湖北省武漢市2023-2024學年八年級下學期月考數(shù)學試題(含解析)

2023-2024學年度第二學期八年級自我檢測月練習

練習時間：3月25日學科：數(shù)學滿分：120分時間：120分鐘

一、選擇題（共10小題）

1.下列計算正確的是（）

A.272x272=8B.<*32-^8=>/2C..5一、口=0D.據(jù)+2=3

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）.

A.瓜B.6C.反D.R

3.在平行四邊形48co中，若/B=2/A,則/C的度數(shù)為（）.

A.120°B.60°C,30°D.15°

4.在下列由線段。，b,c的長為三邊的“8C中，不能構成直角三角形的是（）

A、a?=cz-b?B./Z::/C=3:4:5

C.a=2,b=1,c=-D.a=3k,b=4k,c=5左（左>0）

44

5.已知：同二7是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)〃為有（）種可能.

A.2B.3C.4D.5

化簡?。?—p）+卜2一p）二（）

6.已知1<,<2,

A.1B.3C.3—2pD.1-277

7.如圖，Y/5CE中，對角線ZC、5。相交于點。，OE上BD交AD于點、E,連接8E,

若Y/5CD的周長為28,則A45E的周長為（）

A.28B.24C.21D.14

8.如圖，在矩形/5CO中，45=5,40=3,點E為3C上一點，把△CZ）及沿。6翻折，C

恰好落在Z8邊上的尸處，則C￡的長是（）

AB

DL^T_________!c

534

A.-B.-C.-D.2

323

9.如圖，中，ZACB=,50°,分別以直角三角形的三條邊為邊，在直線45同側(cè)分

別作正三角形，已知S=8,S;=6,S=3,則的面積是（）

甲乙丙

入

A.5B.11C.17D.22

10.如圖，在四邊形4BCZ）中，/3=135°,ZC=120°,AB=茅,8c=3-退，

CD=6,則AD邊的長為（）

/X

AD

A.65AB.3y/3C.472D.4出

二、填空題（共6小題）

11.如果兩個最簡二次根式J3a-8與J17-2”能夠合并，那么a的值為________.

+Q-Jj）x的值為_____.

12.已知x=2+、/J,則代數(shù)式4

13.一根木桿在離地2.5米處折斷,木桿的頂端在離木桿底端6米處，則木桿折斷之前的高

度為________米.

14.如圖，將長方形分成四個區(qū)域，其中A,8兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6,則剩余

區(qū)域的面積是

15.在平行四邊形/3CZ）中，平分NA4D交邊3C于/平分//DC交邊8c于尸.若

AD=11,EF=5,則AB=.

16.如圖，在平行四邊形/BCD中，乙43C=120。，AB=&連接8。，且ADLCD,CE

平分NDC8交ND與于點E.點N在3C邊上，BC=4CN,若線段P。（點尸在點。的左側(cè)）

在線段C8上運動，尸。=史，連接BP,NQ,則8P+PQ+QV的最小值為.

2

（2）2jTIx立.5點.

4

18.如圖，在Y4BCD中，AE平分NB4D,交BC于點、E,CF平分NBCD,交/。于點

F.求證：四邊形4ECF是平行四邊形.

19.如圖所示，在AABC中，ZA=45\AC=<2,AB=<1+1,求(1)S；(2)求3C的

M.BC

20.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1,每個小格的頂點叫做格點其中格點/

已在網(wǎng)格中標出，以格點為頂點按下列要求畫圖(不需要寫畫法).

(1)在圖中畫一個使其三邊長分別為==

(2)在(1)的條件下，計算：S=；8c邊上的高為

4ABe---------------------------------

(直接寫出結(jié)果)；

(3)設直角三角形的兩條直角邊及斜邊上的高分別為a,b反h,求證：—+=

Q2b2用2

21.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩

端從C移動到￡,繩子始終繃緊且繩長保持不變.

