湖北省武漢市2022-2023學(xué)年高一年級下冊6月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

華中師大一附中2022-2023學(xué)年度下學(xué)期高一期末檢測

數(shù)學(xué)試題

時限：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.已知i虛數(shù)單位，則（8575。+1疝75。）（8515。+1疝15。）=（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.如果一組數(shù)據(jù)中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯誤的是（）

A.數(shù)據(jù)中可能有異常值B.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的

C.數(shù)據(jù)中可能有極端大的值D.數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同

3.有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，

則這兩人在不同層離開電梯的概率為（）

A.-3B.-6C.—D.—7

77816

4.已知點A的坐標(biāo)為將。4繞坐標(biāo)原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到08,則點8的橫坐標(biāo)為（）

A.-73B.-1C.6D.1

5.某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高

條形圖.根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

35歲以I-女性

匚二I男性35歲以上

A.男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)

B.關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上

C.35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多

D.35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高

6.已知/,〃是三條不同的直線，a,B，/是三個不同的平面，給出下列命題，其中真命題是

)

A.若/_La,Il.m,則加〃a.

B.若a0=1,Py=m,/Ia=n,I//m,則加〃〃.

C.若aJ■尸,lua,mup,貝

D.Iua,IA.m,ILn,m//p,n///3,則cr〃6.

7.設(shè)平面向量卜|=1,忖=2,匕在&方向上的投影向量為c，則()

A.a-c=c-bB.a-b>atcC.|?-c|^2D.,c=|?|?|c|

8.已知銳角a,用滿足sina—cosa=Ltana+tan4+6tanatan夕=百，則a,夕的大小關(guān)系是()

6

7171

A.av—<夕B.夕<—<。

44

7171

C.—<a<BD.—</3<a

44

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.(在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

2

9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=上的四個命題，其中為真命題的是()

1-1

2

A.在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點z在第一象限B.z=2i

C.z的共物復(fù)數(shù)為—1+iD.z是關(guān)于x的方程2%+2=0的一個根

10.對于一個事件E,用〃(E)表示事件E中樣本點的個數(shù).在一個古典概型的樣本空間。和事件A,B,

C,。中，?(Q)=100,n(A)=60,n(B)=40,n(C)=20,n(Z>)=10,n(AL)B)=100,n(AC)=12,

n(A。)=70,則()

A.A與。不互斥B.4與B互為對立C.A與C相互獨立D.B與C相互獨立

H.在一次黨建活動中，甲、乙、丙、丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記

錄每名同學(xué)失分(均為整數(shù))情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、

丙、丁四個小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是()

A.甲組中位數(shù)為2,極差為5

B.乙組平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.丙組平均數(shù)1,方差大于0

D.丁組平均數(shù)為2,方差為3

12.如圖所示，正方體ABC。一AB'C'Z）'的棱長為1,E，尸分別是棱AA，CC'的中點，過直線

的平面分別與棱BB'，。。交于點M,N,以下四個命題中正確的是（）

A.四邊形一定菱形B.平面EMFN上平面DBB'D

C.四棱錐A-MEN尸體積為』D.四邊形的周長最小值為2后

6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/（x）=cos（2x+0）（xeR）的圖象關(guān)于點（I兀,0）中心對稱，則時的最小值為.

14.如圖所示，直線P4垂直于圓。所在的平面，內(nèi)接于圓。，且A3為圓。的直徑，

F%=AB=2.現(xiàn)有以下命題：

②當(dāng)點。在圓周上由8點逐步向A點移動過程中，二面角B—PC—A會逐步增大；

③當(dāng)點C在圓周上由8點逐步向A點移動過程中，三棱錐的體積的最大值為：.

其中正確的命題序號為.

15.在某次模擬測試中，30名男生的平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分?jǐn)?shù)是80分，樣

本方差是15,則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績的平均分為,方差為.

16.在三棱錐V—ABC中，AB，AC,AV兩兩垂直，AB=AV=4,AC=2,P為棱A8上一點，

4”_1叱于點〃，則當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，三棱錐A-VCP的外接球表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

兀

17.已知扇形OAB的半徑為1,ZAOB=-,P是圓弧上一點（不與A,B重合），過P作，Q4,PN，08,

M,N為垂足.

