5.1.2弧度制（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁5.1.2弧度制（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實基礎(chǔ)】題型一：角度與弧度的互化與應(yīng)用1.將－157°30′化成弧度為________．【答案】－eq\f(7,8)πrad【解析】－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad.2.將－eq\f(11π,5)rad化為度是________．【答案】－396°【解析】－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.3．在[0,4π]中，與72°角終邊相同的角有________．(用弧度表示)【答案】eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π【解析】因為終邊與72°角相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．當k＝0時，θ＝72°＝eq\f(2,5)πrad；當k＝1時，θ＝432°＝eq\f(12,5)πrad，所以在[0,4π]中與72°終邊相同的角有eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π.4.(1)將112°30′化為弧度為________．（2）將－eq\f(5π,12)rad化為角度為________．【答案】①eq\f(5π,8)rad②－75°【解析】①因為1°＝eq\f(π,180)rad，所以112°30′＝eq\f(π,180)×112.5rad＝eq\f(5π,8)rad.②因為1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以－eq\f(5π,12)rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.5.已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，試比較α，β，γ，θ，φ的大?。窘馕觥糠ㄒ?化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,12)rad，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad.顯然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化為角度)：β＝eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.顯然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.題型二：用弧度數(shù)表示角6．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中，正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】A，B中弧度與角度混用，不正確．eq\f(9,4)π＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9,4)π與eq\f(π,4)終邊相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也與45°終邊相同．故選C.7.終邊經(jīng)過點(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))【答案】D【解析】因為角α的終邊經(jīng)過點(a，a)(a≠0)，所以角α的終邊落在直線y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).8.用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合．[解]因為30°＝eq\f(π,6)rad,210°＝eq\f(7π,6)rad，這兩個角的終邊所在的直線相同，因為終邊在直線AB上的角為α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，而終邊在y軸上的角為β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).9．用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合．[解]30°＝eq\f(π,6)rad,150°＝eq\f(5π,6)rad.終邊落在題干圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(不包括邊界)是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).題型三:弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用10.如圖所示，以正方形ABCD中的點A為圓心，邊長AB為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為________．【答案】2－eq\f(π,2)【解析】設(shè)AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S陰影BCD，由題意可得eq\f(1,2)×12×α＝12－eq\f(π×12,4)，∴解得α＝2－eq\f(π,2).11.已知扇形OAB的周長是60cm，面積是20cm2，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)．【解析】設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝60，,\f(1,2)lr＝20，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15＋\r(205)，,l＝\f(40,15＋\r(205))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15－\r(205)，,l＝\f(40,15－\r(205))，))∴扇形的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(l,r)＝43－3eq\r(205)或43＋3eq\r(205).【能力提升】一、單選題1．已知一扇形的周長為，則當該扇形的面積取得最大時，圓心角大小為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)周長建立弧長與半徑間的關(guān)系，由扇形面積公式可得,利用二次函數(shù)求最值,并求出S最大時對應(yīng)的圓心角即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，所以，扇形面積，當時，有最大值，此時圓心角，故選：D2．