高考數(shù)學(文)二輪復習專題 圓錐曲線(教學案)

【高效整合篇】專題五圓錐曲線一．考場傳真1.【2016高考新課標1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）【答案】A2．【2016高考新課標2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得：，解得，故選A．3．【2016高考新課標2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】因為垂直于軸，所以，因為，即，化簡得，故雙曲線離心率.選A.4．【2016高考新課標1卷】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B5．【2016高考新課標3理數(shù)】已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由題意設直線的方程為，分別令與得點，，由，得，即，整理，得，所以橢圓離心率為，故選A．6．【2016高考新課標3理數(shù)】已知直線：QUOTEQUOTE與圓QUOTEQUOTE交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若QUOTEQUOTE，則QUOTEQUOTE__________________.【答案】4【解析】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．7．【2016高考新課標1卷】設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】（Ⅰ）因為,,故,所以,故.又圓的標準方程為,從而,所以.由題設得,,,由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當與軸不垂直時,設的方程為,,.由得.則,.所以.過點且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時,其方程為,,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.8．【2016高考新課標2理數(shù)】已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，．（Ⅰ）當時，求的面積；（Ⅱ）當時，求的取值范圍．【解析】（I）設，則由題意知，當時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當時上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.二．高考研究【考綱解讀】1.考綱要求：(1)直線方程：①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.②能根據(jù)兩條直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.③能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.④掌握正確直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關系.⑤能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.⑥掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.(2)圓與方程：①掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.②能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.④初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.(３)圓錐曲線：①了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì).③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.知道它的簡單幾何性質(zhì).④了解圓錐曲線的簡單應用.⑤理解數(shù)形結(jié)合的思想(2)曲線與方程：了解方程的曲線與與曲線方程的對應關系.2.命題規(guī)律：1、題量穩(wěn)定：解析幾何與立體幾何相似，在高考試卷中試題所占分值比例較大.一般地，解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個題目左右，其中選擇題、填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%.2、整體平衡，重點突出：重點內(nèi)容重點考，重點內(nèi)容年年考.一般考查的知識點在60％左右，其中三大圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既注意全面，更注意突出重點，對支撐數(shù)學科知識體系的主干知識，考查時保證較高的比例并保持必要深度.直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素．高考十分注重對這些基礎知識的考查，有的是考查定義的理解和應用，有的是求圓錐曲線的標準方程，有的是直接考查圓錐曲線的離心率，有的是考查直線與圓和圓錐曲線的位置關系等．數(shù)學高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型：①求曲線方程（類型確定，甚至給出曲線方程）； ②直線、圓和圓錐曲線間的交點問題（含切線問題）；③與圓錐曲線定義有關的問題（涉及焦半徑、焦點弦、焦點三角形和準線，利用余弦定理等）④與曲線有關的最值問題（含三角形和四邊形面積）；⑤與曲線有關的幾何證明(圓線相切、四點共圓、對稱性或求對稱曲線、平行、垂直等)；⑥探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少)；3、題型穩(wěn)定，中規(guī)中矩，不偏不怪，內(nèi)容及位置也很穩(wěn)定.解析幾何試題的難度都不算太大，選擇題、填空題大多屬易中等題，圓一般不單獨考查，總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題.高考一般不給出圖形，以考查學生的想象能力、分析問題的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法，解答題加大與相關知識的聯(lián)系（如向量、函數(shù)與導數(shù)、方程、不等式等），難度不是太大，所有問題均很直接，都不具備探索性.特別是近幾年的解答題，計算量減少，但思考量增大，對于用代數(shù)方法研究有關直線與橢圓、拋物線位置關系問題，體現(xiàn)在解法上，不僅僅只是利用根與系數(shù)關系研究，而是在方法的選擇上更加靈活，如聯(lián)立方程求交點或向量的運算等，思維層次的要求并沒有降低.若再按以前的“解幾套路”解題顯然難以成功.一．基礎知識整合基礎知識：1.直線的傾斜角和斜率：任何直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，如傾斜角等于90°時，斜率不存在；若兩直線的傾斜角相等，斜率相等或都不存在；若兩條直線的斜率相等，則兩直線的傾斜角相等；當傾斜角為銳角時，傾斜角越大，斜率也越大；當傾斜角為鈍角時，傾斜角越大，斜率也越大；與軸平行或重合的直線的傾斜角為零，斜率也為零；2.直線的方程：點斜式：；截距式：；兩點式：；截距式：；一般式：，其中A、B不同時為0.3．兩條直線的位置關系：兩條直線，有三種位置關系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有無數(shù)個公共點）.在這三種位置關系中，我們重點研究平行與相交.