專題08 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2021年新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考點(diǎn)一輪復(fù)習(xí)

專題08指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)總結(jié)】1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當(dāng)n為奇數(shù)且n∈N*，n>1時(shí)，,x＝±\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)且n∈N*時(shí).))(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n為偶數(shù).))2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)【常用結(jié)論】1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來(lái)研究．【易錯(cuò)總結(jié)】(1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子eq\r(n,an)(a∈R)化簡(jiǎn)出錯(cuò)；(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò)；(3)指數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況；(4)復(fù)合函數(shù)問(wèn)題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯(cuò)．例1．計(jì)算eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4)＝________．解析：eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4)＝(1＋eq\r(2))＋(eq\r(2)－1)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)例2．若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________．解析：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a，,a≠1，,a2－3＝1，))即a＝2.答案：2例3．若函數(shù)f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值為2，則a＝________．解析：當(dāng)a>1時(shí)，a＝2；當(dāng)0<a<1時(shí)a－1＝2，即a＝eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)例4．函數(shù)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的值域?yàn)開(kāi)_______．解析：因?yàn)閑q\f(1,x－1)≠0，所以2eq\s\up6(\f(1,x－1))>0且2eq\s\up6(\f(1,x－1))≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)【考點(diǎn)解析】【考點(diǎn)】一、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例1．化簡(jiǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(（\r(4ab－1)）3,（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．解析：原式＝2×eq\f(23·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)),10·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)))＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)例2．計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋0.002－eq\s\up6(\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\s\up6(\f(1,2))－eq\f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).答案：－eq\f(167,9)例3．化簡(jiǎn)：eq\f(a\s\up6(\f(4,3))－8a\s\up6(\f(1,3))b,4b\s\up6(\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋a\s\up6(\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\s\up6(\f(2,3))－\f(2\r(3,b),a)))×eq\f(\r(a·\r(3,a2)),\r(5,\r(a)·\r(3,a)))＝________(a>0)．解析：原式＝eq\f(a\s\up6(\f(1,3))[（a\s\up6(\f(1,3))）3－（2b\s\up6(\f(1,3))）3],（a\s\up6(\f(1,3))）2＋a\s\up6(\f(1,3))·（2b\s\up6(\f(1,3))）＋（2b\s\up6(\f(1,3))）2)÷eq\f(a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)),a)×eq\f(（a·a\s\up6(\f(2,3))）\s\up6(\f(1,2)),（a\s\up6(\f(1,2))·a\s\up6(\f(1,3))）\s\up6(\f(1,5)))＝aeq\s\up6(\f(1,3))(aeq\s\up6(\f(1,3))－2beq\s\up6(\f(1,3)))×eq\f(a,a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)))×eq\f(a\s\up6(\f(5,6)),a\s\up6(\f(1,6)))＝a2.答案：a2指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．[提醒]運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．【考點(diǎn)】二、指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1、(1)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為()(2)若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為_(kāi)_______．【解析】(1)函數(shù)f(x)＝21－x＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)(0，2)，選項(xiàng)A中的圖象符合要求．(2)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，其在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍為(－∞，0]．【答案】(1)A(2)(－∞，0]【遷移探究1】(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)＝|3x－1|－k有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_______．解析：函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即y＝|3x－1|與y＝k有一個(gè)交點(diǎn)．由本例(2)得y＝|3x－1|的圖象如圖所示，故當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．答案：{0}∪[1，＋∞)【遷移探究2】(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個(gè)技巧(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(3)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．【變式】1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：選D.由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.【變式】2．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個(gè)交點(diǎn)．(1)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜eq\f(1,2)；(2)當(dāng)a＞1時(shí)，如圖②，而y＝2a＞1不符合要求．所以0＜a＜eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【考點(diǎn)】三、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例1、(1)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，則()A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b(2)若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則滿足f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2的x的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)【解析】(1)因?yàn)閍＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))＝2eq\s\up6(\f(4,5))，由函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)知，b<a；又因?yàn)閍＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝5eq\s\up6(\f(2,3))由函數(shù)y＝xeq\s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，a<c.綜上得b<a<c.故選A.(2)由f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故選B.【答案】(1)A(2)B角度二指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例2、(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋2x＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．(2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________．【解析】(1)設(shè)u＝－x2＋2x＋1，因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(u)在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋2x＋1)的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上單調(diào)遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．【答案】(1)(－∞，1](2)(－∞，4]角度三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題例3、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若f(x)有最大值3，求a的值；(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．【解】(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)的值域?yàn)?0，＋∞)．應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，因此只能a＝0.(因?yàn)槿鬭≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)故f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)時(shí)，a的值為0.(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．【變式】1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：選C.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝0.6x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a＜c，故選C.【變式】2．若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0))當(dāng)f(x－2)>0時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2