2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.根式的概念及性質(zhì)

(1)概念：式子、立叫做根式,這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

⑵①負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,記作

n

③(j)"=旦(n￡N*,且〃>1).

n

④(〃為大于1的奇數(shù)).

l'\a,

⑤—(〃為大于1的偶數(shù)).

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

mH__

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是a：=返(a>0,m,〃CN*,且〃>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)

/1

幕的意義是a二=一(a>0,m,〃eN*,且〃〉1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)

用沒有意義.

3.指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)：aa=a^；(a)=式；(a6)'=W互，其中a〉0,b>0,r,sdR.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=aYa〉0,且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0〈水1

二產(chǎn)叭

圖象------1

-1~X-

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)，y=l

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)水0時(shí)，y>l；

當(dāng)水0時(shí)，0〈—1當(dāng)x>0時(shí)，0〈y〈l

性質(zhì)

在（一8,+8）上是增函數(shù)在（一8,+8）上是減函數(shù)

X

y=a*與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

【常用結(jié)論】

1.畫指數(shù)函數(shù)尸a*（a〉O,且aWl）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1,a）,（0,1）,（一1,

2.指數(shù)函數(shù)尸a'（a〉0,且aWl）的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>l與0〈a〈l

來研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)/=2*（@>0,且a=1）的圖象越高，底數(shù)越大.

【方法技巧】

1.指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意:

①必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加.

②運(yùn)算的先后順序.

2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

4.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸

縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

5.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

6.比較指數(shù)式的大小的方法是：

（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)哥，再利用單調(diào)性比較大??；

⑵不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.

7.指數(shù)方程（不等式）的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

8.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,

涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

二、【題型歸類】

【題型一】指數(shù)幕的運(yùn)算

（\Y；J（4"T）3

【典例1】一?一竺---------r（a>o,b〉Q）=________.

⑷（0.1廣.（/2-3尸

33_3

2.“萬8

【解析】原式=

335,

10后0

3_3

戶+%2-3

【典例2】若產(chǎn)+%2=35>0),則

X2+X-2-2

￡_1

【解析】由#+￡'=3,

兩邊平方，得x+x-=7,

再平方得『十/2=47,

.*./+廣一2=45.

3_3/j_A3<_1V

戶+一=戶+”

k7k7

(￡1A

=九萬+%5(X—1+入7)

=3X(7—1)=18.

3_3

5]_

C.*D.

【解析】原式=JjJXJ=JXJ

j_5_5_

=0r6=q五.故選B.

【題型二】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域

【典例11求下列函數(shù)的定義域和值域.

(1)尸《J;(2)/="；(3)了=2匚，-3工+4.

【解析】(1)定義域?yàn)镽.因?yàn)橐粅x+l|W0,

(2、一"+1|<2>°,

所以了=目=1,所以值域?yàn)椋?,+°°).

2*111

(2)定義域?yàn)镽.又因?yàn)槭∮?1一再方,而0〈亍有<1,所以一1<一亍有<3貝U0

<y<l,所以值域?yàn)?0,1).

(3)令一Y—3x+420,解得一4WK1,所以函數(shù)y=2占?4的定義域?yàn)閇—4,1].設(shè)u

=，—4—3x+4(—4WxWl),易得〃在x=一萬時(shí)取得最大值萬，在x=-4或1時(shí)取得最小

值0,即OWuW.所以函數(shù)y=2"的值域?yàn)閇啖/],即函數(shù)y=2K的值域?yàn)閇1,4鏡].

乙乙,乙乙

【典例2】求下列函數(shù)的定義域和值域.

]f\\x~6x+17

⑴尸82x—1；(2)y=r+2^+1+l；(3)y=|^|

【解析】(1)因?yàn)?x—IWO,所以xW；,所以原函數(shù)的定義域是

令t=11,貝！J[￡R且力WO,所以由y=8'(Z￡R,力WO)得y>0且尸^1.

lx—1

所以，原函數(shù)的值域是{y|y>0且11}.

⑵定義域?yàn)镽,因?yàn)槭?、+2*+1=(2丁+2?2'+1=(2*+1)2,且2、>0.

所以尸4"+2葉]+1的值域?yàn)閎dy>l}.

⑶設(shè)〃=V—6X+17,由于函數(shù)〃=？—6x+17的定義域是(一8,十8),故曠=出

x—&x~\-17

的定義域?yàn)?一8,十8).

