高考數(shù)學(xué)(文)二輪復(fù)習(xí)專題 圓錐曲線(教學(xué)案)

【高效整合篇】專題五圓錐曲線一．考場傳真1.【2016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）【答案】A2．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A．3．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】因?yàn)榇怪庇谳S，所以，因?yàn)?，即，化簡得，故雙曲線離心率.選A.4．【2016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B5．【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得點(diǎn)，，由，得，即，整理，得，所以橢圓離心率為，故選A．6．【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線：QUOTEQUOTE與圓QUOTEQUOTE交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若QUOTEQUOTE，則QUOTEQUOTE__________________.【答案】4【解析】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，．7．【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?,故,所以,故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以.由題設(shè)得,,,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,,.由得.則,.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.8．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，.由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時(shí)上式不成立，因此.等價(jià)于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.二．高考研究【考綱解讀】1.考綱要求：(1)直線方程：①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.②能根據(jù)兩條直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.③能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.④掌握正確直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.⑤能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).⑥掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.(2)圓與方程：①掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.②能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.④初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.(３)圓錐曲線：①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知道它的簡單幾何性質(zhì).④了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.⑤理解數(shù)形結(jié)合的思想(2)曲線與方程：了解方程的曲線與與曲線方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.命題規(guī)律：1、題量穩(wěn)定：解析幾何與立體幾何相似，在高考試卷中試題所占分值比例較大.一般地，解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個(gè)題目左右，其中選擇題、填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%.2、整體平衡，重點(diǎn)突出：重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考，重點(diǎn)內(nèi)容年年考.一般考查的知識(shí)點(diǎn)在60％左右，其中三大圓錐曲線知識(shí)的考查幾乎沒有遺漏，通過對(duì)知識(shí)的重新組合，考查時(shí)既注意全面，更注意突出重點(diǎn)，對(duì)支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度.直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素．高考十分注重對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的考查，有的是考查定義的理解和應(yīng)用，有的是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，有的是直接考查圓錐曲線的離心率，有的是考查直線與圓和圓錐曲線的位置關(guān)系等．?dāng)?shù)學(xué)高考對(duì)解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型：①求曲線方程（類型確定，甚至給出曲線方程）； ②直線、圓和圓錐曲線間的交點(diǎn)問題（含切線問題）；③與圓錐曲線定義有關(guān)的問題（涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形和準(zhǔn)線，利用余弦定理等）④與曲線有關(guān)的最值問題（含三角形和四邊形面積）；⑤與曲線有關(guān)的幾何證明(圓線相切、四點(diǎn)共圓、對(duì)稱性或求對(duì)稱曲線、平行、垂直等)；⑥探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少)；3、題型穩(wěn)定，中規(guī)中矩，不偏不怪，內(nèi)容及位置也很穩(wěn)定.解析幾何試題的難度都不算太大，選擇題、填空題大多屬易中等題，圓一般不單獨(dú)考查，總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題.高考一般不給出圖形，以考查學(xué)生的想象能力、分析問題的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法，解答題加大與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系（如向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等），難度不是太大，所有問題均很直接，都不具備探索性.特別是近幾年的解答題，計(jì)算量減少，但思考量增大，對(duì)于用代數(shù)方法研究有關(guān)直線與橢圓、拋物線位置關(guān)系問題，體現(xiàn)在解法上，不僅僅只是利用根與系數(shù)關(guān)系研究，而是在方法的選擇上更加靈活，如聯(lián)立方程求交點(diǎn)或向量的運(yùn)算等，思維層次的要求并沒有降低.若再按以前的“解幾套路”解題顯然難以成功.一．基礎(chǔ)知識(shí)整合基礎(chǔ)知識(shí)：1.直線的傾斜角和斜率：任何直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，如傾斜角等于90°時(shí)，斜率不存在；若兩直線的傾斜角相等，斜率相等或都不存在；若兩條直線的斜率相等，則兩直線的傾斜角相等；當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，傾斜角越大，斜率也越大；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，傾斜角越大，斜率也越大；與軸平行或重合的直線的傾斜角為零，斜率也為零；2.直線的方程：點(diǎn)斜式：；截距式：；兩點(diǎn)式：；截距式：；一般式：，其中A、B不同時(shí)為0.3．兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；重合（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交.兩直線平行兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在；兩直線垂直兩直線的斜率之積為或一直線斜率不存在，另一直線斜率為零；與已知直線平行的直線系方程為；若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.兩平行直線間距離公式：與的距離４．圓的有關(guān)問題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r＞0），稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為r時(shí)，圓的方程為，幾種特殊的圓的方程設(shè)圓的圓心為，半徑為（1）若圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）若圓與x軸相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（3）若圓與y軸相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（4）若圓心在x軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（5）若圓心在y軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（6）若圓與坐標(biāo)軸相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或．圓的一般方程：（＞0）稱為圓的一般方程，其圓心坐標(biāo)為（，），半徑為.當(dāng)=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，）；當(dāng)＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.圓的參數(shù)方程：圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：（θ為參數(shù)）（θ為參數(shù)）直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系的判斷：【方法一】幾何法：根據(jù)圓心與直線的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則（1）直線與圓相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線與圓相離直線與圓無公共點(diǎn)；（3）直線與圓相切直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；【方法二】代數(shù)法：把直線的方程圓的方程聯(lián)立方程組，消去其中一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另外一個(gè)數(shù)的未知數(shù)的一元二次方程，則（1）直線與圓相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線與圓相離直線與圓無公共點(diǎn)；（3）直線與圓相切直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；若直線與圓相交，設(shè)弦長為，弦心距為，半徑為，則圓與圓的位置關(guān)系：圓與圓的位置關(guān)系的判斷：設(shè)兩個(gè)圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）圓與圓相離兩個(gè)圓有四條公切線；（2）圓與圓相交兩個(gè)圓有兩條公切線；（3）圓與圓相外切兩個(gè)圓有三條公切線；（4）圓與圓相內(nèi)切兩個(gè)圓有一條公切線；（5）圓與圓相內(nèi)含兩個(gè)圓沒有公切線；若圓與圓相交，則公共弦所在的直線方程為；５．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于||這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于||，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于||，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（＞＞0），（＞＞0）.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.如果已知橢圓過兩個(gè)點(diǎn)（不是在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），求其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，為了避免對(duì)焦點(diǎn)的討論可以設(shè)其方程為或；橢圓的參數(shù)方程：橢圓（＞＞0）的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.說明⑴這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同：；⑵橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.６．橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（＞＞0）.范圍：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.對(duì)稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.頂點(diǎn)：有四個(gè)（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.橢圓的第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（e＜1＝時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，（＞＞0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為.對(duì)于橢圓（＞＞0）的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑.設(shè)（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點(diǎn)，M（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長分別為，，橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識(shí)解題往往比較簡便.橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有=+、兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.在橢圓中，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，稱該三角形為焦點(diǎn)三角形，則三角形的周長為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長即通徑長為eq\f(2b2,a)７．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于||）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡.若＜時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若＞時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.如果已知雙曲線過兩個(gè)點(diǎn)（不是在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），求其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，為了避免對(duì)焦點(diǎn)的討論可以設(shè)其方程為或８．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線（準(zhǔn)線）距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c，0），與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和.在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有與的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件.在雙曲線中，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，稱該三角形為焦點(diǎn)三角形，則面積等于，其中是虛半軸的長；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長即通徑長為9．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線.需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否則軌跡是過點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線.拋物線的方程有四種類型：、、、.對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向.拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例（1）范圍：x≥0；（2）對(duì)稱軸：對(duì)稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點(diǎn)：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因?yàn)闊o中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準(zhǔn)線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：（7）焦點(diǎn)弦長公式：對(duì)于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式.設(shè)過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點(diǎn)F的弦為AB，A，B，AB的傾斜角為，則有或，以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長公式”來求.在拋物線中，以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與該拋物的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相切；10．軌跡方程：⑴曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；⑵以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形或軌跡）11．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：①直線與圓錐曲線的相離關(guān)系，常通過求二次曲線上的點(diǎn)到已知直線的距離的最大值或最小值來解決．②直線與圓錐曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于橢圓，表示直線與其相切；對(duì)于雙曲線，表示與其相切或與雙曲線的漸近線平行，對(duì)于拋物線，表示直線與其相切或直線與其對(duì)稱軸平行．③直線與圓錐曲線有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，表示直線與圓錐曲線相割，此時(shí)直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦．直線被圓錐曲線所截得弦為，則長為，其中為直線的斜率必備方法：1.點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）利用“點(diǎn)差法”來解決中點(diǎn)弦問題，其基本思路是設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)）

——代入（即將端點(diǎn)代入曲線方程）——作差（即兩式相減）——得出中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系.2．聯(lián)立消元法：韋達(dá)定理法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解3．設(shè)而不求法4.判別式法5.求根公式法橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論一．橢圓1．2．標(biāo)準(zhǔn)方程：3．4．點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.5．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8．設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9．橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10．若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11．若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12．AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸且過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13．若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14．若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15．若PQ是橢圓（a＞b＞0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16．若橢圓（a＞b＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定橢圓：（a＞b＞0）,：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點(diǎn)M(.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過點(diǎn).18．設(shè)為橢圓（或圓）C:(a＞0,.b＞0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點(diǎn)的充要條件是.19．過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．橢圓(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為，.21．若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則.22．橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).23．若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24．P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.25．橢圓（a＞b＞0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的充要條件是.26．過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27．過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29．設(shè)A,B為橢圓上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓相交于,則.30．在橢圓中，定長為2m（o＜m≤a）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí),.31．設(shè)S為橢圓（a＞b＞0）的通徑，定長線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有,.32．橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33．橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34．設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36．已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）過焦點(diǎn)的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）焦點(diǎn)的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39．設(shè)橢圓（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)為其對(duì)稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1,A2為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：(或)上.40．設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.41．過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.42．設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43．設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44．已知橢圓（a＞b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45．設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46．過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線L的距離,分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則.48．已知橢圓（a＞b＞0）和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.49．已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則.50．設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).51．設(shè)過橢圓的長軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52．L是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）長軸頂點(diǎn)A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53．L是橢圓（a＞b＞0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54．L是橢圓（a＞b＞0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55．已知橢圓（a＞b＞0），直線L通過其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)）.56．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，（若BP交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.59．設(shè)是橢圓的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60．過橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61．到橢圓（a＞b＞0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62．到橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63．