2025屆天津市濱海新區(qū)高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2025屆天津市濱海新區(qū)高一數(shù)學第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．2．已知組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2,方差為5,則數(shù)據(jù)2+1，2+1，…，2+1的平均數(shù)與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=213．下列結論正確的是（）．A．若ac<bc，則a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，則ac<bc D．若a<b4．在區(qū)間上隨機地取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為()A． B． C． D．5．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項和，滿足，且成等差數(shù)列，則（）A． B．6 C．7 D．97．若實數(shù)滿足約束條件則的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．8．用數(shù)學歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．9．如圖，在中，，點在邊上，且，則等于（）A． B． C． D．10．設集合，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在空間直角坐標系中，三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.12．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.13．已知當時，函數(shù)（且）取得最小值，則時，的值為__________．14．設函數(shù)，則________.15．已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是.16．設數(shù)列（）是等差數(shù)列，若和是方程的兩根，則數(shù)列的前2019項的和________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．請解決下列問題：（1）已知，求的值；（2）計算.18．已知函數(shù)的周期為，且圖像上一個最低點為.（1）求的解析式（2）若函數(shù)在上至少含20個零點時，求b的最小值.19．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù).x681012y2356（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；（2）判斷該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關還是負相關；并預測判斷力為4的同學的記憶力.（參考公式：）20．某工廠提供了節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過程中的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對照數(shù)據(jù)．（1）請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預測產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗．相關公式：，．21．已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)題目條件結合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA，進而利用二倍角余弦公式得到結果.【詳解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故選C【點睛】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運用，考查計算能力，屬于基礎題．2、C【解析】

根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，方差為5，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，其方差；故選．【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，關鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算公式，屬于基礎題．3、C【解析】分析：根據(jù)不等式性質(zhì)逐一分析即可.詳解：A.若ac<bc，則a<b,因為不知道c的符號，故錯誤；B.若a2<可令a=-1，b=-2，則結論錯誤；D.若a<b，則點睛：考查不等式的基本性質(zhì)，做此類題型最好的方法就是舉例子注意排除即可.屬于基礎題.4、A【解析】由得，，所以，由幾何概型概率的計算公式得，，故選.考點：1.幾何概型；2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).5、C【解析】試題分析：根據(jù)已知可得：，所以，所以夾角為，故選擇C考點：向量的運算6、C【解析】

設等比數(shù)列的公比為，且不為1，由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，再由等比數(shù)列的求和公式，可得答案．【詳解】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即且成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選：C．【點睛】本題考查等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

首先根據(jù)不等式組畫出對應的可行域，再分別計算出頂點的坐標，帶入目標函數(shù)求出相應的值，即可找到最大值和最小值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：，.，.，，.，，.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃，根據(jù)不等式組畫出可行域為解題的關鍵，屬于簡單題.8、B【解析】

分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當時，有，當時，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結合數(shù)學歸納法進行求解，熟知數(shù)學歸納法的步驟，最關鍵的是從到，考查學生仔細觀察的能力，是中檔題.9、C【解析】

在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，則可得CD.【詳解】在中，由余弦定理可得.又，故為直角三角形，故.因為，且為銳角，故.由利用正弦定理可得，代值可得，故.故選：C.【點睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎題.10、B【解析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【詳解】集合，集合，則故選B【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先根據(jù)坐標求出三棱錐的體積，再計算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意建立空間直角坐標系為解題的關鍵，屬于中檔題.12、【解析】

作出圖形，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.13、3【解析】

先根據(jù)計算，化簡函數(shù)，再根據(jù)當時，函數(shù)取得最小值，代入計算得到答案.【詳解】或當時，函數(shù)取得最小值：或（舍去）故答案為3【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，輔助角公式，函數(shù)的最值，綜合性較強，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.14、【解析】

利用反三角函數(shù)的定義，解方程即可．【詳解】因為函數(shù)，由反三角函數(shù)的定義，解方程，得，所以.故答案為：【點睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．15、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點：數(shù)列的遞推公式．16、2019【解析】

根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系得出，再利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)得到，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案.【詳解】由二次方程根與系數(shù)的關系可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，因此，等差數(shù)列的前項的和為，故答案為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和公式的應用，涉及二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵在于等差數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）3【解析】

（1）分子分母同時除以即可得解；（2）由對數(shù)的運算求解即可.【詳解】解：（1）由，分子分母同時除以可得，原式.（2）原式.【點睛】本題考查了三角求值中的齊次式求值問題，重點考查了對數(shù)的運算，屬基礎題.18、（1）（2）【解析】

（1）由周期得，利用最低點坐標可得，得解析式；（2）直接求出零點，根據(jù)零點排列得出有20個零點時，的最小值．【詳解】（1）由最低點為，得，由，得，由點在圖像上得，即，，即，又，，.（2）由（1）得，周期，在長為的閉區(qū)間內(nèi)有2個或3個零點，由，得，或，所以或..又，則當時恰有20個零點，此時b的最小值為.【點睛】本題考查求三角函數(shù)解析式，考查函數(shù)的零點個數(shù)問題．掌握三角函數(shù)的性質(zhì)如周期性質(zhì)，最值是解本題的基礎．本題零點問題可直接求出零點，然后由零點分析得出結論．19、（1）（2）該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關；判斷力為4的同學的記憶力約為9【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式計算回歸方程的系數(shù)，注意回歸直線過中心點，得回歸方程；（2）根據(jù)回歸系數(shù)的正負可得正相關還是負相關，令代入可得估計值．【詳解】（1），，，，，，故線性回歸方程為.（2）因為，故可以判斷，該高三學生的記憶力x和判斷力是正相關；由回歸直線方程預測，判斷力為4的同學的記憶力約為9.【點睛】本題考查求線性回歸直線方程，考查變量的相關性及回歸方程的應用．回歸方程中的系數(shù)的正負說明兩數(shù)據(jù)的正負相關，系數(shù)為正，則為正相關，系數(shù)為負，則為負相關．20、（1）（2）可以預測產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗為（噸）【解析】

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出，，，代入回歸系數(shù)的公式可求得，再根據(jù)回歸直線過樣本中心點即可求解.由（1）將代入即可求解.【詳解】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得，，，，代入回歸系數(shù)的公式，求得，則，故線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當時，，則可以預測產(chǎn)量為（噸）的生產(chǎn)能耗為（噸）．【點睛】本題考查了線性回歸方程，需掌握回歸直線過樣本中心點這一特征，考查了學