專題06圓中的證明與計(jì)算問題(原卷版+解析)

專題06：圓中的證明與計(jì)算問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】圓中的角度和線段的計(jì)算問題【題型二】圓的弧長和面積問題【題型三】切線的判定【題型四】相交弦定理【題型五】切割線定理【題型六】弦切角定理【題型七】輔助圓的三種模型【題型八】圓與相似綜合【題型九】圓與三角函數(shù)綜合二、最新模考題組練【題型一】圓中的角度和線段的計(jì)算問題【典例分析】1．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，已知，，則的半徑是多少？2.如圖，為的直徑，是的切線，C為切點(diǎn)，交的延長線于D，且，求的度數(shù)．【提分秘籍】圓的基礎(chǔ)定理：垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題。垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．【變式演練】1.如圖，在以是直徑的半中，C、D為半圓周上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接，若，求證：．2.如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，．求的度數(shù)．3.如圖，在半徑為6的扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)所在的圓的圓心為，且．(1)求的大小及的長；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，用其長度表示劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離（不說理由），并求弦的長．【題型二】圓的弧長和面積問題【典例分析】1.如圖，是外接圓，．設(shè)的直徑為，求的長．2.如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.【提分秘籍】圓的常用公式匯總圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.【變式演練】1.如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，求一只螞蟻從A處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置A處）所爬行的最短距離．2.如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條夾角為，的長為，扇面部分的長為，求扇面部分的面積S．3．已知，如圖，的半徑為，半徑被弦垂直平分，交點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，且．(1)求弦的長；(2)求圖中陰影部分面積（結(jié)果保留π）．4．如圖，是半圓的直徑，是的切線，切點(diǎn)為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，?。绢}型三】切線的判定【典例分析】1.如圖，AB為⊙D的切線，BD是∠ABC的平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E．求證：BC是⊙D的切線；2.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME＝NE＝3．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AE＝4，求⊙O的直徑AB的長度．【提分秘籍】口訣：圓上有點(diǎn)，連半徑證垂直；圓上沒點(diǎn)，作垂直證半徑。注意：證的方法有很多中，最常用的有：①證平行；②證全等；③半徑和直線的夾角為90°?！咀兪窖菥殹?.如圖已知AB是⊙O的直徑，，點(diǎn)C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，點(diǎn)E在⊙O外，．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)求AD的長．2.如圖，是的直徑，延長至點(diǎn)，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連結(jié)、，且．（1）求證：是的切線．（2）求的長度．（結(jié)果保留）【題型四】相交弦定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.如圖，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，又⊙O1切⊙O2的直徑BE于點(diǎn)C，連接PC并延長交⊙O2于點(diǎn)A，設(shè)⊙O1，⊙O2的半徑分別為r、R，且R≥2r．求證：PC?AC是定值．【提分秘籍】數(shù)學(xué)術(shù)語，經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等。幾何語言:若圓內(nèi)任意弦AB、弦CD交于點(diǎn)P,則PA·PB=PC·PD思路：證△PAC∽△PDB【變式演練】1.如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，BF交AD于點(diǎn)E，且BE?EF=32，AD=6．

