2024屆湖南省十四校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南省十四校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題

卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知必，〃是兩條不同的直線(xiàn)，a,（3是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①,m±n,則a_L0；②若加||a,n||P,m±n,則。〃（3；

③若機(jī)_La,?||P,mln,則a〃0；④若機(jī)_La,?||P,a〃（3,則機(jī)_Ln.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.若｛a〃｝是等差數(shù)列，且。］+%+〃7=45，%+/+%=39,則%+4+%=（）

A.39B.20C.19.5D.33

3.如圖，設(shè)Ox,OX是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，e,f分別是與x軸，＞軸正方向

12

同向的單位向量，且住中120°,若向量0P=%彳+、，，則把有序數(shù)對(duì)（x,y）叫

做向量。月在坐標(biāo)系X。），中的坐標(biāo).假設(shè)。戶(hù)在坐標(biāo)系X。），中的坐標(biāo)為（2,—1）,則

叫=（）

上

A.B.y/5c.乖D.a

G-+l）（2y+l）

4.設(shè)了＞（）,丁＞0,x+2y=4,則--------:——的最小值為（）

孫

79

A.2B.4C.-D.—?

22

5.直線(xiàn)y=-x+1的傾斜角是（）

A.B.C.D.

6.若log（3。+4。）=logyjab9則a+）的最小值是（）

42

A.7+473B.7+273C.6+473D.6+273

7.不等式以2+/zx—2N0的解集為｛xl—2Wx?一（｝,則實(shí)數(shù)a,8的值為（）

A.a=-8,/?=-10B,a=-l,b=9

C.a=-4,b=-9D.a=-l,b=2

8.如圖是函數(shù)y=4sin3+（p）（A>0,a>0，M（兀）的部分圖象2,則該解析式為

（）

2.x兀

B.y—sin—+一

3（24

22（2

D.y=—sin2x+—兀

?3I3

A.200B.210C.400D.410

10.向量a=（~4,5）,6=（人/），若。一5）//5,則入的值是（）

544c

A.--B.--C.D.-2

435

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

'2x+y-2>0

V

u.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足不等式組,則「的最大值為.

y>x

12.已知?！?,〃>0,。+。=1,則3+）的最小值為_(kāi)______.

ab

13.已知a=（-2,—1）,6=（九,1）,若Z與石的夾角a為鈍角，則實(shí)數(shù)九的取值范圍

為?

14.tanarccos的值為

15.正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝中，存在兩項(xiàng)aM二4。，且

ninn

c15

a=a+2a,則—+一的最小值為

765mn

16.給出下列語(yǔ)句:

①若a/為正實(shí)數(shù)，a#b,則Q3+加＞。28+次?2；

_,a+ma

②若。，加為正實(shí)數(shù)，則好Lv

ah

③若—>—,貝?。輆>b；

C2C2

,八冗2

④當(dāng)x￡(0，k)時(shí)，sinx十二的最小值為2J爹，其中結(jié)論正確的是

2sinx

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17.(1)計(jì)算：sin2150°+cos900+tanl35°-cos21200+sin(-90)；

sin(K-a)sin與+a)cos(-2兀+a)

(2)化簡(jiǎn):

sin(27i-a)cos(37i+a)

18.如果定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意的xeR,都有則稱(chēng)該

函數(shù)是“P函數(shù)

(I)分別判斷下列函數(shù)：①y=2x；②y=2x+l；③y=x2-2x-3,是否為“P函

數(shù)”？(直接寫(xiě)出結(jié)論)

(II)若函數(shù)〃x)=sinx+cosx+a是“P函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

X2+1,X￡A°

(III)已知/(龍)=，…"是，，B函數(shù)，，，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合

A與8

19.已知函數(shù)/G)=x2+2ax-b。

(1)若b=342,求不等式/G)W0的解集;

(2)若。>0,6>0,且/(/?)=從+b+a+l,求G+)的最小值。

20.(1)己知直線(xiàn)，：3x—4y+2=0,求與直線(xiàn)，平行且到直線(xiàn)/距離為2的直線(xiàn)方程;

(2)若關(guān)于x的不等式x2—(a+l)x+a<0的解集是[0/)的子集，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

21.已知函數(shù)/Cx)=2x2+mx-1,為實(shí)數(shù).

