5.4.2 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值（第2課時）導(dǎo)學(xué)案-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁5.4.2正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值（第2課時）導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值與最小值，并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.掌握y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小．(重點(diǎn))3.會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)解析式y(tǒng)＝sinxy＝cosx圖象對稱中心對稱軸值域最值單調(diào)性【答案】解析式y(tǒng)＝sinxy＝cosx圖象對稱中心（kπ，0），k∈Z（kπ+eq\f(π,2)，0），k∈Z對稱軸直線x=kπ+eq\f(π,2)，k∈Z直線x=kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增，在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ]，k∈Z)上單調(diào)遞減在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增，在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上單調(diào)遞減【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】解:容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值．分析:可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大?。疄榇?，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大?。敬鸢浮緾【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單選題1．下列函數(shù)中，周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減函數(shù)的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))【答案】A【解析】對于選項(xiàng)A，注意到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是減函數(shù)．2．下列關(guān)系式中正確的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°【答案】C【解析】由誘導(dǎo)公式，得cos10°＝sin80°，sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，由正弦函數(shù)y＝sinx在[0°，90°]上是單調(diào)遞增的，所以sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.故選C.3．函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，x∈[－π，0]的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(5π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))【答案】D【解析】令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5,6)π，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－eq\f(π,6)≤x≤0，故選D.4．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【答案】B【解析】因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,4)))(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期為π，且是偶函數(shù)，則()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))單調(diào)遞減B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))單調(diào)遞減C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))單調(diào)遞增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))單調(diào)遞增【答案】A【解析】由條件知ω＝2.∵f(x)是偶函數(shù)且|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，這時f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x∈(0，π)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．二、多選題6．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，故選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項(xiàng)D正確；故選：BD7．下列關(guān)于余弦函數(shù)說法正確的是（

）A．最小正周期是 B．定義域是R C．值域是 D．有最值【答案】ABD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：余弦函數(shù)最小正周期是，A正確；余弦函數(shù)定義域是R，B正確；余弦函數(shù)值域是，C錯誤；余弦函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，D正確，故選:ABD8．下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正弦在單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)在單調(diào)遞減可判斷B,根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.【詳解】對A,因?yàn)椋趩握{(diào)遞增，所以,故A正確；對B，因?yàn)椋趩握{(diào)遞減，所以,故B錯誤；對于C,，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC三、填空題9．y＝acosx＋1的最大值為5，則a＝________.【答案】±4【解析】∵|a|＋1＝5，∴|a|＝4，∴a＝±4.10．將cos150°，sin470°，cos760°按從小到大排列為_________．【答案】cos150°＜cos760°＜sin470°【解析】cos150°＜0，sin470°＝sin110°＝cos20°＞0，cos760°＝cos40°＞0且cos20°＞cos40°，所以cos150°＜cos760°＜sin470°.11．已知函數(shù)y＝sineq\f(πx,3)在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是________．【答案】8【解析】因?yàn)門＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.所以在[0，＋∞)第一次出現(xiàn)最大值x＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，第二次出現(xiàn)最大值x＝eq\f(15,2)，所以t≥eq\f(15,2).又因?yàn)閠∈Z，所以t的最小值為8.四、解答題12．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．(1)y＝eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，x∈[0，π]；(2)y＝logeq\f(1,2)sinx.[解](1)由y＝－eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的單調(diào)性，得eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故eq\f(2π,3)≤x≤π.即單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).(2)由sinx＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，∴函數(shù)的定義域?yàn)?2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．設(shè)u＝sinx，則0＜u≤1，又y＝logeq\f(1,2)u是減函數(shù)，∴函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)．∵eq\f(1,2)＜1，∴函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的遞增區(qū)間即為u＝sinx(sinx＞0)的遞減區(qū)間，故函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的遞增區(qū)間為2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π(k∈Z)．13．求下列函數(shù)的最大值和最小值．(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).[解](1)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由函數(shù)圖象(略)知，－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，所以，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值分別為1，－eq\f(1,2).(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1.當(dāng)sinx＝1時，ymax＝5；當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(5,2).14．已知函數(shù)，其中，，其圖像經(jīng)過點(diǎn).(1)求的解析式；(2)作出函數(shù)在內(nèi)的簡圖，并指出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)；(2)圖像見解析，遞減區(qū)間為.【分析】（1）由圖像所過的點(diǎn)有，結(jié)合參數(shù)范圍及正弦函數(shù)性質(zhì)求，即可得解析式；（2）應(yīng)用五點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像確定遞減區(qū)間.（1）∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，，則，∴.（2）按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0-1131-1描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示，由圖像知：函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為.15．已知函數(shù)（）的最小正周期為.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求出，進(jìn)而得到，代入求值即可；（2）整體法求解函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.(1)由最小正周期公式得：，故，所以，所以(2)令，解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.是【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】一、單選題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值為()A.eq\f(6,5) B．1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)【答案】A【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(6,5).∴f(x)max＝eq\f(6,5).故選A.2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|cosx|在[－π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))【答案】C【解析】在[－π，π]上，依據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知y＝|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，而f(x)依|cosx|取值的遞增而遞減，故eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．二、多選題3．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】根據(jù)的范圍，三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以的值可以為負(fù)數(shù)，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，，所以為奇函數(shù)，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以在區(qū)間上遞增，令，，令，，其中，所以，所以在上遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：BCD4．已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根據(jù)，可確定，即可確定的取值情況，然后結(jié)合在上單調(diào)遞增，進(jìn)行驗(yàn)證即可確定答案.【詳解】函數(shù)，,則①,又，則是函數(shù)的一個對稱中心，故②,兩式相減得：，在上單調(diào)遞增，則,則，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；當(dāng)時，，，故，此時在單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，因?yàn)?，則，在單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，，故在上不單調(diào)，不符合題意；故選：AC三、填空題5．函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，則b－a的最大值是________．【答案】eq\f(4π,3)【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx，x∈[a，b]的最小值和最大值分別為－1和eq\f(1,2).不妨在一個區(qū)間[0,2π]內(nèi)研究，可知sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，sineq\f(3π,2)＝－1，結(jié)合圖象(略)可知(b－a)min＝eq\f(3π,2)－eq\f(5π,6)＝eq\f(2π,3)，(b－a)max＝eq\f(13π,6)－eq\f(5π,6)＝eq\f(4π,3).6．若函數(shù)f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω等于________．【答案】eq\f(3,2)【解析】根據(jù)題意知f(x)在x＝eq\f(π,3)處取得最大值1，∴sineq\f(ωπ,3)＝1，∴eq\f(ωπ,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即ω＝6k＋eq\f(3,2)，k∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝eq\f(3,2).四、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，且|φ|＜π.若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．[解]由f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對x∈R恒成立知，2·eq\f(π,6)＋φ＝2kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)．∴φ＝2kπ＋eq\f(π,6)或φ＝2kπ－eq\f(5π,6)(k∈Z)．∵|φ|＜π，得φ＝eq\f(π,6)或φ＝－eq\f(5π,6)，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，∴φ＝－eq\f(