（1）求證：AE=BE；

（2）求DE的長；

（3）求BD的長．【題型五】切割線定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)B，D，與AB交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BC＝3，AC＝4，求AE的長．【提分秘籍】切割線定理:是指從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。幾何語言:∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PDC是⊙O的割線∴PT2=PD·PC(切割線定理)推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等幾何語言:∵PT是⊙O切線，PBA、PDC是⊙O的割線∴PD·PC=PA·PB(切割線定理推論)【變式演練】1.如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O，交AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半徑．2.如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點(diǎn)為B，連接CM交⊙M于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作DC⊥BC交BG的延長線于點(diǎn)D，連接AG并延長交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）若MB＝BE＝1，求GE的長．【題型六】弦切角定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線DC交BA的延長線于點(diǎn)D，連接BC．（Ⅰ）如圖①，連接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；（Ⅱ）如圖②，E為上一點(diǎn)，連接OE，CE，若四邊形ODCE為平行四邊形，求∠B的大?。咎岱置丶肯仪薪嵌ɡ?弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧的圓周角度數(shù)。（以下是3種情況）【變式演練】1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，連接AE、EF．（1）求證：AE是∠BAC的平分線；（2）若∠ABD＝60°，則AB與EF是否平行？請(qǐng)說明理由．【題型七】輔助圓的三種模型【典例分析】1.如圖，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度數(shù)．2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，EG、EF分別平分∠AEB和∠CEB，求證：BG＝BF．3.如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)線段BD與（1）中的圓交于M、N．求證：BM＝ND．【提分秘籍】定點(diǎn)定長的隱圓定弦定角的隱圓對(duì)角互補(bǔ)的隱圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓。若線段AB的長度及其所對(duì)的∠ACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦的圓。若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！咀兪窖菥殹?.如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)B作BD⊥BC，BD＝BC，連接AD交BC于點(diǎn)F．E是CD的中點(diǎn)，連接AE交BC于G．（1）若AB＝BD，求∠ADC的度數(shù)；（2）若BC＝4BF，且AB＝4，求四邊形ABDC的面積．2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于D，BD＝2，CD＝3，求AD的長．3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．【題型八】圓與相似綜合【典例分析】1.四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．【提分秘籍】對(duì)于圓與相似相結(jié)合的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【變式演練】1.如圖，是的外接圓，與相切于點(diǎn)D，分別交，的延長線于點(diǎn)E和F，連接交于點(diǎn)N，的平分線交于點(diǎn)M．(1)求證：平分；(2)若，，求線段的長．2.如圖是直徑，A是上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是延長線上一點(diǎn)，連接、、，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．【題型九】圓與三角函數(shù)綜合【典例分析】1.如圖，已知BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥CE，交BC的延長線于點(diǎn)A，連接BD，交CE于點(diǎn)F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長．【提分秘籍】解決幾何圖形的三角函數(shù)求值問題，關(guān)鍵在于，找到相關(guān)的直角三角形.若沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需根據(jù)所給的條件，合理構(gòu)造直角三角形，或把角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。以下有幾種思路：①用圓周角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中；②用直徑與所對(duì)圓周角構(gòu)造直角三角形；③用切線與半徑的關(guān)系構(gòu)造直角三角形；④轉(zhuǎn)化條件中的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形?！咀兪窖菥殹?.如圖，是的外接圓，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，若．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．2.如圖，在中，以AB為直徑作交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．(1)求證：直線HG是的切線；(2)若，求CG的長．3.如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．1．（2023·甘肅蘭州·蘭州市第四十九中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長線上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若BC＝2，求BD的長．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．3．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．4．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的一條弦．(1)用尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若(1)中的CD的長為2，BD的長為，求⊙O的半徑．5．（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）如圖，，以為直徑的，與交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．6．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為M，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作的切線，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．7．（2023·廣東中山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)G，連接．(1)求證：；(2)若，求和的長．8．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．(1)求證，是的切線：(2)當(dāng)，且時(shí)，求的半徑．9．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是直徑，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，弦相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在的延長線上，，，垂足為G．(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．11．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．12．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)O在上，以為半徑的分別與、相交于點(diǎn)D、F，與相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，垂足為G．