兩直線平行兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在；兩直線垂直兩直線的斜率之積為或一直線斜率不存在，另一直線斜率為零；與已知直線平行的直線系方程為；若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.兩平行直線間距離公式：與的距離４．圓的有關問題：圓的標準方程：（r＞0），稱為圓的標準方程，其圓心坐標為（a，b），半徑為r，特別地，當圓心在原點（0，0），半徑為r時，圓的方程為，幾種特殊的圓的方程設圓的圓心為，半徑為（1）若圓過坐標原點，則圓的標準方程為：（2）若圓與x軸相切，則圓的標準方程為：（3）若圓與y軸相切，則圓的標準方程為：（4）若圓心在x軸上，則圓的標準方程為：（5）若圓心在y軸上，則圓的標準方程為：（6）若圓與坐標軸相切，則圓的標準方程為：或．圓的一般方程：（＞0）稱為圓的一般方程，其圓心坐標為（，），半徑為.當=0時，方程表示一個點（，）；當＜0時，方程不表示任何圖形.圓的參數(shù)方程：圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關系：（θ為參數(shù)）（θ為參數(shù)）直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系的判斷：【方法一】幾何法：根據(jù)圓心與直線的距離與半徑的大小關系進行判斷；設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則（1）直線與圓相交直線與圓有兩個公共點；（2）直線與圓相離直線與圓無公共點；（3）直線與圓相切直線與圓有且只有一個公共點；【方法二】代數(shù)法：把直線的方程圓的方程聯(lián)立方程組，消去其中一個未知數(shù)得到關于另外一個數(shù)的未知數(shù)的一元二次方程，則（1）直線與圓相交直線與圓有兩個公共點；（2）直線與圓相離直線與圓無公共點；（3）直線與圓相切直線與圓有且只有一個公共點；若直線與圓相交，設弦長為，弦心距為，半徑為，則圓與圓的位置關系：圓與圓的位置關系的判斷：設兩個圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）圓與圓相離兩個圓有四條公切線；（2）圓與圓相交兩個圓有兩條公切線；（3）圓與圓相外切兩個圓有三條公切線；（4）圓與圓相內(nèi)切兩個圓有一條公切線；（5）圓與圓相內(nèi)含兩個圓沒有公切線；若圓與圓相交，則公共弦所在的直線方程為；５．橢圓及其標準方程：橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點、的距離的和大于||這個條件不可忽視.若這個距離之和小于||，則這樣的點不存在；若距離之和等于||，則動點的軌跡是線段.橢圓的標準方程：（＞＞0），（＞＞0）.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻椀姆帜复笥陧椀姆帜?，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.求橢圓的標準方程的方法：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.如果已知橢圓過兩個點（不是在坐標軸上的點），求其標準方程時，為了避免對焦點的討論可以設其方程為或；橢圓的參數(shù)方程：橢圓（＞＞0）的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.說明⑴這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同：；⑵橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換.６．橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：設橢圓方程為（＞＞0）.范圍：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.橢圓的第二定義：平面內(nèi)動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓.準線：根據(jù)橢圓的對稱性，（＞＞0）的準線有兩條，它們的方程為.對于橢圓（＞＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，，橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.在橢圓中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在橢圓上，稱該三角形為焦點三角形，則三角形的周長為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為eq\f(2b2,a)７．雙曲線及其標準方程：雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于||）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡.若＜時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.如果已知雙曲線過兩個點（不是在坐標軸上的點），求其標準方程時，為了避免對焦點的討論可以設其方程為或８．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常數(shù)（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有與的關系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.在雙曲線中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在橢圓上，稱該三角形為焦點三角形，則面積等于，其中是虛半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為9．拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線.需強調(diào)的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線.拋物線的方程有四種類型：、、、.對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向.拋物線的幾何性質(zhì)，以標準方程y2=2px為例（1）范圍：x≥0；（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：（7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式.設過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A，B，AB的傾斜角為，則有或，以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求.在拋物線中，以拋物線的焦點弦為直徑的圓與該拋物的對應準線相切；10．軌跡方程：⑴曲線上的點的坐標都是這個方程的解；⑵以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形或軌跡）11．直線與圓錐曲線的位置關系：①直線與圓錐曲線的相離關系，常通過求二次曲線上的點到已知直線的距離的最大值或最小值來解決．②直線與圓錐曲線僅有一個公共點，對于橢圓，表示直線與其相切；對于雙曲線，表示與其相切或與雙曲線的漸近線平行，對于拋物線，表示直線與其相切或直線與其對稱軸平行．③直線與圓錐曲線有兩個相異的公共點，表示直線與圓錐曲線相割，此時直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦．直線被圓錐曲線所截得弦為，則長為，其中為直線的斜率必備方法：1.點差法（中點弦問題）利用“點差法”來解決中點弦問題，其基本思路是設點（即設出弦的端點坐標）

