高中數(shù)學(xué)北師大版必修五全冊(cè)學(xué)案第課時(shí)距離和高度問(wèn)題

§3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離和高度問(wèn)題知能目標(biāo)解讀1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法求解不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離.2.學(xué)會(huì)處理測(cè)量距離、測(cè)量高度等解三角形的實(shí)際問(wèn)題.3.深刻理解三角形的知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模意識(shí)，培養(yǎng)自己分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：分析測(cè)量的實(shí)際情景，找出解決測(cè)量距離的方法.難點(diǎn)：分析如何運(yùn)用學(xué)過(guò)的解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中距離測(cè)量和高度問(wèn)題.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.解三角形應(yīng)用題的基本思路解三角形應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：（1）讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)、名稱(chēng).理清量與量之間的關(guān)系.(2)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算要求.2.常見(jiàn)應(yīng)用題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型有：測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.3.解三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的幾種情況（1）測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問(wèn)題，從而得到運(yùn)用正弦定理去解決的方法.（2）測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般是把求距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)的問(wèn)題.然后把求未知的另外邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問(wèn)題，然后運(yùn)用正弦定理解決.知能自主梳理實(shí)際問(wèn)題中的名詞、術(shù)語(yǔ)1.方位角：從指北方向時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角.如圖(1)所示.2.方向角：相對(duì)于某一正方向（東、西、南、北）的水平角.①北偏東α°，即由指北方向旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向，如圖（2）.②北偏西α°，即是由指北方向旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.3.基線(xiàn)：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量的需要適當(dāng)確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，基線(xiàn)越，測(cè)量的精確度越高.4.測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題不能直接用解三角形的方法解決，但常用和，計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.5.仰角與俯角：目標(biāo)方向線(xiàn)（視線(xiàn)）與水平線(xiàn)的夾角中，當(dāng)目標(biāo)（視線(xiàn)）在水平線(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為仰角，在水平線(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為俯角，如圖.［答案］1.順2.順時(shí)針逆時(shí)針3.長(zhǎng)4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命題方向測(cè)量高度問(wèn)題［例1］如圖，測(cè)量人員沿直線(xiàn)MNP的方向測(cè)量，測(cè)得塔AB的仰角分別是∠AMB=30°，∠ANB=45°∠APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高.［分析］解題的關(guān)鍵是讀懂立體圖形.［解析］設(shè)AB高為x.∵AB垂直于地面，∴△ABM,△ABN,△ABP均為直角三角形，∴BM=x·cot30°＝x,BN=x·cot45°＝x,BP=x·cot60°=x.在△MNB中,由余弦定理，得BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,在△PNB中，由余弦定理，得BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB,又∵∠BNM與∠PNB互補(bǔ)，MN=NP=500，∴3x2=250000+x2-2×500x·cos∠MNB，①x2=250000+x2-2×500x·cos∠PNB，②①+②，得x2=500000+2x2,∴x=250.答：塔高250m.［說(shuō)明］在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角和俯角的概念，區(qū)別在于視線(xiàn)在水平線(xiàn)的上方還是下方，一般步驟是：①根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖；②分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；③運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解；④把解出答案還原到實(shí)際問(wèn)題中.還要注意綜合運(yùn)用平面幾何和立體幾何知識(shí)以及方程的思想.變式應(yīng)用1如圖，在塔底B處測(cè)得山頂C的仰角為60°，在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB=20m，求山高DC（精確到0.1m）.［分析］如圖，DC在Rt△BCD中，∠DBC=60°，只需求出邊BC的長(zhǎng)，即可求出DC，而B(niǎo)C又在斜三角形ABC中，依據(jù)條件由正弦定理可求出BC.［解析］由已知條件，得∠DBC=60°,∠ECA=45°,則在△ABC中，∠ABC=90°-60°=30°,∠ACB=60°-45°=15°,∠CAB=180°-（∠ABC+∠ACB）=135°.在△ABC中，.∴BC=.在Rt△CDB中，CD=BC·sin∠CBD=20(+1)×≈47.3.答：山高約為47.3m.命題方向測(cè)量距離問(wèn)題［例2］要測(cè)量河對(duì)岸兩地A、B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求A、B兩地的距離.［分析］此題是測(cè)量計(jì)算河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，給出的角度較多，涉及幾個(gè)三角形，重點(diǎn)應(yīng)注意依次解哪幾個(gè)三角形才較為簡(jiǎn)便.［解析］如圖所示，在△ACD中，∠CAD=180°-（x0°+30°）=30°,∴AC=CD=100.在△BCD中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°.由正弦定理,得BC=.在△ABC中，由余弦定理,得AB2=（100）2+（200sin75°)2-2×100×200sin75°·cos75°=1002(3+4×)=1002×5,∴AB=100.答：A、B兩地間的距離為100米.［說(shuō)明］（1）求解三角形中的基本元素，應(yīng)由確定三角形的條件個(gè)數(shù)，選擇合適的三角形求解，如本題選擇的是△BCD和△ABC.（2）本題是測(cè)量都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，它是測(cè)量學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的三角網(wǎng)測(cè)量方法的原理，其中AB可視為基線(xiàn).（3）在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn)，如本例的CD.在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線(xiàn)長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度.一般來(lái)說(shuō)，基線(xiàn)越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.變式應(yīng)用2如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為x0°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°.問(wèn)貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離是多少？［分析］根據(jù)所給圖形可以看出，在△ABC中，已知BC是半小時(shí)路程，只要根據(jù)所給的方位角數(shù)據(jù)，求出∠ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的長(zhǎng).［解析］在△ABC中，BC=40×=20,∠ABC=140°-x0°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,∴A=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理，得AC==(km).