到橢圓（a＞b＞0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是橢圓（a＞b＞0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它長軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65．橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項(xiàng).66．設(shè)橢圓（a＞b＞0）長軸的端點(diǎn)為,是橢圓上的點(diǎn)過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).68．OA、OB是橢圓（a＞0,b＞0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).(2)以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69．是橢圓（a＞b＞0）上一個(gè)定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70．如果一個(gè)橢圓短半軸長為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71．AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過的切線與過A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為橢圓（a＞b＞0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓過定點(diǎn)的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時(shí).當(dāng)弦AB垂直于長軸所在直線時(shí),.73．橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.74．橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長軸端點(diǎn).75．橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).78．橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79．橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).80．橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81．橢圓焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84．橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點(diǎn).85．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87．橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.88．橢圓焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過兩焦點(diǎn).89.已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點(diǎn),過點(diǎn)分別作直線及的平行線，與直線分別交于,為原點(diǎn)，則：.（1）；（2）.90.過平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點(diǎn)為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.92.點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是.二、雙曲線1．2．標(biāo)準(zhǔn)方程：3．4．點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.5．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.8．設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9．雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10．若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.11．若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸且過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15．若PQ是雙曲線（b＞a＞0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16．若雙曲線（b＞a＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定雙曲線：（a＞b＞0）,：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點(diǎn)M(.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過點(diǎn).18．設(shè)為雙曲線（a＞0,b＞0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點(diǎn)的充要條件是.19．過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為，.21．若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則（或）.22．雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,.23．若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24．P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.25．雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的充要條件是.26．過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27．過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29．設(shè)A,B為雙曲線（a＞0,b＞0，）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線相交于,則.30．在雙曲線中，定長為2m（m）0）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí),.31．設(shè)S為雙曲線（a＞0,b＞o）的通徑，定長線段L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）過焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過雙曲線（a＞b＞0）焦點(diǎn)的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦，則.39．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：上.40．設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.41．過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.42．設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43．設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a＞0,b＞o）上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1,F2為雙曲線的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45．設(shè)△ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46．過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn)，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線L的距離,分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則.48．已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.49．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則或.50．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).51．設(shè)過雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52．L是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53．L是經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54．L是雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55．已知雙曲線（a＞0,b＞0），直線L通過其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)取等號(hào)）.56．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域），外部的兩點(diǎn)，（1）若過A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若BP交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.59．設(shè)是雙曲線的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60．過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD,則.61．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62．到雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63．到雙曲線（a＞0,b＞0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65．雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長和實(shí)軸之長的比例中項(xiàng).66．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸的端點(diǎn)為,是雙曲線上的點(diǎn)過P作斜率為的直線，過分別作垂直于實(shí)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).(2)以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個(gè)定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70．如果一個(gè)雙曲線虛半軸長為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和雙曲線相交.71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過的切線與過A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a＞0,b＞0）的內(nèi)部(（含焦點(diǎn)的區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過定點(diǎn)的任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí).(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重合）于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí),.73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外切.74．雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端點(diǎn).75．雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．雙曲線焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).78．雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實(shí)半軸的長.84．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的外角平分線.87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線.88．雙曲線焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)的切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過兩焦點(diǎn).89.已知雙曲線上有一點(diǎn)，過分別引其漸近線的平行線，分別交軸于，交軸于，為原點(diǎn)，則：（1）；（2）.90.過平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點(diǎn)為雙曲線在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.92.點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是或.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式.3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為.4、兩平行線間的距離為.5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓.二元二次方程表示圓的充要條件是且且.

