概率講義-2024屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之概率

一.隨機(jī)事件與概率

【知識(shí)梳理】

1、我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E表示.

2、我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)

E的樣本空間.一般地，我們用Q表示樣本空間，用0表示樣本點(diǎn).

3、一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)時(shí)間都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表

示.我們將樣本空間Q的子集稱為隨機(jī)事件，并把只包含了一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本

事件.

4、隨機(jī)時(shí)間一般用大寫字母A,B,C,…表示，在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣

本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

5、。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所

以?？倳?huì)發(fā)生，我們稱Q為必然事件.而空集0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都

不會(huì)發(fā)生，我們稱。為不可能事件.

6、一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件

A包含于事件B）,記作3衛(wèi)A（或特別地，如果事件B包含事件A,事件

A也包含事件B,即33A且A衛(wèi)3,則稱事件A與事件B相等，記作4=6.

7、一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件

A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），

記作AB（或A+3）.

8、一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也

在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作

AB（或AB）.

9、一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A8是一個(gè)不可能事件，

即AB=0,則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.

10、一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即

AB=O,且AB=0,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.事件A的對(duì)立事件記為

A.

11、事件的關(guān)系或運(yùn)算

事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A^B

并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A8或A+3

交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A8或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生AB=0

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A3=0且AB=0

12、對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P

(A)表示.

13、我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模

型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

14、一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Q包含幾個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的

上個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率尸(4)=±=匹”，

nn(Q)

其中77(A)和“(Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

15、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)于任意的事件A,都有P(A)K).

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能的事件概率為0.

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=LP(A),P(A)=LP

(B).

性質(zhì)5如果ACB,那么P(A)<P(B).

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(AAB).

16、一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)九的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的

頻率力(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的

穩(wěn)定性.

【針對(duì)性訓(xùn)練】

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的

兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)尸的坐標(biāo)，則事件“點(diǎn)尸落在x軸上”包含的樣本點(diǎn)共有()

A.7個(gè)B.8個(gè)C.9個(gè)D.10個(gè)

2.已知集合A是集合3的真子集，下列關(guān)于非空集合A,8的四個(gè)命題，正確的是(

)

A.若任取xeA,則xeB是必然事件

B.若任取x定A,則xeB是不可能事件

C.若任取則xeA是隨機(jī)事件

D.若任取十e3,則xeA是必然事件

3.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè).

(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)用集合表示A="取出的兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍”.

4.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，向上面都是正面為事件拉，向上面至少有一枚是正面

為事件N,則有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

5.某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件4=“只訂甲報(bào)”，B=“至少訂一

種報(bào)紙”，C=”至多訂一種報(bào)紙”，D="一種報(bào)紙也不訂”.判斷下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件.

(1)A與C；

(2)B與D；

(3)B與C；

(4)A與￡).

6.下列是古典概型的是（）

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時(shí)

B.求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時(shí)

C.從甲地到乙地共〃條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.從袋子中的3個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取2個(gè)小球，計(jì)算所取的兩個(gè)小球都是白球的概

率

7.從甲、乙、丙三人中任選2人作代表，則甲被選中的概率為（）

8.現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求:

（1）所取的2道題都是甲類題的概率；

（2）所取的2道題不是同一類題的概率.

9.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為工，從中取出2粒

7

都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）

10.袋中有除顏色外其他完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從袋中任意取出2

個(gè)球，求下列事件的概率：

（1）A="取出的2個(gè)球都是白球”；

（2）B="取出的2個(gè)球中有1個(gè)白球、1個(gè)紅球”；

（3）C="取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球”.

二.隨機(jī)事件的獨(dú)立性

【知識(shí)梳理】

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件

B相互獨(dú)立.

【針對(duì)性訓(xùn)練】

11.一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，用A表示第一次摸得白球，A

表示第二次摸得白球，則事件A與可是()

A.相互獨(dú)立事件B.不相互獨(dú)立事件

C.互斥事件D.對(duì)立事件

12.若事件E與E相互獨(dú)立，且P(E)=P(F)=1,則P(EB)的值等于()

13.某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，購(gòu)買一定價(jià)值的商品，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，如果兩次

抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05,求以下事件的概率：

(1)兩次都中獎(jiǎng)；

(2)恰有一次中獎(jiǎng)；

(3)至少有一次中獎(jiǎng).

