2024年中考數(shù)學一輪復(fù)習考點12 二次函數(shù)（精講）（解析版）41

考點12.二次函數(shù)（精講）【命題趨勢】二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)考點最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分。而對于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點的坐標特征等幾大方面。題型變化較多，考生復(fù)習時需要熟練掌握相關(guān)知識，熟悉相關(guān)題型，認真對待該考點的復(fù)習?！局R清單】1：二次函數(shù)的相關(guān)概念（☆☆）1）二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2）二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（☆☆☆）解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=。當x=–時，y最大值=。最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當x<–時，y隨x的增大而減??；當x>–時，y隨x的增大而增大當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減?。?）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)拋物線y=a(x-h)2+k，繞頂點旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x-h)2+k；繞原點旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x+h)2-k；沿x軸翻折變?yōu)椋簓=-a(x-h)2-k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a(x+h)2+k；（2）二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．3：二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關(guān)系（☆☆☆）1）拋物線開口的方向可確定a的符號：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜02）對稱軸可確定b的符號（需結(jié)合a的符號）：對稱軸在x軸負半軸，則＜0，即ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則＞0，即ab＜03）與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標為（0，c），交于y軸負半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04）特殊函數(shù)值符號（以x=1的函數(shù)值為例）：若當x=1時，若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；5）其他輔助判定條件：1）頂點坐標；2）若與x軸交點，，則可確定對稱軸為：x=；3）韋達定理：具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。4：二次函數(shù)與方程、不等式（☆☆）1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。（3）①b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；②b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；③b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點。2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a>0為例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點2個交點1個交點0個交點ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2取任意實數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【易錯點歸納】1.二次函數(shù)的辨別中切記保證a≠0，而b，c可以為任意實數(shù)（即可為0）；2.拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ?，必須附加一定的自變量x取值范圍；3.拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關(guān)?！竞诵目键c】核心考點1.二次函數(shù)的相關(guān)概念例1：（2023·山東濟寧·校聯(lián)考三模）以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進行判斷．【詳解】解：A、當時，不是二次函數(shù)，故本選項錯誤；B、由得到，是一次函數(shù)，故本選項錯誤；C、該等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數(shù)的定義，故本選項錯誤；D、由原函數(shù)解析式得到，符合二次函數(shù)的定義，故本選項正確．應(yīng)選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，掌握定義，會根據(jù)定義進行判斷是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·山東濟南·模擬預(yù)測）若是二次函數(shù)，則的值等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，形如的函數(shù)為二次函數(shù)．【詳解】解：是二次函數(shù)，則且由可得或，由可得，，綜上故答案為：C【點睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．例2：（2023上·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）已知某種產(chǎn)品的成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達式為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】利用這種產(chǎn)品每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以每天的銷售量，即可得出w與x之間的函數(shù)表達式．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即，故選：A．【點睛】本題考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w與x之間的函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達式中，符合表中對應(yīng)關(guān)系的可能是（

）x124y421A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的坐標特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的坐標特征即可判斷．【詳解】解：A、若直線過點，則，解得，所以，當時，，故不在直線上，故A不合題意；B、由表格可知，y與x的每一組對應(yīng)值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數(shù)，，不合題意；C、把表格中的函數(shù)y與自變量x的對應(yīng)值代入得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．【點睛】主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地，其中．計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，使點P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】A【分析】先求出，再證明都是等腰直角三角形，從而推出，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，即，∴，∴，∴y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的定義等等，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．核心考點2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3：（2023年四川省成都市數(shù)學中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為C．，兩點之間的距離為 D．當時，的值隨值的增大而增大【答案】C【分析】待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，進而逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，∴∴∴二次函數(shù)解析式為，對稱軸為直線，頂點坐標為，故A，B選項不正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，當時，的值隨值的增大而減小，故D選項不正確，不符合題意；當時，即∴，∴，故C選項正確，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學真題）已知拋物線經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（