7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為.圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；8、為直徑端點(diǎn)的圓方程切線長：過圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長為（）9、弦長問題：①圓的弦長的計(jì)算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.二．高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)1直線方程【例1】【2017屆河北武邑中學(xué)高三周考12.4】下列直線中與直線平行的一條是（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查兩條直線的位置關(guān)系.在平面中，兩條之間的位置關(guān)系有相交和平行，當(dāng)直線斜率不相同時(shí)，兩直線相交，當(dāng)斜率相同且截距不相同時(shí)，兩直線平行.所以兩條平行線斜率是相等的，在選項(xiàng)中，B，D兩個(gè)選項(xiàng)的斜率都是，和原直線的斜率相同，但是通過觀察后發(fā)現(xiàn)，B選項(xiàng)可以化簡，所得直線和原直線重合，故要排除.【答案】D【解析】兩直線平行，斜率相等，原題直線斜率是，故排除A，C，B選項(xiàng)化簡后和原直線重合，故選D.【規(guī)律方法】若給定的方程是一般式，即和，則有下列結(jié)論：且；.給定兩條直線和，則有下列結(jié)論：且；；求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性．求直線方程就是求出確定直線的幾何要素，即直線經(jīng)過的點(diǎn)和直線的傾斜角，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，只需求出直線的斜率和直線經(jīng)過的點(diǎn)即可．對(duì)于直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程，前者是直線的斜率和直線經(jīng)過的一點(diǎn)確定直線，后者是兩點(diǎn)確定直線．【舉一反三】【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三周考11.6】若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的圓心坐標(biāo)為所求直線的斜率直線方程為,故選C.考點(diǎn)2圓的方程及應(yīng)用【例２】【2017屆江西吉安市一中高三上段考二】已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【分析】本題主要考查圓的參數(shù)方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查兩個(gè)向量垂直的概念，考查三角恒等變換等知識(shí)．由于題目給定，所以考慮設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積等于零來建立方程，故設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)方程，即，然后將坐標(biāo)代入，化簡后利用三角函數(shù)的最值來求的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，依題意有，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，化簡得，故．【規(guī)律方法】求圓的方程一般有兩類方法：1幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).其一般步驟：=1\*GB3①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；=2\*GB3②利用條件列出關(guān)于，或的方程組；=3\*GB3③解出，或的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，此外，根據(jù)條件要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運(yùn)算量．【舉一反三】【2017屆山西山西大學(xué)附中高三上學(xué)期期中】拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則交點(diǎn)確定的圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，由圓一般方程得選D.考點(diǎn)３直線與圓的位置關(guān)系【例３】【2017屆湖南師大附中高三上學(xué)期月考四】設(shè)直線：，圓：，若在圓上存在兩點(diǎn)，，在直線上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.本題思路:由切線的對(duì)稱性和圓的知識(shí),從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角,當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí),所成的角最大,這樣就轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于或等于,再由點(diǎn)到直線的距離公式解不等式可求出的范圍.由已知得出圓心到直線的距離小于或等于是本題解題的關(guān)鍵.【答案】C【規(guī)律方法】直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系確定，相切；相交，此時(shí)半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形；時(shí)相離.解有關(guān)直線與圓的相交問題要靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，特別是半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理．圓的切線問題一般利用求解，但要注意切線斜率不存在的情形，與圓有關(guān)的最值，范圍問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．直線與圓中常見的最值問題：①圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值．②直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值．③過圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長的最值．④直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值問題．⑤兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值.【舉一反三】【2017屆河北武邑中學(xué)高三周考12.4】直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出圖象如下圖所示，由圖可知，圓與軸相切與點(diǎn)，直線恰好也過，當(dāng)，所以，根據(jù)對(duì)稱性有.考點(diǎn)4圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例４】【2017屆甘肅高臺(tái)縣一中高三上學(xué)期檢測五】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的方程為（）A．或B．或C．或D．或【分析】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查圓的直徑所對(duì)圓周角是直角等知識(shí).首先根據(jù)拋物線的定義，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，由此設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直徑所對(duì)圓周角為直角，所以,，將設(shè)好的坐標(biāo)代入上式，解方程即可求得參數(shù)的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.【答案】C【解析】依題意設(shè)，直徑所對(duì)圓周角為直角，所以,,，解得或，所以拋物線方程為或.