答：貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離是10km.探索延拓創(chuàng)新命題方向綜合應(yīng)用問(wèn)題［例3］如下圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線(xiàn)航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處，此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西x0°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？［分析］甲、乙兩船航行時(shí)間相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距離B1B2即可.連結(jié)A1B2，轉(zhuǎn)化為在△A1B1B2中已知兩邊及夾角求對(duì)邊的問(wèn)題.［解析］如上圖，連結(jié)A1B2，∵A2B2=10，∴A1A2=×30=10.∵△A1A2B2是等邊三角形，∴∠B1A1B2=105°-60°=45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1Bx+A1B22-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10)2-2×20×10×=200,則B1B2=10.因此乙船的速度的大小為×60=30.即乙船每小時(shí)航行30海里.［說(shuō)明］仔細(xì)觀察圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì)挖掘隱含條件，并通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將問(wèn)題納入到三角形中去解決是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.變式應(yīng)用3海中有小島A，已知A島四周8海里內(nèi)有暗礁.今有一貨輪由西向東航行，望見(jiàn)A島在北偏東75°，航行20海里后見(jiàn)此島在北偏東30°.如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？［分析］如圖所示，要判斷有無(wú)觸焦危險(xiǎn)，只要看AD的長(zhǎng)與8的大小，若AD＞8，則無(wú)觸礁危險(xiǎn)，否則有觸礁危險(xiǎn).［解析］如圖所示，作AD⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，由已知∠NBA=75°,∠ACD=60°,BC=20.由正弦定理，得，∴AC=10(-),∴AD=AC·sin60°=15-5＞8.∴無(wú)觸礁危險(xiǎn).［說(shuō)明］本題中理解方位角是解題的關(guān)鍵.北偏東75°是指以正北方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)75°.名師辨誤做答［例4］某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得公路上B處有一人，距C為31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21千米，問(wèn)：這人還要走多少千米才能到達(dá)A城？［誤解］本題為解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題，要求這人走多少路才可到達(dá)A城，即求AD的長(zhǎng)，在△ACD中，已知CD=21千米，∠CAD=60°，只需再求出一個(gè)量即可.如圖，設(shè)∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中，由余弦定理，得cosβ=，∴sinβ=.∴在△ACD中，∴AC=∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60°，即2x＝242+AD2-2×24×·AD，整理，得AD2-24AD+135=0,解得AD=15或AD=9，答：這個(gè)人再走15千米或9千米就可到達(dá)A城.［辨析］本題在解△ACD時(shí)，利用余弦定理求AD，產(chǎn)生了增解，應(yīng)用正弦定理來(lái)求解.［正解］如圖，令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中，由余弦定理得cosβ=＝，∴sinβ=.又sinα=sin(β-60°)＝sinβcos60°-sin60°cosβ=×+×＝，在△ACD中，,∴AD==15(千米).答：這個(gè)人再走15千米就可以到達(dá)A城.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.如圖所示，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是()A.a和cB.c和bC.c和βD.b和α［答案］D［解析］在△ABC中，能夠測(cè)量到的邊和角分別為b和α.2.如圖所示，D、C、B在地平面同一直線(xiàn)上，DC＝10m，從D、C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5（+1）m［答案］D［解析］在△ABC中，由正弦定理得AD=在Rt△ABC中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).3.(x·福州高二質(zhì)檢)如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)()A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b［答案］C［解析］根據(jù)實(shí)際情況，α、β都是不易測(cè)量的數(shù)據(jù)，而a,b可以測(cè)得，角γ也可以測(cè)得，根據(jù)余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的長(zhǎng)，故選C.4.(x·上海理，6)在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB=75°,∠CBA=60°，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為千米.［答案］［解析］本題考查正弦定理等解三角形的知識(shí)，在三角形中，已知兩角和一邊可求x個(gè)角以及利用正弦定理求其它兩邊.∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,∴∠C=180°-75°-60°=45°,由正弦定理：,∴,∴AC=.二、填空題5.某地電信局信號(hào)轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施工人員欲在山坡上A、B兩點(diǎn)處測(cè)量與地面垂直的塔CD的高，由A、B兩地測(cè)得塔頂C的仰角分別為60°和45°，又知AB的長(zhǎng)為40米，斜坡與水平面成30°角，則該轉(zhuǎn)播塔的高度是米.［答案］［解析］如圖所示，由題意，得∠ABC=45°-30°＝15°,∠DAC=60°-30°=30°.∴∠BAC=150°,∠ACB=15°,∴AC=AB=40米，∠ADC=x0°,∠ACD=30°,在△ACD中，由正弦定理，得CD=·AC＝·40＝.三、解答題6.如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=x0米，求河的寬度.［解析］如圖，在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°.由正弦定理，得AC=＝20（3）.設(shè)C到AB的距離為CD，則CD=ACsin∠CAB=AC=20（3+）.答：河的寬度為20（+3）米.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.學(xué)校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長(zhǎng)為（）A.xmB.8mC.3mD.4m［答案］D［解析］在△ABC中，已知可得BC=AC=4,∠C=180°-30°×2＝x0°所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosx0=42+42-2×4×4×（-)=48∴AB=4(m).2.從塔頂處望地面A處的俯角為30°,則從A處望塔頂?shù)难鼋鞘?)A.-60°B.30°C.60°D.150°［答案］B3.海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A.10海里B.10海里C.5海里D.5海里［答案］D［解析］如圖，由正弦定理得，∴BC=5.4.某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值為（）A.B.2C.2或D.3［答案］C［解析］由題意畫(huà)出三角形如下圖.則∠ABC=30°,由余弦定理得，cos30°=,∴x=2或.5.甲船在湖中B島的正南A處，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以xkm/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)ィ瑒t行駛15分鐘時(shí)，兩船的距離是（）A.kmB.kmC.kmD.km［答案］B［解析］由題意知AM=8×，MB=AB-AM=3-2=1，所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcosx0°=1+9-2×1×3×(-)=13，所以MN=km.6.在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（）A.米B.米C.200米D.200米［答案］A［解析］如圖，設(shè)AB為山高，CD為塔高，則AB=200，∠ADM=30°,∠ACB=60°,∴BC=200cot60°=,AM=DMtan30°=BCtan30°=.∴CD=AB-AM=.7.一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為（）A.20（+）海里/時(shí)B.20（-）海里/時(shí)C.20（+）海里/時(shí)D.20（-）海里/時(shí)［答案］［解析］題意可知∠NMS=45°，∠MNS=105°，則∠MSN=180°-105°-45°＝30°.