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長．13．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、．(1)求證：；(2)若，，求的面積.14．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于，、是的直徑，E是長線上一點(diǎn)，且．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求線段的長．15．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┤鐖D，已知是上一點(diǎn)，是直徑，的平分線交于點(diǎn)，的切線交的延長線于點(diǎn)，連接，．(1)求證：．(2)若，填空：①當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．②作關(guān)于直線對(duì)稱的，連接，．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求四邊形BCOF的面積．16．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┤鐖D，已知為的直徑，為上一點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．交于點(diǎn)．且滿足．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．17．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考二模）已知等腰，，且，連接交于點(diǎn)E，以為直徑的上有一點(diǎn)F，使得，連接交于點(diǎn)G，若．(1)判斷與的關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的值．18．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，，點(diǎn)D平分，連接，，．(1)求證：．(2)過點(diǎn)D作，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，交于點(diǎn)G．①若，，求線段的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若，求證：．專題06：圓中的證明與計(jì)算問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】圓中的角度和線段的計(jì)算問題【題型二】圓的弧長和面積問題【題型三】切線的判定【題型四】相交弦定理【題型五】切割線定理【題型六】弦切角定理【題型七】輔助圓的三種模型【題型八】圓與相似綜合【題型九】圓與三角函數(shù)綜合二、最新?？碱}組練【題型一】圓中的角度和線段的計(jì)算問題【典例分析】1．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，已知，，則的半徑是多少？答案:2.6分析：連接，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為，為的直徑，弦，，，，，在中，，即，解得，，故答案為：2.6．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?.如圖，為的直徑，是的切線，C為切點(diǎn)，交的延長線于D，且，求的度數(shù)．答案:分析：根據(jù)圓的切性質(zhì)，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得到，最后利用三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：是⊙的切線，為切點(diǎn)，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【提分秘籍】圓的基礎(chǔ)定理：垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和常考題型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題。垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。畧A周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．【變式演練】1.如圖，在以是直徑的半中，C、D為半圓周上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接，若，求證：．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）連接，由切線的性質(zhì)，得到，由圓周角定理推出，得到，即可證明；（2）由平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)推出，得到，而，即可證明．【詳解】（1）證明：連接，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵切半圓于C，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2.如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，．求的度數(shù)．答案:分析：由圓周角定理得到，，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，由圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：是的直徑，，，，，∴，，．的度數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，弧、弦間的關(guān)系，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在半徑為6的扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)所在的圓的圓心為，且．(1)求的大小及的長；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，用其長度表示劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離（不說理由），并求弦的長．答案:(1)，(2)見解析；分析：（1）連接、、OD，由對(duì)稱性可知，即，根據(jù)與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)得，，則，，在四邊形中，，根據(jù)，，得平分，即；（2）過O作交于P，延長與交于點(diǎn)Q，由折疊可知：垂直平分，則是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離，則O、、P三點(diǎn)共線，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，由對(duì)稱性可知，在中，根據(jù)勾股定理得，即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，連接、、OD，由對(duì)稱性可知，即，∵與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，，∴，，在四邊形中，；∵，，∴平分，即，在中，；（2）解：如圖中的即為所求，作法：過O作交于P，延長與交于點(diǎn)Q，理由：由折疊可知：垂直平分，∴是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離，則O、、P三點(diǎn)共線，在中，，由對(duì)稱性可知，在中，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱性，切線的性質(zhì)，角平分線，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．【題型二】圓的弧長和面積問題【典例分析】1.如圖，是外接圓，．設(shè)的直徑為，求的長．答案:分析：如圖所示，連接，可求出半徑的長，根據(jù)弧長計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵的直徑為，∴，∴的周長為，∵，∴，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A周角定理，弧長的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2.如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.答案:分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長=底面圓的周長求出底面圓的半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，∵，∴的長，∴，即：，在中，，根據(jù)勾股定理得，.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的相關(guān)知識(shí)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖的弧長與其底面圓的半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【提分秘籍】圓的常用公式匯總圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.【變式演練】1.如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，求一只螞蟻從A處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置A處）所爬行的最短距離．