B

(2)設(shè)NAOP=x,PM,EV的線段之和為y,求y的取值范圍.

18.柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號為6,a2,記第2雙鞋左右腳編號為仇，b2,記第3

雙鞋左右腳編號為q,.如果從中隨機取出4只，那么

(1)寫出試驗的樣本空間Q,并求恰好取到兩雙鞋的概率；(若取到外,a,c,,c2,則樣本點記為

岫早2,其余同理記之.)

(2)求事件取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋''的概率.

19.如圖，正三棱柱ABC-A5cl中，￡尸分別是棱4vB片上的點，AiE=BF=^AAi.

(1)證明：平面CEF_L平面；

(2)若AC=AE=2,求二面角E—CF-q的余弦值.

20.在平面凸四邊形(每個內(nèi)角都小于180°)43CD中，NA+NC=180°,A」B=4D=2，BC=6,

CD=y/6.

(1)求四邊形A5CD的面積；

⑵若M,N為邊AB，CD中點，求(43+COAMN的值.

21.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，

得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

糖率/但距鈍率/祖距

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人

判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為〃(C)；誤診率是將未患病者判定為

陽性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95/05］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小

值.

22.如圖，四棱臺ABC。—A4G2中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，

AB=24A=4,E、/分別為OC、8C的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且。。

與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

⑴求證：8?！ㄆ矫?￡：尸；

3a

(2)線段所上是否存在點M,使得直線A"與平面所成的角的正弦值為22,若存在，求出線

段3M的長；若不存在，請說明理由.

華中師大一附中2022-2023學(xué)年度下學(xué)期高一期末檢測

數(shù)學(xué)試題

時限：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.已知i為虛數(shù)單位，則（8575。+1而75。）3515—5。）=（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及復(fù)數(shù)的乘法運算即可化簡求值.

【詳解】（cos75o+isin75o）（cosl5o+isinl5o）=（sinl5o+icosl5o）（cosl5o+isinl5。）

=sin15°cos150+icos215°+isin2150+i2sin15°cos15°=sin150cos15°+i（cos2150+sin215°）-sin15°cosl5°=i

故選：D

2.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯誤的是（）

A.數(shù)據(jù)中可能有異常值B.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的

C.數(shù)據(jù)中可能有極端大的值D.數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的定義說明.

【詳解】中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，如果這兩者差不多，說明數(shù)據(jù)

分布較均勻，也可以看作近似對稱，但現(xiàn)在它們相關(guān)很大，說明其中有異常數(shù)據(jù)，有極端大的值，眾數(shù)是出

現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個，當(dāng)然可以和中位數(shù)相同，因此只有B錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)特征，掌握它們的概念是解題基礎(chǔ).

3.有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，

則這兩人在不同層離開電梯的概率為（）

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型的概率公式與對立事件的概率公式求解即可.

【詳解】由題意得，由于每一個人自第二層開始在每一層電梯是等可能的，

故兩人離開電梯的所有可能情況有7x7=49利

而兩人在同一層電梯的可能情況有7x1=7,

71

所以兩人在同一層離開電梯的概率為一=一，

497

所以兩人在不同層離開電梯的概率為=

77

故選：B.

4.已知點A的坐標(biāo)為（1,8）,將0A繞坐標(biāo)原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到。8,則點B的橫坐標(biāo)為（）

A-73B.-1C.6D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】設(shè)點A是a終邊上一點，設(shè)點8的橫坐標(biāo)為七,則=邳=百1=2,

所以sina=—^,cosa=—，

22

所以X。=2cos（a+耳）=—2a——2x—^―■——\/3.

故選：A.

5.某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高

條形圖.根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）

L0

9

o.

os.8

os..67

o5

,

O.

O.

O.

A.男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)

B.關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上

C.35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多

D.35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高

【答案】C

【解析】

【分析】由等高條形圖一一分析即可.