而MS=20,在△MNS中，由正弦定理得，∴MN=＝==10(-).∴貨輪的速度為10(-)÷=20(-)(海里/時(shí)).8.如圖所示，在山底A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB=45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000米到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB=75°，則山高BC為（）A.500mB.200mC.1000mD.1000m［答案］D［解析］∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-（90°-75°)=30°,在△ABS中，AB===1000,∴BC=AB·sin45°=1000×=1000（m）.二、填空題9.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見(jiàn)燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)燈塔在船的北偏東75°方向上，則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是km.（精確到0.1km）［答案］4.2［解析］作出示意圖如圖.由題意知，AB=24×=6，∠ASB=45°,由正弦定理得，=，可得BS＝=3≈4.2（km）.10.從觀測(cè)點(diǎn)A看湖泊兩岸的建筑物B、C的視角為60°,AB=100m,AC=200m,則B、C相距.［答案］100m［解析］在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=1002+2002-2×100×200×=30000所以BC＝100m.x.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是.［答案］20米，米［解析］如圖，依題意有甲樓的高度AB=20·tan60°=20(米)，又CM=DB=20米，∠CAM=60°，所以AM=CM·cot60°=米，故乙樓的高度為CD=20-=（米）.x.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上從C處向正東行駛，到A處時(shí)，測(cè)量公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東南15°的方向上，行駛15km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南30°的方向上，仰角為15°，則此山的高度CD等于km.［答案］5（2-）［解析］在△ABC中，∠A=15°,∠C=30°-15°=15°,由正弦定理，得BC=.又CD=BC·tan∠DBC=5×tan15°=5×tan(45°-30°)=5(2-).三、解答題13.（x·廈門(mén)高二檢測(cè)）海面上相距10海里的A、B兩船，B船在A船的北偏東45°方向上，兩船同時(shí)接到指令同時(shí)駛向C島，C島在B船的南偏東75°方向上，行駛了80分鐘后兩船同時(shí)到達(dá)C島，經(jīng)測(cè)算，A船行駛了10海里，求B船的速度.［解析］如圖所示，在△ABC中，AB＝10，AC=10,∠ABC=x0°由余弦定理，得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cosx0°即700＝100＋BC2+10BC,∴BC=20,設(shè)B船速度為v,則有v==15(海里/小時(shí)).即B船的速度為15海里/小時(shí).14.在上海世博會(huì)期間，小明在中國(guó)館門(mén)口A處看到正前方上空一紅燈籠，測(cè)得此時(shí)的仰角為45°，前進(jìn)200米到達(dá)B處，測(cè)得此時(shí)的仰角為60°，小明身高1.8米，試計(jì)算紅燈籠的高度（精確到1m）.［解析］由題意畫(huà)出示意圖（AA′表示小明的身高）.∵AB=200,∠CA′B′=45°,∠CB′D′=60°,∴在△A′B′C中，∴B′C==.在Rt△CD′B′中，CD′=B′C·sin60°=100(3+),∴CD=1.8+100(3+)≈475(米).答：紅燈籠高約475米.15.山上有一紀(jì)念塔，不能到達(dá)底部，你有哪些方法測(cè)量塔的高度PO?［解析］如圖(1)，在地面上引一條基線(xiàn)AB，使其延長(zhǎng)線(xiàn)通過(guò)塔底點(diǎn)O，測(cè)出A、B分別對(duì)塔頂P的仰角α、β及AB的長(zhǎng)度就可以求出塔高PO.計(jì)算方法：在△PAB中，由正弦定理得PA＝·sinβ,在Rt△PAO中，PO=PAsinα∴PO=.16.在大海上，“藍(lán)天號(hào)”漁輪在A處進(jìn)行海上作業(yè)，“白云號(hào)”貨輪在“藍(lán)天號(hào)”正南方向距“藍(lán)天號(hào)”20海里的B處.現(xiàn)在“白云號(hào)”以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行駛，而“藍(lán)天號(hào)”同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向南偏西60°方向行駛，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，“藍(lán)天號(hào)”和“白云號(hào)”兩船相距最近.［解析］如右圖，設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)，“藍(lán)天號(hào)”漁輪行駛到C處，“白云號(hào)”貨輪行駛到D處，此時(shí)“藍(lán)天號(hào)”和“白云號(hào)”兩船的距離為CD.則根據(jù)題意，知在△ABC中，AC=8t，AD=20-10t,∠CAD=60°.由余弦定理，知CD2=AC2+AD2-2×AC×ADcos60°＝（8t）2+(20-10t)2-2×8t×（20-10t）×cos60°＝244t2-560t+400=244(t-)2+400-244×（）2，∴當(dāng)t=時(shí)，CD2取得最小值，即“藍(lán)天號(hào)”和“白云號(hào)”兩船相距最近.第2課時(shí)角度和物理問(wèn)題知能目標(biāo)解讀1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法求解三角形的實(shí)際問(wèn)題.2.學(xué)會(huì)處理測(cè)量角度問(wèn)題等解三角形的實(shí)際問(wèn)題.3.用解三角形的知識(shí)，解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，目的是進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，提高分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力、動(dòng)手操作能力以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，以達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型探求角度測(cè)量方法.難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)要測(cè)量角的大小，可利用測(cè)角儀或通過(guò)測(cè)量出距離計(jì)算角的大小，根據(jù)所測(cè)出的三角形中的量，運(yùn)用正、余弦定理和三角形中的有關(guān)性質(zhì)計(jì)算出所要求的角.在計(jì)算面積和航海問(wèn)題中，也都與求角的問(wèn)題相聯(lián)系.要清楚問(wèn)題中的角的含義，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根據(jù)已知線(xiàn)段和角以及要求的角，選擇有充分條件的三角形求解.知能自主梳理1.測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用和求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夾角叫做.3.坡面的鉛直高度與水平寬度之比（如圖中的），叫做.［答案］1.正弦定理余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命題方向測(cè)量角度問(wèn)題［例1］在南海伏季漁中，我漁政船甲在A處觀測(cè)到一外國(guó)偷漁船乙在我船北偏東60°的方向，相距a海里，偷漁船正在向北行駛，若我船速度是漁船速度的倍，問(wèn)我船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能追上漁船？此時(shí)漁船已行駛多少海里？［解析］如圖所示，設(shè)乙船沿B點(diǎn)向北行駛的速度大小為v,則甲船行駛的速度大小為v,兩船相遇的時(shí)間為t,則BC=vt,AC=vt，在△ABC中，∠ABC=x0°,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosx0°,即3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=-(舍去).∴BC=a,∴∠CAB=30°.即甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向去追趕乙船，在乙船行駛a海里處相遇.［說(shuō)明］解答此類(lèi)問(wèn)題，首先應(yīng)明確各個(gè)角的含義，然后分析題意，分清已知和所求，再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖，將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運(yùn)用正、余弦定理求解..變式應(yīng)用1在地面上某處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此處向塔?0米，測(cè)得塔頂仰角為2θ，再向塔走10米，測(cè)得塔頂仰角為4θ，試求角θ的度數(shù).［分析］如圖所示，求角θ，必須把角θ、2θ、4θ和邊長(zhǎng)30、10盡量集中在一個(gè)三角形中，利用方程求解.