江蘇省宿遷2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

江蘇省宿遷2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖，這個圓的圓拱跨度米，拱高米，建造時每隔8米需要用一根支柱支撐，則支柱的高度大約是（）A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米2．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.假設(shè)在坐標系中的坐標為，則（)A． B． C． D．3．某學(xué)校高一、高二、高三教師人數(shù)分別為100、120、80，為了解他們在“學(xué)習(xí)強國”平臺上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為45的樣本，則抽取高一教師的人數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．304．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是（）A． B． C． D．5．若且，則（）A． B． C． D．6．要完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負擔(dān)情況，宜采用的抽樣方法依次為()A．①隨機抽樣法，②系統(tǒng)抽樣法B．①分層抽樣法，②隨機抽樣法C．①系統(tǒng)抽樣法，②分層抽樣法D．①②都用分層抽樣法7．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行數(shù)里，請公仔細算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，請問從第幾天開始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．68．若，直線的傾斜角等于（）A． B． C． D．9．的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．10．中國數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點，則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓與圓的公共弦長為______________。12．某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同種產(chǎn)品，數(shù)量分別為90件，60件，30件，為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，采用層抽樣方法抽取了一個容量為的樣本進行調(diào)查，其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件，應(yīng)從甲車間的產(chǎn)品中抽取______件.13．已知，則的值為______14．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；15．如圖，在中，已知點在邊上，，，則的長為____________．16．數(shù)列中，，則____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正項數(shù)列的前項和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于，兩點，且，求的值．19．某校團委會組織某班以小組為單位利用周末時間進行一次社會實踐活動，每個小組有5名同學(xué)，在活動結(jié)束后，學(xué)校團委會對該班的所有同學(xué)進行了測試，該班的A，B兩個小組所有同學(xué)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分數(shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組同學(xué)的平均分高一分．（1）若在B組學(xué)生中隨機挑選1人，求其得分超過86分的概率；（2）現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機抽取1名同學(xué)，設(shè)其分數(shù)分別為m、n，求的概率．20．記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．21．已知圓過點和，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）求直線：被圓截得的弦長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

以為原點、以為軸，以為軸建立平面直角坐標系，設(shè)出圓心坐標與半徑，可得圓拱所在圓的方程，將代入圓的方程，可求出支柱的高度【詳解】由圖以為原點、以為軸，以為軸建立平面直角坐標系，設(shè)圓心坐標為，，，則圓拱所在圓的方程為，，解得，，圓的方程為，將代入圓的方程，得.故選：A【點睛】本題考查了圓的標準方程在生活中的應(yīng)用，需熟記圓的標準方程的形式，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量模的運算和向量的數(shù)量積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

由分層抽樣方法即按比例抽樣，運算即可得解.【詳解】解：由分層抽樣方法可得抽取高一教師的人數(shù)為，故選：B.【點睛】本題考查了分層抽樣方法，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】設(shè)三件正品分別記為，一件次品記為則從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，取出的產(chǎn)品可能為，共6種情況，其中取出的產(chǎn)品全是正品的有3種所以產(chǎn)品全是正品的概率故選：B【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再根據(jù)正弦的二倍角公式求解即可【詳解】由題,因為,,所以或,因為,所以,則,所以,故選:A【點睛】本題考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用,考查同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值問題6、B【解析】①由于社會購買力與收入有關(guān)系，所以應(yīng)采用分層抽樣法；②由于人數(shù)少，可以采用簡單隨機抽樣法要完成下列二項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶低收入家庭中，選出100戶調(diào)查社會解：∵社會購買力的某項指標，受到家庭收入的影響而社區(qū)中各個家庭收入差別明顯①用分層抽樣法，而從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負擔(dān)情況的調(diào)查中個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，∴②用隨機抽樣法故選B7、B【解析】

由題意知，本題考查等比數(shù)列問題，此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由求和公式可得首項，進而求得答案．【詳解】設(shè)第一天的步數(shù)為，依題意知此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，解得，由，，解得,故選B．【點睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．8、A【解析】