又函數(shù)u=f—6x+17=(x—3尸+828,所以又Rf〉。，故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

康?

【題型三】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例1](多選)已知實(shí)數(shù)46滿足等式2021a=2022。下列等式可以成立的是()

A.a=b=OB.水伙0

C.0<a<bD.O〈b<a

【解析】如圖，觀察易知，水6<0或0<伙3或a=Z?=O,故選ABD.

【典例2】在同一直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)尸⑥*,二次函數(shù)尸a/—6x的圖象可能是()

【解析】指數(shù)函數(shù)的圖象位于X軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象.二次函數(shù)尸a/

—bx=1ax一扮x,有零點(diǎn)”.

A,B選項(xiàng)中，指數(shù)函數(shù)y=修)在R上單調(diào)遞增，故$1,故A錯(cuò)誤，B正確.

C,D選項(xiàng)中，指數(shù)函數(shù)尸在R上單調(diào)遞減，故0〈*1,故C,D錯(cuò)誤.

故選B.

【典例3】若存在正數(shù)x使e*(x+a)〈l成立，則a的取值范圍是()

A.(-°°,+°°)B.(―00,1)

【解析】由題設(shè)知，m入>0使x+水屋，成立,

令y—x~\~yi—e，

：.x>0時(shí)有％=0一”右(0,1),

而尸(a,+°°),

???當(dāng)a<l時(shí)，3x>0,使得e*(x+a)〈l成立.

【題型四】比較指數(shù)式的大小

【典例1］若a=0.3°7,b=0.70-3,c=1.20-3,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a)c>b

【解析】??,函數(shù)P=0.3,在R上是減函數(shù)，

A0<0.3°-7<0.3°-3<0.3°=1,

又「基函數(shù)尸在(0,十8)上單調(diào)遞增，

0.3<0.7,

.\0<0.3°-3<0.70-3,

：.0<a<b<lf

而函數(shù)y=1.2'是R上的增函數(shù)，

c=l.2°'3>1.2°=1,d>b>a.

故選B.

【典例2］若2-223=3?則()

A.ln(y—x+l)>0B.ln(y—^r+1)<0

C.ln|jr—y|>0D.In|x-y\<0

【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=2'—3二

因?yàn)楹瘮?shù)y=2"與y=—3)在R上均單調(diào)遞增，所以/'(x)在R上單調(diào)遞增.

原式等價(jià)于2、—3r<2'—37

即/'(x)<f(y),所以Ky,即y—x〉0,所以A正確，B不正確.

因?yàn)镮x—引與1的大小關(guān)系不能確定，所以C,D不正確.

故選A.

￡

【典例3】若一l<a<0,則3",后，才的大小關(guān)系是.(用“〉”連接)

11

【解析】易知3"〉0,a3<0,a3<0,又由一Ka<0,得0〈一a<l,所以(—a)3<(—a)3,即一a3<

—,所以3>滔,因此3"片>滔.

【題型五】解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

",60,

【典例1］已知實(shí)數(shù)aWl,函數(shù)f(x)=廣，若f(l—a)=f(a—1),則a的值為

2,K0,

1

解得

【解析】當(dāng)水1時(shí)，t」=2la-2-

當(dāng)3>1時(shí)，代入不成立.故a的值為;.

【典例2］若偶函數(shù)Ax)滿足Ax)=2.—4(x20),則不等式Ax—2)>0的解集為

【解析】??"(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí)，一X>0,則_f(x)=_f(—x)=2一*一4,

2*—4,x20,

),

x—220,{x—2<0,

當(dāng)f(x—2)〉0時(shí)，有2”—一4>0或12一+2—4>0,

解得x〉4或水0.

不等式的解集為UIx〉4或X0).

【典例3]已知y=4'—3?2，+3的值域?yàn)閇1,7],則x的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（-8,0]U[1,2]

【解析】Vy=4A-3-2'+3的值域?yàn)榭?7],

.W4'—3?2-3W7.

1W2*W1或2W2*W4.

.?.啟0或1W啟2.

故選D.

【題型六】指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例1】已知函數(shù)f（x）=2i3同E為常數(shù)），若f（x）在區(qū)間[2,+8）上單調(diào)遞增，則加的

取值范圍是.