［解析］解法一：∵∠PAB=θ，∠PBC=2θ，∴∠BPA=θ，∴BP=AB=30，又∵∠PBC=2θ，∠PCD=4θ，∴∠BPC=2θ，∴CP=BC=10，在△BPC中，根據(jù)正弦定理得：，即=，∴，由于sin2θ≠0,∴cos2θ=，∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法二：在△BPC中，根據(jù)余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ把PC=BC=10，PB=30代入上式得，300=302+（10）2-2×30×10cos2θ化簡(jiǎn)得：cos2θ=,∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法三：如下圖，過(guò)頂點(diǎn)C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC為等腰三角形,∴PE=BE=15,在Rt△BEC中，cos2θ=,∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,∴θ=15°.命題方向與角度有關(guān)的問(wèn)題［例2］某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在距A處北偏東45°方向、距離為10nmile的C處，并測(cè)得漁輪正沿東偏南15°的方向，以9nmile/h的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.［分析］根據(jù)題意畫(huà)出圖形（如圖），由題意知AC=10，設(shè)漁輪向小島B靠近，艦艇與漁輪相遇所用時(shí)間與漁輪由C到B′處相遇，則∠ACB′=x0°,利用艦艇與漁輪相遇所用時(shí)間與漁輪由C到B′所用時(shí)間相同這一條件，解△AB′C即可.［解析］設(shè)艦艇與漁輪相遇所需時(shí)間為th，則AB′=21t,B′C=9t.在△AB′C中，根據(jù)余弦定理，則有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccosx0°可得2xt2=102+81t2+2×10×9t×,整理，得360t2-90t-100=0.∴362t-9t-10=0,∴(xt+5)(3t-2)=0.∴t=或t=-(舍去)，∴艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為h.此時(shí)AB′=14nmile,B′C=6nmile.由正弦定理，得,則sin∠CAB′=,∴∠CAB′≈21.8°,∴艦艇航行的方位角為北偏東66.8°.［說(shuō)明］本題應(yīng)首先理解方位角的概念（方位角指的是從指北方向線(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的最小正角），然后作出示意圖，利用等差關(guān)系列方程求解即可，最后回答行駛的方向時(shí)，要注意正確描述方位角.變式應(yīng)用2（x·x高考）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？［分析］利用正弦定理求BD→利用余弦定理求DC→結(jié)論［解析］由題意知AB=5（3+），∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°∴sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=.在△ABD中，由正弦定理得，∴BD==又∠DBC＝180°-60°-60°=60°.BC=20，在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos60°=300+x00-2×10×20×=900.∴CD=30（海里），則需要的時(shí)間t==1（小時(shí)）.答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).探索延拓創(chuàng)新命題方向正、余弦定理在物理中的應(yīng)用［例3］圖所示用兩根分別長(zhǎng)5米和10米的繩子，將100N的物體吊在水平屋頂AB上，平衡后，G點(diǎn)距屋頂距離恰好為5米，求A處所受力的大小（繩子的重量忽略不計(jì)）.［分析］決此類(lèi)問(wèn)題要先依據(jù)題意將物理向量用有向線(xiàn)段來(lái)表示，利用向量加法的平行四邊形法則，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的加法，然后由已知條件進(jìn)行計(jì)算.［解析］圖所示，由已知條件可知AG與鉛直線(xiàn)成45°角，BG與鉛直方向成60°角，A處所受力為fa，在△GED中，∠EGD=45°,∠GED=60°，∴∠GDE=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得，∴GD===150-50.∴A處所受力大小為（150-50）N.變式應(yīng)用3地球與金星的公轉(zhuǎn)軌道分別是直徑為2.98×108km和2.14×108km的近似圓，圓心為太陽(yáng)，某時(shí)刻，地球和金星的連線(xiàn)與地球和太陽(yáng)的連線(xiàn)成18°的角，如圖，求此時(shí)地球與金星之間的距離（地球、金星、太陽(yáng)均視為點(diǎn)，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）.［解析］此時(shí)刻太陽(yáng)、地球、金星的位置分別在點(diǎn)O、A、B處，則OA=2.98×108km,OB=2.14×108km,∠A=18°，由正弦定理，得sin∠ABO=≈0.4303，∵OA>OB,∴∠ABO=25.49°或∠ABO=154.51°,當(dāng)∠ABO=25.49°時(shí)，∠AOB=136.51°，AB=≈4.77×108（km）.當(dāng)∠ABO=154.51°時(shí)，∠AOB=7.49°，AB=≈9.03×107（km）.答：此時(shí)地球與金星之間的距離約為4.77×108km或9.03×107km.名師辨誤做答［例4］海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（-1）nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？［誤解］緝私船用t小時(shí)，在D處追上走私船，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cosx0°＝6，∴BC=.在△BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD×cos∠CBD,∴(10t)2=6+(10t)2-2××10t×（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.∴BD=,又BC=,∠CBD=x0°.∴∠BCD=∠BDC=30°.故緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船.［辨析］述解法錯(cuò)誤的原因在于默認(rèn)為∠CBD=x0°，而沒(méi)有給出證明，并且多余的求出時(shí)間t.［正解］緝私船用t小時(shí)在D處追上走私船.在△ABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cosx0°＝6，∴BC=.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC=sin∠BAC=,∴∠ABC=45°，∴BC與正北方向垂直.∴∠CBD=x0°.在△BCD中，由正弦定理，得,∴,∴sin∠BCD=,∴∠BCD=30°.故緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.在某測(cè)量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的（）A.北偏西34°27′B.北偏東55°33′C.北偏西55°32′D.南偏西55°33′［答案］A2.如果在測(cè)量中，某渠道斜坡的坡比為，設(shè)α為坡角，那么cosα等于（）A.B.C.D.［答案］B［解析］由題意，得tanα=,∴,∴,即,∵α為銳角，∴cosα=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東45°,1小時(shí)30分后航行到B處,在B處看燈塔S在船的南偏東15°,則燈塔S與B之間的距離為()A.66kmB.132kmC.96kmD.33km［答案］A［解析］如圖，∠ASB=180°-15°-45°=x0°，AB=22×，由正弦定理，得，∴SB=66km.二、填空題4.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成x0°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過(guò)h，該船實(shí)際航程為.［答案］6km［解析］如圖，水流速和船速的合速度為v，在△OAB中：OB2=OA2+AB２-2OA·AB·cos60°，∴OB=v=2km/h.即船的實(shí)際速度為2km/h，則經(jīng)過(guò)h，其路程為2×=6km.5.一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后，再向右轉(zhuǎn)105°爬行20cm，又向右轉(zhuǎn)135°，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點(diǎn)處，那么x=.［答案］cm［解析］如圖△ABC中，∠A=45°＋15°＝60°，∠B=45°+30°=75°,∠ACB=45°,由正弦定理知,∴x=.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°［答案］B［解析］如圖，由題意知∠ACB=180°-40°-60°＝80°，∵AC=BC,∴∠ABC=50°,∴α=60°-50°=10°.2.甲船在B島的正南A處，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是()A.minB.hC.21.5minD.2.15h［答案］A［解析］如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)距離為s，則在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cosx0°，即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)×6x×(-)=28x2-20x+100.