答案:分析：把圓錐的側(cè)面展開得到圓心角為，半徑為的扇形，求出扇形中的圓心角所對(duì)的弦長即為最短路徑．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開如圖：過作，則，設(shè)，即：，解得：，，，∴，即爬行的最短距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數(shù)值，將圓錐中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)到展開圖中是解題的關(guān)鍵．2.如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條夾角為，的長為，扇面部分的長為，求扇面部分的面積S．答案:分析：先求出，再根據(jù)扇面部分的面積等于大扇形面積減去小扇形面積，即可求解．【詳解】解：∵的長為，扇面部分的長為，∴，∴扇面部分的面積，即扇面部分的面積是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，根據(jù)題意得到扇面部分的面積等于大扇形面積減去小扇形面積是解題的關(guān)鍵．3．已知，如圖，的半徑為，半徑被弦垂直平分，交點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，且．(1)求弦的長；(2)求圖中陰影部分面積（結(jié)果保留π）．答案:(1)(2)分析：（1）連接，則，由線段垂直平分線性質(zhì)得．進(jìn)而由勾股定理得，再由垂徑定理即可求解；（2）連接，，先證是等邊三角形，再證，利用扇形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：連接，則，∵弦垂直平分，∴．在中，∵半徑垂直，∴∴；（2）解：在中，，∴．連接，，∵，∴，．又∵，∴是等邊三角形．∴，∵，．∵，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算以及勾股定理關(guān)鍵是由條件推出陰影的面積=扇形的面積．4．如圖，是半圓的直徑，是的切線，切點(diǎn)為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，?。┐鸢?(1)(2)0.6分析：（1）連接，利用三角形的中位線定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用切線的性質(zhì)定理解得即可得出結(jié)論；（2）利用圓周角定理和（1）的結(jié)論求得，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，利用三角形的面積公式求得四邊形的面積，再利用扇形的面積公式和陰影部分的面積解答，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，如圖，，，為的中位線，，，．，，．在和中，，，．是的切線，切點(diǎn)為，，，；（2）解∶，．，．．在中，，．，．陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積，直角三角形的邊角關(guān)系定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接是解題的關(guān)鍵．【題型三】切線的判定【典例分析】1.如圖，AB為⊙D的切線，BD是∠ABC的平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E．求證：BC是⊙D的切線；答案:證明見解析．分析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，從而可得是的半徑，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵為的切線，∴，∵平分，∴，∵是的半徑，∴是的半徑，又∵，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME＝NE＝3．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AE＝4，求⊙O的直徑AB的長度．答案:（1）見解析；（2）AB＝．分析：（1）先由垂徑定理得AB⊥MN，再由平行線的性質(zhì)得BC⊥AB，然后由切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；（2）連接OM，設(shè)⊙O的半徑是r，在Rt△OEM中，根據(jù)勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解方程即可得到⊙O的半徑，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵M(jìn)E＝NE＝3，∴AB⊥MN，又∵M(jìn)N∥BC，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切線；（2）解：連接OM，如圖，設(shè)⊙O的半徑是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝32+（4﹣r）2，解得：r＝，∴AB＝2r＝．,【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、垂徑定理和勾股定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】口訣：圓上有點(diǎn)，連半徑證垂直；圓上沒點(diǎn)，作垂直證半徑。注意：證的方法有很多中，最常用的有：①證平行；②證全等；③半徑和直線的夾角為90°?！咀兪窖菥殹?.如圖已知AB是⊙O的直徑，，點(diǎn)C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，點(diǎn)E在⊙O外，．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)求AD的長．答案:（1）證明見解析；（2）．分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知，，由直徑所對(duì)圓周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，從而證明結(jié)論．（2）DC平分∠ACB可知，根據(jù)圓周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的長是圓半徑的倍，計(jì)算求出答案．【詳解】（1）和是所對(duì)圓周角，；AB是圓的直徑，，在中，，，，，，AE是⊙O的切線．（2）如圖：AB是圓的直徑，DC平分∠ACB，，，，，是直角三角形；，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、勾股定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解題關(guān)鍵．2.如圖，是的直徑，延長至點(diǎn)，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連結(jié)、，且．（1）求證：是的切線．（2）求的長度．（結(jié)果保留）答案:（1）見解析；（2）分析：（1）連結(jié)，證明，得到，再證明，得到，故可求解；（2）求出，再根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】（1）如圖，連結(jié)．∵是的直徑，∴．∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∵，，∴，，．∴．∴．∴是的切線．（2）∵，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的判定與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知弧長公式的應(yīng)用．【題型四】相交弦定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.如圖，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，又⊙O1切⊙O2的直徑BE于點(diǎn)C，連接PC并延長交⊙O2于點(diǎn)A，設(shè)⊙O1，⊙O2的半徑分別為r、R，且R≥2r．求證：PC?AC是定值．分析：要證PC?AC是定值，如圖示連接CQ、AO2，若△PQC與△ACO2相似，則可得PC?AC＝AO2?PQ＝2Rr為定值，要證△PQC與△ACO2相似，由AO2＝PO2得∠A＝∠P，再由∠PQC＝∠ACO2＝∠PCE可得．所以可得結(jié)論．【解答】證明：如圖連接CQ，AO2，∵∠PCE與∠ACO2是對(duì)頂角，∴∠PCE＝∠ACO2，∵⊙O1切⊙O2的直徑BE于點(diǎn)C，∴在⊙O1中∠PCE＝∠PQC，∴∠PQC＝∠ACO2．又∵AO2＝PO2，∴∠A＝∠P，∴△PQC∽△ACO2，∴PC：AO2＝PQ：AC，∴PC?AC＝AO2?PQ＝2Rr，為定值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切圓的性質(zhì)，相交弦定理，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．【提分秘籍】數(shù)學(xué)術(shù)語，經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等。幾何語言:若圓內(nèi)任意弦AB、弦CD交于點(diǎn)P,則PA·PB=PC·PD思路：證△PAC∽△PDB【變式演練】1.如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，BF交AD于點(diǎn)E，且BE?EF=32，AD=6．