【解析】令t=\2x~m\,貝ljt=|2x—4在區(qū)間g+-|上單調(diào)遞增，在區(qū)間（一8,3上

單調(diào)遞減.而y=2'是增函數(shù),所以要使函數(shù)『5）=2”在⑵+8）上單調(diào)遞增，則有會(huì)2,

即W4,所以"的取值范圍是（-8,4].

【典例2】（多選）下列各式比較大小正確的是（）

A.1.72-5>1,73

C.1.7°-3>0,931

【解析】；y=L7*為增函數(shù)，???1.7初＜1.7，,故A不正確;

4~

23，y=(3"為減函數(shù),

24

???［丁〉］?=2：故B正確;

VI.7°-3>1,而0.9*6(0,1),

.?.1.7°-3>0.931,故C正確；

2

3

又尸Xr在（0,+8）上單調(diào)遞增,

2

322

故選BCD.

［典例3］函數(shù)/(x)=x2—6x+c滿足/U+l)=F(1—x),且/(O)=3,則f⑻與M的

大小關(guān)系是()

A.f⑹B.

C.f⑹〉f9D.與x有關(guān)，不確定

【解析】???f(x+l)=/(l—X),??.廣(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，

易知6=2,c=3,

當(dāng)x=0時(shí)，6°=c°=l,.*"(6)=-(</),

當(dāng)x>0時(shí)，3*>2*>1,又/1(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，；./■()')<f(/),

當(dāng)水0時(shí)，又f(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

f⑻"⑹，

綜上，f⑻WfC故選A.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】定義在R上的函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且對(duì)VxGR,有/'(『(x)—2)=3,則f(log43)

【解析】根據(jù)題意，對(duì)VxGR,有/■(F(x)—2J)=3,

又是定義在R上的增函數(shù)，

...在R上存在常數(shù)a使得f(a)=3,

；"(x)=2'+a,；.f(a)=2"+a=3,

解得a=l,

f(x)=2'+l,

.,./(log43)=2log4+1=/+1.

【訓(xùn)練二】設(shè)=I2"-1-1|,a〈c且F(a)>f(c),則2"+2,4.(選填

“〉”“〈”“=”)

【解析】F(x)在(-8,1］上是減函數(shù)，在［1,+8)上是增函數(shù)，故結(jié)合條件知必有a〈l.

若cWl,則2y2,2°W2,故2"+2整4；

若c〉l,則由f(a)〉f(c),得1—2'T〉2°T—1,

即2°T+2"T(2,BP2S+2C<4.

綜上知，總有2+2y4.

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)F(x)■—或+4(—0W2).

⑴若4=5,求函數(shù)/U)的值域；

(2)若方程/"(幻二。有解，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【解析】(l)f(x)="—/+4

=S2T兒?曲+4(TWX<2).

設(shè)得g(a="2A古+4、這區(qū)2).

3

當(dāng)八=5時(shí)，g(t)=「—31+4

a

,>g（t）

537

所以/'（X）max=77，F(xiàn)（X）min=T，

164

-753'

故函數(shù)F(x)的值域?yàn)椴辉?/p>

⑵方程F(x)=0有解可轉(zhuǎn)化為

4=2?2'+1??。?1WXW2）.

設(shè)0(X)=2-2'+^(jw2?W4),

當(dāng)2、="|,即X=—1時(shí)，O(X)min=2；

65

當(dāng)2"=4,即X=2時(shí)，0(X)max=彳.

O

-65-

；?函數(shù)0(x)的值域?yàn)?,—.

O_

■65一

故實(shí)數(shù)4的取值范圍是2,—.

O_

【訓(xùn)練四】已知函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)X滿足a—X)=—f(x),則稱函數(shù)f(x)

為“局部奇函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=4'—〃?2'-3是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍是()

A.[-2,2)B.[—2,+°°）

C.(一8,2)D.［-4,-2)

【解析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，方程f(—x)=-f(x)有解即可，即4)一

一"—3=—(4'—0?2'—3),所以4T+4*-勿(2-'+29—6=0,

化為(2一*+2〉一0(2'+2i)—8=0有解，

令2r+2*=黃田2),

則有干一雇一8=0在［2,+8)上有解，

設(shè)g(力)=d一袱一8,對(duì)稱軸為①若加24,貝1|4=iff+32＞0,滿足方程有解；②

若成4,要使一一應(yīng)力一8=0在t22時(shí)有解，

則叱］成4⑵,一2-

解得一2〈加4.