【詳解】由等高條形圖可得：

對于A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，

從而男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；

對于B：由右圖知女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，

從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；

對于C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知35歲以下的男性占男性人數(shù)比35歲以上的女性占女

性人數(shù)的比例少，無法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；

對于D：由右圖知樣本中35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確.

故選：C.

6.己知/,m,〃是三條不同的直線，a,0,/是三個不同的平面，給出下列命題，其中真命題是

()

A.若/J_a,I±m(xù),則m〃a.

B.若aB=l,Py=m,yla=n,I//m,則加

C.若aJ_￡,lua,mu0,貝i]/_L加.

D.Iua,IA.m,ILn,m//13,n//13,則a〃￡.

【答案】B

【解析】

【分析】由線線垂直的性質(zhì)可知A錯誤；由線面平行的性質(zhì)定理可得B選項正確；由面面垂直的性質(zhì)以及

線面的位置關(guān)系可得C錯誤；由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得D錯誤.

【詳解】對于A,若/_La,則根ua或加〃。，即加可能在平面a內(nèi)，所以A錯誤；

對于B,根據(jù)條件可知，I//m,msec,lua,所以加〃a,又/Ia=〃，muy,

由線面平行的性質(zhì)定理可得/〃〃〃，即B選項正確；

對于C,若。，尸，lua,mu/3,則/與m可能平行、相交或異面，即C錯誤;

對于D,當(dāng)/ua,l±m(xù),ILn,m///3,〃〃4時，。與￡可能平行或相交，即D錯誤.

故選：B

7.設(shè)平面向量忖=1,W=2,人在°方向上的投影向量為"，則（）

A.a-c=cbB.ab>a-cC.|a-c|^2D.?,c=|a|-|c|

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和投影向量的定義逐個分析判斷即可.

【詳解】設(shè)力與a的夾角為。，

對于A,當(dāng)6為銳角時，?-c=|?||c|=|c|,cm=HWcosO=,2,不一定相等，所以A錯誤,

對于B,當(dāng)。為銳角時,a-/?=|a||z>|cos0=|z?|cos<9=|c|,a-c=|a||c|=|c|,所以).1=：；,

當(dāng)6為鈍角時，a-Z>=|a||&|cos6,=|/?|cos(9=-|c|,fl-c=-|?||c|=-|c|,所以;.力=：；,

當(dāng)。為直角時，Q./7=Q.C=0，綜上B錯誤，

對于c,卜式卜忖?卜卜卜尼忖=2,所以c正確，

對于D,若0,C）=71,則a-c=TdH，所以D錯誤，

故選：C

8.已知銳角a,4滿足sina—cosa=Ltana+tan"+J5tanatan4=百，則a,4的大小關(guān)系是（）

6

兀cc冗

A.ct<—<BB.P<一<a

44

^7171

C.—<a<BD.一<B<a

44

【答案】B

【解析】

【分析】由兩角和與差的正切公式得出a+p=g,結(jié)合sina—cosa>0,得出a>工，結(jié)合選項可得答

案.

、/171

【詳解】Ta為銳角，sina—cosa=—,Aa>—.又tana+tan。+glanatan。=6,

64

tana+tanBnr冗冗

/.tan(a+p)=------------=v3,Aa+P=—,又a>一?*.~<(x.

1-tanatanp34

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.(在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.)

2

9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=—;的四個命題，其中為真命題的是()

1-1

2

A.在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在第一象限B.z=2i

C.z的共貌復(fù)數(shù)為—1+iD.z是關(guān)于x的方程/一2》+2=0的一個根

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項逐一求解.

【詳解】由2=」？可得2=77~、，,\=1+工

1-1(1-1)(1+1)

對于A,點z(1.1)，故在第一象限，A正確，

對于B,z2=(l+i)2=2i,故B正確，

對于C,z的共輾復(fù)數(shù)為1—i，故C錯誤，

對于D,(l+i)2—2(l+i)+2=2i—2—2i+2=0,故D正確，

故選：ABD

10.對于一個事件E,用〃(E)表示事件E中樣本點的個數(shù).在一個古典概型的樣本空間Q和事件A,B,

C,。中，M(Q)=100,n(A)=60,n(B)=40,n(C)=20,n(D)=10,n(A|jB)=100,/i(ArC)=12,

n(A。)=70,則()

A.A與。不互斥B.A與B互為對立C.A與C相互獨立D.B與C相互獨立

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用古典概型相關(guān)知識，以及互斥事件，對立事件概率計算公式即可求解.