(1)若CF=7米，N尸=24米，42=18米，求男子需向右移動的距離；(結(jié)果保留根號)

(2)此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從N處移動到

岸邊點尸的位置？

22.閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點/G,0)、3(x,0)的距離記作

12

AB=\x-x^,如果/(?)、BQ,%)是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形

來求N8間的距離.

如圖，過/、3分別向x軸、＞軸作垂線、AN和BM、BN,垂足分別是/、N、

/112211

M?、凡，直線交aI、于點0,在放“8。中，AQ=\X-X^\9BQ=\y-yy

：.AB2=AQ2+BQ2=\X-xI2+\y-yI2=(x-x>+(y-y).

~112111211212

(1)由此得到平面直角坐標系內(nèi)任意兩點/(\，5)、^(.，八)間的距離公式為：AB=-

(2)直接應用平面內(nèi)兩點間距離公式計算點/(1,-2),3(-2,2)之間的距離為.

(3)在平面直角坐標系中的兩點/(-1,3),8(4,1),P為x軸上任一點，求力+尸2的最小值：

(4)應用平面內(nèi)兩點間的距離公式，求代數(shù)式/P+(尸2?+J(x-31+(y-如的最小值(直

接寫出答案).

(5)應用拓展：如圖，若點。在3C上運動，AD1BC,AD=3,BC=5,連接48,AC,

求18c的周長的最小值.

23.如圖①，點/、B、C、。在同一條直線上，點。為直線外一點，連接。/、OB、0C、

①②③

⑴若。/=。2,ZAOB=120°,4B=6.

①求。/的長度；

②旋轉(zhuǎn)NCOD,使C在48上，。在4B的延長線上，如圖②，若AC=m,BD=n,求加，n

之間的關系；

(2)如圖③，若OC=QD,點/在DC延長線上時，且NCMC=15。，AD=4,則4C的長為

(請直接寫出答案).

24.在平面直角坐標系中，。(0,0),/(°,6),且0,b滿足b=Ja—2+j6—3a+2、回,

(1)求點/的坐標：

(2)若點5在x軸正半軸上，且03=4.在平面內(nèi)有一動點尸(點P不在x軸上),

0P=c,BP=d,AP=e,且(e+c)(e-c)=〃2,求/O總的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，直接寫出S的最大值

△BOP

參考答案與解析

1.A

【分析】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵；因此此題

可根據(jù)二次根式的加減乘除運算可進行排除選項.

【詳解】解：A、272x272=8,計算正確，故符合題意；

B、用一般=4旌-2屈=2瓶,原計算錯誤，故不符合題意；

C、招一生二柩一出,原計算錯誤，故不符合題意；

D、718+2=3^+2,原計算錯誤，故不符合題意；

故選A.

2.B

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A.瓜=2屈,故此選項不符合題意;

B.J7是最簡二次根式，正確

eg點嚼,故此選項不符合題意；

D.、I=@,故此選項不符合題意.

\55

故選：B.

【點睛】本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念，如果一個二次根式符合下列兩

個條件：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式,

那么這個根式叫做最簡二次根式，是本題的解題關鍵.

3.B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)鄰角互補，對角線相等即可解答；

【詳解】在平行四邊形48C。中，乙4+48=44+244=180。

N4=60°,ZC=ZA=60°

故選:B.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握平行四邊形的角的性質(zhì)鄰角互

補，對角線相等.

4.B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.?■-ai=C2-b2,

■-ai+bi=C2,故能構成直角三角形；

B,ZA:ZB:ZC=3:4:5,

...ZC=AX18CP=75O,

12

.?.“BC是銳角三角形，故不能構成直角三角形，

C、審+12=0，故能構成直角三角形;

D、(3左＞+(4左?=(5左＞,故能構成直角三角形.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a,b,c

滿足俏+62=C2,那么這個三角形就是直角三角形.

5.D

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關犍由｛為二H

是整數(shù)且〃為自然數(shù)可進行求解.