當(dāng)x=-時(shí)，s2最小，此時(shí)x=h=min.3.如圖所示，B、C、D三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上，DC=a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為β、α（α＜β)，則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）A.B.C.D.［答案］A［解析］由tanα=,tanβ=，聯(lián)立解得AB＝.4.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力、、（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知、成60°角，且、的大小分別為2和4，則的大小為()A.6B.2C.2D.2［答案］D［解析］由題意，得++＝0，∴＋、＝-,∴(+)2=2,∴+2+2··＝2，∴4+16+2×2×4×cos60°＝2，∴2＝28，∴||=2.故選D.5.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里［答案］C［解析］如圖，依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°，∴∠CAD=∠CDA=15°，從而CD=CA=10，在Rt△ABC中，求得AB=5，∴這艘船的速度是=10(海里/小時(shí)).6.江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30°角，則兩條船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米［答案］D［解析］設(shè)炮臺(tái)頂部為A，兩條船分別為B,C,炮臺(tái)底部為D，可知∠BAD=45°，∠CAD=60°，∠BDC=30°，AD=30.分別在Rt△ADB,Rt△ADC中，求得BD=30,DC=30.在△DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.7.如圖，在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，底部的俯角為45°，那么這座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m［答案］B［解析］由仰角與俯角的意義可知，∠DAE=60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m,∴BC=AE=20m,在△AED中，DE=AEtan60°＝20m.∴塔吊的高度是20（1+）m.8.如下圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A.海里/小時(shí)B.34海里/小時(shí)C.海里/小時(shí)D.34海里/小時(shí)［答案］A［解析］由題意知PM=68，∠MPN=x0°，∠N=45°,由正弦定理知MN=68××=34,∴速度為（海里/小時(shí)）.二、填空題9.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=90，BC=150，則DE=.［答案］210［解析］由題意知∠ACB=x0°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠=902+1502-2×90×150×（-）＝44100.∴AB=210,DE=210.10.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線(xiàn)到達(dá)對(duì)岸，那么船前進(jìn)的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為.［答案］30°［解析］水流速度與船速的合速度為v,方向指向河岸，如圖由題意可知sinα=∴α=30°.x.有一長(zhǎng)為100米的斜坡，它的傾斜角為45°，現(xiàn)在要把傾斜角改成30°，則坡底要伸米.［答案］50（）［解析］如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=100,∴AC=50.又在△ACD中，∠ADC=30°，∴∠DAB=45°-30°＝15°.sin15°=sin(45°-30°)=.在△ABD中，由正弦定理，得,∴BD==50()（米）.x.在燈塔上面相距50米的兩點(diǎn)A、B，測(cè)得海內(nèi)一出事漁船的俯角分別為45°和60°，試計(jì)算該漁船離燈塔的距離.［答案］25（+1）（米）［解析］由題意，作出圖形如圖所示，設(shè)出事漁船在C處，根據(jù)在A處和B處測(cè)得的俯角分別為45°和60°，可知∠CBD=30°，∠BAC=45°+90°=135°,∴∠ACB=180°-135°-30°=15°,又AB=50,在△ABC中，由正弦定理，得,∴AC=＝25（）（米）.∴出事漁船離燈塔的距離CD=(米).三、解答題13.甲船在A處遇險(xiǎn)，在甲船西南10海里B處的乙船收到甲船的求救信號(hào)后，測(cè)得甲船正沿著北偏西15°的方向，以每小時(shí)9海里的速度向某島靠近.如果乙船要在40分鐘內(nèi)追上甲船，問(wèn)乙船應(yīng)以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47′=）［分析］解答本題可先畫(huà)示意圖，然后運(yùn)用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.［解析］設(shè)乙船速度為v海里/時(shí)，在△ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,,∴v=21海里/時(shí).又由正弦定理可知：,∴sinB=,∴∠B≈21°47′,即乙船應(yīng)按北偏東45°－21°47′＝23°13′的方向航行.14.A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD=x0°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD=45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.［解析］如圖，由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中，∠BDA=180°-45°-x0°=15°,由（m）.∵CD⊥平面ABD，∠CAD=45°，∴CD=AD=800（+1）≈2186（m）.答：山高CD為2186m.15.如圖所示，海中一小島周?chē)?.8nmile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見(jiàn)此島在北75°東.船行8nmile后，望見(jiàn)此島在北60°東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).［解析］在△ABC中，AC=8，∠ACB=90°+60°=150°,∠CAB=90°-75°=15°,∴∠ABC=15°.∴△ABC為等腰三角形，BC=AC=8，在△BCD中，∠BCD=30°,BC=8,∴BD=BC·sin30°=4>3.8.故該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).16.如圖所示，A、B兩個(gè)小島相距21nmile,B島在A島的正南方，現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9nmile/h的速度向B島行駛，而乙船同時(shí)以6nmile/h的速度離開(kāi)B島向南偏東60°方向行駛，問(wèn)行駛多少時(shí)間后，兩船相距最近，并求出兩船的最近距離.［解析］行駛t小時(shí)后，甲船行駛了9tnmile到達(dá)C處，乙船行駛了6tnmile到達(dá)D處.當(dāng)9t<21，即t<時(shí)，C在線(xiàn)段AB上，此時(shí)BC=21-9t，在△BCD中，BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180°-60°＝x0°，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosx0°=（21-9t）2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·（-）＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189.∴當(dāng)t=2時(shí)，CD取得最小值＝3.當(dāng)t=時(shí)，C與B重合，此時(shí)CD=6×＝14>3.當(dāng)t>時(shí)，BC=9t-21,則CD2=(9t-21)2+(6t)2-2×（9t-21）×6t×cos60°＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.綜上可知，t=2時(shí)，CD取最小值3，故行駛2h后，甲、乙兩船相距最近為3nmile.x章不等式本章概述●課程目標(biāo)1.雙基目標(biāo)（1）通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景.（2）會(huì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，理解不等式的基本性質(zhì).（3）經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程.（4）通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.（5）會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.（6）探索并了解基本不等式的證明過(guò)程.（7）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題.（8）從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.（9）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（10）從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.2.