(1)若對(duì)任意xeR,都有/(1+幻=/(1一》)成立，求實(shí)數(shù)”的值；

(2)若xe[T，ll,求函數(shù)/G)的最小值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、C

【解題分析】

利用面面垂直的判定定理判斷①；根據(jù)面面平行的判定定理判斷②；利用線(xiàn)面垂直和線(xiàn)

面平行的性質(zhì)判斷③；利用線(xiàn)面垂直和面面平行的性質(zhì)判斷④

【題目詳解】

①機(jī)，〃，.?.///a或〃ua,又...”LB,則。_10成立，故正確

②若m〃a,m_L〃，.?.///a或〃和a相交，’a并不一定平行于P,故錯(cuò)誤

③若加，a,mln,則“//a或〃ua,若〃//0,則a并不一定平行于P,故錯(cuò)

誤

④若a//p,.-.wlp,又〃〃B,...機(jī)_L〃成立，故正確

綜上所述，正確的命題的序號(hào)是①④

故選C

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了命題的真假判斷和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解線(xiàn)面，面面平行與垂直的判

斷定理和性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，縱向觀察三個(gè)式子的項(xiàng)的腳標(biāo)關(guān)系，可巧解.

【題目詳解】

由等差數(shù)列得.a+Q+a=(Q+d+〃+d+o+d)=(a+Q+〃)+3d=39,

258147147

所以3d=-6,

同理.a+a+a=a+a+a+31=39-6=33.

,369258

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，關(guān)鍵縱向觀察出腳標(biāo)的特殊關(guān)系更妙，屬于中檔題.

3、D

【解題分析】

可得IO戶(hù)1==J4e2-4e；e+e?=j4-4xlxlx(-l)+l=".

Y1122V2

【題目詳解】

向量Op=2e—e,

12

則IOP1=ylop2=d4e2-4e>e+e2=14-4x1x1x(-1)+1=77.

V1122V2

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解題分析】

利用基本不等式可得孫42,再結(jié)合x(chóng)+2y=4代入即可得出答案.

【題目詳解】

解：：x〉0,y>0,x+2y=4,

/~--x+2yC

<——=2,

.?.W?2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2即x=2,y=l時(shí)等號(hào)成立,

(x+l)(2y+l)2xy+x+2y+\.559

/.---------;——=--------------------=2+—>2+=,

孫孫xy22

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題.

5、C

【解題分析】

由直線(xiàn)方程可得直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

【題目詳解】

直線(xiàn)y=-x+1的斜率為-1,

設(shè)傾斜角為a,則tana=-1,

.\a=135°

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

6、A

【解題分析】

?.?3a+4h>0,ah>0,

a>0,b>0,

?/log(3。+4b)=logy/ab

42

log(3〃+4b)=log(ah)

44

:3〃+4〃=出?,〃w4,a>0,>0

.3a_

b=---->0,

a-4

a〉4,

,3a3(a—4)+12/八12r

則〃+/?=4+----=Q+-----------=(Q-4)+----+7

a-4a-4a-4

T("4)?總+7=44+7

，當(dāng)且僅當(dāng)。=4+23取等號(hào).

所以A選項(xiàng)是正確的.

點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表

示內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①

一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一

個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.

7、C

【解題分析】

?..不等式以2+桁一220的解集為{xl—2?x?—|},

4

C1

：.一2,一:為方程an+笈—2=0的兩根，

4

一,1、8,1、2

則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得一2+（一二）=一一,（一2）-（一二）=一一，

4a4a

a=-4,b——9,

故選C.

考點(diǎn)：一元二次不等式；根與系數(shù)關(guān)系.

8、D

【解題分析】

C（5712、

根據(jù)函數(shù)圖象依次求出振幅，周期，根據(jù)周期求出。=2,將點(diǎn)7T，彳代入解析式即

可得解.

【題目詳解】

y=Asin（ar+q））（A>0,a>0相<兀）

2T5兀，7兀、2KC

根據(jù)圖象可得：A=《，最小正周期T=—卜7V=兀，——=兀,。=2

3127TI12Ja

2,,f5K2>22.5TI

y=-sin（2x+<p）（|（p|<^）,經(jīng)過(guò)卜——=-sin（2x——+（P）,

?/5兀、15兀3兀?

sin（——+（p）=-l,——+（p=——+2kn,kGZ,

662

2兀

（p=亨+2左兀，左eZ,慳|<兀

271

所以3=亍，

所以函數(shù)解析式為：y=|sinf2x+|n\

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

此題考查根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是對(duì)振幅周期的辨

析，最后求解中的值，一般根據(jù)最值點(diǎn)求解.

9、B

【解題分析】

首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用

求出結(jié)果.