——代入（即將端點代入曲線方程）——作差（即兩式相減）——得出中點坐標與斜率的關系.2．聯(lián)立消元法：韋達定理法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用韋達定理和中點坐標公式建立等式求解3．設而不求法4.判別式法5.求根公式法橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論一．橢圓1．2．標準方程：3．4．點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.5．PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.6．以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.7．以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8．設A1、A2為橢圓的左、右頂點，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9．橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10．若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11．若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.12．AB是橢圓的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則.13．若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14．若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15．若PQ是橢圓（a＞b＞0）上對中心張直角的弦，則.16．若橢圓（a＞b＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定橢圓：（a＞b＞0）,：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點M(.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經(jīng)過點.18．設為橢圓（或圓）C:(a＞0,.b＞0)上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點的充要條件是.19．過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為，.21．若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,,，則.22．橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).23．若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.24．P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.25．橢圓（a＞b＞0）上存在兩點關于直線：對稱的充要條件是.26．過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.27．過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是橢圓（a＞b＞0）上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是.29．設A,B為橢圓上兩點，其直線AB與橢圓相交于,則.30．在橢圓中，定長為2m（o＜m≤a）的弦中點軌跡方程為,其中,當時,.31．設S為橢圓（a＞b＞0）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記|AB|=，是AB中點，則當時，有,);當時，有,.32．橢圓與直線有公共點的充要條件是.33．橢圓與直線有公共點的充要條件是.34．設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2，則.36．已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）過焦點的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）焦點的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39．設橢圓（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線：(或)上.40．設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.41．過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.42．設橢圓方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43．設A、B、C、D為橢圓上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44．已知橢圓（a＞b＞0）,點P為其上一點F1,F2為橢圓的焦點，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是().45．設△ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點.46．過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設A（x1,y1）是橢圓（a＞b＞0）上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設d是原點到直線L的距離,分別是A到橢圓兩焦點的距離，則.48．已知橢圓（a＞b＞0）和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則│AB│=|CD│.49．已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.50．設P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51．設過橢圓的長軸上一點B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應于過B點的直線MN：于M，N兩點,則.52．L是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.53．L是橢圓（a＞b＞0）的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點,點，e是離心率，，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.54．L是橢圓（a＞b＞0）的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當且僅當時取等號）.55．已知橢圓（a＞b＞0），直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與橢圓左焦點F1連結(jié)起來，則（當且僅當AB⊥x軸時右邊不等式取等號，當且僅當A、F1、B三點共線時左邊不等式取等號）.56．設A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）、外部的兩點，且、的橫坐標，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則.58．