河南省青桐鳴2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 含解析

2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高三）數(shù)學(xué)（理科）全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，，則（）A．A B．B C． D．3．某研究所收集、整理數(shù)據(jù)后得到如下列表：x23456y3791011由兩組數(shù)據(jù)可以得到線性回歸方程為，則（）A．1.7 B．1.8 C．1.9 D．2.04．已知，，，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（）A． B．0 C．2 D．46．已知函數(shù)若，則實數(shù)（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知第二象限角滿足，則（）A． B． C． D．8．下列選項正確的是（）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為9．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心10．已知正四棱柱中，，點M為的中點，若P為動點，且，則P點運動軌跡與該幾何體表面相交的曲線長度為（）A． B． C． D．11．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓的面積為，則面積的最大值為（）A． B． C． D．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C在第一象限內(nèi)的一點，，直線與C的另一個交點為Q，O為坐標(biāo)原點，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為______．14．已知，函數(shù)都滿足，又，則______．15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，其最小正周期為T，且，則的值為______．16．已知函數(shù)，若不等式有且僅有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列，為的前n項和，求．18．（12分）我國某醫(yī)藥研究所在針對某種世界疾病難題的解決方案中提到了中醫(yī)療法，為證實此方法的效用，該研究所購進(jìn)若干副某種中草藥，現(xiàn)按照每副該中草藥的重量大?。▎挝唬嚎耍┓譃?組：，，，，并繪制頻率分布直方圖如下所示：（1）估計每副該中草藥的平均重量（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)從每副重量在，內(nèi)的中草藥中按照分層抽樣的方式一共抽取6副該中草藥，再從這6副中草藥中隨機取出2副進(jìn)行分析，求取出的2副中僅有1副重量在中的概率．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD為矩形，，平面ABCD，H為DC的中點．（1）求證：平面平面POC；（2）已知二面角的平面角為，求．20．（12分）已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線在x軸上的截距；（2）當(dāng)時，證明：函數(shù)在上有兩個不同的零點，，且當(dāng)時，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點，且傾斜角為，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程是為（參數(shù)）．（1）求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；（2）已知曲線C與直線l相交于A，B兩點，則的值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，，若的最小值為m，且，求的最大值．2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高三）答案數(shù)學(xué)（理科）1．B【解析】根據(jù)題意，設(shè)，所以，所以所以或所以復(fù)數(shù)或，所以．故選B．2．A【解析】根據(jù)題意，解得集合．由，得，所以，所以．故選A．3．C【解析】根據(jù)題意可得，，，由于樣本中心點在回歸直線上，所以，所以．故選C．4．B【解析】根據(jù)題意，，，，比較可得．故選B．5．C【解析】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，所以，所以．故選C．6．B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意．故選B．7．D【解析】根據(jù)題意，第二象限角滿足，可得，，所以，．．故選D．8．D【解析】根據(jù)題意，當(dāng)與為負(fù)數(shù)時，根據(jù)不等式可得，選項A不正確；因為x不一定為正數(shù)，由A可知，選項B不正確；令，所以的最小值為3，選項C不正確；，因為，所以，選項D正確．故選D．9．B【解析】根據(jù)題意，，即，所以，可得向量在向量上的投影為的一半，可分析出點O在邊AB的中垂線上，同理可得，點O在邊AC的中垂線上，所以點O為該三角形的外心．故選B．10．A【解析】根據(jù)題意，分析可知點P的運動軌跡與幾何體表面所交部分可看成2個半徑為1的圓和2個半徑為1的半圓，長度為．故選A．11．B【解析】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑為1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選B．12．C【解析】由題知，設(shè)，，則，由余弦定理得，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，代入，得，所以直線，與聯(lián)立得，則，所以，所以．故選C．l3．【解析】根據(jù)題意，雙曲線的離心率為，所以，所以，由，得，所以雙曲線方程為，因此該雙曲線的漸近線為．14．【解析】根據(jù)題意，，所以，，，所以函數(shù)的周期為6，所以．15．【解析】根據(jù)題意，，因為圖象關(guān)于點中心對稱，分析可得，所以，所以，，所以，又因為最小正周期為，且，所以可得，則，所以的值為1．16．【解析】易知的定義域為，由有且僅有1個整數(shù)解得，不等式有且僅有1個整數(shù)解．設(shè)，則，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)．又，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．設(shè)，則直線恒過點，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與直線的圖象，如圖所示，由圖象可知，，要使不等式有且僅有1個整數(shù)解，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．17．解：（1）根據(jù)題意∵，∴，∴，（2分）則，，，…，，，（4分）利用累乘法可得，，（5分）∴．（6分）（2）根據(jù)題意，（9分）∴．（12分）18．解：（1）根據(jù)題意可得（克），所以每副該中草藥的平均重量約為32克．（6分）（2）根據(jù)題意可得，按照分層抽樣的方式，取出的6副該中草藥中重量在中的有4副，重量在中的有2副，（8分）所以所求概率為．（12分）19．解：（1）證明：∵，H為DC中點，∴，（1分）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，（2分）∵，平面POC，平面POC，∴平面POC，（3分）又∵平面DPO，∴平面平面POC．（5分）（2）以O(shè)為原點，OB，OP所在直線分別為y軸、z軸，作x軸平面APB，如圖所示．設(shè)，則，，，，（6分），．（7分）由（1）知，為平面POC的一個法向量，（8分）設(shè)為平面PBC的法向量，則即取，可得，（9分）則．（10分）解得，（11分）又∵，∴，∴．（12分）20．解：（1）設(shè)點，，則，（1分）因為以E為圓心，以為半徑的圓的最小面積為，所以，（2分）所以，解得，（3分）所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（2）設(shè)，，易得，由題意知直線MN的斜率一定存在，則設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立得，（5分），所以，．由，得，則切線的斜率為，則切線的方程為，即①．（8分）同理可得切線的方程為②．（9分）①②得，（10分）代入①得，，（11分）所以點P的軌跡方程為．（12分）21．解：（1），（1分）又，所以，（2分）則曲線在處的切線方程為，（3分）令得，，故切線在x軸上的截距為．（4分）（2）證明：要證函數(shù)在上有兩個不同的零點，，只需證方程在上有兩個不同的實數(shù)解，即證方程在上有兩個不同的實數(shù)解，（5分）設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（6分）因為，，所以存在，使得；又，，所以存在，使得，故函數(shù)在上有兩個不同的零點，．（7分）由上易知，，，兩式相加得，兩式相減得，，則，（8分）令，則，所以，（10分）設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，（11分）則，故當(dāng)時，．（12分）22．解：（1）根據(jù)題意，由得（1分）即，（2分）∴