長沙市K郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

長沙市K郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．2．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．3．如圖所示，4個(gè)散點(diǎn)圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是（）A． B．C． D．4．設(shè)且，的最小值為()A．10 B．9 C．8 D．5．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則()A． B． C． D．6．在中，角所對的邊分別為，已知下列條件，只有一個(gè)解的是()A．，， B．，，C．，， D．，，7．把一個(gè)已知圓錐截成個(gè)圓臺和一個(gè)小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，則己知圓錐的母線長為（）.A． B． C． D．8．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中,內(nèi)角的對邊分別為,若的周長為,面積為，，則__________．12．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)的和為__．13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．14．在中，若，則等于__________.15．給出以下四個(gè)結(jié)論：①過點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線方程是；②若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則；③在中，若，則是等腰三角形；④已知，，且，則的最大值是2.其中正確的結(jié)論是________（寫出所有正確結(jié)論的番號）.16．將二進(jìn)制數(shù)110轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果是_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知余切函數(shù).（1）請寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.18．為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）實(shí)驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果來看，哪種藥的效果好？（2）完成莖葉圖，從莖葉圖來看，哪種藥療效更好？19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求的值；（2）證明是等比數(shù)列，并求；（3）若,數(shù)列的前項(xiàng)和為．20．若是的一個(gè)內(nèi)角，且，求的值.21．已知，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

根據(jù)線性回歸模型建立方法，分析選項(xiàng)，找出散點(diǎn)比較分散且無任何規(guī)律的選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)題意，適合用線性回歸擬合其中兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖必須散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，分析選項(xiàng)可得A選項(xiàng)的散點(diǎn)圖雜亂無章，最不符合條件.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)案例散點(diǎn)圖，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）的最小值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠靈活利用“”，配湊出符合基本不等式的形式.5、A【解析】

先由a、b、c成等比數(shù)列，得到，再由題中條件，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】解：a、b、c成等比數(shù)列，所以，?所以，由余弦定理可知，又，所以.故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理即可，屬于?？碱}型.6、D【解析】

首先根據(jù)正弦定理得到，比較與的大小關(guān)系即可判定A，B錯(cuò)誤，再根據(jù)大邊對大角即可判定C錯(cuò)誤，根據(jù)勾股定理即可判定D正確.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以，有兩個(gè)解，故A錯(cuò)誤.對于B，因?yàn)椋?，所以，無解，故B錯(cuò)誤.對于C，因?yàn)?，所以，即，，所以無解，故C錯(cuò)誤.對于D，，為直角三角形，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形個(gè)數(shù)的判斷，利用正弦定理判斷為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.7、B【解析】

設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺的上、下底面半徑之比為來求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗(yàn)符合題意，可判斷三角形形狀．【詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當(dāng)時(shí)，，無意義.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為正三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據(jù)三角公式求出角是解題的基本方法．10、C【解析】

分別將選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值代回,利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】由題函數(shù)單調(diào)遞增,,,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；第三步：求結(jié)果.12、【解析】試題分析：∵數(shù)列滿足，且，∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴．∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和為．故答案為．考點(diǎn)：（1）數(shù)列遞推式；（2）數(shù)列求和.13、18【解析】

利用，化簡得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14、；【解析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，即，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.15、②④【解析】

①中滿足題意的直線還有，②中根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，得到，③中根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡計(jì)算，從而進(jìn)行判斷，④中根據(jù)基本不等式進(jìn)行判斷.【詳解】①中過點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線還可以過原點(diǎn)，即兩軸上的截距都為，即直線，所以錯(cuò)誤；②中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，，是一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的二次式，從而得到，即，所以正確；③中在中，若，則可得，所以可得或，所以可得或，從而得到為直角三角形或等腰三角形，所以錯(cuò)誤；④中因?yàn)?，，且，由基本不等式，得到，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以，即的最大值是，所以正確.故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查截距相等的直線的特點(diǎn)，等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，判斷三角形形狀，基本不等式求積的最大值，屬于中檔題.16、6【解析】

將二進(jìn)制數(shù)從右開始,第一位數(shù)字乘以2的0次冪,第二位數(shù)字乘以2的1次冪,以此類推,進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查進(jìn)位制,解題關(guān)鍵是了解不同進(jìn)制數(shù)之間的換算法則,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減速區(qū)間：（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果．（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【詳解】（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減區(qū)間：（2）任取，，，有因?yàn)?，所以，于是，，從而?因此余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．18、（4）服用A藥睡眠時(shí)間平均增加4.4；服用B藥睡眠時(shí)間平均增加4.6；從計(jì)算結(jié)果來看，服用A藥的效果更好；（4）A藥

B藥

6

4．

89565

45845

4．

794446844

7844567944

4．

46457

4544

4．

4

從莖葉圖來看，A的數(shù)據(jù)大部分集中在第二、三段，B的數(shù)據(jù)大部分集中在第一、二段，故A藥的藥效好.【解析】(4)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.由觀測結(jié)果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.由以上計(jì)算結(jié)果可得＞，因此可看出A藥的療效更好．(4)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖4,4上，而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖4,4上，由此可看出A藥的療效更好．考點(diǎn)：莖葉圖、平均數(shù).19、（1）2，6，14；（2）（3）【解析】

（1）通過代入，可求得前3項(xiàng)；（2）利用已知求的方法，求解；（3）首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，將通項(xiàng)分成兩部分，一部分利用錯(cuò)位相減法求和，另一部分常數(shù)列求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得.（2）當(dāng)時(shí)，兩式相減，，且時(shí)首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.（3）根據(jù)（2）可知，，設(shè)，設(shè)其前項(xiàng)和為，兩式相減可得解得，數(shù)列，前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和是【點(diǎn)睛】本題考查了已知求的方法，利用錯(cuò)位相減法求和屬于基礎(chǔ)中檔題型.20、【解析】

本題首先可根據(jù)是的一個(gè)內(nèi)角以及得出和，然后對進(jìn)行平方并化簡可得，最后結(jié)合即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)槭堑囊粋€(gè)內(nèi)角，所