）（多選題）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對稱軸是C．拋物線與軸有兩個交點D．當時，關(guān)于的一元二次方程有實根【答案】BC【分析】將點代入可求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系逐項判斷即可得．【詳解】解：將點代入得：，解得，，拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸是，選項A錯誤，選項B正確；方程的根的判別式，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與軸有兩個交點，選項C正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，這個拋物線的開口向上，且當時，取得最小值，∴當時，與沒有交點，∴當時，關(guān)于的一元二次方程沒有實根，選項D錯誤；故選：BC．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2．（2023年江蘇省揚州市中考數(shù)學真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當時，y隨x的增大而減??；④當時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例4：（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學真題）二次函數(shù)圖象的頂點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】根據(jù)拋物線，可以寫出該拋物線的頂點坐標，從而可以得到頂點在第幾象限．解：，頂點坐標為，頂點在第二象限．故選：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年上海市中考數(shù)學真題）一個二次函數(shù)的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，可確定，對稱軸，，從而確定答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸左側(cè)的部分是上升的，∴拋物線開口向上，即，∵二次函數(shù)的頂點在y軸正半軸上，∴，即，，∴二次函數(shù)的解析式可以是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)增減性和二次函數(shù)圖象與y軸的交點確定系數(shù)的正負是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式可得頂點坐標為即可得到結(jié)果．【詳解】∵二次函數(shù)解析式為，∴頂點坐標為；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點式的頂點坐標的求解，準確理解是解題的關(guān)鍵．變式3．（2024上·北京海淀·九年級校考階段練習）某同學在用描點法畫二次函數(shù)的圖象時，列出了下面的表格：x……0123……y……50m……那么m的值為（

）A． B． C．0 D．5【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．根據(jù)題目提供的滿足二次函數(shù)解析式的x、y的值，確定二次函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸找到一個點的對稱點的縱坐標即可．【詳解】解：由上表可知函數(shù)圖象經(jīng)過點和點，∴對稱軸為，∴當時的函數(shù)值等于當時的函數(shù)值，∵當時，，∴當時，．故選：C．例5：（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數(shù)和(是常數(shù),且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤即可．詳解：A．由一次函數(shù)y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y=ax2﹣2x+1的圖象應(yīng)該開口向下．故選項錯誤；B．由一次函數(shù)y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù)y=ax2﹣2x+1的圖象應(yīng)該開口向上，對稱軸x=﹣＞0．故選項正確；C．由一次函數(shù)y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù)y=ax2﹣2x+1的圖象應(yīng)該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，和x軸的正半軸相交．故選項錯誤；D．由一次函數(shù)y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù)y=ax2﹣2x+1的圖象應(yīng)該開口向上．故選項錯誤．

故選B．點睛：本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)y=ax﹣a在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．變式1．（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出b>0，再分當a>0，a<0時分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項，在符合的選項中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則->0，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項全不符合；當a>0，則-<0時，所以二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當c<0,a>0時，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，故只有D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例6：（2023年山東省日照市中考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，拋物線，滿足，已知點，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用解不等式組可得且，即可判斷二次函數(shù)的對稱軸位置，再利用函數(shù)的增減性判斷即可解題．【詳解】解不等式組可得:，且所以對稱軸的取值范圍在，由對稱軸位置可知到對稱軸的距離最近的是，其次是，最遠的是，即根據(jù)增減性可得，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求不等組的解集，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點，在函數(shù)圖像上，則（填“>”、“<”或“=”）；（2）當時，，則的取值范圍是．【答案】<且【分析】（1）先求出，然后分三種情況討論即可；（2）先求出拋物線與軸的交點，對稱軸，頂點坐標，然后在范圍內(nèi)分和兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點，在函數(shù)圖像上，∴當時，，當時，，∴，∴當或時，，當時，，當時，．（2）∵二次函數(shù)，整理可得：，由（1）可知：當時，解得：，，∴二次函數(shù)的圖像交軸于和兩點，對稱軸，當時，，∴二次函數(shù)圖像的頂點坐標為，由（2）可知：當時，，當時，，當時，二次函數(shù)的圖像開口向上，∵，∴，解得：，∴，當時，二次函數(shù)圖像開口向下，∵對稱軸，當，即時，∴二次函數(shù)圖像在頂點處取得最大值，∴，解得：，∴，當，即，由題意可知，，解得：，即a=-2；綜上所述，當時，，的取值范圍是：，且．故答案為：<，且．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，作差法比較函數(shù)值的大小，解一元二次方程，解不等式（組）等知識，采用了分情況討論的解題方法．解題的關(guān)鍵是在某一范圍內(nèi)的函數(shù)最大值的確定．變式2.（2023年福建省中考真題數(shù)學試題）已知拋物線經(jīng)過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據(jù)已知條件得出點在對稱軸的右側(cè)，且，進而得出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∵分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，假設(shè)點在對稱軸的右側(cè)，則，解得，∴∴點在點的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點在對稱軸的右側(cè)，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移“左加右減，上加下減”可進行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為；故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點．【答案】2或4/4或2【分析】先求出拋物線向下平移1個單位長度后與的交點坐標，然后再求出新拋物線經(jīng)過原點時平移的長度．【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，令，則，解得，，∴拋物線與的交點坐標為和，∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經(jīng)過原點．故答案為：2或4．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．變式2.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察拋物線和拋物線可以發(fā)現(xiàn)，它們通過平移得到，故點通過相同的平移落在拋物線上，從而得到結(jié)論．【詳解】∵拋物線是拋物線（）向左平移1個單位長度得到∴拋物線上點向左平移1個單位長度后，會在拋物線上∴點在拋物線上故選：D【點睛】本題考查函數(shù)圖象與點的平移，通過函數(shù)解析式得到平移方式是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）拋物線經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通過了解平移過程，得到二次函數(shù)平移過程中不改變開口大小和開口方向，所以a不變，選出答案即可．【詳解】解：拋物線經(jīng)平移后，不改變開口大小和開口方向，所以a不變，而D選項中a=-1，不可能是經(jīng)過平移得到，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)平移的知識點，上加下減，左加右減，熟練掌握方法是解題關(guān)鍵，還要掌握通過平移不能改變開口大小和開口方向，即不改變a的大小．例8：（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關(guān)于點成中心對稱的拋物線的表達式為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出C點坐標，再設(shè)新拋物線上的點的坐標為（x,y），求出它關(guān)于點C對稱的點的坐標，代入到原拋物線解析式中去，即可得到新拋物線的解析式．【詳解】解:當x=0時，y=5，∴C（0,5）；設(shè)新拋物線上的點的坐標為（x,y），∵原拋物線與新拋物線關(guān)于點C成中心對稱，由，；∴對應(yīng)的原拋物線上點的坐標為；代入原拋物線解析式可得：，∴新拋物線的解析式為：；故選：A．【點睛】本題綜合考查了求拋物線上點的坐標、中心對稱在平面直角坐標系中的運用以及求拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出新拋物線上的點的坐標，求出其在原拋物線上的對應(yīng)點坐標，再代入原拋物線解析式中求新拋物線解析式，本題屬于中等難度題目，蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．變式1.（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（