【規(guī)律方法】圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為或()，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)不具有的幾何意義．②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算．【舉一反三】【2017屆貴州遵義市高三上學(xué)期期中】已知雙曲線的離心率為，左頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【答案】A考點(diǎn)５圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例５】【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三周考12.18】過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【分析】本題主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓離心率的求解方法:離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，此類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍．無論是哪類問題，關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于，，的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式．【答案】B【解析】設(shè),故選B.【規(guī)律方法】求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值；在雙曲線中由于，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)，求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于的不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到關(guān)于的不等式，由這個(gè)不等式確定的關(guān)系．【舉一反三】【2017屆廣西柳州市高三10月模擬】已知雙曲線（，）與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸進(jìn)線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得解得，因此雙曲線的漸進(jìn)線方程為，選C.考點(diǎn)６直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例６】【2017屆廣西柳州市高三理10月模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，，直線與的斜率之積為定值．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，以為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在軸上，求直線的方程．【分析】（Ⅰ）直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線與的斜率之積為定值，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，整理可得，最后去掉不滿足條件的點(diǎn)（Ⅱ）以為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在軸上，所以的中垂線與軸的交點(diǎn)滿足⊥，設(shè)直線：（）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，，從而可得中垂線方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)⊥，列出關(guān)于的方程，解之即得直線方程【解析】（1）由題意，整理得．所以所求軌跡的方程為（）．（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，與軌跡無交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，：，此時(shí)，，以為對(duì)角線的正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；當(dāng)直線與既不重合，也不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線：（）．，，的中點(diǎn)，由得，得，，所以，則線段的中垂線的方程為，整理得直線：，則直線與軸的交點(diǎn)，注意到以為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在軸上，當(dāng)且僅當(dāng)⊥，即，，①由②，將②代入①解得，即直線的方程為，綜上，所求直線的方程為或．【規(guī)律方法】1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程.若，則直線與橢圓相交；若，則直線與橢圓相切；若，則直線與橢圓相離.2.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去或，得到一個(gè)一元方程，或,若，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線相離；若，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).3.直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去或，得到一個(gè)一元方程，或，當(dāng)時(shí)，用判定，方法同上；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，與拋物線有一個(gè)交點(diǎn).拋物線的過焦點(diǎn)的弦，若，，則，，弦長.同樣可得拋物線，，類似的性質(zhì)．4．解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，進(jìn)行整體代入．即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)，時(shí)，，而.【舉一反三】【2017屆河北衡水中學(xué)高三12月月考】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且與同向．（1）求的方程；（2）若，求直線的斜率．【解析】（1）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以①；又與的公共弦長為與都關(guān)于軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴②，聯(lián)立①②得，故的方程為．（2）如圖，設(shè)，因與同向，且知，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，由是這個(gè)方程的兩根，，從而,由得，而是這個(gè)方程的兩根，，從而，由得：，解得，即直線的斜率為．考點(diǎn)７圓錐曲線中的范圍問題【例７】【2017屆河南中原名校豫南九校高三上學(xué)期質(zhì)檢四】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為，且圓與圓：外切，切點(diǎn)為.（1）求及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）切點(diǎn)在圓上，代入圓方程可得，由于兩圓外切，所以在直線上，又圓的半徑為，所以，解方程組可得圓心坐標(biāo)，即得圓方程，注意根的取舍（2）實(shí)際為弦長問題，根據(jù)垂徑定理列等量關(guān)系：設(shè)直線的方程為，則，再由，得或.（3）先確定坐標(biāo)關(guān)系：設(shè)，，由得，而點(diǎn)在圓上，所以，代入化簡得，即點(diǎn)在圓上，而點(diǎn)又在圓上，所以兩圓有交點(diǎn)，根據(jù)兩圓位置關(guān)系得，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)橹本€，所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，因?yàn)椋?，所以，解得?故直線的方程為或.（3）設(shè)，，因?yàn)椋?