設A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點），外部的兩點，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，（若BP交橢圓于兩點，則P、Q不關于x軸對稱），且，則點A、B的橫坐標、滿足；（2）若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且,則點A、B的橫坐標滿足.59．設是橢圓的長軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點P的軌跡是雙曲線.60．過橢圓（a＞b＞0）的左焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61．到橢圓（a＞b＞0）兩焦點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.62．到橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.63．到橢圓（a＞b＞0）的兩準線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是橢圓（a＞b＞0）上一個動點，是它長軸的兩個端點,且,，則Q點的軌跡方程是.65．橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.66．設橢圓（a＞b＞0）長軸的端點為,是橢圓上的點過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知橢圓（a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.68．OA、OB是橢圓（a＞0,b＞0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.(2)以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是.69．是橢圓（a＞b＞0）上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是(且).70．如果一個橢圓短半軸長為b，焦點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71．AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，是橢圓上的動點，過的切線與過A、B的切線交于、兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是.72．設點為橢圓（a＞b＞0）的內(nèi)部一定點，AB是橢圓過定點的任一弦，當弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時.當弦AB垂直于長軸所在直線時,.73．橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.74．橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點.75．橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.78．橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.79．橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.80．橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例.81．橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例.82．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.85．橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87．橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.88．橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.89.已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點,過點分別作直線及的平行線，與直線分別交于,為原點，則：.（1）；（2）.90.過平面上的點作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.92.點為第一象限內(nèi)一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是.二、雙曲線1．2．標準方程：3．4．點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角.5．PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.6．以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.7．以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.8．設A1、A2為雙曲線的左、右頂點，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9．雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10．若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.11．若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.12．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則.13．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15．若PQ是雙曲線（b＞a＞0）上對中心張直角的弦，則.16．若雙曲線（b＞a＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定雙曲線：（a＞b＞0）,：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點M(.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經(jīng)過點.18．設為雙曲線（a＞0,b＞0）上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點的充要條件是.19．過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為，.21．若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,,，則（或）.22．雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,當在右支上時，,.當在左支上時，,.23．若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.24．P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.25．雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點關于直線：對稱的充要條件是.26．