【詳解】解：?.?歷不是整數(shù)，且〃為自然數(shù)，

???當J20-”=0時,則有”=20；

當J2O-〃=1時,則有"=19；

當而二=2時,則有"=16；

當而二77=3時，則有〃=11；

當、歷5==4時，則有〃=4；

綜上所述：滿足條件的自然數(shù)〃的取值有5種；

故選D.

6.A

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可.

【詳解】解：-A<P<2,

1—0<0,2-p>0,

v,(l-p)2+C/2-p)=p-1+2-p=1,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟知：7卷=同,(《萬)2=。是解本題的關鍵.

7.D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，再結(jié)合題意進行計算，即可得到答案.

【詳解】解：???四邊形/8C理平行四邊形，

OB=OD,AB=CD,AD=BC,

???平行四邊形的周長為28,

.-.AB+AD^14

???OE1BD,

???匿是線段5。的中垂線，

BE=ED,

AABE的周長=AB+BE+AE=AB+AD=14,

故選D.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)和中垂線定理.

8.A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：AB=CD=5,AD=BC=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

CE=EF,CD=DF=5,利用勾股定理即可求出AF,從而求出BF,^CE=EF=x,再

根據(jù)勾股定理列出方程即可求出CE的長.

【詳解】解：在矩形N3CD中，AB=CD=5,AD=BC=3,

根據(jù)折疊性質(zhì)可知C￡=M,CD=DF=5,

在RtA/Z)尸中，AFi+ADi=DFi,

即/尸2+32=52,

解得/尸=4或/尸=-4(舍去)，

AB=5,

.?.BF=AB-AF=5-4=1,

在RGBEF中，EF2=BF2+BE?,

設CE=EF二x,則5E=3—%,

則X2=12+(3-十(,

解得X=g

即CE=：

故選A.

【點睛】此題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和勾股定理是解決此

題的關鍵.

9.B

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關鍵是掌握等邊三角形的面積

由圖形得到s=S-S丙一G-S)-(S-sj,設直角三角形的三邊長為以6、

4ABe△ABD丙JCE甲^BCF乙

C,由等邊三角形面積公把邊長2代人求解即可.

4

【詳解】解：由圖可知：

s=s-s-(s-s)-6-s)

公ABC△ABD丙AACE甲4BCF乙

過點。作DHL48于點”,

是等邊三角形,

:.AD=AB=BD,ZADB=AABD=NDAB=60°,

1八

???AH=-AB,DH=^L-AB,

11/T/T

??.S=_ABDH=_AB?JAB=JAB2,

△ABD2224

同理可得S=^LACI,S=—BC2,

△ACE4ABCF4

設4B=c,AC=b,BC=a,則有42+62=02,S=——^2,51=——62,51=——(22,

△ABD4△ACE4&BCF4

S

△ABC

7\7

故選B.

10.D

【分析】過點A,。分別作垂直于直線8C,垂足分別為￡,F,根據(jù)

/8=135。，ZC=120°,可構成等腰直角三角形，和角是30。的直角三角形，根據(jù)其性質(zhì),

可求出線段/G,0G長，根據(jù)勾股定理可求出，。的長.

【詳解】解：如圖，過點A,。分別作4E,。尸垂直于直線3C,垂足分別為E,F.

???ZB=135°,

/ABE=45。,

5

BE=AE=—^―x=y/3,

???ZC=120°,

/./DC尸=60。，

???NC。b=30。,

,;CD=6,

：.CF=LCD=3,

2

DF=y/CD2-CF2=3y/3,

EF=^3+(3—\/3)+3=6.

過點A作/G，。尸，垂足為G.

在RL/DG中，AG=EF=6,DG=DF-AE=36-、?=26.

根據(jù)勾股定理得AD=y/AGi+DG2=562+(2居2=473.

故選D

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，和等腰直角三角形的性質(zhì)和30。直角三角形的特點,

從而可求出解.

11.5

【分析】利用同類二次根式的概念即可求出.