）A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律分別判斷A，B，根據(jù)翻折前后的開口方向，對稱軸以及與y軸交點情況判斷C，D．【詳解】解：A、若將圖象沿y軸平移m個單位，則，∴a值不變，b值不變，故正確，不符合題意；B、若將圖象沿x軸平移m個單位，則，∴a值不變，b值變化；故不符合題意；C、若將圖象沿y軸翻折，則開口方向不變，對稱軸變化，與y軸交點不變，∴a值不變，b值變化，c值不變，故正確，不符合題意；D、若將圖象沿x軸翻折，則開口方向變化，對稱軸不變，與y軸交點變化，∴a值變化，b值變化，c值變化，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平移規(guī)律，以及翻折前后各部分的變化情況．變式2．（2023·陜西·?？级＃┮阎獟佄锞€的頂點為A，拋物線與拋物線關(guān)于點成中心對稱，若拋物線經(jīng)過點A，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)題意求得拋物線的頂點坐標，得出二次函數(shù)解析式，把的坐標代入即可解得的值．【詳解】解：拋物線，頂點，拋物線與拋物線關(guān)于成中心對稱，拋物線的開口大小相同，方向相反，頂點為∴的解析式是：，拋物線經(jīng)過點，，解得，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，表示出拋物線的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．例9：（2023年山東省泰安市中考數(shù)學真題）二次函數(shù)的最大值是．【答案】【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可求解．【詳解】解：利用配方法，將一般式化成頂點式：二次函數(shù)開口向下，頂點處取最大值，即當時，最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識．將一般式化為頂點式，頂點處取到最值．其中配方法是解決問題的關(guān)鍵，也是易錯點．變式1.（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學真題）已知拋物線，則當時，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【分析】把拋物線化為頂點式，得到對稱軸為，當時，函數(shù)的最小值為，再分別求出和時的函數(shù)值，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴對稱軸為，當時，函數(shù)的最小值為，當時，，當時，，∴當時，函數(shù)的最大值為2，故選：D【點睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點，其對稱軸在軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】D【分析】將代入二次函數(shù)解析式，進而得出的值，再利用對稱軸在軸左側(cè)，得出，再利用二次函數(shù)的頂點式即可求出二次函數(shù)最值．【詳解】解：將代入二次函數(shù)解析式得：，解得：，，∵二次函數(shù)，對稱軸在軸左側(cè)，即，∴，∴，∴，∴當時，二次函數(shù)有最小值，最小值為，故選：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出的值是解題關(guān)鍵．例10：（2023·浙江·校聯(lián)考統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（）的圖象交x軸于點A，B（點A在B的左側(cè)），當時，函數(shù)的最大值為8，則b的值為（

