角分別相等

從對角線看一一五.對角線互相平分

3.矩形的性質(zhì):

<1>具有平行四邊形的所有通性;

因為ABCD是矩形n(2久喻^

癖形的判定：’「酬薪g赫濡:亍四邊

[V.暢I邊形.當四邊

修好精相貿(mào):SI

(1)具有平行四邊形的所有通性;

因為ABCD是菱形n⑵四個邊都相等；

6.菱形的判定:G)對角線垂直且平分對角.

(1)平行四邊形+一組鄰邊等'

形(2)四個邊都相等■n四邊形四邊形D是菱

形，、H⑶對角線垂直的平行四邊形