綜上可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍為［—2,+8).故選B.

【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)=。，［—1,1］,函數(shù)g(x)=/(x)—2af(x)+3的最小值為

力⑸.

⑴求(㈤；

⑵是否存在實(shí)數(shù)如n,同時(shí)滿足以下條件：

①力＞刀＞3;

②當(dāng)力(己)的定義域?yàn)椋鄣?，加時(shí)，值域?yàn)椋?A4.

若存在，求出如刀的值；若不存在，說明理由.

【解析】⑴因?yàn)楱D―1,1],所以⑶G3.

，J1

設(shè)=^-

L3，3,則g(x)=。(1)=一一2一方+3=(方一a)?+3—

1

當(dāng)m282a

a<=二°⑸=§—7

30'

當(dāng)時(shí)，力(a)=O?=3一3；

?j

當(dāng)a>3時(shí)，力(a)=。⑶=12—6a

<282a1

5Fa<§,

所以為(a)=<？_2工v

3a,乃^：3,

o

<12—6a,乃>3.

(2)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)如n.

因?yàn)?>A>3,\_n,ni],所以為(a)=12—6a.

[12—60=3,

因?yàn)闋朼)的定義域?yàn)?，血，值域?yàn)閇一,酎],且爾a)為減函數(shù)，所以2兩式

相減得6(a―7?)=(m—n)(ffl+72),因?yàn)閙>n,所以m—n#0,得R+A=6,但這與"ni>n>3”

矛盾，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)如n.

【訓(xùn)練六】已知函數(shù)/U)=2①+a?2-,(a為常數(shù),aGR).

(1)討論函數(shù)/'(x)的奇偶性；

(2)當(dāng)/<x)為偶函數(shù)時(shí)，若方程f(2x)—f(x)=3在xe[O,1]上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)A的取值

范圍.

【解析】⑴：函數(shù)f(x)=2'+a-2r的定義域?yàn)閤dR,

又?."(一工)=2-*+釬2*,

①當(dāng)f(—x)=f(x),

即2)+a-2'=2'+a?2r時(shí)，可得a=l,

即當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/'(x)為偶函數(shù)；

②當(dāng)f(—x)=—f(x),

即2-”+打?2*=—⑵+a?2一5

=_2、一a.2r時(shí),

可得a——l,

即當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(2)由(1)可得，當(dāng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，a=l,

即f(x)=2*+2),

/<2王)=2"+2—=(2*+2一僦一2,

由題可得，

(2*+2,)2—2一4(2*+2-9=3=(2*+2-》2—A(2，+2-")-5=0,

令t=2'+2),

則有1-5=0,

V^e[0,1],.,.2,c[l,2],

-5"

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，2*+2-'G[2,

-5一

即2,~,

「5-

方程F—A方一5=0在2,-上有實(shí)數(shù)根，

5

，0（8在2,-上單調(diào)遞增,

1

且。⑵——看。（|）=

2-

?一/右5，

11

--

，實(shí)數(shù)A的取值范圍是2

2?

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.若實(shí)數(shù)a〉0,則下列等式成立的是（）

A.（一2廠,=4B.2a-=9

_11

C.（-2）°=—1D.（tz4）4=-

a

19

【解析】對(duì)于A,（—2）一2=不故A錯(cuò)誤；對(duì)于比2b=-故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,（—2）°=1,

4a

1

故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,（q4）4=_,故D正確.故選D.

a

02

2.已知乃=2°工b=0.4-,C=0.4°6,則ab,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a)bD.b>c>a

【解析】尸0.4'為減函數(shù),

AO.4O6<O.4°-2<0.4°=1,

又吸Oh即a〉垃c.故選A.

］1一2二x'O,

3.已知函數(shù)F（x）=,則函數(shù)『5）是（）

〔2'—1,x〈0,

A.偶函數(shù)，在［0,+8）上單調(diào)遞增

B.偶函數(shù)，在［0,+8）上單調(diào)遞減

C.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增

D.奇函數(shù)，且單調(diào)遞減

【解析】作出函數(shù)Ax）的圖象（圖略）,由圖可知/>（X）為奇函數(shù)，且/'（X）在R上為增函數(shù).

故選C.