（1）求證：AE=BE；

（2）求DE的長；

（3）求BD的長．【解答】（1）證明：連AF，AB，AC．因?yàn)锳是的中點(diǎn)，

∴∠ABE=∠AFB．

又∠AFB=∠ACB，

∴∠ABE=∠ACB．

∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°，AH⊥BC．

∴∠BAE=∠ACB．

∴∠ABE=∠BAE．

∴AE=BE．

（2）解：設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE?EF=32，AE?EH=BE?EF，

則（6-x）（6+x）=32，

解得x=2，

即DE的長為2；

（3）解：由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，在Rt△BDE中，BD==【點(diǎn)評(píng)】主要考查了相交弦定理，勾股定理，垂徑定理和圓周角定理的運(yùn)用．牢固掌握該定理可在綜合題型中靈活運(yùn)用．【題型五】切割線定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)B，D，與AB交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BC＝3，AC＝4，求AE的長．分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB＝∠OBD，由角平分線的性質(zhì)得出∠OBD＝∠CBD，則∠ODB＝∠CBD，證出∠ADO＝∠ACB＝90°，則可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出AB＝5，證明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【解答】（1）證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵DB平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，∵OD是半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABC中，，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得，，∴AE＝AB﹣BE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握切線的判定法，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【提分秘籍】切割線定理:是指從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。幾何語言:∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PDC是⊙O的割線∴PT2=PD·PC(切割線定理)推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等幾何語言:∵PT是⊙O切線，PBA、PDC是⊙O的割線∴PD·PC=PA·PB(切割線定理推論)【變式演練】1.如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O，交AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半徑．分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得到∠1＝2∠B，則利用∠A+∠1＝90°和三角形內(nèi)角和得到∠ACB＝90°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A＝60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝90°，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACD中可計(jì)算出AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中可計(jì)算出BC＝CA＝8，從而得到⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠1＝∠B+∠ODB＝2∠B，∵∠A+∠1＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC為⊙O半徑，∴AC是O的切線；（2）解：在RtΔ△ABC中，∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵BC為直徑，∴∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中，BC＝AC＝8，∴⊙O的半徑為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，解題關(guān)鍵是判定經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，熟記含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系．2.如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點(diǎn)為B，連接CM交⊙M于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作DC⊥BC交BG的延長線于點(diǎn)D，連接AG并延長交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）若MB＝BE＝1，求GE的長．分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)圓周角和切線性質(zhì)，證明三角形相似；（2）利用勾股定理和面積法得到AG、GE，根據(jù)三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的數(shù)量關(guān)系，求得CD．【解答】（1）證明：∵BC為⊙M切線，∴∠ABC＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD，∵AB是⊙M的直徑，∴∠AGB＝90°，即：BG⊥AE，∴∠CBD＝∠A，∴△ABE∽△BCD；（2）解：過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，∵M(jìn)B＝BE＝1，∴AB＝2，∴AE＝＝，由（1）根據(jù)面積法，AB?BE＝BG?AE，∴BG＝，由勾股定理：GE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，綜合考查了圓周角定理、切線性質(zhì)和三角形相似．解答時(shí)，注意根據(jù)條件構(gòu)造相似三角形．【題型六】弦切角定理（中考不能直寫結(jié)論）【典例分析】1.已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線DC交BA的延長線于點(diǎn)D，連接BC．（Ⅰ）如圖①，連接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大??；（Ⅱ）如圖②，E為上一點(diǎn)，連接OE，CE，若四邊形ODCE為平行四邊形，求∠B的大小．分析：（Ⅰ）利用弦切角定理解答即可；（Ⅱ）連接OC，利用切線的性質(zhì)定理和平行四邊形的性質(zhì)求得∠EOC＝90°，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)求得∠D＝45°，再利用三角形的內(nèi)角和定理和圓周角定理即可求得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵DC為⊙O的切線，∴∠DCA＝∠B．∵∠B＝25°，∴∠ACD＝25°；（Ⅱ）連接OC，如圖，∵DC為⊙O的切線，∴OC⊥DC．∵四邊形ODCE為平行四邊形，∴DC∥OE．∴OC⊥OE．∴∠COE＝90°．∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE＝45°．∵四邊形ODCE為平行四邊形，∴∠D＝∠OEC＝45°．∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠D＝45°．∠B＝∠COD＝22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，弦切角定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．【提分秘籍】弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧的圓周角度數(shù)。（以下是3種情況）【變式演練】1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，連接AE、EF．（1）求證：AE是∠BAC的平分線；（2）若∠ABD＝60°，則AB與EF是否平行？請(qǐng)說明理由．分析：（1）連接BE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠AEB＝90°，再結(jié)合弦切角定理以及等角的余角相等進(jìn)行證明；（2）首先根據(jù)AC∥BD，得到∠BAC＝120°，再根據(jù)（1）的結(jié)論得到∠BAE＝60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則∠DFE＝∠BAE＝60°，從而根據(jù)同位角相等，得到兩條直線平行．【解答】（1）證明：連接BE；∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°．∵CD切圓于E，∴∠AEC＝∠ABE，又AC⊥CD．∴∠CAE＝∠BAE．即AE是∠BAC的平分線．（2）解：AB∥EF．理由如下：∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，∴AC∥BD．∴∠BAC＝180°﹣∠B＝120°．∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝60°．