【詳解】???兩個最簡二次根式只有同類二次根式才能合并，

病二？與47-2a是同類二次根式,

3?！?=17—2a,a=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查同類二次根式的概念，掌握同類二次根式的概念為關鍵.

12.8+4/##4/+8

【分析】直接把x的值代入，利用二次根式的混合運算法則計算得出答案即可.

【詳解】解：?.?x=2+0,

??%2+(2-

=(2+6)2+(2—石)(2+>5)

=4+3+4、石+4-3

=8+4&.

故答案為：8+4/.

【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，正確掌握二次

根式的性質(zhì)，是解題的關鍵.

13.9

【分析】首先根據(jù)勾股定理計算出木桿折斷出到頂端的距離，在加上木桿折斷出距離底面的

長度，即可計算出木桿折斷之前的高度.

【詳解】解：木桿折斷出到頂端的距離為：,2.52+62=6.5（米），

木桿折斷之前的高度為：6.5+2.5=9（米）.

故答案為：9.

【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，建立數(shù)學模型.

14.V6-1.

【分析】由A、B兩正方形的面積得出相應邊長，再根據(jù)圖形計算出剩余部分面積.

【詳解】解：rA,8兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6,

則A,B兩正方形區(qū)域的邊長分別是1和思,

則剩余區(qū)域的面積為：（1+新）xJ^-l-6=7埼-1.

故答案為：5/6-1.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算的應用，解題的關鍵是讀懂圖形.

15.8或3

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙4。尸=乙0尸。，由DF平分乙4DC,得到乙仍F=等

量代換得到根據(jù)等腰三角形的判定得到CF=CD,同理班=48,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)得到N8=CO,AD=BC,得出AB=BE=CF=CD,分兩種情況，即可得到結(jié)

論.

【詳解】解：①如圖1,

圖1

在口N8CD中，-：BC=AD=\\,BC\\AD,CD=AB,CD\\AB,

；"AE=UEB,UDF—DFC,

?：AE平分乙BAD交3c于點E,DF平分乙4。。交5c于點F,

.5AE=3AE,Z.ADF=Z-CDF,

；ZBAE=UEB,(CFD=cCDF,

：.AB=BE,CF=CD,

：.AB=BE=CF=CD

,：EF=5,

'.BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,

?.AB=8；

；,3AE=UEB,UDF-DFC,

-AE平分乙BAD交5c于點E,DF平分乙4DC交5C于點F,

??.￡BAE=^DAE,UDF-CDF,

???^BAE=4EB,乙CFD=(CDF,

：,AB=BE,CF=CD,

：.AB=BE=CF=CD

?：EF=5,

；.BC=BE+CF=2AB+EF=248+5=11,

：.AB=3；

綜上所述：43的長為8或3.

故答案為：8或3.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解答本

題的關鍵是判斷出AB=BE=CF=CD.

16V35+V15

2

【分析】在C。上截取CG=CN,連接G。，過點B作2尸〃。￡,使8尸=P。=瑩，連接。尸

交C￡于點7,連接。尸，過點/作于點M,過點G作G〃J.。尸于點a,連接

FG,由平行四邊形的性質(zhì)和含30。直角三角形三邊關系可得：BC=2CD=2y[5,利用勾股

定理可得2。=行，再利用含30。直角三角形三邊關系可得：BM=LBF=叵,

24

FM='BF-BMz=逆,進而可得=）叵，求得：尸G=W亙，再證四邊形2尸。尸

442

是平行四邊形，得出5P=尸。，再證明△CN0多△CG0（SAS）,得出。N=QG,根據(jù)

FQ+QG>FG,可得出：當點。在線段尸G上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為尸G,即2尸+QV的

最小值為FG,即可求得BP+PQ+QN的最小值.