情感目標(biāo)（1）注重突出不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與解決實(shí)際問(wèn)題的能力.（2）本章注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的滲透，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.（3）借助于信息技術(shù)去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng).●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：不等式的解法及應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.難點(diǎn)：解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題和利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.●方法探究不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，它是描述優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)本章應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合，學(xué)會(huì)通過(guò)函數(shù)圖像理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，并能解釋二元一次不等式和基本不等式的幾何意義.在此基礎(chǔ)上，體會(huì)不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，進(jìn)一步提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問(wèn)題（1）要注意與一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函數(shù)、三角等知識(shí)的聯(lián)系，以便對(duì)不等式的知識(shí)有一個(gè)全面、完整的了解與認(rèn)識(shí).（2）要注意體會(huì)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系，借助幾何直觀解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.（3）注意對(duì)不等式≤(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、記憶，正確、靈活地使用其解決問(wèn)題，尤其是在正確的使用上下功夫.（4）本章重點(diǎn)內(nèi)容是證明不等式和不等式的解法以及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃.證明不等式?jīng)]有固定的模式可以套用，它的方法靈活多變、技巧性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)，不等式的解法重點(diǎn)是一元二次不等式（組）的解法，注意數(shù)軸穿根法.（5）線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)也是重點(diǎn)內(nèi)容，在近幾年高考中也有明顯的體現(xiàn)，應(yīng)引起同學(xué)們的注意.§1等關(guān)系知能目標(biāo)解讀1.通過(guò)具體的情境，感受現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等關(guān)系，并了解不等式（組）的實(shí)際背景.2.能夠運(yùn)用比較實(shí)數(shù)大小的方法比較兩實(shí)數(shù)的大小，并掌握不等關(guān)系的傳遞性和不等式的基本性質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：比較兩數(shù)（或式）的大小，理解不等式的性質(zhì)及其證明，并能說(shuō)出每一步推理的理由.難點(diǎn)：對(duì)不等式性質(zhì)的準(zhǔn)確把握以及嚴(yán)密的邏輯推理證明能力的培養(yǎng).學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、不等關(guān)系1.不等式：我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連結(jié)兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.2.在上述符號(hào)中，用“>”、“<”連結(jié)的不等式，表示嚴(yán)格的不等關(guān)系，是嚴(yán)格不等式；用符號(hào)“≥”、“≤”、“≠”連結(jié)的不等式，表示非嚴(yán)格的不等關(guān)系，是非嚴(yán)格不等式.注意：如何理解表示不等式的各個(gè)符號(hào)的含義？不等式表示的是不相等的關(guān)系.對(duì)于“不相等”可以是“大于”或“小于”.對(duì)于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需滿(mǎn)足其中一條，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，盡管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我們說(shuō)3≤3這個(gè)不等式成立.對(duì)于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同樣也是只需滿(mǎn)足其中一條，不等式就成立.對(duì)于實(shí)數(shù)來(lái)講，只存在a=b或a>b或a<b三種關(guān)系中的一種，不可能同時(shí)滿(mǎn)足兩條.3.不等關(guān)系與不等式的異同不等關(guān)系與不等式是不同的概念，前者強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”來(lái)表示，而后者表示的是兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，這二者之間的關(guān)系是可以通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的，離開(kāi)了不等式，不等關(guān)系就無(wú)從體現(xiàn).注意：在數(shù)學(xué)意義上，不等關(guān)系主要體現(xiàn)在四個(gè)方面：①常量與常量之間的不等關(guān)系；②變量與常量之間的不等關(guān)系；③函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；④一組變量之間的不等關(guān)系.二、用不等式（組）來(lái)表示不等關(guān)系有的問(wèn)題以圖像的形式揭示函數(shù)與函數(shù)的不等關(guān)系；有的以代數(shù)式的形式揭示各組變量之間的不等關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找全題目的限制條件，利用限制條件列出不等關(guān)系，一定要注意變量的實(shí)際意義.由此可見(jiàn)，現(xiàn)實(shí)生活中大量的數(shù)量關(guān)系是通過(guò)不等式來(lái)表示的.不等式是研究不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，從而理解不等式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值.三、實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)與方法1.實(shí)數(shù)的兩個(gè)特征（1）任意實(shí)數(shù)的平方不小于0，即a∈Ra2≥0.（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個(gè)數(shù)一定是實(shí)數(shù).2.實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)在數(shù)軸上不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)a與b，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，從實(shí)數(shù)減法在數(shù)軸上的表示（如圖）中，可以看出a與b之間具有以下性質(zhì)：如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立，就是a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.上面等價(jià)符號(hào)的左式反映的是實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，右式反映的則是實(shí)數(shù)大小的順序，合起來(lái)就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系.它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是證明不等式性質(zhì)、證明不等式和解不等式的主要依據(jù).3.實(shí)數(shù)比較大小的方法（1）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，需歸結(jié)為判斷它們的差a-b的符號(hào)（注意：指的是差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么，無(wú)關(guān)緊要）.（2）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的步驟：作差→化簡(jiǎn)整理（配方，分解因式、分類(lèi)討論）→判斷差的符號(hào)→得出結(jié)論.