4.已知函數(shù)y=4x+a的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）

【解析】由函數(shù)y=4x+a的圖象可得衣0,0〈a〈l.因?yàn)楹瘮?shù)y=4x+a的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)大于1,所以A>—1,所以一l<k0.函數(shù)y=a"上的圖象可以看成把尸/的圖象向右

平移一彳個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，且函數(shù)y=a*+*是減函數(shù),故此函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1,

結(jié)合所給的選項(xiàng)，選B.

5.設(shè)函數(shù)與晨x)=a'(a>l且a#2)在區(qū)間(0,+8)上具有不同的單調(diào)性，則〃

<1\0.1

=(a—I)。*與e《J的大小關(guān)系是()

A.M=NB.旌N

C.KND.M>N

【解析】因?yàn)?■(工)=V)與g(x)=a'(a>l且a#2)在區(qū)間(0,+8)上具有不同的單調(diào)性，

<1\0.1

所以a>2,所以〃=(a—<1,所以粉兒故選D.

6.已知函數(shù)/5)=|2-1|,@<沃。且『(力〉『(0)〉『(6),則下列結(jié)論中，一定成立的是()

A.水0,伙0,c<0

B.水0,620,。>0

C.2~X2C

D.2a+2c<2

I

［解析］...-

作出函數(shù)=的圖象，如圖，

因?yàn)閍〈伙c且f(a)>Ac)>/(A)，

結(jié)合圖象知，0<r(a)<l,a<0,c>0,

所以

所以r(a)=|23-l|=l-2a<l,

所以所以0<Kl.

所以所以==2°—1,

又因?yàn)閒(a)〉f(c),

所以1-2S>2C-1,

所以2"+2。<2,故選D.

7.基本再生數(shù)A與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者

傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,

可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)/(力隨時(shí)間力(單位：天)的變化規(guī)律，指

數(shù)增長(zhǎng)率r與必，7近似滿足吊=l+r7：有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出吊=3.28,7=6.據(jù)此,

在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2-0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【解析】由必=l+r7,兆=3.28,7=6,

78,-13.28-1

得r==0.38.

T6

由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍,

則式友)=2Z(ti),

即e°3眄=2e°3跖

所以e°38&-4)=2,

即0.38(t2-ti)=ln2,

b1IIn20.69_

所以力2一方1=八QQ一八8.故選D.

U.ooU.oo

["f(x),/'(x)W4,

8.設(shè)尸f(x)在(一8,1]上有定義，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)反定義看(王)=

[K,fix)>K.

給出函數(shù)f(x)=2*—4，,若對(duì)于任意xd(—8,1],恒有f.(x)=f(x),貝)

A.4的最大值為0B.4的最小值為0

C.人的最大值為1D.{的最小值為1

【解析】根據(jù)題意可知，對(duì)于任意xd(—8,1],若恒有方(x)=f(x),則f(x)/人在xWl

上恒成立，即f{x)的最大值小于或等于,即可.

令2'=t,則力e(0,2],/■(力=—/+2力=一(力—1)』1,可得f(t)的最大值為1,所以41,

故選D.

【多選題】

9.已知函數(shù)F(x)=ai+l(a>0,aWl)的圖象恒過點(diǎn)4下列函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)/的是()

A.y=7]一x+2B.y=\x—21+1

C.y=log2(2x)+lD.y=21,~'

【解析】函數(shù)F(x)=ai+l(a>0,aWl)的圖象恒過點(diǎn)4令了一1=0,得x=l,『⑴=2,

所以恒過點(diǎn)/(I,2).把x=l,y=2代入各選項(xiàng)驗(yàn)證，只有D中的函數(shù)沒經(jīng)過該點(diǎn).故選

ABC.

10.函數(shù)y=a'一a(a>0,a=l)的圖象可能是()

【解析】當(dāng)於1時(shí)，a為增函數(shù)，且過點(diǎn)（1,0）,

當(dāng)x=0時(shí)，尸1一水0,故選項(xiàng)A不正確，B正確.

當(dāng)0〈水1時(shí)，〃=/一a為減函數(shù)，且過點(diǎn)（1,0）,

當(dāng)x=0時(shí)，y=\~a^.（0,1）,故選項(xiàng)C正確，D不正確.

故選BC.