）A．－1 B． C．－2 D．【答案】D【分析】拋物線（）的對稱軸為直線，又拋物線開口向下，分和兩種情況討論二次函數(shù)在時的最大值，即可求得的值．【詳解】解：拋物線（）的對稱軸為直線，∵∴拋物線開口向下當時，對稱軸在直線和直線之間，如圖1所示，若，二次函數(shù)在頂點處取最大值8，即當時，，解得，與不符，應(yīng)該舍去；當時，如圖2所示，若，二次函數(shù)的函數(shù)值隨著的增大而減小，故二次函數(shù)在時取最大值8，即當時，，解得，符合題意，綜上可知，，故選：D【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，當對稱軸不固定時，正確的分情況討論是解題的關(guān)鍵所在．變式1.（2022上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)（為實數(shù)，且），對于滿足的任意一個的值，都有，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由該二次函數(shù)解析式可知，該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)的最大值為，由題意可解得，根據(jù)函數(shù)圖像可知的值越小，其對稱軸越靠左，滿足的的值越小，故令即可求得的最大值．【詳解】解：∵函數(shù)，且，∴該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)有最大值，其最大值為，若要滿足的任意一個的值，都有，則有，解得，對于該函數(shù)圖像的對稱軸，的值越小，其對稱軸越靠左，如下圖，結(jié)合圖像可知，的值越小，滿足的的值越小，∴當取的最大值，即時，令，解得，，∴滿足的的最大值為，即的最大值為．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，借助函數(shù)圖像的變化分析求解．變式2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+10，當m≤x≤n，且mn＜0時，y的最小值為2m，y的最大值為2n，則的值為（）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意可得m＜0，n＞0，則y的最小值為2m為負數(shù)，最大值為2n為正數(shù)．分兩種情況討論：①當n＜1時，x＝m時，y取最小值，求出m的值，當x＝n時，y取最大值，可求得n的值，即可得到m+n的值；②當n≥1時，當x＝m時，y取最小值，求出m的值，當x＝1時，y取最大值，求出n的值，或x＝n時，y取最小值，x＝1時，y取最大值，分別求出m，n的值，故可求解．【詳解】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+10的大致圖象如下：∵mn＜0時，y的最小值為2m，y的最大值為2n，∴m＜0，n＞0，①當n＜1時，x＝m時，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．當x＝n時，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，解得：n＝3或n＝﹣3（均不合題意，舍去）；②當n≥1時，當x＝m時，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．當x＝1時，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，解得：n＝5，或x＝n時，y取最小值，x＝1時，y取最大值，2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，∴m＝﹣3，所以m+n＝﹣3+5＝2．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．核心考點3.二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關(guān)系例11：（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置及拋物線經(jīng)過（1，0）可得a，b，c的等量關(guān)系，然后將x=-1代入解析式求解．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴-＜0，∴b＞0，∵拋物線經(jīng)過（0，-2），∴c=-2，∵拋物線經(jīng)過（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，當x=-1時，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案為：-4＜m＜0．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．變式1.（2023湖南省株洲市中考數(shù)學真題）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，則下列說法正確的是（

）

A．b恒大于0 B．a(chǎn)，b同號 C．a(chǎn)，b異號 D．以上說法都不對【答案】C【分析】先寫出拋物線的對稱軸方程，再列不等式，再分，兩種情況討論即可．【詳解】解：∵直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，∴對稱軸為直線，當時，則，當時，則，∴a，b異號，故選C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用對稱軸在y軸的右側(cè)列不等式是解本題的關(guān)鍵．變式2.（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學真題）如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結(jié)論中正確的是（

