圓錐曲線的方程專題七講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)人教A版數(shù)學(xué)--圓錐曲線的方程專題七知識點一根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓中的參數(shù)及范圍,橢圓中向量點乘問題典例1、已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點，若以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上，求平行四邊形OAPB的面積.隨堂練習(xí)：已知橢圓的焦點為，，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）直線：與曲線交于，兩點，求四邊形面積的最大值.

典例2、已知橢圓：（）經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖所示，過橢圓上的點，（）的直線與，軸的交點分別為和，且，過原點的直線與平行，且與橢圓交于、兩點，求面積的最大值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍；典例3、橢圓經(jīng)過點且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點，且以為直徑的圓過原點.（1）求橢圓的方程；（2）若過原點的直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左?右頂點分別為，直線過點，且交橢圓于兩點（異于兩點），記直線的斜率為，直線的斜率為.①求的值；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值.知識點二根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中存在定點滿足某條件問題典例4、已知橢圓，長軸長為，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點的動直線（不與軸垂直）與橢圓交于兩點，是否在軸上存在定點，使得與的斜率之積為定值？若存在，求出所有滿足條件的點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

隨堂練習(xí)：已知橢圓：經(jīng)過直線：與坐標(biāo)軸的兩個交點.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的右頂點，過點的直線交橢圓于點，，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，，求證：為線段的中點.典例5、已知橢圓，長軸是短軸的倍，點在橢圓上，且點在軸上的投影為點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的且不與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，是否存點，使得直線，直線與軸所在直線所成夾角相等？若存在，請求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的焦點在軸上，且經(jīng)過點，左頂點為，右焦點為．（1）求橢圓的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點．過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否經(jīng)過定點?若存在，求出這個定點；若不存在，請說明理由．典例6、已知橢圓的長軸是短軸的3倍，左、右焦點分別為，，點在橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，是否在x軸正半軸存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

隨堂練習(xí)：已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.人教A版數(shù)學(xué)--圓錐曲線的方程專題七答案典例1、答案：（1）；（2）.解：（1）因為橢圓C經(jīng)過點，代入橢圓方程，可得，①又因為橢圓C的離心率為，所以，從而，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓C的方程為（2）把代入橢圓方程，得，當(dāng)，即時，設(shè)，則，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以P點坐標(biāo)為.又因為點P在橢圓上，所以，即，滿足.因為.又點O到直線l的距離，所以平行四邊形的面積隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）設(shè)橢圓的方程為，所以，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）將代入方程，得．設(shè)，、，，①，②，③，由①得，．所以當(dāng)時，四邊形面積的最大值為.典例2、答案：（1）；（2）2.解：（1）由題意知：，解得：，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，（），又直線的斜率存在且，∴設(shè)直線為：，可得：，，由，則，故，聯(lián)立，可得：，又，故直線為，聯(lián)立，得：，即B、D的橫坐標(biāo)為，∴，∵點到直線的距離，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴面積的最大值為2.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解:（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題知，解得，所以橢圓方程為；（2）由題意，①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，不妨設(shè)，，此時，，所以；②若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，，，則由，消去得，，所以，，又，所以，因為，所以，所以，所以；綜上，的取值范圍為.典例3、答案：（1）（2）解：（1）橢圓經(jīng)過點，,橢圓的離心率為，則，即,即，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，則，則不妨取，故，解得，故方程為，直線過中點，即為軸，得，，故；直線斜率存在時，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，②，

③，以為直徑的圓過原點即，化簡可得，將②③兩式代入，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設(shè)線段中點為，由，不妨設(shè)，得，又∵，∴，又由，則點坐標(biāo)為，化簡可得，代回橢圓方程可得即，則，綜上，四邊形面積的最大值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）①3；②解：（1）由題意可得解得，所以橢圓C的方程為．（2）①依題意，點，設(shè)，因為兩點異于兩點，所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓聯(lián)立，得：，故，可得.故，即②由題，，令，則對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最大值為．典例4、答案：（1）（2）存在；解：（1）由已知．設(shè)過點且與軸平行的直線交橢圓于點，則．代入橢圓方程為，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）假設(shè)存在滿足條件．設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，則有,，由已知與無關(guān)，，當(dāng)時，為定值；當(dāng)時，為定值．存在定點使得與的斜率之積為定值．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）直線：與坐標(biāo)軸的兩個交點為，，由于，所以，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)過點的直線為，由題意直線斜率存在，設(shè)方程為，即.由，消元得，整理得由，可得.設(shè)，，則：，.由題意，將，代入：得，直線的方程為，令得，所以所以，點是線段的中點.典例5、答案：（1）（2）8解：（1）依題意，即，所以橢圓即，又橢圓過點，所以，解得，所以，所以橢圓方程為；（2）因為直線不與軸垂直，所以設(shè)直線為，，，由，消去整理得，，所以，，因為，所以，所以，即，即，即，解得.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）直線經(jīng)過定點，理由見詳解.解：（1）由題意，橢圓經(jīng)過點，可得，解得，即橢圓，因為，即，所以橢圓的離心率為，又由左頂點為，右焦點為，所以，所以的面積為（2）由直線與橢圓交于A，B兩點所以當(dāng)時，直線為與橢圓交于A，B兩點由解得：令，此時所以所以直線即，令所以直線是經(jīng)過定點同理若，則令所以直線是經(jīng)過定點當(dāng)時，由直線與橢圓交于A，B兩點設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，則，所以設(shè)點，所以的方程為，令，可得，所以直線經(jīng)過定點，綜上可得，直線經(jīng)過定點.典例6、答案：（1）（2）解：（1）由題意，，故點在橢圓上，即，解得，故，故橢圓的方程為（2）由已知直線過點，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組消去得，所以設(shè)則又直線與斜率分別為則：要使為定值，則有因為，故當(dāng)時，；所以存在點使得直線與的斜率之積為定值，此時隨堂練習(xí)：答案