11.設(shè)函數(shù)廣（x）=2。對(duì)于任意的為，加（EWE）,下列命題中正確的是（）

A.廣（矛1+義2）=/1（不）?F（就

B.f（xi?X2）=_f（xi）+F（X2）

C.3&當(dāng)0

X1—X2

D.f卜產(chǎn)）〈"紇"）

【解析】2x1?2/2=2為+/2,所以A成立，

2XI+2X2^2XIX2,所以B不成立，

函數(shù)F（x）=2"在R上是增函數(shù)，

若?。救鐒t/U）＞/U）,則4荀）—4茲）＞0,

X1—X2

若水小則ZU）"（X2）,則4荀）苞）〉0,故C正確，

X1—X2

fg宓|〈以當(dāng)3說明函數(shù)是凹函數(shù)，可知f（x）=2'的圖象滿足條件，故D正確.

故選ACD.

12.下列各式比較大小正確的是（）

2

（1v

A.1.72-55＞1,73B.I-I＞23

32

C.1.703＞0.931D.＜印

【解析】?.）=1.7'為增函數(shù)，；.1.72弋1.73,故A不正確.

424

2^=Qj3,y=g）為減函數(shù)，...（gj=2三，故B正確;

VI.703>1,而0.9*e(0,1),Al.7°-3>0.931,故C正確;

y=(I)為減函數(shù)'

22

又丁=必在(O,+8)上遞增，二[g]

322

m卜印,故D正確.

故選BCD.

【填空題】

_2

13.計(jì)算：閶“1。.L+(2既3-3^+||=--------

【解析】原式=用5+白+圜3-3+||

5937

_+100+__3+-=100.

答案：100

14.函數(shù)尸灰a〉0且aWl)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則a"的取值范圍是.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)曠=2'—6的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)尸堂一6單調(diào)遞減且

[0<a<l,

其圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上.令x=0,則尸a°—6=1-6,由題意得|

L1—o<0,

[0<a<l,

解得故ak(0,1).

[o>l.

答案：(0,1)

15.己知函數(shù)f(x)=<―0)'aWx〈”的值域是[—8,1],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

、一三+2X，0WxW4

【解析】當(dāng)0WxW4時(shí)，F(xiàn)(x)￡[—8,1],

當(dāng)aWx<0時(shí)，f(x)￡一點(diǎn)—1)，

所以一"-1)[—8,1],

即一8W—/一1,即一3W水0.

所以實(shí)數(shù)》的取值范圍是[—3,0).

答案：［—3,0)

16.已知函數(shù)/'(x)=12,，—11,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(6),則下列結(jié)論中，一定成立

的是.

①a<0,b<0,c<0；②a<0,620,c>0；③2r<2°；@2a+2c<2.

【解析】作出函數(shù)/■(x)=|2'—l|的圖象，由圖象可知a〈0時(shí)，。的符號(hào)不確定，l>c>0,故

①②錯(cuò)；因?yàn)锳a)=|2a-l|,/-(e)=|2c-l|,所以|2,一1|,即1—2020—1,故

2a+2c<2,④成立；又2a+2，>24產(chǎn)，所以2'+<1,所以乃+水0,所以一a>c,所以2r>2、

③不成立.

答案：④

【解答題】

17.已知函數(shù)F(x)=a'+6(a>0且aWl)的圖象過點(diǎn)(0,—2),(2,0).

⑴求a與b的值;

⑵求x￡［—2,4］時(shí)，f(x)的最大值與最小值.

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(0,-2),(2,0)在函數(shù)Hx)=^+6S>0且aWl)的圖象上，所以

a+b=-2,a=±y[3,

所以

3+6=0,b=13.

又a=—/不符合題意，所以［“一班’

1/?=—3.

⑵由⑴可得F(x)=(^/3)-3.因?yàn)閙>1,所以尸(十),在其定義域上是增函數(shù)，所以f(x)

=(小廣一3在區(qū)間［—2,4］上單調(diào)遞增.所以Hx)在區(qū)間［—2,4］上的最小值為『(一2)

最大值為『(4)=6.

,2、1削一a

18.已知函數(shù)廣(x)=R

⑴求F(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若Ax)的最大值等于：，求a的值.

【解析】(1)令％=|x|—<3,貝1"“)=自，不論<3取何值，方在(一8,0］上單調(diào)遞減，在

(0,+8)上單調(diào)遞增，又是單調(diào)遞減的,

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0］,

單調(diào)