【詳解】對于A："(A)=60,〃(￡>)=10,n(AD)=70

.1D)=〃(A)+〃(￡)),

二.A與?；コ猓蔄錯誤；

對于B：n(A3)=〃(A)+〃(8)=〃(。)

A與3互為對立，故B正確;

/八n(A\3/八\〃(C)1

對于C：P(A)=----=—,P(C)=----=—,

'7〃⑼5'7〃(。)5

/、n(AnC)3

'7H(Q)25

3

P(AcO=P(A)P(C)=五，

???4與C相互獨立，故C正確；

對于D：〃(Q)=100,〃(A)=60,"(8)=40,〃(C)=20,

〃(A、8)=100,“(AC)=12,

n(BnC)=8,

/、〃（BcC）2

P（PcC）=',、）=—,

,）〃⑼25

又NW-詞-丁P（C）一詞一,

2

?."（BCC）=P（B）P（C）=云,

B與C相互獨立，故D正確；

故選：BCD.

11.在一次黨建活動中，甲、乙、丙、丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記

錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、

丙、丁四個小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組'’的是（）

A.甲組中位數(shù)為2,極差為5

B.乙組平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.丙組平均數(shù)為1,方差大于0

D.丁組平均數(shù)為2,方差為3

【答案】AD

【解析】

【分析】結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差，極差的定義，分析判斷每個選項.

【詳解】對A，因為中位數(shù)為2,極差為5,故最大值小于等于7,故A正確；

對B，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,則滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,但不滿足每名同學(xué)失分都

不超過7分，故B錯誤;

對C,如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但不滿足每名同學(xué)失分

都不超過7分，故C錯誤；

對D，利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分，則方差大于，（8-2）2=3.6>3,與題設(shè)矛盾，故每

名同學(xué)失分都不超過7分.故D正確.

故選：AD.

12.如圖所示，正方體A3C?！狝'3'C'。'的棱長為1,E,尸分別是棱4A，CC'的中點，過直線￡尸

的平面分別與棱BB'，DD交于點M,N,以下四個命題中正確的是（）

A.四邊形一定為菱形B.平面EMFN上平面DBB'D

四棱錐體積為工

C.A—MENED.四邊形的周長最小值為2君

6

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A,由正方體的性質(zhì)得平面5CC'3'//平面457X4'，從而MF//EN,同理得ME〃NF,再

由得四邊形MENr為菱形；對于B,連接BD,夕。，MN,推導(dǎo)出M_L8Z），EF上BB，

從而得到平面球必加,平面。83'。'；對于C,求出四棱錐4-MEN尸的體積進行判斷；對于D,四邊形

MENF是菱形,當(dāng)點、M,N分別為88'，麗的中點時，四邊形MENr的周長最小.

【詳解】連接B。，B'D，MN,AC,EF，顯然AE〃b,且AE=b,所以ACFE為平行四邊

形，

所以ACV/EF,由題意得AC/8。，83'_L平面ABC。，ACu平面ABCO,所以

B邛BB'=B,BD,BB'u平面BDD'B,所以AC_L平面,則EFI平面,

ERu平面￡MRV,所以平面EM/W_L平面BDZX?'，故B正確；

由正方體的性質(zhì)得平面BCCB'H平面ADD'A,

平面5CCB平面EMFN=MF,平面AOD'41平面EMKV=EN,板MF/IEN,

同理得ME//NF,又EE上平面BDDF，MNu平面BDDQ，EFJLMN,

???四邊形￡MF7V為菱形，故A正確；

對于C,四棱錐A-MEA戶的體積為:

^A-MENF=^M-AEF+^N-AEF=TDB，S^AEF火母X~T'=T,故C正確;

J340

對于D,四邊形用必TV是菱形,

???四邊形EMFN的周長/=4,咚耳"亨=2麻大

當(dāng)點M,N分別為BB'，。。的中點時，四邊形￡M/W的周長最小,

此時MN=EE=亞，即周長的最小值為4，故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/（x）=cos（2x+e）（xwR）的圖象關(guān)于點中心對稱，貝!］附的最小值為

［答案】一

6

【解析】

5兀

【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的°=-L+E,keZ,即可求出答案.

