山東省泰安四中2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試試題含解析

山東省泰安四中2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．為了解名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．設的內(nèi)角所對邊的長分別為，若,則角=（）A． B．C． D．4．在正四棱柱中，，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.D．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向右平移.6．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．7．有窮數(shù)列中的每一項都是-1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，，且，則有窮數(shù)列中值為0的項數(shù)是（）A．1000 B．1010 C．1015 D．10308．（）A．0 B． C． D．19．已知平面向量，，若與同向，則實數(shù)的值是()A． B． C． D．10．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，.若向量與垂直，則________.12．已知向量，，且與垂直，則的值為______.13．已知等差數(shù)列中，，則_______14．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.15．若一個圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為.16．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．記公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知=2，是與的等比中項．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項和Tn．18．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高，所在直線方程為.（1）求頂點的坐標；（2）求直線的方程.19．已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.20．設{an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．21．設函數(shù)，其中向量，．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，、、分別是角、、的對邊，已知，，的面積為，求外接圓半徑．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：由題意知，分段間隔為，故選C.考點：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義，屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)誘導公式和兩角和的余弦公式的逆用變形即可得解.【詳解】由題：故選：B【點睛】此題考查兩角和的余弦公式的逆用，關(guān)鍵在于熟記相關(guān)公式，準確化簡求值.3、B【解析】

試題分析：，由正弦定理可得即；因為，所以，所以，而，所以，故選B.考點：1.正弦定理；2.余弦定理.4、A【解析】

連結(jié)，結(jié)合幾何體的特征，直接求解與所成角的余弦值即可．【詳解】如圖所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，連結(jié)，則與所成角就是中的，所以與所成角的余弦值為：＝＝．故選A．【點睛】本題考查正四棱柱的性質(zhì)，直線與直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，屬于基礎題．5、B【解析】

利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換的規(guī)律求出即可.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，先把函數(shù)圖像的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，再把所得圖象所有的點向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝3sin（2x+）的圖象.故選：B．【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應用，三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換的應用，屬于基礎題．6、D【解析】

依次判斷每個選項得出答案.【詳解】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當時，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時除以不為0的正數(shù)，成立故答案選D【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，意在考查學生的基礎知識.7、B【解析】

把（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870展開，將a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡得：＝1005，由于數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項都是﹣1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，即可得出．【詳解】（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，展開可得：+2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，把a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡可得：＝1005，∵數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項都是﹣1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，∴有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中值為0的項數(shù)等于2015﹣1005＝1．故選B．【點睛】本題考查了乘法公式化簡求值、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、C【解析】試題分析：考點：兩角和正弦公式9、D【解析】

通過同向向量的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】與同向，，解得或(舍去)，故選D.【點睛】本題主要考查平行向量的坐標運算，但注意同向，難度較小.10、A【解析】

利用，求出，再利用，求出即可【詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像問題，依次求出和即可，屬于簡單題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

由與垂直，則數(shù)量積為0，求出對應的坐標，計算即可.【詳解】，，，又與垂直，故，解得，解得.故答案為：7.【點睛】本題考查通過向量數(shù)量積求參數(shù)的值.12、【解析】

根據(jù)與垂直即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題．13、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數(shù)式可得出答案。【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，因此，，故答案為：。【點睛】本題考查等差數(shù)列中項的計算，解決等差數(shù)列有兩種方法：基本性質(zhì)法（與下標相關(guān)的性質(zhì)）以及基本量法（用首項和公差來表示相應的量），一般利用基本量法來進行計算，此外，靈活利用與下標有關(guān)的基本性質(zhì)進行求解，能簡化計算，屬于中等題。14、【解析】

由三角函數(shù)的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【詳解】設點，由三角函數(shù)的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.15、2【解析】試題分析：設圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點：圓柱的體積16、【解析】

作出其圖像，可只有兩個交點時k的范圍為.故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由a4是a2與a8的等比中項，可以求出公差，這樣就可以求出求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）先求出等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，用裂項相消法求出求數(shù)列{}的前n項和Tn．【詳解】解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2（d≠0），∴an=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴=．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式．重點考查了裂項相消法求數(shù)列前n項和．18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)邊上的高所在直線方程求出的斜率，由點斜式可得的方程，與所在直線方程聯(lián)立即可得結(jié)果；（2）設則，代入中，可求得點坐標，利用兩點式可得結(jié)果.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為得，所以直線AB所在的直線方程為，即聯(lián)立解得所以頂點的坐標為（4,3）（2）因為在直線上，所以設則，代入中，得所以則直線的方程為，即【點睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設直線方程時要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點式要注意討論直線是否與坐標軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.19、（3）；（3）3．【解析】試題分析：（3）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．（3）由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+3，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行求解試題解析：（3）由題意可得，直線l的斜率存在，設過點A（2，3）的直線方程：y=kx+3，即：kx-y+3=2．由已知可得圓C的圓心C的坐標（3，3），半徑R=3．故由，解得：．故當，過點A（2，3）的直線與圓C：相交于M，N兩點．（3）設M；N，由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+3，代入圓C的方程，可得，∴，∴，由，解得k=3，故直線l的方程為y=x+3，即x-y+3=2．圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．所以|MN|=3考點：直線與圓的位置關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運算20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式；(Ⅱ)首先求得的表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當或者時，取到最小值.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.21、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）．【解析】試題分析：（1）用坐標表示向量條件，代入函數(shù)解析式中，運