【題目詳解】

由題。=1,2s=aci,又因?yàn)?/p>

1nn+In11

所以當(dāng)〃=1時(shí)，可解的。=2

2

當(dāng)〃之2時(shí)，2s=aa,與2s=aa相減得。-a=2

n-lnn-1nM+1n〃+ln-1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列%｝是以1為首相，2為公差的等差數(shù)列，a=2/1-1

nn

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列%｝是以2為首相，2為公差的等差數(shù)列，a=2n

nn

所以當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，a=〃，

n

則S=1+2+3+...+20=210

'20

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)有數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主

要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于一般題.

10、C

【解題分析】

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理，列方程求出入的值.

【題目詳解】

向量過(guò)=(-4,5),=(k,1),

則-=(-4-1,4),

又(-)〃，

所以-4A-4入=0,

解得.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、2

【解題分析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解，得到

答案.

【題目詳解】

由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，

又由三=1），即;表示平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)G，y）與點(diǎn)。（T，°）之間連線(xiàn)

X+lX—\—lJX4-1

的斜率,

顯然直線(xiàn)AO的斜率最大，

又由，c,解得410,2人則左

y=2?

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.其中解答中正確畫(huà)出不等式組表

示的可行域，利用“一畫(huà)、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考

查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、25

【解題分析】

變形716廠1[丁16萬(wàn)1VQ+b）\="+k16。+產(chǎn)a，利用基本不等式可得?

【題目詳解】

161(161)/.\_16ba116ha_

—+7=—+—b)=17+-----+7>17+2/-----?—=17+2x4=25

abyabJabVah

4,1

當(dāng)且僅當(dāng)。2=164，即。=虧，b=可時(shí)取等號(hào).

故答案為：25

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

13、,2卜（2,+oo）

【解題分析】

由題意得出Z?石<0且Z與五不共線(xiàn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)九的取值范圍.

【題目詳解】

由于Z與萬(wàn)的夾角a為鈍角，則方?石<0且￡與萬(wàn)不共線(xiàn)，

/\/\—2入—1<0I

?.?。=（一2,—1）,〃.??<,解得九>一不且九。2,

一人W—Z2

因此，實(shí)數(shù)九的取值范圍是（一g，2）D（2,+8）,故答案為：（一g,2）u（2,+oo）.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時(shí)要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個(gè)非零向量Z與匹的

[a-b>0八[a-b<0

夾角為a,0為銳角o上/了并共，0為鈍角=上匚才并處.

口與b不共線(xiàn)與b不共線(xiàn)

14、1

【解題分析】

由反余弦可知arccosRZ=三，由此可計(jì)算出小>arccoSf-J的值.

【題目詳解】

（"1兀?

I2J4,

故答案為：1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查正切值的計(jì)算，涉及反余弦的應(yīng)用，求出反余弦值是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7

15、4

【解題分析】

先由已知求出公比夕，然后由的F-=4。求出加，〃滿(mǎn)足的關(guān)系，最后求出If，的

丫““1mn

所有可能值得最小值.

【題目詳解】

設(shè)數(shù)列公比為夕，由%=氣+2/得a牛=qq+2a,：.q2-q-2=0,解得q=2

765555

（q=-l舍去），

由Qa；a=4q得-2?-i-a-2?-i=4a,m+n—6,?:m,nwN*,

所以(血,〃)只能取(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),依次代入_1+三，_￡+一分別為2,

mnmn

711267

—r,2,—,—,最小值為7?

4454

7

故答案為：

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查求最小值問(wèn)題.解題關(guān)鍵是由等比數(shù)列性質(zhì)求出加，〃滿(mǎn)

足的關(guān)系加+〃=6.接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實(shí)質(zhì)上由于

因此對(duì)應(yīng)的（團(tuán),〃）只有5個(gè)，可以直接代入求值，然后比較大小即可.

16、①③.

【解題分析】

利用作差法可判斷出①正確；通過(guò)反例可排除②；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③正確；根據(jù)

x的范圍可求得sinx的范圍，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知④錯(cuò)誤.

【題目詳解】

①a3+bi—a2h-abi=a2（a—力）+從（b-a）=（a-t>）Ci2一〃2）=（〃一亦（Q+人）

,:a豐b,。/為正實(shí)數(shù)（a-b）2>0,a+b>0

。3+加一。26一〃。2>0,即。3+加>a?b+ab2,可知①正確；

_,a+m21a

②若。=1,h=2,m=l,則>1——=>=可知②錯(cuò)誤；

b+m32b

abab

③若—>—,可知。>0,則—,C->—,,即a〉/?,可知③正確；

C2C2C2C2

,兀、2

④當(dāng)xe；0,7時(shí)，sinxe（0,1）,由對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知：sinx+_一.e（3,+oo）,可

、2）sinx

知④錯(cuò)誤.