【詳解】解：在CD上截取CG=CN,連接G0,過點B作2尸〃CE,使BF=PQ=叵,

2

連接。尸交CE于點7,連接。尸，過點尸作尸于點M,過點G作尸于點”,

連接尸G,

?.?四邊形4BCD是平行四邊形，AB=S

AB||CD,CD=AB=,

ZABC=120°,

ZBCD=180°-ZABC=180°-120°=60°,

BD1CD,CD=<5,

ZCBD=90°-ZBCD=90°-60°=30°,

BC=2CD=2后,

BD=JBC2-CD2=jQ好)-G)=y/15,

?：CE平分/DCB,

???/BCE=/DCE=-ZBCD=Lx60。=30°,

22

-BF//CE,

???/CBF=/BCE=3。。,

/DBF=/CBF+CBD=30°+30°=60°,

■:FM工BD,BF=—,

2

：.BM=-BF=^-,FM=yjBF2-BM2

24

??.DM=BD-BM=/—晅=bUL,

DF=^DM2+FMI=

DF2+BF2==15=BD2,

???BFIDF,

-BF//CE,

CE1DF,

???ZDC^=30°,

/CDF=90°-ZDCE=90°-30°=60°,

VBC=2^,BC=4CN,

.-.CN=-BC=-x2y/5=—,

442

:.CG=CN=@,

2

??.DG=CD-CG=y/5-^-=—9

22

?：GHIDF,ZCDF=60°,

??.DH，DG=\顯=顯,

2224、、

GH=qDG2-DH2=

2J4J4

.F*DFDH_3rN

??rri—Lfr—UrL-----------/-5---_--5--,-/-5--,

244

???FG=ylFHi+GHi=

■.■BF\\CE,BF=PQ,

.??四邊形BPQF是平行四邊形,

；,BP=FQ,

在△CNQ和△CGQ中,

CN=CG

<ZNCQ=ZGCQ,

CQ=CQ

/XCNQ也△CG0(SAS),

：.QN=QG,

???線段尸0（點尸在點。的左側(cè)）在線段C8上運動,

,-.FQ+QG>FG,

:?當點。在線段尸G上時，尸0+QG的最小值為尸G,

.?.2P+0N的最小值為尸G,

???尸。=匯，/G=變，

22

.?.8P+PQ+QN最小值為：尸G+PQ=叵+疸=叵土叵，

222

即BP+PQ+QN最小值為底+屈,

2

故答案為：變上出.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，30。角所對的直角邊等于

斜邊的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構造平行四邊形和全等三角

形是解題的關鍵.

17.(1)10

⑵半

【分析】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是掌握二次根式運算的相關法則.

（1）先對括號內(nèi)進行二次根式的化簡和二次根式的加法運算，然后計算乘法；

（2）根據(jù)二次根式乘除法的法則進行計算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)

乎+3、回x、回

=10；

(2)2mx與5?

=4@乎+5式

=34-572

3壺

18.證明見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，等角對等邊等等，先

由平行四邊形的性質(zhì)得到N3=cnAD//BC,AD=BC,再由平行線的性質(zhì)和角平分線的

定義得到=,則48=8￡,同理可得。尸=CD,據(jù)此可得。尸=3￡,進而推出

AF=CE,由此即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

AB=CD,AD//BC,AD=BC,

：.ZAEB=ZEAD,

■：AE平分ZBAD,

：./BAE=NEAD,

ABAE=ZAEB,

AB=BE,

同理可得。產(chǎn)=C。，

??.DF=BE,

???AD-DF=BC-BE,

??.AF=CE,

又???力尸〃CE,

???四邊形AECF是平行四邊形.

19.(1)"+1；(2)2.

2

【分析】（1）過點C作CD1AB于點D,直接利用銳角三角函數(shù)關系得出DC的長，即可得

出答案；

（2）首先求出BD的長，再利用勾股定理得出BC的長即可.

【詳解】解：（1）過點C作CD1AB于點D,

???ZA=45°,AC=G

AAD=DC=ACsin45°=1,

V3+1

(2)vAB=^3+l,AD=CD=1,

.?,BD=百,

???BC=4BDi+CDi=2.