根據(jù)以及可求出直線的傾斜角.【詳解】，，且直線的斜率為，因此，直線的傾斜角為.故選：A.【點睛】本題考查直線傾斜角的計算，要熟悉斜率與傾斜角之間的關(guān)系，還要根據(jù)傾斜角的取值范圍來求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由角度與弧度的關(guān)系轉(zhuǎn)化．【詳解】-150．故選：B.【點睛】本題考查角度與弧度的互化，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)系式：．10、C【解析】

設(shè)出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長公式可得所求.【詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長為，故答案為.【點睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于基本題.12、.【解析】

根據(jù)分層抽樣中樣本容量關(guān)系,即可求得從甲車間的產(chǎn)品中抽取數(shù)量.【詳解】根據(jù)分層抽樣為等概率抽樣,所以乙車間每個樣本被抽中的概率等于甲車間每個樣本被抽中的概率設(shè)從甲車間抽取樣本為件所以,解得所以從甲車間抽取樣本件故答案為:【點睛】本題考查了分層抽樣的特征及樣本數(shù)量的求法,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡，解出的值，再平方，即可求解.【詳解】由題意，可知，，平方可得則故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)常用公式關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值15、【解析】

由誘導(dǎo)公式可知，在中用余弦定理可得BD的長?！驹斀狻坑深}得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案為：【點睛】本題考查余弦定理和誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題。16、1【解析】

利用極限運算法則求解即可【詳解】故答案為：1【點睛】本題考查數(shù)列的極限，是基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進而結(jié)合首項與公差求得的通項公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項公式,利用裂項法即可求得前項和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因為正項數(shù)列的前項和為,且化簡可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項等比數(shù)列可得所以而當時,解得所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知則代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當時,,即所以因為對一切的恒成立則滿足,解不等式組可得即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式的應(yīng)用,裂項求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強,屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】分析：（1）因為曲線與坐標軸的交點都在圓上，所以要求圓的方程應(yīng)求曲線與坐標軸的三個交點．曲線與軸的交點為，與軸的交點為．由與軸的交點為關(guān)于點(3,0)對稱，故可設(shè)圓的圓心為，由兩點間距離公式可得，解得．進而可求得圓的半徑為，然后可求圓的方程為．（2）設(shè)，，由可得，進而可得，減少變量個數(shù)．因為，，所以．要求值，故將直線與圓的方程聯(lián)立可得，消去，得方程．因為直線與圓有兩個交點，故判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，．代入，化簡可求得，滿足，故．詳解：（1）曲線與軸的交點為，與軸的交點為．故可設(shè)的圓心為，則有，解得．則圓的半徑為，所以圓的方程為．（2）設(shè)，，其坐標滿足方程組消去，得方程．由已知可得，判別式，且，．由于，可得．又，所以．由得，滿足，故．點睛：⑴求圓的方程一般有兩種方法：①待定系數(shù)法：如條件和圓心或半徑有關(guān)，可設(shè)圓的方程為標準方程，再代入條件可求方程；如已知圓過兩點或三點，可設(shè)圓的方程為一般方程，再根據(jù)條件求方程；②幾何方法：利用圓的性質(zhì)，如圓的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，最長的弦為直徑，圓心到切線的距離等于半徑．（2）直線與圓或圓錐曲線交于，兩點，若，應(yīng)設(shè)，，可得．可將直線與圓或圓錐曲線的方程聯(lián)立消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得兩根和與兩根積，代入，化簡求值．19、（1）（2）【解析】

（1）求出A組學(xué)生的平均分可得B組學(xué)生的平均分，設(shè)被污損的分數(shù)為X，列方程得X，從而得到B組學(xué)生的分數(shù)，其中有3人分數(shù)超過86分，由此能求出B組學(xué)生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率．（2）利用列舉法寫出在A、B兩組學(xué)生中隨機抽取1名同學(xué)，其分數(shù)組成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【詳解】（1）A組學(xué)生的平均分為，所以B組學(xué)生的平均分為86分設(shè)被污損的分數(shù)為，則，解得所以B組學(xué)生的分數(shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分數(shù)超過86分在B組學(xué)生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率為.（2）A組學(xué)生的分數(shù)分別是94、80、86、88、77,B組學(xué)生的分數(shù)為91、93、83、88、75，在A、B兩組學(xué)生中隨機抽取1名同學(xué)，其分數(shù)組成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個隨機各