14.小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概

率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求：

(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；

(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.

15.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A,3都不發(fā)生的概率為l，只有A發(fā)生的概率等于只有3發(fā)

9

生的概率，則事件A發(fā)生的概率尸(A)=.

16.甲騎自行車從A地到3地，途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅

燈的概率都是工，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒(méi)有

3

遇到紅燈，直到第3個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是（）

17.某自助銀行設(shè)有兩臺(tái)ATM機(jī).在某一時(shí)刻這兩臺(tái)A770機(jī)被占用的概率分別為L(zhǎng)

3

則客戶此刻到達(dá)需要等待的概率為

2------

18.事件A,B,C相互獨(dú)立，如果尸(AB)=LP(BQ=~,P(ABC)=~,那么尸(B)

P(AB)=

19.在如圖所示的電路圖中，開(kāi)關(guān)a,b,c閉合與斷開(kāi)的概率都是工，且是相互獨(dú)立

2

的，則燈亮的概率是.

20.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為工，學(xué)生3解出的概率為』，學(xué)生C解出的概

23

率為:，若A,B,C三人獨(dú)立去解答此題，則恰有一人解出的概率為（）

17

A.1B.—cD.

24A24

三.隨機(jī)事件的條件概率

【知識(shí)梳理】

1、一般地，設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱

P(AB)

P(B\A)=

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

2、一般地，P(B|A)與P(B)不一定相等.如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件

A與B應(yīng)滿足相互獨(dú)立.

3、由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)

P(B|A).我們稱它為概率的乘法公式.

4、求條件概率由兩種方法：一種是基于樣本空間Q,先計(jì)算P(A)和P(AB),再

利用條件概率公式求P(B|A)；另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”

的條件后，樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率.

5、條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).如果P(A)>

0,則

(1)P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)設(shè)5和B互為對(duì)立事件，則尸(。設(shè)=1—尸

6、一般地，設(shè)%，?..,4是一組兩兩互斥的事件，AU&=Q，且

P(A)>0,i=l,2,n,則對(duì)任意的事件有

P(B)=^P(A)P(BIA)■我們把它稱為全概率公式.

1=1

7、貝葉斯公式：設(shè)A，4，…，A”是一組兩兩互斥的事件，

AAA=Q，且P(4)〉0，i=h2,n,則對(duì)任意的事件5三0,P

(B)>0,有

p（A）p（RA）_P（A）P（B1A）

P(Ai\B)=

P(B)

＞（4）尸（例4）

【針對(duì)性訓(xùn)練】

21.在射擊訓(xùn)練中，某射擊運(yùn)動(dòng)員一次射擊命中的概率是0.8,連續(xù)兩次射擊均命中的概率

是0.6,已知該射手第一次命中，則他第二次也命中的概率是（）

22.某人忘記了一個(gè)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功

的概率是（）

41L

23.在7張卡片上分別寫有―，7i,2+i,In-,z4,0,cosl,其中i為虛數(shù)單位.從

32

這7張卡片中隨機(jī)抽取一張，記“抽到的卡片上的數(shù)是正實(shí)數(shù)”為事件A,“抽到的卡片

上的數(shù)是無(wú)理數(shù)”為事件3,則下列結(jié)果正確的是（）

34203

A.P（A）=-B.P（B）=-C.P（AB）=—D.P（B|A）=-

24.某地一農(nóng)業(yè)科技實(shí)驗(yàn)站，對(duì)一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn)，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為

0.8,出芽后的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中，隨機(jī)地抽取一粒，則這粒水稻種子

能成長(zhǎng)為幼苗的概率為（）

A.0.02B.0.08C.0.72D.0.18

25.已知袋子內(nèi)有7朵大小相同的小花，其中4朵紅花，3朵黃花，從中不放回地抽取2

次，每次抽取1朵花，那么在已知第一次抽到紅花的條件下，第二次也抽到紅花的概率是（

)

26.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A：“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事

件B：“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則尸（例A）=（）

27.設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、

乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為工，,

101520

現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）

A.0.08B.0.1C.0.15

28.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假設(shè)男人女人各占一半，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一

人，則此人恰是色盲的概率為（）

A.0.01245B.0.05786C.0.028650.02625

29.有三個(gè)同樣的箱子，甲箱中有2只紅球，6只白球，乙箱中有6只紅球，4只白球，丙

箱中有3只紅球，5只白球.