∴∠DFE＝∠BAE＝60°（圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角），∴∠DFE＝∠ABF．∴AB∥EF．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓周角定理、弦切角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及平行線的判定和性質(zhì)．【題型七】輔助圓的三種模型【典例分析】1.如圖，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度數(shù)．分析：由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，然后由圓周角定理，證得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，繼而可得∠CAD＝2∠BAC．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝2∠BAC＝80°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理．注意得到B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解此題的關(guān)鍵．2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，EG、EF分別平分∠AEB和∠CEB，求證：BG＝BF．分析：說明G、B、F、E四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠BGF＝∠BEF＝45°，即可證明．【解答】解：連接GF，取GF中點(diǎn)O，連接BO，EO，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵EG、EF分別平分∠AEB和∠CEB，∴∠GEB＝∠FEB＝45°，∴∠GEF＝90°，在Rt△GBF和Rt△GEF中，BO，EO分別是斜邊的中線，∴BO＝GO＝FO，EO＝GO＝FO，∴BO＝EO＝GO＝FO，∴G、B、F、E四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓上，∴∠BGF＝∠BEF＝45°，∴△GBF是等腰直角三角形，∴GB＝FB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，圓周角定理，解題關(guān)鍵是利用定點(diǎn)定線構(gòu)造輔助圓．3.如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)線段BD與（1）中的圓交于M、N．求證：BM＝ND．分析：（1）只要證明A、E、C、F四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四點(diǎn)共圓．（2）連接AC交BD于O，則O是該圓的圓心，OM＝ON，所以易證BM＝ND．【解答】證明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC+∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，則AC是直徑，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O；∵ABCD是平行四邊形，∴O為圓心，OB＝OD，∴OM＝ON，∴OB﹣OM＝OD﹣ON，∴BM＝DN．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定條件及平行四邊形的性質(zhì)．【提分秘籍】定點(diǎn)定長的隱圓定弦定角的隱圓對(duì)角互補(bǔ)的隱圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓。若線段AB的長度及其所對(duì)的∠ACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦的圓。若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！咀兪窖菥殹?.如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)B作BD⊥BC，BD＝BC，連接AD交BC于點(diǎn)F．E是CD的中點(diǎn)，連接AE交BC于G．（1）若AB＝BD，求∠ADC的度數(shù)；（2）若BC＝4BF，且AB＝4，求四邊形ABDC的面積．分析：（1）首先證明△ABC是等邊三角形，推出∠ABC＝60°，由BA＝BC＝BD，推出A、C、D三點(diǎn)在⊙B上，即可推出∠ADC＝∠ABC＝30°．（2）連接BE．由∠DBC＝90°，DE＝EC，推出BE＝EC＝DE，由AB＝AC，推出AE垂直平分BC，推出BG＝CG，設(shè)BG＝CG＝a，則BC＝BD＝2a，由BF＝BC，推出BF＝FG，由BD∥AG，推出△BFD∽△GFA，可得＝＝1，推出BD＝AG＝2a，在Rt△ABG中，根據(jù)AB2＝AG2+BG2，列出方程求出a即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵AB＝AC，BD＝BC，AB＝BD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BA＝BC＝BD，∴A、C、D三點(diǎn)在⊙B上，∴∠ADC＝∠ABC＝30°．（2）如圖2中，連接BE．∵∠DBC＝90°，DE＝EC，∴BE＝EC＝DE，∵AB＝AC，∴AE垂直平分BC，∴BG＝CG，設(shè)BG＝CG＝a，則BC＝BD＝2a，∵BF＝BC，∴BF＝FG，∵BD∥AG，∴△BFD∽△GFA，∴＝＝1，∴BD＝AG＝2a，在Rt△ABG中，∵AB2＝AG2+BG2，∴16＝a2+4a2，∴a2＝，∴S四邊形ABCD＝?BC?AG+?BC?BD＝×2a×2a+×2a×2a＝4a2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、四邊形的面積、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決角度問題，屬于中考?？碱}型．2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于D，BD＝2，CD＝3，求AD的長．分析：由BC所對(duì)的∠BAC＝135°，構(gòu)造輔助圓，以BC為斜邊作等腰直角△BCO，以O(shè)為圓心，BO為半徑作⊙O，先求出BM＝CM＝OM＝BC＝，BO＝＝AO，DM＝BM﹣BD＝，再過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，則DN＝OM＝，Rt△ANO中，AN＝＝＝＝，即可求解．【解答】解：以BC為斜邊作等腰直角△BCO，以O(shè)為圓心，BO為半徑作⊙O，∵∠BAC＝135°，∴點(diǎn)A在⊙O上，等腰直角△BCO中，作OM⊥BC于點(diǎn)M，∴BM＝CM＝OM＝BC＝，∴BO＝＝AO，DM＝BM﹣BD＝，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，則DN＝OM＝，Rt△ANO中，AN＝＝＝＝，∴AD＝AN﹣DN＝﹣＝1，答：AD＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定弦定角構(gòu)造輔助圓，勾股定理的運(yùn)用，垂經(jīng)定理，解題關(guān)鍵是分析題意構(gòu)造圓3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．分析：（1）根據(jù)等角的余角相等，證明∠AFB＝∠FEC即可解決問題；（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．由∠AFE＝∠ADE＝90°，可知OA＝OD＝OE＝OF，推出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，推出∠AED＝∠AFD，推出當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，由△ABF∽△FCE，可得＝，求出EC即可解決問題；【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（對(duì)角互補(bǔ)），∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴當(dāng)DE＝時(shí)，∠AED的值最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．【題型八】圓與相似綜合【典例分析】1.四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到為等邊三角形，再跟等邊三角形的性質(zhì)可得BE平分，即可求證；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由，即可求證．【詳解】（1）證明：連接，直線與相切于點(diǎn)，，，，，又，為等邊三角形，又，平分，，平分；（2）證明：∵直線與相切于點(diǎn)，，，∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴，，，，又，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】對(duì)于圓與相似相結(jié)合的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【變式演練】1.如圖，是的外接圓，與相切于點(diǎn)D，分別交，的延長線于點(diǎn)E和F，連接交于點(diǎn)N，的平分線交于點(diǎn)M．(1)求證：平分；(2)若，，求線段的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得⊥EF，由得OD⊥BC，由垂徑定理得，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）由平行線分線段定理得，再證明，可得BD=2，最后證明,進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)H.∵與相切于點(diǎn)D∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴

即平分；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∴（負(fù)值舍去），∴【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)；找出相似三角形，列相似比求解是解決本題的關(guān)鍵．2.如圖是直徑，A是上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是延長線上一點(diǎn)，連接、、，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．答案:(1)見解析(2)(3)分析：（1）如圖所示，連接OA，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再證明即可證明結(jié)論；（2）先證明，得到，令半徑，則，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；（3）先求出，在中，，，解得，，證明，得到，則．【詳解】（1）解：如圖所示，連接OA，∵是直徑，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，由知，令半徑，則，，在中，，在中，，即；（3）解：在（2）的條件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型九】圓與三角函數(shù)綜合【典例分析】1.如圖，已知BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥CE，交BC的延長線于點(diǎn)A，連接BD，交CE于點(diǎn)F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長．答案:(1)見解析(2)AC＝分析：（1）連接，，根據(jù)“同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等”及等腰三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意推出，即可判定AD是⊙O的切線；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的長，根據(jù)線段的和差求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BE，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴ODBE，∵BC為⊙O的直徑，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵ADCE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵DGCE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝，∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，∴sinA＝sin∠ECB＝，在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判定、圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】解決幾何圖形的三角函數(shù)求值問題，關(guān)鍵在于，找到相關(guān)的直角三角形.若沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需根據(jù)所給的條件，合理構(gòu)造直角三角形，或把角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。以下有幾種思路：①用圓周角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中；②用直徑與所對(duì)圓周角構(gòu)造直角三角形；③用切線與半徑的關(guān)系構(gòu)造直角三角形；④轉(zhuǎn)化條件中的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形。【變式演練】1.如圖，是的外接圓，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，若．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．答案:(1)過程見解析(2)3分析：（1）連接OE，先根據(jù)圓周角定理及已知條件得出∠ABC=∠BOE，進(jìn)而得出，再由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEO=∠ACB，然后根據(jù)直徑所對(duì)的是直角，即可得出答案；（2）先說明，再設(shè)的半徑為r，并表示，，，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得出，根據(jù)比例式求出半徑即可．【詳解】（1）證明：連接OE．∵，，∴∠ABC=∠BOE，∴，∴∠OED=∠BCD．∵，∴∠FEC=∠ACE，∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，即∠FEO=∠ACB．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠FEO=90°，∴．∵EO是的半徑，∴EF是的切線．（2）∵，∴．∵BF=2，．設(shè)的半徑為r，∴，，．∵，∴，解得，∴的半徑是3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在中，以AB為直徑作交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．(1)求證：直線HG是的切線；(2)若，求CG的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接OD，利用三角形中位線的定義和性質(zhì)可得，再利用平行線的性質(zhì)即可證明；（2）先通過平行線的性質(zhì)得出，設(shè)，再通過解直角三角形求出半徑長度，再利用三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)分別求出BC，BG的長度，即可求解．【詳解】（1）連接OD，，，∵D是AC的中點(diǎn)，AB為直徑，，，直線HG是的切線；（2）由（1）得，∴，，，設(shè)，，，在中，，，解得，∴，∵D是AC的中點(diǎn)，AB為直徑，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進(jìn)而得出DE＝BE，然后證明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出結(jié)論；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理求得OE．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．1．（2023·甘肅蘭州·蘭州市第四十九中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長線上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若BC＝2，求BD的長．答案:（1）見解析；（2）BD＝2分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBD+∠OBC＝90°，則∠OBD＝90°，可得出結(jié)論；（2）證明△OBC為等邊三角形，得出∠BOC＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC+2∠OBC＝180°，∵∠BOC＝2∠A，∴∠A+∠OBC＝90°，又∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD，∵∠A＝∠D，∴∠CBD+∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切線；（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC，又∵OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∵BC＝2，∴OB＝2，∴BD＝2．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．