）（多選題）

A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷選項A；根據(jù)圖象與y軸的交點位置，可判斷選項B；根據(jù)拋物線和x軸的交點個數(shù)可判斷選項C；時函數(shù)值的情況，可判斷選項D．【詳解】解：A、由函數(shù)圖象得，拋物線開口向下，故，故A錯誤；B、圖象與y軸的交點在原點上方，故，故B正確；C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故，故C錯誤．D、當時，，故D正確；故選：BD．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、以及二次函數(shù)的圖象的特點．例12：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得，根據(jù)拋物線的對稱軸可推得，根據(jù)時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據(jù)點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據(jù)拋物線的圖象可知二次函數(shù)與直線有兩個不同的交點，推得關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性可得二次函數(shù)必然經(jīng)過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．【詳解】①∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線的對稱軸為直線，∴，由圖象可得時，，即，而，∴．故①錯誤；②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．故當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，∵，，即點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，故，故②正確；③由圖象可知：二次函數(shù)與直線有兩個不同的交點，即關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤；④∵函數(shù)圖象經(jīng)過，對稱軸為直線，∴二次函數(shù)必然經(jīng)過點，∴時，的取值范圍，故④正確；綜上，②④正確，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置；常數(shù)項決定拋物線與軸交點；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年湖北省武漢市數(shù)學真題）拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過三點，且．下列四個結(jié)論：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．其中正確的是（填寫序號）．【答案】②③④【分析】①根據(jù)圖象經(jīng)過，，且拋物線與x軸的一個交點一定在或的右側(cè)，判斷出拋物線的開口向下，，再把代入得，即可判斷①錯誤；②先得出拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，得出拋物線的頂點在點的右側(cè)，得出，根據(jù)，即可得出，即可判斷②正確；③先得出拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，得出到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，根據(jù)，拋物線開口向下，距離拋物線越近的函數(shù)值越大，即可得出③正確；④根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出，把代入得，即，求出，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，根據(jù)，得出，求出m的取值范圍，即可判斷④正確．【詳解】解：①圖象經(jīng)過，，即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的兩個交點都在的左側(cè)，∵中，∴拋物線與x軸的一個交點一定在或的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即，把代入得，即，∵，，∴，故①錯誤；②∵，，，∴，∴方程的兩個根的積大于0，即，∵，∴，∴，即拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，∴拋物線的頂點在點的右側(cè)，∴，∵，∴，故②正確；③∵，∴當時，，∴拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，∵，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴，故③正確；④方程可變?yōu)?，∵方程有兩個相等的實數(shù)解，∴，∵把代入得，即，∴，即，∴，∴，即，∵在拋物線上，∴，n為方程的兩個根，∴，∴，∵，∴，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的是②③④．故答案為：②③④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知條件判斷得出拋物線開口向下．變式2．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B兩點，對稱軸是直線，下列結(jié)論中，①；②點B的坐標為；③；④對于任意實數(shù)m，都有，所有正確結(jié)論的序號為（

）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口方向可得a的符號，可對①進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸，由二次函數(shù)的對稱性可得B點坐標，由圖象即可對②進行判斷；根據(jù)點A，點B代入解析式利用加減消元法可得，從而判定③，再由時函數(shù)取最大值判定④．【詳解】解：∵拋物線開?向下，∴，故①錯誤，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，設(shè)點B坐標為∵拋物線對稱軸為直線，點A的坐標為，∴，解得：，∴點B的坐標為，故②正確，∵點A的坐標為，點B的坐標為，∴∴由得，即，故③正確；∵，拋物線對稱軸為直線，∴當時，時函數(shù)最大值，當時，，∴，即，綜上所述：正確的結(jié)論有②③④，故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的對稱性是解題關(guān)鍵．核心考點4.二次函數(shù)與方程、不等式例13：（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點，直線與拋物線交于C、D兩點，∵，關(guān)于x的方程的解為，關(guān)于x的方程的解為，∴分別是A、B、C、D的橫坐標，∴，故選B．

【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，正確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直線與拋物線交點的橫坐標是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則n的值可以是（填一個值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，一次函數(shù)的圖象與軸有一個交點在軸右側(cè)，，為異號，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．變式2．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）拋物線的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是對應(yīng)的方程的解是解題關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與軸的另一個交點坐標即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖象可得：圖象與x軸的一個交點是，對稱軸為直線，∴圖象與x軸的另一個交點是，∴關(guān)于x的一元二次方程的兩根為：．故答案為：．變式3.（2023年四川省南充市中考數(shù)學真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數(shù)的取值范圍是(

)A．B．或C．D．或【答案】B【分析】根據(jù)拋物線有交點，則有實數(shù)根，得出或，分類討論，分別求得當和時的范圍，即可求解．【詳解】解：∵拋物線與x軸有交點，∴有實數(shù)根，∴即解得：或，當時，如圖所示，依題意，當時，，解得：，

當時，，解得，即，當時，當時，，解得：∴綜上所述，或，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例14：（2023·湖北武漢·?？家荒＃┓匠痰母梢暈楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數(shù)根x所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得方程的實數(shù)根是函數(shù)和的圖象交點的橫坐標，畫圖草圖，結(jié)合圖像求值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵方程，∴，∴方程的實數(shù)根是函數(shù)和的圖象交點的橫坐標，這兩個函數(shù)的圖象如圖所示，則它們的交點在第一象限，當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數(shù)下方；當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數(shù)下方；當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數(shù)上方；∴方程的實根x所在范圍為，故選：B．【點睛】本題考查了運用圖象法求一元二次方程的近似根，難度中等．解決本題的關(guān)鍵是得到所求的方程為一個二次函數(shù)和一個反比例函數(shù)的解析式的交