注意：（1）在比較兩個(gè)代數(shù)式的大小時(shí)，一定要注意字母的取值范圍；（2）比較實(shí)數(shù)的大小經(jīng)常用到分類(lèi)討論的方法，此處分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)是：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b,a<b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立.四、不等式的性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)（1）a>bb<a.(2)a>b,b>ca>c.(3)a>ba+c>b+c.推論a>b,c>da+c>b+d.(4)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.推論1a>b>0,c>d>0ac>bd;推論2a>b,ab>0<;推論3a>b>0an>bn(n∈N＋,且n>1).(5)a>b>0>(n∈N＋,且n>1).2.關(guān)于不等式性質(zhì)的式子的理解（1）說(shuō)明了不等式的對(duì)稱(chēng)性；（2）說(shuō)明了不等式的傳遞性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移項(xiàng)的基礎(chǔ)；（4）表明不等式兩邊允許用非零數(shù)（式）乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號(hào).知能自主梳理1.不等式的定義用表示不等關(guān)系的式子叫不等式.2.比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)設(shè)a,b∈R，則a-b>0;a-b=0;a-b<0.3.不等式的基本性質(zhì)(1)a>b,b>c;(2)a>b,c>0;(3)a>b,c<0;(4)a>b,c>d;(5)a>b>0,c>d>0;(6)a>b>0,n∈N+,n>1.［答案］1.不等號(hào)2.a>ba=ba<b3.(1)a>c(2)ac>bc(3)ac<bc(4)a+c>b+d(5)ac>bd(6)an>bn,>思路方法技巧命題方向比較大小［例1］已知x<1,比較x3-1與2x2-2x的大小.［分析］作差→因式分解變形→判斷符號(hào)［解析］x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)（x-）2+∵x<1,∴x-1<0.又∵（x-）2+>0,∴(x-1)［（x-）2＋］<0,∴x3-1<2x2-2x.［說(shuō)明］1.作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小時(shí)，關(guān)鍵是作差后變形，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷.因式分解配方通分2.變形的方法對(duì)數(shù)與指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分母或分子有理化分類(lèi)討論〖JB)〗變式應(yīng)用1設(shè)p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1)2+(a+2)2>0∴ab≠1或a≠-2.故實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是ab≠1或a≠-2.命題方向應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系［例2］某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，此時(shí)可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每本提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后的雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？［分析］利用提價(jià)后的價(jià)格x表示出銷(xiāo)售總收入，再將題中所要求的不等關(guān)系用不等式表示.［解析］雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售的總收入為（8-×0.2）x萬(wàn)元，那么不等關(guān)系“銷(xiāo)售的總收入不低于20萬(wàn)元”可以用不等式表示為（8-×0.2）x≥20.［說(shuō)明］決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題目中的限制條件，利用限制條件找到不等關(guān)系，然后用不等式表示即可.變式應(yīng)用2咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料一杯用奶粉、咖啡、糖分別為9g,4g,3g,乙種飲料一杯用奶粉、咖啡、糖分別為4g，5g，10g，已知每天可用原料為奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.寫(xiě)出每天配制的兩種飲料的杯數(shù)所滿(mǎn)足的不等式組.［解析］每天應(yīng)配制甲種飲料x(chóng)杯，乙種飲料y杯，則x、y應(yīng)滿(mǎn)足如下條件：（1）奶粉的總使用量不大于3600g；（2）咖啡的總使用量不大于2000g；（3）糖的總使用量不大于3000g；（4）x,y為自然數(shù).∴x,y滿(mǎn)足不等式組：9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x∈N,y∈N.命題方向不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用［例3］對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，有下列命題①若a＞b,則ac＜bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;④若c>a>b>0;則>;⑤若a>b,>,則a>0,b<0.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5［答案］C［解析］①c的正、負(fù)或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小關(guān)系缺乏依據(jù)，故該命題是假命題.②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b,故該命題是真命題.a<ba<b③a２>ab,ab>b2.所以a2>ab>b2故該命題為真命題.a<0b<0④a>b-a<-bc-a<c-b.因?yàn)閏>a,所以c-a>0.所以0<c-a<c-b.兩邊同乘以,得>>0.又因?yàn)閍>b>0,所以>.故該命題為真命題.⑤a>ba-b>0,>－>０>０.因?yàn)閍-b>0,所以b-a<0.所以ab<0.又因?yàn)閍>b,所以a>0,b<0,故該命題為真命題.綜上可知，命題②、③、④、⑤都是真命題.故選C.［說(shuō)明］通過(guò)本例，可以使我們熟悉不等式的基本性質(zhì)，更好地掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論.在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯(cuò)，即在不等式的兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定.變式應(yīng)用3判斷下列各題的對(duì)錯(cuò).（1）且c>0a>b（）（2）a>b且c>dac>bd（）（3）a>b>0且c>d>0（）（4）a>b（）［答案］××√√［解析］（1）<ｃ>０當(dāng)a<0,b>0時(shí)，此式成立，推不出a>b，∴(1)錯(cuò)；（2）當(dāng)a=3,b=1,c=-2,d=-3時(shí)，命題顯然不成立，∴（2）錯(cuò)；a>b>0（3）c>d>0>>0成立.∴(3)對(duì)；（4）顯然c2>0,∴兩邊同乘以c2,得a>b.∴(4)對(duì).探索延拓創(chuàng)新命題方向應(yīng)用不等式的性質(zhì)討論范圍［例4］已知：-≤α<β≤，求，的范圍.［分析］已知的不等式相當(dāng)于-≤α≤-≤β≤α<β，故本題其實(shí)就是已知單角范圍求和角、差角范圍，所以要進(jìn)行不等式的加減.但我們只有這樣的性質(zhì)：同向不等式可相加，那么要進(jìn)行不等式相減怎么辦？那只有將其轉(zhuǎn)化為同向不等式再相加.［解析］∵-≤α<β≤，∴-≤α<①,-<β≤②，∴①+②得-π<α+β<π∴-<<.由②得-≤-β<，④①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-≤<0.變式應(yīng)用4已知x<a<60,15<b<36，求a-b及的取值范圍.［解析］欲求a-b的范圍,應(yīng)先求-b的范圍,欲求的范圍,應(yīng)先求的范圍,再利用不等式性質(zhì)求解.∵15<b<36,∴-36<-b<-15.∴x-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45.又<<,∴,∴.名師辨誤做答［例5］已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的范圍.［誤解］∵1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3,∴0≤a≤4.又∵1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1，∴-1≤b≤3.∵0≤a≤4,-1≤b≤3,∴0≤3a≤x,-6≤-2b≤2,∴-6≤3a-2b≤14.［辨析］在誤解中，由已知條件推出不等式-6≤3a-2b≤14的各個(gè)步驟，均實(shí)行了不等式性質(zhì)中的推出關(guān)系，但結(jié)論是不正確的，事實(shí)上，由1≤a+b≤5與-1≤a-b≤3,得到0≤a≤4,-1≤b≤3,但這并不意味著a與b可各自獨(dú)立地取得區(qū)間［0,4］與［-1,3］的一切值.如取a=4,b=3時(shí)，a+b=7，就已超出題設(shè)條件1≤a+b≤5中的范圍，細(xì)究緣由，就是推出關(guān)系并非等價(jià)關(guān)系.［正解］設(shè)a+b=u,a-b=v,則a=,b=,且1≤u≤5,-1≤v≤3.∴3a-2b=u+v,∵≤≤，-≤≤,∴-2≤+≤10，即-2≤3a-2b≤10.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.