答案:（1）相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑為6分析：（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，根據(jù)OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解決問題．【詳解】解：（1）相切，理由如下，如圖，連接OC，在△OCB與△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半徑為6．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題是關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．答案:（1）見解析；（2）分析：（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．設(shè)⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半徑是．【點(diǎn)睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理和圓周角的性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算．4．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的一條弦．(1)用尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若(1)中的CD的長為2，BD的長為，求⊙O的半徑．答案:(1)見解析(2)5分析：（1）按照畫垂直平分線的步驟作圖即可；（2）構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用垂徑定理求解．（1）解：如圖所示：（2）解：如圖連接BD，OB在中，CD=2，BD=∵∴∴∴BC=4設(shè)OC=x，則OD=OB=x+2在中，由勾股定理可得：即解得：x=3∴x+2=5∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的畫法，垂徑定理等，解題的關(guān)鍵是熟練垂直平分線的畫法以及運(yùn)用垂徑定理求線段長5．（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）如圖，，以為直徑的，與交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．答案:(1)見解析(2)20分析：（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可；（2）根據(jù)勾股定理求出的長，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，．，，，．，，∵為半徑，是的切線．（2）解：，，∵，∴．，，，即，∴，即的半徑為20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為M，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作的切線，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接，根據(jù)為的直徑，可得，從而得到，再由切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)，可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求證；（2）先證明四邊形是矩形，可得，然后根據(jù)勾股定理可得的長，再證明，可得的長，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）解：∵，，∴，∵，，∴．由（1）知，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即．∴，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東中山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)G，連接．(1)求證：；(2)若，求和的長．答案:(1)見解析(2)，分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，可證明，即可求證；（2）連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，可證明，可得到，，再由，可得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵正方形內(nèi)接于，∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，，∴，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用上述定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．(1)求證，是的切線：(2)當(dāng)，且時(shí)，求的半徑．答案:(1)見解析(2)半徑為分析：（1）連接，根據(jù)角平分線的定義得出，由得出，等量代換得出則，根據(jù)得出，即可得證；（2）設(shè)，則，根據(jù)中，勾股定理得出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，平分，，，，，，，即，是半徑，為的切線（2）解：，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，，半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線性質(zhì)的判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．答案:(1)相切，見解析(2)分析：（1）根據(jù)已知得出與等邊對(duì)等角得出，繼而得出，即可得證；（2）連接，，根據(jù)圖中陰影部分的面積即可求解．【詳解】（1）證明：直線與相切，理由如下：，，，，，是的直徑，直線與相切；（2）解：連接，，是的直徑，，，是等腰直角三角形，，，，，∴圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等邊對(duì)等角，直徑所對(duì)的圓周角是直角，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是直徑，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，弦相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在的延長線上，，，垂足為G．(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．答案:(1)通過證明證明

，再由三角形兩腰相等證明再通過平角為三角形內(nèi)角和為證得，從而證明，證明(2)通過全等和直角三角形兩個(gè)銳角互補(bǔ)證明；(3)設(shè)為x,通過三角形相似比來用x表示其他線段，再求正切即可．【詳解】（1）如圖：作∵C為劣弧中點(diǎn)∴在中∵∴（ASA）∵∴∴∴∴在中∵∴（AAS）∴（2）∴∴是的切線（3）∵∴∴∵∴設(shè)：則：【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、圓的切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、三角函數(shù)的求解，掌握這些是本題關(guān)鍵．11．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到，由等量代換得到，由得到，則，即可得到，即可得到結(jié)論；（2）連接，，，再證明，則，設(shè)，則，，即可得到答案．【詳解】（1），，，，，，，，即，∴與相切；（2）連接，，，是的直徑，，，，，，，，設(shè)，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)O在上，以為半徑的分別與、相交于點(diǎn)D、F，與相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，垂足為G．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）如圖1，連接，由，，可得，則，由，可知，即，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，連接，由與相切于點(diǎn)E，可知，證明四邊形是正方形，在中，由勾股定理求的長，進(jìn)而可