【點睛】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，得出AD,DC的長是解題關鍵.

20.（1）見解析；（2）2；網(wǎng)9；（3）見解析

【分析】（1）結(jié)合勾股定理和網(wǎng)格特點做出三條線段；

（2）利用勾股定理逆定理判斷4/臺。的形狀，然后利用三角形面積公式求解;

（3）根據(jù)勾股定理和三角形面積進行推理計算

【詳解】解：（1）???AB=42,AC=272,BC=^To

??.如圖，MBC即為所求

C

(2).(e)+Q及)=(何)

??.△4BC為直角三角形

設BC邊上的高為九則S=kABAC=}-BC-h

△ABC22

.-.S^-AB-AC^-xy,i2x2^'2=2

△ABC22

回?〃=2,解得：公網(wǎng)9

25

故答案為：2；迎

5

（3）設直角三角形的兩條直角邊、斜邊及斜邊上的高分別為a,b,c,h,

???。2+b?=。2,—ab=—ch,即ab=ch

22

11a2+Z）2。21口H111

?（*一+?-=-=■—=*',同J,

a2bia2b2cihihiazbihi

【點睛】本題考查了作圖-應用與設計作圖、二次根式的應用、勾股定理，解決本題的關鍵

是根據(jù)網(wǎng)格準確畫圖.

21.(1)

（2）不能

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，求出NC、BC的長是解題的關

鍵.

（1）根據(jù)勾股定理求/C、3C的長，然后作差求解即可；

（2）先求出從/處移動到岸邊點尸的時間，比較大小，然后作答即可.

【詳解】（1）解：=90。，/尸=24,

由勾股定理得，AC=^AFi+CFi=25,

???AB=18,

:.BF=AF-AB=6,

由勾股定理得，BC=dBF-CF2=府,

:.CE=AC-BC=25-底,

???求男子需向右移動的距離為《5-屈）米；

（2）解：由題意知，需收繩的繩長/C-CF=25-7=18（米）,

???此人的收繩時間為詬=36秒，

36>30,

??.該男子不能在30秒內(nèi)將船從N處移動到岸邊點廠的位置.

22.⑴J"-xJ+(j;->

(2)5

⑶間

(4)M

(5)761+5

【分析】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為

兩點之間距離問題是解題關鍵.