（1）隨機(jī)從甲、乙、丙三個(gè)箱子中各取一球，求三球都為紅球的概率；

(2)從甲，乙、丙中隨機(jī)取一箱，再?gòu)脑撓渲腥稳∫磺?，求該球?yàn)榧t球的概率.

30.某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢

品率為0.06,乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05,求：

(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；

(2)若將所有產(chǎn)品開(kāi)箱混放，求任取■個(gè)為廢品的概率.

四.離散型隨機(jī)變量及其分布列

【知識(shí)梳理】

1、一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Q中的每個(gè)樣本點(diǎn)①，都有唯一的實(shí)數(shù)X(o)與之

對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.其中，可以取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我

們稱為離散型隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如X,Y,Z；用小寫

英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如x,y,z.

2、一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為玉，3，…，%，我們稱X取每一個(gè)

值七的概率

P(X=X])=Pt,z=1,2,n

為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.

3、根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：

(1)/?,.>0,i=l,2,n；

⑵B+2+…+p“=l.

4、對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，入表示“失敗”，定義

]A發(fā)生_

X=\5_，如果P(A)=p,則P(?=1-P，那么X的分布列如表：

0,A發(fā)生

X01

P1-PP

我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.

5、一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表,

X再X2Xn

PPlPlPn

則稱

n

E(x)=+x2p,++xnpn=￡xiPi

i=l

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取

值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值

的平均水平.

6、一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么

E(x)=0x(l-s)+lxp-p.

7、如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，將X進(jìn)行平移或伸縮后，均值有如下變化：

E(aX)=aE(X),

E(X+b)=E(X)+b,

E(aX+b)=aE(X)+b.

8、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：

XX]X2Xn

pPlPlPn

我們稱

D(X)=&-E(x))2p1+(0-E(x))22++g-E(x))2p.&-E(X))2R

Z=1

為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為如r(X),并稱j￡>(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記

為<T(X).

9、隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨

機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越

大，隨機(jī)變量的取值越分散.

10、離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)Zj,僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其

均值的離散程度，方差保持不變，即。(X+b)=D(X).而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)

常數(shù)。，其方差變?yōu)樵讲畹?倍，即。(aX)=/D(X).一般地，可以證明

D(aX+b)=a2D(X)成立.

11、我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地

重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為〃重伯努利試驗(yàn).顯然，九重伯努利試驗(yàn)具有如下

共同特征：

(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做〃次，“重復(fù)”意味著各次試驗(yàn)成功的概率相同；

(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

12、一般地，在九重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為(0<p<l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=Z)=CpF-p)一,左=0,1,

2,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分

布，記作X?5(n,p).

13、由二項(xiàng)式定理，容易得到

之p(x=k)生C：/(I-0…=[°+(1-如"=1.

k=0k=0

14、一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：

(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；

(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)〃，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性;

(3)設(shè)X為九次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X?5(九，p).

15、一般地，可以證明：如果X~3(〃，p),那么石(X)=〃p,D(X)=np(l—p).

16、一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取”件

(不放回)，用X表示抽取的九件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)="N-M,k=m,m+1,m+2,…，r.

C'N

其中〃，N,MeN*,M<N,n<N,m—max{O,n-N+M},r=min{〃,Af}.如

果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

17、設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，

不放回地隨機(jī)抽取〃件產(chǎn)品中的次品數(shù).令夕=絲，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而工

Nn

是抽取的九件產(chǎn)品的次品率，可以得到E(工)=p,即E(X)="p.

n

【針對(duì)性訓(xùn)練】

31.已知8件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量，用J表示,

那么4的取值為()

A.0,1B.1,2C.0,1,2D.0,1,2,3

32.下列表格中，不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列的是()

A.

X-2024

P0.50.20.30

B.

X012

P0.70.150.15

C.

X123

Pj_2

~323

D.