6

【詳解】因為函數(shù)/（x）=cos（2x+°）a￡R）的圖象關(guān)于點（I兀,0）中心對稱，

所以2x空+0=/+而,2$Z,所以°=一生+阮,左￡Z,

326

則當(dāng)左=1時，網(wǎng)的最小值為3

6

故答案為：二

6

14.如圖所示，直線Q4垂直于圓。所在的平面，乙他。內(nèi)接于圓。，且為圓。的直徑,

Q4=AB=2.現(xiàn)有以下命題：

②當(dāng)點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，二面角8—PC—A會逐步增大；

③當(dāng)點C在圓周上由5點逐步向A點移動過程中，三棱錐3—PAC的體積的最大值為;.

其中正確的命題序號為.

【答案】①③

【解析】

【分析】由線面垂直的判定定理可判斷①；由面面垂直的判定定理可判斷②；由等體積法可判斷③.

【詳解】因為A4,平面ABC,3Cu平面A8C，所以Q4_L3C,

又因為A6為圓。的直徑，所以以八4。=4巳4,人。＜=平面抬。，

所以平面P4C,而PCu平面PAC,所以BCJ_PC,故①正確；

因為平面P4C,而BCu平面BPC,所以平面3PC_L平面PAC,

故當(dāng)點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，二面角PC—A恒為90°,故②不正確；

因為Q4=A6=2，

]?

所以三棱錐B-PAC體積V_-V_^--S

BPACPABCABC-PA^--SABC,

過點。作CH_LAB交AB于點H,

所以S=所以%.sc=2.C”，

所以求三棱錐PAC的體積的最大值，即求C”的最大值，

當(dāng)點C在圓周上由a點逐步向A點移動過程中，當(dāng)〃為A3中點時，

CH最大,且C”的最大值為1，所以三棱錐4c的體積的最大值為:，故③正確；

故答案為：①③.

15.在某次模擬測試中，30名男生的平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分?jǐn)?shù)是80分，樣

本方差是15,則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績的平均分為,方差為.

【答案】①.74②.36

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.

【詳解】記30名男生得分記為々，巧，……，/0，

20名女生得分記M,%，....，%，

男生得分平均分%=比』蔡士亞=70,則用+%+...+/=30x70,

女生得分平均分y="%,土為=80，則y+丫2+…+%。=20X80,

所以總平均分歷$(X1+w++0+乂+必+-+y20)=^(30X70+20X80)=74,

總方差為$2$〔30x10+30x(70-74)2+20xl5+20x(80-74)1=36,

所以此50人該次模擬考試成績的平均分是74,方差是36.

故答案為：74；36

16.在三棱錐V-A6c中，AB，AC,AV兩兩垂直，AB=AV=4,AC=2,P為棱A3上一點,

4〃_1叱于點，，則當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，三棱錐A—VCP的外接球表面積為.

，依田.14871148

【答案】-^-##-71

【解析】

【分析】設(shè)AP=x,求得VP=Ji6+f,結(jié)合gvPSHu’VTbAP,求得A”，進而求得HC和

VH,根據(jù)S「求得,VHC面積的最大值，再根據(jù)正方體的性質(zhì)求

VHC222

得三棱錐A-VCP的外接球的半徑為，進而求得外接球的表面積.