本題正確結(jié)果：①③

【題目點(diǎn)撥】

本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問(wèn)題、利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問(wèn)題，屬

于常規(guī)題型.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17、(1)-2(2)-cosa

【解題分析】

(1)利用特殊角的三角函數(shù)值求得表達(dá)式的值.

(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.

【題目詳解】

(1)sin21500+cos90。+tanl350-cos^120°+sin(-90°)

=l+0-l-l-l=-2.

44

sin(7t-a)sinl+aICOS(-2K+a)

sin(27t-a)cos(3K+a)

sina(-cosa)cosa

=-----------------=-cosa

-sina(-cosa)

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

18、(I)①、②是“P函數(shù)”，③不是“P函數(shù)”；(II)。的取值范圍為

(-<?,-1)0(1,+oo)；

(III)4=[(),+<?),3=(YO,0)

【解題分析】

試題分析：(1)根據(jù)邛函數(shù)”的定義判定.①、②是邛函數(shù)”，③不是邛函數(shù)”；(2)

由題意，對(duì)任意的xRR,f(-x)+f(x)#),故f(-x)+f(x)=2cosx+2a由題意，

對(duì)任意的xeR,2cosx+2a#0,即-cosx即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍(3)對(duì)任意的x^O,

分(a)若x￡A且-x￡A,(b)若x￡B且-x￡B,驗(yàn)證。

(I)①、②是“P函數(shù)”，③不是“P函數(shù)”.

(II)由題意，對(duì)任意的xeR,即/(一x)+/(x)wO.

因?yàn)閒G)=sinx+cosx+a,所以/(一%)=一5121+(：05%+。.

故f(x)+f(一x)=Icosx+2a.

由題意，對(duì)任意的xeR,2cosX+2QH0,即ah-8sx.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(Y°，T)U(1,+<?).

(Ill)(1)對(duì)任意的XHO

(a)若無(wú)eA且一xeA,則一xwx,/(—x)=/(x),這與y=/(x)在R上單調(diào)遞

增矛盾，(舍)，

(b)若xeB且一xeB,則/(—x)=—無(wú)=—/(x),這與y=/(x)是“P函數(shù)，，矛盾，

(舍).

此時(shí)，由y=/Q)的定義域?yàn)镽,故對(duì)任意的X。。，x與一x恰有一個(gè)屬于A,另一

個(gè)屬于B.

(2)假設(shè)存在\)<0,使得則由故/(七)</(5).

(a)若則?+l<x；+l=/Go),矛盾，

(b)若孑則去)=與<0<4+1=/(弋)，矛盾.

綜上，對(duì)任意的x<0,x^A,故xeB,即(YO,0)[8,則(0,+oo)qA.

(3)假設(shè)OeB,則/(-0)=-/(0)=0,矛盾.故OeA

故A=[o,+oo),B=(-oo,0).

經(jīng)檢驗(yàn)A=[O，+8),5=(YO,0).符合題意

點(diǎn)睛：此題是新定義的題目，根據(jù)已知的新概念，新信息來(lái)馬上應(yīng)用到題型中，根據(jù)B

函數(shù)的定義即函數(shù)沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的部分即可，故可以從圖像的角度來(lái)研究函數(shù)；第

三問(wèn)可以假設(shè)存在，最后推翻結(jié)論即可。

7

19、(1)答案不唯一，具體見(jiàn)解析(2)y

【解題分析】

(1)由/(x)=(x+3a)(x-a)40,對(duì)a分類(lèi)討論，判斷一3a與。的大小，確定不等

式的解集.

(2)利用/(匕)=枕+8+。+1把〃用。表示，代入G+)表示為a的函數(shù)，利用基本不

等式可求.

【題目詳解】

解：(1)因?yàn)椤?3。2,所以/G)=X2+2依-3。2,

由/(x)〈0,得X2+2以一3〃2WO,即(X+3Q)Q-Q)<0,

當(dāng)a=O時(shí)，不等式f(x)40的解集為｛xlx=。｝；

當(dāng)a〉0時(shí)，不等式/G)SO的解集為｛xl—3a?xW。｝；

當(dāng)a<0時(shí)，不等式/G)WO的解集為｛xla?xW—3a｝；

(2)因?yàn)?G)=62+2出?一力，由已知+b+a+\,

可得2ab—ci—2b—1=0,

'；a>0,b>0,a>l,b>—,

111337

=---,〃+/?=〃-1+---+—>2+—=—,

2a-\a-\222

c,3

當(dāng)且僅當(dāng)。=2,〃=］時(shí)取等號(hào),