X123

PIgllg2嗟

33.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X123

p256

131313

則E(X)的值為()

,25-27-30

A.——B.2C.——D.——

131313

34.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且E(X)=6.3,貝！I()

X4a9

P0.50.1b

A.a=7B.Z?=0.4C.E(aX)=44.1D.E(bX+a)=2.62

35.己知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則P(X=3)=.

X1234

P1]_J.1

6363

36.某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項(xiàng)活動(dòng).

(1)求選出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；

(2)用X表示選出的2人中男生的個(gè)數(shù)，求X的分布列.

37.設(shè)隨機(jī)變量X服從，則尸(X=3)的值是()

35

A.B.—D.

16168

(多選)38.下列說(shuō)法正確的是()

A.設(shè)X為九重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則XT?(〃,p)

B.在“重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒(méi)有影響

C.對(duì)于w重伯努利試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同

D.如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是0,那么在“重伯努利試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好

發(fā)生4次的概率P(X=k)(1-P)〃F，笈=。，1，2,…，n

39.在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球.設(shè)取出的

4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=旦B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

21

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.召(X)=|

40.下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有()

A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，取到的次品數(shù)X

B.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)X

C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，此學(xué)生遇到紅燈的次數(shù)X

D.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動(dòng)，其中男生的人數(shù)X

五.正態(tài)分布

【知識(shí)梳理】

1、除了離散型隨機(jī)變量，還有大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往

充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)

變量.

2、我們稱=(XGR,其中〃eR,。>0為參數(shù))為正態(tài)密度函

數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.顯然對(duì)于任意的xeH,/(x)>0,

它的圖象在x軸的上方.x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.

3、若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為

X?N(〃，(r2).特別地，當(dāng)〃=0,cr=l時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

4、正態(tài)曲線的特點(diǎn)：

(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線尤=〃對(duì)稱；

(2)曲線在x=處達(dá)到峰值

"2乃

(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.

5、函數(shù)y=/(x-〃)的圖像可由y=/(x)的圖像平移得到.在參數(shù)b取固定值時(shí)，正

態(tài)曲線的位置由〃確定，且隨著〃的變化而沿X軸平移.當(dāng)〃取定值時(shí)，因?yàn)榍€的峰

值一4與。成反比，而且對(duì)任意的b>0,曲線與X軸圍成的面積總為1.因此，當(dāng)

（7,2乃

b較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)b較大時(shí)，峰

值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散.

6、若X?N（〃，/）,則有E（X）=〃，D（X）=CT2.

7、假設(shè)X?N（〃，cr2）,可以證明：對(duì)于給定的左eN*,P（〃一hrWX?〃+左cr）

是一個(gè)只與人有關(guān)的定值.特別地，

P（/j-（y<X<ju+（7）?0.6827,

P（//-2CT<X</j+2a）?0.9545,

P（〃-3crWXW〃+3cr）?0.9973.

由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是（-8,+8）,但在一次試驗(yàn)中，X的取

值幾乎總是落在區(qū)間［〃-3b,〃+3b］內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有

0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布

（〃，/）的隨機(jī)變量x只取［〃—3b,〃+3cr］中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3?原則.

【針對(duì)性訓(xùn)練】

41.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N3,of）。>0）和N3，畸依>0）的密度曲線如圖所示，則有（

B.C.A>例，ai<a2D.4>〃2，ai>a2

42.已知隨機(jī)變量X?N(0.4,b；),F?陽(yáng)0.8,無(wú))，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)

A.P(X?.4)=P(Y0.8)

B.尸(XH))=P(y0)

c.x的取值比y的取值更集中于平均值

D.兩支正態(tài)曲線與無(wú)軸之間的面積均為1

43.若隨機(jī)變量X?N(2,l),且尸(X>l)=0.8413,則P(X>3)等于()

A.0.1587B.0.3174C.0.3413D.0.6826

44.已知隨機(jī)變量X?N(2,cr2)如圖所示，若P(X<a)=0.32，則

P(薇4—a)=.