，，所以，①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，②將①代入②，得，于是點(diǎn)既在圓上，又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【規(guī)律方法】求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時(shí)為了運(yùn)算的方便，在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個(gè)變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時(shí)要特別注意變量的取值范圍.求解特定字母取值范圍問題的常用方法：(1)構(gòu)造不等式法：根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍．(2)構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍．(3)數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．【舉一反三】【2017屆河南鄭州一中高三上期中】已知圓心在軸上的圓過點(diǎn)和，圓的方程為．（1）求圓的方程；（2）由圓上的動(dòng)點(diǎn)向圓作兩條切線分別交軸于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，因?yàn)閳A過點(diǎn)和，所以解得．所以圓的方程為（2）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，解得，由圓和圓的方程可知，過點(diǎn)向圓所作的兩條切線的斜率必存在，設(shè)的方程為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)槭菆A的切線，所以滿足，即是方程的兩根，即，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，則．由，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，，所以的取值范圍為．考點(diǎn)８圓錐曲線中的探索性問題【例８】【2017屆江西吉安市一中高三上段考二】已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【分析】（I）左頂點(diǎn)代入圓的方程，求得，根據(jù)離心率為，求得，故橢圓方程為；（II）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值，利用圓心到直線的距離求得，代入，所以不存在．【解析】（I）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上，令，得，所以．又離心率為，所以，所以，所以．所以的方程為．（II）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，化簡得到，因?yàn)?4為方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以．因?yàn)?，代入得到，顯然，所以不存在直線，使得．【規(guī)律方法】所謂存在性問題，就是判斷滿足某個(gè)(某些)條件的點(diǎn)、直線、曲線(或參數(shù))等幾何元素是否存在的問題．這類問題通常以開放性的設(shè)問方式給出，若存在符合條件的幾何元素或參數(shù)值，就求出這些幾何元素或參數(shù)值，若不存在，則要求說明理由．求解存在性問題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程．解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；2當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；3當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑.解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞浚鶕?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程（組）或不等式（組）；第二步：解此方程（組）或不等式（組），若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論【舉一反三】【2017屆甘肅高臺(tái)縣一中高三上學(xué)期檢測五】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）由得，設(shè)、，所以，，根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．則要使上式為定值，即與無關(guān)，，得．此時(shí)，，所以在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，且定值為．考點(diǎn)９圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題【例９】【2017屆湖南五市十校高三12月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，過左焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為橢圓的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：為定值．【分析】（1）過左焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為通徑長，即，又離心率為，得，再由，解方程組得（2）解析幾何中證明定值問題，一般方法為以算代證，因?yàn)?，利用，消y得，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入化簡得定值41【解析】（1）由，可得橢圓方程．（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：．設(shè)，則，又因?yàn)椋恚畡t，所以是定值．【規(guī)律方法】1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值.2.求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．【舉一反三】【2017屆湖北孝感市高三上學(xué)期第一次統(tǒng)考】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12,拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).考點(diǎn)１０圓錐曲線中的最值問題【例１０】【2017屆云南大理州高三上學(xué)期統(tǒng)測一】已知橢圓的短軸長為，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值.【分析】（1）根據(jù)題意列出待定系數(shù)的方程組，即可求得方程；（2）把分解為和，所以其面積為，設(shè)出直線的方程為，整理方程組表示出，代入上式即可求得，可換元，則，則，研究求單調(diào)性即可求得其最大值.【解析】（1）由題意可得．解得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，由得，所以，．又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，故，即．則．令，則，則，令，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此有，所以，即當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為3．【規(guī)律方法】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．常見的幾何方法有：(1)直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線的垂線段的長度；(2)圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC|＋R，最小值為|PC|－R(R為圓C半徑)；(3)過圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點(diǎn)的直徑，最短的弦為過P點(diǎn)且與經(jīng)過P點(diǎn)直徑垂直的弦；(4)