【詳解】設(shè)AP=x,且A8=AV=4,AC=2,

因為AB,AC,AV兩兩垂直，所以vp=Ji6+f，

4x

所以=可得A"=

22V16+x2

因為AC_LAB,AC_LVA且A5n，4=A,AB,VAu平面必IB,所以AC,平面必tB,

又因為AHu平面”48,所以AC_LAH,所以HC二庇彳如產(chǎn)二^4+點。

因為V7/，AH,AC，b7且A”AC=A,AH,ACu平面A”C,所以V"_L平面4"C,

又因為“Cu平面A〃C，所以VH_LHC，所以四

u5。11VH2+HC24

所以S.He=~?VH,HCW5x---------=5,

當(dāng)且僅當(dāng)面噂^=’16_薩^，即x="等時等號成立,

設(shè)三棱錐A-VCP的外接球的半徑為，

!iiij(2r)2=AP2+AC2+VP216x15+4+16=%

255

所以三棱錐A-VCP的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=幽￡.

148兀

故答案為:

5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

TT

17.已知扇形0A8的半徑為1,ZAOB=-,P是圓弧上一點（不與4,B重合），過P作，Q4,PN，QB,

3

M,N為垂足.

（2）設(shè)NAOP=x,PM,PN的線段之和為y,求y的取值范圍.

【答案】（錯;

⑵苧］.

【解析】

【分析】（1）在直角_POM與直角△PON中，利用銳角三角函數(shù)的定義求解作答.

（2）由（1）中信息，把y用x的函數(shù)表示出，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

【小問1詳解】

PM1n

在，POM中，PMLOA,則sin/POM=——=-,顯然NPOMe(0,一)，

OP23

7TIT7E7T

則ZPOM=—，從而ZPON=ZAOB-ZPOM=-----=-,

6366

兀1

在△PON中,PN±OB,所以PN=OPsinNPON=lxsin-=一.

62

【小問2詳解】

7T71

依題意，ZPON=ZAOB-ZPOM=--x,xe(0,-)

TT

PM=OFsinZPOM=sinx,PN=OPsinZPON=sin(--x),

因此y=sinx+sin(—x)=sinx+-^cosx—sinx=—sinx+—cosx=sin(x+—),

322223

顯然x+梟號,爭，于是sin(x+；)e(*,1],

所以y的取值范圍是(#1].

18.柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號為％,生，記第2雙鞋左右腳編號為伉，b2,記第3

雙鞋左右腳編號為q,Q.如果從中隨機取出4只，那么

(1)寫出試驗的樣本空間Q,并求恰好取到兩雙鞋的概率；(若取到卬，瓦,c,,。2,則樣本點記為

岫2,其余同理記之.)

(2)求事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率.

【答案】(1)樣本空間。見解析；!

W

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可直接列出試驗的樣本空間，再由基本事件個數(shù)和古典概型計算公式求解即可;

(2)列出事件〃的基本事件并計算個數(shù)，再由古典概型計算公式求解即可.

【小問1詳解】

由題意得，試驗的樣本空間。,aabiG,四(12ble2,%a2b2%,aqb2c2,%a2cle2,a[b^C],ahb2c2,

q4cle2,4b2cle2,44仇a1b}b2c2,a1bxcic2,a1b1c}c2,b^2c{c2},

設(shè)A表示事件“恰好取到兩雙鞋”,則A={%%&4,qa2cle2,4今。。}，

31

所以〃(。)=15,〃(A)=3,故事件“恰好取到兩雙鞋”的概率為P(A)=.=M；

【小問2詳解】

由(1)知，事件用“取出的鞋子中至少有兩只左腳且不能湊兩雙鞋”為

M={qa2ble1,qa24c2,ala2b2cI,%站＞2cl,afyb2c2,01ble',qb2cle2,a2b2cl,a24cle2},

所以〃(0)=15,〃(M)=9,故事件“取出的鞋子中至少有兩只左腳且不能湊兩雙鞋”的概率為

93

P(M)=—=

5

19.如圖，正三棱柱ABC-4耳￡中，E,尸分別是棱上的點，A,E^BF^AA,.

(1)證明：平面CEF_L平面ACC|A；

(2)若HC=AE=2,求二面角E-CE-G的余弦值?