45.下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個(gè)敘述中，正確的有()

A.曲線在x軸上方，且與無(wú)軸不相交

B.當(dāng)〃時(shí)，曲線下降，當(dāng)〃時(shí)，曲線上升

C.當(dāng)〃一定時(shí)，。越小，總體分布越分散，b越大，總體分布越集中

D.曲線關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，且當(dāng)x=〃時(shí)，位于最高點(diǎn)

46.設(shè)隨機(jī)變量X?N(Lb?),且P(X”一1)=。，貝i」P(X..l)=

47.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(202),且PC<4)=0.8,則尸(0<4<2)等于()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

48.設(shè)隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(4,3),若PC<a-5)=PC>a+l),則實(shí)數(shù)。=

49.某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：加加)服從正態(tài)分布

X?N(100,l).現(xiàn)加工10個(gè)螺栓的尺寸(單位：加利)如下：

101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.

X?N(〃Q2)有P(〃-2b<X<〃+2b)=0.954,P(〃一3cr<X<〃+3b)=0.997.根據(jù)行

業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交于質(zhì)檢員檢驗(yàn)，則質(zhì)檢

員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為()

50.假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下包裝出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500,

52）（單位：g）,該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于

515g?

（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于515g的概率.

（2）檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷

是否合理？請(qǐng)說(shuō)明理由.

附：若X?則P（〃一3通度//+3o-）~0.997.

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之概率

參考答案與試題解析

一.隨機(jī)事件與概率

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的

兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)尸的坐標(biāo)，則事件“點(diǎn)尸落在x軸上”包含的樣本點(diǎn)共有（）

A.7個(gè)B.8個(gè)C.9個(gè)D.10個(gè)

【答案】C

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；排列組合；邏輯推理

【分析】根據(jù)“點(diǎn)P落在x軸上“包含的樣本點(diǎn)的特征，即可求解.

【解答】解：“點(diǎn)尸落在x軸上“包含的樣本點(diǎn)的特征是縱坐標(biāo)為0,橫坐標(biāo)不為0,因集

合A中有9個(gè)非零數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A是集合3的真子集，下列關(guān)于非空集合A,3的四個(gè)命題，正確的是（

）

A.若任取xeA,則xe3是必然事件

B.若任取x任A,則xe3是不可能事件

C.若任取xeB,則xeA是隨機(jī)事件

D.若任取xeB,則x走A是必然事件

【答案】ACD

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件

【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；直觀想象

【分析】根據(jù)必然事件，隨機(jī)事件，不可能事件的定義判斷即可.

【解答】解：集合A是集合3的真子集，.'A中的任意一個(gè)元素都是3中的元素，而3中

至少有一個(gè)元素不在A中，因此A正確，3錯(cuò)誤，C正確，￡＞正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了必然事件，隨機(jī)事件和不可能事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè).

(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)用集合表示A="取出的兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍”.

【答案】(1)樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,4)，(41),(4,2),(4,3)}；

(2)A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【考點(diǎn)】樣本點(diǎn)與樣本空間

【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)

【分析】(1)用(尤,y)表示取出的兩個(gè)數(shù)，x,y=1,2,3,4,且xwy,從而寫出試驗(yàn)的

樣本空間；

(2)根據(jù)題意寫出集合A即可.

【解答】解：(1)用(x,y)表示取出的兩個(gè)數(shù)，x,y=l,2,3,4,且xwy,

所以樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),

(41)，(4,2),(4,3)}；

(2)因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)成2倍關(guān)系的有1和2,2和4,

所以A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了樣本空間和樣本點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，向上面都是正面為事件拉，向上面至少有一枚是正面

為事件N,則有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

【答案】A

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；對(duì)應(yīng)思想；分析法

【分析】根據(jù)事件的概念，判斷即可.

【解答】解：因?yàn)橄蛏弦幻娑际钦娴臑槭录蛏弦幻嬷辽儆幸幻妒钦娴臑槭录?/p>

N,

則事件M發(fā)生，事件N一定發(fā)生，故事件N包含事件即M=

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

5.某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A="只訂甲報(bào)”，B=“至少訂一

種報(bào)紙”，C=”至多訂一種報(bào)紙”，D="一種報(bào)紙也不訂”.判斷下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件.

(1)A與C；

(2)B與D；

(3)3與C；

(4)A與。.

【答案】(1)A與C不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；

(2)3與。是互斥事件，也是對(duì)立事件；

(3)3與C不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；

(4)A與。是互斥事件，但不是對(duì)立事件.