下列不等式：①x2+3>2x(x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R);③a2+b2≥2（a-b-1）中正確的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3［答案］C［解析］對(duì)于①，x2+3-2x=(x-1)2+2>0恒成立，對(duì)于②，a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵a、b∈R,∴(a-b)2≥0，而a+b>0,或a+b=0,或a+b<0,故②不正確,對(duì)于③，a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴③正確，故選C.2.設(shè)x<a<0，則下列各不等式一定成立的是（）A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax［答案］Bx＜a＜0x2＞ax［解析］x＜0x2＞ax＞a2.a＜0ax＞a23.若x>y與>同時(shí)成立，則（）A.x>0,y>0B.x>0,y<0C.x<0,y>0D.x<0,y<0［答案］B［解析］∵由x＞y推出>，需滿(mǎn)足xy＜0.又x＞y，∴x＞0,y＜0.二、填空題4.已知x≤1，f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是f(x)g(x).［答案］≤［解析］f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),∵x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0,∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1.∴f(x)≤g(x).5.已知60<x<84,28<y<33,則x-y的取值范圍為，的取值范圍為.［答案］(27,56)(,3)［解析］∵28<y<33,∴-33<-y<-28,又∵60<x<84,∴27<x-y<56.由28<y<33得,即.三、解答題6.有一公園，原來(lái)是長(zhǎng)方形布局，為美化市容，市規(guī)劃局要對(duì)這個(gè)公園進(jìn)行規(guī)劃，將其改成正方形布局，但要求要么保持原面積不變，要么保持原周長(zhǎng)不變，那么對(duì)這個(gè)公園選哪種布局方案可使其面積較大？［解析］設(shè)這個(gè)公園原來(lái)的長(zhǎng)方形布局的長(zhǎng)為a,寬為b(a>b).若保持原面積不變，則規(guī)劃后的正方形布局的面積為ab;若保持周長(zhǎng)不變，則規(guī)劃后的正方形布局的周長(zhǎng)為2(a+b)，所以其邊長(zhǎng)為,其面積為（）2.因?yàn)閍b-（）2=ab-(a>b),所以ab<（）2.故保持原周長(zhǎng)不變的布局方案可使公園的面積較大.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：（）①若ab＜0,bc-ad＞0,則;②若ab＞0,,則bc-ad＞0;③若bc-ad＞0,，則ab＞0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3［答案］C［解析］①∵ab＜0,∴＜0,又∵bc-ab＞0,∴·（bc-ad）＜0即,∴①錯(cuò)；②∵ab＞0,,∴ab()＞0,即：bc-ab＞0,∴②正確；③∵,∴＞0，又∵bc-ad＞0,∴ab＞0,∴③正確.2.已知P＝,Q=a2-a+1,則P、Q的大小關(guān)系為（）A.P>QB.P<QC.P≤QD.無(wú)法確定［答案］C［解析］P-Q＝-a2+a-1==,∵a2+a+1=(a+)2+>0,-a2(a2+1)≤0，∴≤0，∴P≤Q.3.(x·x文，3)設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是（）A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D.<a<<b［答案］B［解析］∵0<a<b,∴a<<b,故A、C錯(cuò)誤；-a=(-)>0,即>a,故選B.本題也可通過(guò)特殊值法解決，如取a=1,b=4,易知選B.4.若a、b是任意實(shí)數(shù)，且a>b,則（）A.a2>b2B.<1C.lg(a-b)>0D.()a<()b［答案］D［解析］a>b并不保證a、b均為正數(shù)，從而不能保證A、B成立.又a>ba-b>0,但不能保證a-b>1,從而不能保證C成立，顯然只有D成立.事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)y=()x在x∈R上是減函數(shù)，所以a>b()a<()b成立.故選D.5.已知a<b<｜a｜，則以下不等式中恒成立的是（）A.｜b｜<-aB.ab>0C.ab<0D.｜a｜<｜b｜［答案］A［解析］特殊值法：令a=-1,b=0,滿(mǎn)足a<b<|a|,ab=0,排除B、C，｜a｜>|b|,排除D，故選A.6.已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是（）A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2［答案］B［解析］特殊值法：∵a2+a<0,∴-1<a<0.令a=-,則a2=,-a=,-a2=-，故選B.一般解法：由a2+a<0,得0<a2<-a且a<-a2<0,故a<-a2<a2<-a,選B.7.如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)a大于寬bA.a＞4bB.(a+4)(b+4)=200a＞4bC.(a+4)(b+4)=200a＞4bD.4ab=200［答案］C8.如果a＞0,且a≠1,M=loga（a3+1），N=loga（a2+1），那么（）A.M＞NB.M＜NC.M=ND.M、N的大小無(wú)法確定［答案］A［解析］當(dāng)a＞1時(shí)a3+1＞a2+1，y=logax單增，∴l(xiāng)oga(a3+1)＞loga（a2+1）.當(dāng)0＜a＜1時(shí)a3+1＜a2+1，y=logax單減.∴l(xiāng)oga(a3+1)＞loga(a2+1),或?qū)取值檢驗(yàn).二、填空題9.已知三個(gè)不等式：①ab>0;②;③bc>ad.以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)為結(jié)論，寫(xiě)出兩個(gè)能成立的不等式命題.若③成立，則①成立∴②③①；若①成立則③成立，∴①②③.若③成立即bc＞ad,若①成立，則，∴＞∴①③②.10.如果a>b，那么下列不等式：①a3>b3;②;③3a>3b;④lga>lgb.其中恒成立的是.［答案］①③［解析］①a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)［(a+)2+b2］>0;③∵y=3x是增函數(shù)，a>b，∴3a>3b當(dāng)a>0,b<0時(shí)，②④不成立.x.設(shè)m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,則m、n的大小關(guān)系是［答案］m≥n［解析］m-n=2a2+2a+1-(a+1)2＝a2≥0.x.設(shè)a＞b＞0,m＞0,n＞0，則p=,q=,r=,s=的大小順序是.［答案］p＜r＜s＜q［解析］取a=4,b=2，m=3,n=1,則p=,q=2,r=,s=則p＜r＜s＜q（特值探路）.具體比較如下：p-r=-=＜0，∴p＜r.∵a＞b＞0,m＞0,n＞0∴a+m＞b+m＞0.a+n＞b+n＞0，∴＜1,＞1,∴r＜s.或r-s=-=<0.∴r＜s.s-q=-=＜0，∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.三、解答題13.某城市電信寬帶私人用戶(hù)月收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：方案類(lèi)別基本費(fèi)用超時(shí)費(fèi)用甲包月制（不限時(shí)）x0元無(wú)乙限時(shí)包月制（限60小時(shí)）80元2元/時(shí)問(wèn)某用戶(hù)每月上網(wǎng)時(shí)間在多少小時(shí)以?xún)?nèi)，選擇乙方案比較合適？［解析］設(shè)用戶(hù)每月上網(wǎng)時(shí)間為x小時(shí)，則選擇乙方案為80(0≤x≤60)y=2(x-60)+80(x>60),由2(x-60)+80≤x0,得x≤80,∴某用戶(hù)每月上網(wǎng)時(shí)間在80小時(shí)以?xún)?nèi)，選擇乙方案比較合適.14.(1)已知a>b,e>f,c>0.求證：f-ac<e-bc.(2)若bc-ad≥0,bd>0.求證：≤.［解析］(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,∵f<e,∴f-ac<e-bc.(2)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,又∵bc>0,∴≤,∴+1≤+1,∴≤.15.已知a、b為正實(shí)數(shù)，試比較與+的大小.［解析］解法一：（）－（+）＝（）-（）===.∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴+>0,>0,(-)2≥0.∴≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.∴≥+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).解法二：∵（）2＝,(+)2=a+b+2,∴（）2-(+)2=-(a+b+2)=＝=.∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴≥0，∴（）2≥(+)2.又∵>0，+>0，∴≥+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).16.已知0<a+b<,-<a-b<,求2a和3a-的取值范圍.［解析］∵0<a+b<-<a-b<,兩式相加得-<2a<.設(shè)3a-=m(a+b)+n(a-b)=a(m+n)+b(m-n),則有m+n=3m-n=-,解得m=,n=.∴3a-=(a+b)+(a-b).0<(a+b)<-<(a-b)<,兩式相加，得-<3a-<.故2a∈(-,),3a-∈(-,).§2一元二次不等式第1課時(shí)一元二次不等式的解法知能目標(biāo)解讀1.理解一元二次不等式與一元二