【答案】(1)證明見解析

⑵手

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個平面的法向量，利用法向量證明面面垂直:

(2)求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：取BC的中點。，連接。4,

在正三棱柱ABC-44cl中，不妨設(shè)AB=2a,A4,=3；

以。為原點，。8,。4分別為x軸和y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則c(—。,0,0),40,屈,0),E(兄0,1),網(wǎng)0,3,2卜

b=(2a,0,1),CE=(a,0,2),C4=(a,V3a,0),CC,=(0,0,3)；

[ri'CF—02ax+z=。

設(shè)平面CE尸的一個法向量為九=(x,y,z),則｛,\r

[n-CE-01ax+\!3ay+2z=0

取x=-l,則y=-6*=2a,即〃=卜1,一6,2。）；

fm-CA=0

設(shè)平面ACG4的一個法向量為m=G，x，zJ,則

[m-CCj=0

即｛二,孫=°,取x=-l得嚕（3-1,0）.

因為他?〃=—6+5/3=0>所以平面CEF_L平面AC。A；

易知平面CFG的一個法向量為OA=（0,>/3,0）,

-3V6

'1HIH般文垂4

二面角E-CF-C,的余弦值為旦.

4

20.在平面凸四邊形（每個內(nèi)角都小于180°）ABCD中，ZA+ZC=180°,A3=AD=2，BC=B

CD=V6.

⑴求四邊形ABC。的面積;

⑵若M,N為邊AB，CO的中點，求（A8+C0-MN的值.

【答案】⑴2+百

(2)1

【解析】

【分析】⑴根據(jù)余弦定理得到及>2=8—8cosA，=8—46cosC，根據(jù)A+C=1800得至UA=90。,

C=90。，計算面積得到答案.

(2)確定MN=；(8C+A。)，AB+CD^AD+CB^代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

【小問1詳解】

△ABZ)中，

BD2=AB2+AD2―2AB?A。cosA=4+4—8cosA=8-8cosA，

△BCD中，

5￡>2=fiC2+CP2-2￡?C-CZ)cosC=2+6-2xV2xV6cosC=8-473cosC>

因為A+C=180°,所以cosA=—cosC,所以8-8cosA=8+4百cosA,

所以cosA=0,因為00<A<180°,所以A=90°,C=90°,

所以S四邊物8co=gx2x2+；x0x#=2+8?

【小問2詳解】

法1：因為MN=MB+BC+CN，又MN=MA+AD+DN，

所以用N」(8C+AO),

2

因為A8+CO=A￡>+D8+CD=A￡)+CB，

所以(AB+CD)MN=L(BC+AD)《AD—8C)=’(4￡)2-8。2)=J_(4_2)=1.

222

法2：由45_LA￡>,以A為坐標(biāo)原點建系，

則A(0,0),6(0,2),。(2,0),C(x,y),BC=g，CD=巫,

5+6V3-1

則MN=

4'4

因為AB+CD=(0,2)+

所以MN-(A6+CO)==1.

21.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查,

得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

耒患病，

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人

判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為〃(C)：誤診率是將未患病者判定為

陽性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率P?=05%時，求臨界值c和誤診率4c)；

⑵設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c)，當(dāng)ce［95,105］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小

值.

【答案】(l)c=97.5,虱c、)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=<,最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出C,再根據(jù)第二個圖求出C297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0(X)2>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(10()—97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當(dāng)ce［95,100］時,

/(c)=〃(c)+g(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)ce(100,105］時，

/(c)="(c)+4(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故f(c)=4,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

22.如圖，四棱臺ABC。-A耳G2中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，

A8=2A4=4,E、尸分別為。C、的中點，上下底面中心的連線。。垂直于上下底面，且。。

與側(cè)棱所在直線所成的角為45。.

⑴求證：8?！ㄆ矫?后尸；

（2）線段面上是否存在點加，使得直線4"與平面GE/7所成的角的正弦值為筆2,若存在，求出線

段8M的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵存在，線段長為1.

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形CEQG為平行四邊形，從而得到是..8?！ǖ闹形痪€，得到線

線平行，證明出線面平行；

（2）法一：作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點到坐標(biāo)，設(shè)出M（m,2,0）,0<；7