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法；整體思想

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念即可判斷.

【解答】解：事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件3為“至少訂一種報(bào)紙”，包含為訂甲報(bào)

紙，訂乙報(bào)紙，訂甲乙兩種報(bào)紙，

事件C為“至多訂一種報(bào)紙”包含訂甲報(bào)紙或訂乙報(bào)紙，事件。為“一種報(bào)紙也不訂”.

(1)A與C不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；

(2)3與。是互斥事件，也是對(duì)立事件；

(3)3與C不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；

(4)A與。是互斥事件，但不是對(duì)立事件.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互斥事件和獨(dú)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.下列是古典概型的是()

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時(shí)

B.求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時(shí)

C.從甲地到乙地共九條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.從袋子中的3個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取2個(gè)小球，計(jì)算所取的兩個(gè)小球都是白球的概

率

【答案】CD

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式

【專題】應(yīng)用題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理

【分析】根據(jù)古典概型基本事件的有限性和發(fā)生的等可能性入手，A中基本事件的發(fā)生的

可能性不相等，不滿足條件；3中基本事件的個(gè)數(shù)無(wú)限多，不滿足條件；。中基本事件數(shù)

能確定，每種的可能性相等，進(jìn)而可確定答案.

【解答】解：古典概型的基本事件是等可能事件，A中的點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的概率不相等，故

A不正確；

3中的基本事件數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，與古典概型的基本事件的總數(shù)應(yīng)有有限個(gè)不相符，故3不

正確；

C符合古典概型的要求；故C正確；

。中基本事件數(shù)有C；種，每種出現(xiàn)的可能性相等，故。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的定義和性質(zhì).考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.

7.從甲、乙、丙三人中任選2人作代表，則甲被選中的概率為()

112

A.-B.-C.-D.1

233

【答案】C

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)

【分析】根據(jù)排列組合知識(shí)求解甲被選中的個(gè)數(shù)，從甲、乙、丙三人中任選2人作代表的事

件個(gè)數(shù)，再運(yùn)用公式求解.

【解答】解：從甲、乙、丙三人中任選2人作代表

，總的事件為C；=3,

甲被選中的個(gè)數(shù)為C；=2,

.?.甲被選中的概率為三，

3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概率的求解，屬于容易題.

8.現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：

(1)所取的2道題都是甲類題的概率；

(2)所取的2道題不是同一類題的概率.

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)

【分析】(1)先求出基本事件總數(shù)〃=C：=15,再求出所取的2道題都是甲類題包含的基本

事件個(gè)數(shù)根=C；=6,由此能求出所取的2道題都是甲類題的概率.

(2)所取的2道題不是同一類題包含的基本事件個(gè)數(shù)加=C；C；=8,由此能求出所取的2

道題不是同一類題的概率.

【解答】解：(1)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解

答，

基本事件總數(shù)w=C；=15,

所取的2道題都是甲類題包含的基本事件個(gè)數(shù)==6,

所取的2道題都是甲類題的概率0='=色=2.

n155

(2)所取的2道題不是同一類題包含的基本事件個(gè)數(shù)m'==8,

所取的2道題不是同一類題的概率弘.

n15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

9.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為工，從中取出2粒

7

都是白子的概率是￡.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()

A.-B.—C.—D.1

73535

【考點(diǎn)】CB-.古典概型及其概率計(jì)算公式

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5/：概率與統(tǒng)計(jì)；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】設(shè)事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是白子”，事件C

表示“取出2粒都是白子"，則。=虱8,又A,8互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式

P(C)=P(A[B)=P(A)+P(B),

【解答】解：依題意，設(shè)事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是

白子”，事件C表示“取出2粒都是白子”，

則。=418，又A，3互斥，

1io17

根據(jù)互斥事件的概率加法公式P(C)=P(AlB)=P(A)+P(B)

73535

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了事件的關(guān)系，互斥事件的概率加法，屬于基礎(chǔ)題.

10.袋中有除顏色外其他完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從袋中任意取出2

個(gè)球，求下列事件的概率：

(1)A=”取出的2個(gè)球都是白球”；

(2)B="取