過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.27．過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點，則點P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是.29．設A,B為雙曲線（a＞0,b＞0，）上兩點，其直線AB與雙曲線相交于,則.30．在雙曲線中，定長為2m（m）0）的弦中點軌跡方程為,其中,當時,.31．設S為雙曲線（a＞0,b＞o）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB|=，是AB中點，則當時，有,);當時，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.34．設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過雙曲線（a＞b＞0）焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦，則.39．設雙曲線（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點)的交點N在直線：上.40．設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.41．過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.42．設雙曲線方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43．設A、B、C、D為雙曲線（a＞0,b＞o）上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,點P為其上一點F1,F2為雙曲線的焦點，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是().45．設△ABC三頂點分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與雙曲線相切的充要條件是D為EF的中點.46．過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設A（x1,y1）是雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設d是原點到直線L的距離,分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則.48．已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則│AB│=|CD│.49．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.50．設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51．設過雙曲線的實軸上一點B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應于過B點的直線MN：于M，N兩點,則.52．L是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線實軸的兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.53．L是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸頂點A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準線與x軸交點,點，e是離心率，，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.54．L是雙曲線（a＞0,b＞0）焦點F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準線與x軸交點，H是L與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當且僅當時取等號）.55．已知雙曲線（a＞0,b＞0），直線L通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線左焦點F1連結(jié)起來，則（當且僅當AB⊥x軸時取等號）.56．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域）、外部的兩點，且、的橫坐標，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則.58．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域），外部的兩點，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，（若BP交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不關于x軸對稱），且，則點A、B的橫坐標、滿足；（2）若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，且,則點A、B的橫坐標滿足.59．設是雙曲線的實軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點P的軌跡是雙曲線.60．過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD,則.61．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩焦點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.62．到雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.63．到雙曲線（a＞0,b＞0）的兩準線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個動點，是它實軸的兩個端點,且,，則Q點的軌跡方程是.65．雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.66．設雙曲線（a＞0,b＞0）實軸的端點為,是雙曲線上的點過P作斜率為的直線，過分別作垂直于實軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.(2)以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是.69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是(且).70．如果一個雙曲線虛半軸長為b，焦點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和雙曲線相交.71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸，是雙曲線上的動點，過的切線與過A、B的切線交于、兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是.72．設點為雙曲線（a＞0,b＞0）的內(nèi)部(（含焦點的區(qū)域）)一定點，AB是雙曲線過定點的任一弦.(1)如,則當弦AB垂直于雙曲線實軸所在直線時.(2)如,則當弦AB平行（或重合）于雙曲線實軸所在直線時,.73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切.74．雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的實軸端點.75．雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．雙曲線焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.78．雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例.81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例.82．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實半軸的長.84．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實軸為直徑的圓的切點.85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)角平分線與焦半徑、實軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的外角平分線.87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線.88．雙曲線焦三角形中,過非焦頂點的切線與雙曲線實軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.89.已知雙曲線上有一點，過分別引其漸近線的平行線，分別交軸于，交軸于，為原點，則：（1）；（2）.90.過平面上的點作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點為雙曲線在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.92.點為第一象限內(nèi)一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是或.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式.3、知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為.4、兩平行線間的距離為.5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓.二元二次方程表示圓的充要條件是且且.

7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為.圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：；8、為直徑端點的圓方程切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.二．高頻考點突破考點1直線方程【例1】【2017屆河北武邑中學高三周考12.4】下列直線中與直線平行的一條是（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查兩條直線的位置關系.在平面中，兩條之間的位置關系有相交和平行，當直線斜率不相同時，兩直線相交，當斜率相同且截距不相同時，兩直線平行.所以兩條平行線斜率是相等的，在選項中，B，D兩個選項的斜率都是，和原直線的斜率相同，但是通過觀察后發(fā)現(xiàn)，B選項可以化簡，所得直線和原直線重合，故要排除.【答案】D【解析】兩直線平行，斜率相等，原題直線斜率是，故排除A，C，B選項化簡后和原直線重合，故選D.【規(guī)律方法】若給定的方程是一般式，即和，則有下列結(jié)論：且；.給定兩條直線和，則有下列結(jié)論：且；；求解兩條直線平行的問題時，在利用建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．求直線方程就是求出確定直線的幾何要素，即直線經(jīng)過的點和直線的傾斜角，當直線的斜率存在時，只需求出直線的斜率和直線經(jīng)過的點即可．對于直線的點斜式方程和兩點式方程，前者是直線的斜率和直線經(jīng)過的一點確定直線，后者是兩點確定直線．【舉一反三】【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三周考11.6】若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的圓心坐標為所求直線的斜率直線方程為,故選C.考點2圓的方程及應用【例２】【2017屆江西吉安市一中高三上段考二】已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是．【分析】本題主要考查圓的參數(shù)方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查兩個向量垂直的概念，考查三角恒等變換等知識．由于題目給定，所以考慮設出點的坐標，然后利用數(shù)量積等于零來建立方程，故設出點的參數(shù)方程，即，然后將坐標代入，化簡后利用三角函數(shù)的最值來求的取值范圍．【答案】【解析】設圓上任意一點為，依題意有，將點的坐標代入上式，化簡得，故．【規(guī)律方法】求圓的方程一般有兩類方法：1幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).其一般步驟：=1\*GB3①根據(jù)題意選擇方程的形式：標準方程或一般方程；=2\*GB3②利用條件列出關于，或的方程組；=3\*GB3③解出，或的值，代入標準方程或一般方程，此外，根據(jù)條件要盡量減少參數(shù)設方程，這樣可減少運算量．【舉一反三】【2017屆山西山西大學附中高三上學期期中】拋物線與坐標軸的交點在同一個圓上，則交點確定的圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】拋物線與坐標軸的交點為，由圓一般方程得選D.考點３直線與圓的位置關系【例３】【2017屆湖南師大附中高三上學期月考四】設直線：，圓：，若在圓上存在兩點，，在直線上存在一點，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關系,屬于中檔題.本題思路:由切線的對稱性和圓的知識,從直線上的點向圓上的點連線成角,當且僅當兩條線均為切線時,所成的角最大,這樣就轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于或等于,再由點到直線的距離公式解不等式可求出的范圍.由已知得出圓心到直線的距離小于或等于是本題解題的關鍵.【答案】C【規(guī)律方法】直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離與半徑的關系確定，相切；相交，此時半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形；時相離.解有關直線與圓的相交問題要靈活運用圓的幾何性質(zhì)，特別是半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形，滿足勾股定理．圓的切線問題一般利用求解，但要注意切線斜率不存在的情形，與圓有關的最值，范圍問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．直線與圓中常見的最值問題：①圓外一點與圓上任一點的距離的最值．②直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值．③過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最值．④直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題．⑤兩圓相離，兩圓上點的距離的最值.【舉一反三】【2017屆河北武邑中學高三周考12.4】直線與圓相交于兩點，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出圖象如下圖所示，由圖可知，圓與軸相切與點，直線恰好也過，當，所以，根據(jù)對稱性有.