(1)由/比=G-X?+(y->>即可求解；

1212

(2)直接利用兩點之間距離公式，把兩點代入求解即可；

(3)作點2關于x軸對稱的點8,連接直線/夕與x軸的交點即為所求的點尸，PA+PB

的最小值就是線段42',求出"的坐標，再利用兩點之間距離公式求解即可；

(4)代數(shù)式JX2+G-2>+J(X-3?+G-1?表示點(X/)到點(0,2)和(3,1)的距離之和，

由兩點之間線段最短可知點(xj)在以點(0,2)和(3,1)為端點的線段上時，其距離之和最小,

再利用兩點之間距離公式求解即可；

(5)過/作尸。〃8C,作2關于直線P0的對稱點夕，連接夕C,/9，由對稱性可證。8C

的周長的最小值為3'C+BC,利用勾股定理求解即可；

【詳解】⑴由題意知：N(x/)、B(X,y),

1122

AB2=(%-x?+G-y>,

1212

/.AB=J(x-x>+(>,

Y1212

故答案為：J(x-x/+G-二>；

yi2i2

(2)*.^(1,-2),5(-2,2),

AB=J[1-(-2)]。+(-2-2)=5,

故答案為：5；

(3)作點8關于x軸對稱的點夕，連接直線與x軸的交點即為所求的點尸，PA+PB

的最小值就是線段工"，如圖，

；3關于x軸對稱的點

，點"的坐標為(4,-1),

AB'=J(-l一辦+[3-(-1)乎=<41,

.?.P/+P8的最小值為JZT；

(4)代數(shù)式JX2+G-2>+J(X-3)+G-?表示點(X/)至I點(0,2)和(3,1)的距離之和，

由兩點之間線段最短可知，點(xj)在以點(0,2)和(3,1)為端點的線段上時，其距離之和最

小，

Jx2+(y_2?+^(x-3>+(y-l>的最小值為：J(0一3「+(2二11=犧；

(5)過力作尸?！?C,作8關于直線尸。的對稱點"，連接B'C,AB',

■B,3'關于直線尸。對稱,

.-.AB'=AB,PB'=PB,

AB+AC=AB'+AC,

：./3+/C的最小值為B'C,

AABC的周長的最小值為B'C+BC,

vPQ//BC,AD-LBC,/D=3,

PB=AD=3,

BB'=2PB=6,

在RIAB,BC中，B'C=JBB'2+BC2=鬧，

”BC的周長的最小值為夕。+8。=9+5.

23.⑴①2、月；②加=生字

〃+4

(2)45/3-4

【分析】（1）①根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；

②將AOBD繞。順時針旋轉(zhuǎn)120。得到AOAF,過尸作FHL4B交BA的延長線于",連接CF,

通過旋轉(zhuǎn)全等，可證乙4尸8=30。，AOCF絲AOCD（SAS）,進而可求.=正〃，

2

HC=m+-n,CF=CD=6-m+n,在RtZ\CFH■中，利用勾股定理可得

2

(加及)2+(^-/7)2=(6-m+w)2,再整理求解即可；

(2)在上取一點P,^PA=PO,通過等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，可證AOCD為

等邊三角形，則OC=OD=DC,NPOD=90。,設OD=b,利用勾股定理可得OP=J物，

由4D=4P+PD=0P+PD=6b+2b=4,可以求出6=8—4的，進而即可求出4C.

【詳解】(1)①如圖，過點。作于￡,

'''OA=OB,ZAOB=\20\OEVAB^

NOAB=AOBA=30°,AE=BE=；AB=3,ZOEA=ZOEB=90。，

設OE=a,

丁ZOAE=30。,

OA—2OE=2〃,

在RSQE4中，AE2+EO2=OA2,

1.32+Q2=(2Q>,

解得Q=、行,

OA=2a=2y/3；

②將AOBD繞。順時針旋轉(zhuǎn)120。得到△04尸，過尸作尸5交34的延長線于式連接CF,

則AOAF%OBD,ZDOF=120°,

...OF=OD,AF=BD=n,ZAOF=NBOD/OAF=ZOBD=180?！狽ABO=150。，

???/A4O=30。，

ZFAC=/OAF-/BAO=120°,

FH1AB,

?.AH=90o,

ZAFH=ZFAC-ZH=3(y,

,AH=-AF=-n,

22

在RtZ^4HF中,FH=jAF2—AH2=^n,

2

HC=AH+AC=m+—n,

2

,.?AB=6,

BC=6—m,

CD=BC+BD=6-m+n,

丁ZDOF=12009ZCOD=60°,

ZCOD=ZCOF=60。，

-：OF=OD,OC=OC,

.?.AOCF^AOCD(SAS),

CF=CD=6-m+n,

在RtACFH中，F(xiàn)H2+CH2=CF2,

1g

(m-v—n)2+(--n)2=(6-加+ri)i,

13

m2+—?2+m幾+—n2=36+m2+n2-12m+12n-2mn,

44

mn=12-4m+4〃,

4〃+12

...m=-----；

耳+4

(2)在/。上取一點P,使尸/二P。，

-：PA=PO,

ZPAO=ZPOA=15°,

ZOPC=ZPOA+NPAO=30,

OC=OD,/COD=6S,

.?.△OCD為等邊三角形,

OC=OD=DC,ZODP=60。，

ZPOD=180°-ZOPD-ZODP=90。,

設OC=OD=DC=b,

ZOPD=30。，

PD=2OD=2b,

在Rt^POD中，QP=《PD?-ODz=y/3b,

AD=AP+PD=OP+PD=q幼+26=4