月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【分析】由題意可得，求出內(nèi)側(cè)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的弧長公式和面積公式求出弓形的面積，再求出以為直徑的半圓的面積，相減即可【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，則，得，因為月牙內(nèi)弧所對的圓心角為，所以內(nèi)弧的弧長，所以弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，所以該月牙泉的面積為，故選：D3．碭山被譽為“酥梨之鄉(xiāng)”，每逢四月，萬樹梨花開，游客八方來．如圖1，梨花廣場的標志性建筑就是根據(jù)梨花的形狀進行設(shè)計的，建筑的五個“花瓣”中的每一個都可以近似看作由兩個對稱的弓形組成，圖2為其中的一個“花瓣”平面圖，設(shè)弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，則一個“花瓣”的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用扇形面積公式和三角形面積公式求弓形面積，由此可得結(jié)果.【詳解】因為弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，所以弓形的圓弧所對的圓心角的大小為，所以弓形的面積，所以一個“花瓣”的面積為，故選：B.4．設(shè)圓的半徑為，點為圓周上給定一點，如圖，放置邊長為的正方形（實線所示，正方形的頂點與點重合，點在圓周上）.現(xiàn)將正方形沿圓周按順時針方向連續(xù)滾動，當點首次回到點的位置時，點所走過的路徑的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意圖，分析可知當點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，計算出點每次滾動時點所走過的路程，即可得解.【詳解】由圖可知，圓的半徑為，正方形的邊長為，以正方形的邊為弦所對的圓心角為，正方形在圓上滾動時點的順序依次為如圖所示，當點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，設(shè)第次滾動時，點的路程為，則，，，，因此，點所走過的路程為.故選：B.5．已知扇形周長為40，當扇形的面積最大時，扇形的圓心角為（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】設(shè)出扇形半徑并表示出弧長后，由扇形面積公式求出取到面積最大時半徑的長度，代入圓心角弧度公式即可得解.【詳解】設(shè)扇形半徑為,易得,則由已知該扇形弧長為.記扇形面積為,則,當且僅當，即時取到最大值，此時記扇形的圓心角為，則故選：D6．已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從點A出發(fā)，P沿直線l勻速向右、Q沿圓周按逆時針方向以相同的速率運動，當點Q運動到如圖所示的位置時，點P也停止運動，連接OQ，OP，則陰影部分的面積，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．先，再，最后【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出扇形AOQ與面積，再由面積的關(guān)系即可判斷作答.【詳解】因圓O與直線l相切，則，于是得面積，令弧AQ的弧長為l，扇形AOQ面積，依題意，即，令扇形AOB面積為，則有，即，所以陰影部分的面積，的大小關(guān)系是.故選：C二、多選題7．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】設(shè)出扇形所在圓的半徑及其弧長，再由條件列出方程求解即可作答.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則解得或，又圓心角，所以或，故選：AD.8．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】AC【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結(jié)合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯誤.【詳解】對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.9．已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧長與面積公式建立方程組求解，再利用圓心角公式.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯誤.故選：AB．10.（

）A．是正數(shù) B．是負數(shù) C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根據(jù)弧度的含義，判斷2弧度的角是第二象限角，由此可判斷答案.【詳解】由于，故2弧度的角是第二象限角，則，故A正確，B錯誤；，，故,故C，D正確；故選：ACD三、填空題11．勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．已知等邊三角形的邊長為1，則勒洛三角形的面積是_______．【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，觀察可發(fā)現(xiàn)該圖形的面積可用3個相同扇形面積之和減去中間2個等邊三角形面積來計算．【詳解】由題意得，勒洛三角形的面積為：三個圓心角和半徑均分別為和1的扇形面積之和減去兩個邊長為1的等邊三角形的面積，即．故答案為：．12．已知某圓錐的側(cè)面積為，該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為______【答案】【分析】由扇形的面積公式及圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長與底面圓的半徑，由體積公式求解.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，由，得.因為，所以，所以該圓錐的體積為.故答案為：13．魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為，則該魯洛克斯三角形的面積為______.【答案】【分析】由弧長公式可求得等邊的邊長，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個扇形的面積減去2個的面積，結(jié)合扇形和三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：由題意可知，設(shè)，則弧的長度為，所以，設(shè)弧所對的扇形的面積為，，則該魯洛克斯三角形的面積為.故答案為：.14．凸四邊形的面積為，，，，則最大值為___________；若四邊形的外接圓為圓，則所對的圓弧的長為___________．【答案】

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【分析】①以角和角為參數(shù)表示，在和中分別應(yīng)用余弦定理化簡可以得到，把上述兩式平方相加，結(jié)合余弦的有界性即可求得最大值②易知四邊形的外接圓的直徑為，，代弧長公式即可求解【詳解】在中，由余弦定理知：在中，由余弦定理知：∴①∵②①2+②2可得即當時，∴；此時∵∴，，故四邊形的