考點4圓錐曲線的定義及標準方程【例４】【2017屆甘肅高臺縣一中高三上學期檢測五】設拋物線的焦點為，點在上，，若以為直徑的圓過點，則的方程為（）A．或B．或C．或D．或【分析】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，考查圓的直徑所對圓周角是直角等知識.首先根據(jù)拋物線的定義，到焦點的距離等于到準線的距離，由此設出點的坐標，然后利用直徑所對圓周角為直角，所以,，將設好的坐標代入上式，解方程即可求得參數(shù)的值，進而求得拋物線的方程.【答案】C【解析】依題意設，直徑所對圓周角為直角，所以,,，解得或，所以拋物線方程為或.【規(guī)律方法】圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎.因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求．求圓錐曲線標準方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義．②橢圓的標準方程可設為，雙曲線的標準方程可設為，這樣可以避免討論和繁瑣的計算．【舉一反三】【2017屆貴州遵義市高三上學期期中】已知雙曲線的離心率為，左頂點到一條漸近線的距離為，則該雙曲線的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】A考點５圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例５】【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三周考12.18】過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓離心率的求解方法:離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，此類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍．無論是哪類問題，關鍵是借助圖形建立關于，，的關系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為的關系式．【答案】B【解析】設,故選B.【規(guī)律方法】求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據(jù)已知條件確定的等量關系，然后把用代換，求的值；在雙曲線中由于，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關，求離心率的范圍問題關鍵是確立一個關于的不等式，再根據(jù)的關系消掉得到關于的不等式，由這個不等式確定的關系．【舉一反三】【2017屆廣西柳州市高三10月模擬】已知雙曲線（，）與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為，若，則雙曲線的漸進線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得解得，因此雙曲線的漸進線方程為，選C.考點６直線與圓錐曲線的位置關系【例６】【2017屆廣西柳州市高三理10月模擬】在平面直角坐標系中，點為動點，已知點，，直線與的斜率之積為定值．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若，過點的直線交軌跡于，兩點，以為對角線的正方形的第三個頂點恰在軸上，求直線的方程．【分析】（Ⅰ）直接法求動點軌跡方程，先設動點坐標，根據(jù)直線與的斜率之積為定值，轉(zhuǎn)化為坐標關系，整理可得，最后去掉不滿足條件的點（Ⅱ）以為對角線的正方形的第三個頂點恰在軸上，所以的中垂線與軸的交點滿足⊥，設直線：（）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理得，，從而可得中垂線方程，解得交點坐標，根據(jù)⊥，列出關于的方程，解之即得直線方程【解析】（1）由題意，整理得．所以所求軌跡的方程為（）．（2）當直線與軸重合時，與軌跡無交點，不合題意；當直線與軸垂直時，：，此時，，以為對角線的正方形的另外兩個頂點坐標為，不合題意；當直線與既不重合，也不垂直時，不妨設直線：（）．，，的中點，由得，得，，所以，則線段的中垂線的方程為，整理得直線：，則直線與軸的交點，注意到以為對角線的正方形的第三個頂點恰在軸上，當且僅當⊥，即，，①由②，將②代入①解得，即直線的方程為，綜上，所求直線的方程為或．【規(guī)律方法】1.直線與橢圓的位置關系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程.若，則直線與橢圓相交；若，則直線與橢圓相切；若，則直線與橢圓相離.2.直線與雙曲線的位置關系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去或，得到一個一元方程，或,若，當時，直線與雙曲線相交；當時，直線與雙曲線相切；當時，直線與雙曲線相離；若，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.3.直線與拋物線的位置關系的判定方法將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去或，得到一個一元方程，或，當時，用判定，方法同上；當時，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線有一個交點.拋物線的過焦點的弦，若，，則，，弦長.同樣可得拋物線，，類似的性質(zhì)．4．解決直線與圓錐曲線相交時的弦長問題方法是：設而不求，根據(jù)韋達定理，進行整體代入．即當直線與圓錐曲線交于點，時，，而.【舉一反三】【2017屆河北衡水中學高三12月月考】已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為，過點的直線與相交于兩點，與相交于兩點，且與同向．（1）求的方程；（2）若，求直線的斜率．【解析】（1）由知其焦點的坐標為，因為也是橢圓的一個焦點，所以①；又與的公共弦長為與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，∴②，聯(lián)立①②得，故的方程為．（2）如圖，設，因與同向，且知，設直線的斜率為，則的方程為，由得，由是這個方程的兩根，，從而,由得，而是這個方程的兩根，，從而，由得：，解得，即直線的斜率為．考點７圓錐曲線中的范圍問題【例７】【2017屆河南中原名校豫南九校高三上學期質(zhì)檢四】在平面直角坐標系中，已知圓的半徑為，且圓與圓：外切，切點為.（1）求及圓的標準方程；（2）設平行于的直線與圓相交于點，點，且，求直線的方程；（3）設點滿足：存在圓上的兩點和，使得，求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）切點在圓上，代入圓方程可得，由于兩圓外切，所以在直線上，又圓的半徑為，所以，解方程組可得圓心坐標，即得圓方程，注意根的取舍（2）實際為弦長問題，根據(jù)垂徑定理列等量關系：設直線的方程為，則，再由，得或.（3）先確定坐標關系：設，，由得，而點在圓上，所以，代入化簡得，即點在圓上，而點又在圓上，所以兩圓有交點，根據(jù)兩圓位置關系得，解得實數(shù)的取值范圍是.（2）因為直線，所以直線的斜率為，設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，因為，而，所以，解得或.故直線的方程為或.（3）設，，因為，，，所以，①因為點在圓上，所以，②將①代入②，得，于是點既在圓上，又在圓上，從而圓與圓有公共點，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【規(guī)律方法】求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算的方便，在建立關系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍.求解特定字母取值范圍問題的常用方法：(1)構造不等式法：根據(jù)題設條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對稱性、位置關系等)，建立關于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍．(2)構造函數(shù)法：根據(jù)題設條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關于特定字母的目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍．(3)數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對應的幾何意義，然后根據(jù)相關曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．【舉一反三】【2017屆河南鄭州一中高三上期中】已知圓心在軸上的圓過點和，圓的方程為．（1）求圓的方程；（2）由圓上的動點向圓作兩條切線分別交軸于兩點，求的取值范圍．【解析】（1）設圓的方程為：，因為圓過點和，所以解得．所以圓的方程為（2）設圓上的動點的坐標為，則，即，解得，由圓和圓的方程可知，過點向圓所作的兩條切線的斜率必存在，設的方程為：，則點的坐標為，同理可得點的坐標為，所以，因為是圓的切線，所以滿足，即是方程的兩根，即，所以，因為，所以設，則．由，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，，所以的取值范圍為．考點８圓錐曲線中的探索性問題【例８】【2017屆江西吉安市一中高三上段考二】已知橢圓的離心率為，其左頂點在圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點為橢圓上不同于點的點，直線與圓的另一個交點為，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由【分析】（I）左頂點代入圓的方程，求得，根據(jù)離心率為，求得，故橢圓方程為；（II）設點，，直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求出的坐標，進而求得的值，利用圓心到直線的距離求得，代入，所以不存在．【解析】（I）因為橢圓的左頂點在圓上，令，得，所以．又離心率為，所以，所以，所以．所以的方程為．（II）設點，，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，化簡得到，因為-4為方程的一個根，所以，所以，所以，因為圓心到直線的距離為，所以．因為，代入得到，顯然，所以不存在直線，使得．【規(guī)律方法】所謂存在性問題，就是判斷滿足某個(某些)條件的點、直線、曲線(或參數(shù))等幾何元素是否存在的問題．這類問題通常以開放性的設問方式給出，若存在符合條件的幾何元素或參數(shù)值，就求出這些幾何元素或參數(shù)值，若不存在，則要求說明理由．求解存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程．解決存在性問題應注意以下幾點：1當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；2當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；3當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑.解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關于參變量的方程（組）或不等式（組）；第二步：解此方程（組）或不等式（組），若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論【舉一反三】【2017屆甘肅高臺縣一中高三上學期檢測五】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）已知點，為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．（2）由得，設、，所以，，根據(jù)題意，假設軸上存在定點，使得為定值．則要使上式為定值，即與無關，，得．此時，，所以在軸上存在定點，使得為定值，且定值為．考點９圓錐曲線中的定值、定點問題【例９】【2017屆湖南五市十校高三12月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于長軸的弦長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明：為定值．【分析】（1）過左焦點且垂直于長軸的弦長為通徑長，即，又離心率為，得，再由，解方程組得（2）解析幾何中證明定值問題，一般方法為以算代證，因為，利用，消y得，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，代入化簡得定值41【解析】（1）由，可得橢圓方程．（2）設的方程為，代入并整理得：．設，則，又因為，同理．則，所以是定值．【規(guī)律方法】1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值.2.求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題的關鍵就是引進變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．【舉一反三】【2017屆湖北孝感市高三上學期第一次統(tǒng)考】雙曲線的左、右焦點分別為，過作軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12,拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.考點１０圓錐曲線中的最值問題【例１０】【2017屆云南大理州高三上學期統(tǒng)測一】已知橢圓的短軸長為，離心率．（1）求橢圓的標準方程；（2）若分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于不同的兩點，求的面積的最大值.【分析】（1）根據(jù)題意列出待定系數(shù)的方程組，即可求得方程；（2）把分解為和，所以其面積為，設出直線的方程為，整理方程組表示出，代入上式即可求得，可換元，則，則，研究求單調(diào)性即可求得其最大值.【解析】（1）由題意可得．解得．故橢圓的標準方程為．（2）設，，由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，由得，所以，．又因直線與橢圓交于不同的兩點，故，即．則．令，則，則，令，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即當時，在上單調(diào)遞增，因此有，所以，即當，即時，最大，最大值為3．【規(guī)律方法】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．常見的幾何方法有：(1)直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為該點P到直線的垂線段的長度；(2)圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|＋R，最小值為|PC|－R(R為圓C半徑)；(3)過圓C內(nèi)一定點P的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點的直徑，最短的弦為過P點且與經(jīng)過P點直徑垂直的弦；(4)