備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題40等差數(shù)列等比數(shù)列綜合運(yùn)用

專題40等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運(yùn)用【典型例題】例1．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，解得，而，即有公差，等差數(shù)列的通項(xiàng)，則，顯然去掉，成等比數(shù)列，則數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，所以.故選：C例2．（2023秋·青海西寧·高三?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，，成等差數(shù)列，且，則（

）A．-1 B．-3 C．-5 D．-7【答案】B【解析】∵，，成等差數(shù)列，∴，由題意，∴，可得，所以∴.故選:B.例3．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．已知數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列B．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列C．已知數(shù)列是等差數(shù)列且，數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．已知數(shù)列是等比數(shù)列且，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列【答案】AC【解析】設(shè)，，故A正確．中，，但中可能，不成立，故B錯(cuò)誤．設(shè)，且，，則，為常數(shù)，故C正確．設(shè)，，，則，．當(dāng)時(shí)，不恒為定值，故D錯(cuò)誤．故選：AC例4．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以，解得或（舍）即，又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則.故答案為:.例5．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，a2=5，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【解析】（1）由題意得，即，∴.又，∴.∵，∴，則，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）得，∴∴.例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：①，②成等比數(shù)列；③．從①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立．【解析】選①②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，，聯(lián)立解得：．所以．所以．選①③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立解得：．所以，，，，，所以成等比數(shù)列．選②③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，，聯(lián)立解得：，所以．所以．例7．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)（）能否構(gòu)成等差數(shù)列，若能，則求的值；若不能，則說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，即，所以；?）假設(shè)能構(gòu)成等差數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得，即，又，因?yàn)榈忍?hào)右邊為奇數(shù)，且為偶數(shù)，所以必為奇數(shù)，所以，且，此時(shí)，故能構(gòu)成等差數(shù)列.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，求等比數(shù)列{an}的公比.【解析】設(shè)公比為q，因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以，且a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，所以23a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，再從條件①?②?③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問題:條件①:成等差數(shù)列;條件②:;條件③:.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）選①，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，解得或（舍去），則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.選②，當(dāng)時(shí)，，即有，所以公比，而，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.選③，，即有，解得或（舍去），則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.請(qǐng)從①；②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，；（2）若選①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，若選②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，?1．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列中滿足，求和【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，，，解得，，即，；（2）由（1）得，.例12．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前20項(xiàng)的和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的n的最小值．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列公差，公比分別為，因?yàn)?，所以，解得，所以，?shù)列的通項(xiàng)公式為數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，所以，即為，即為，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，滿足的正整數(shù)最小值為【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，則（

）A． B．1 C．4 D．6【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的公差分別為.因?yàn)?，所?由題意得，又，解得，所以，所以，故選：D.2．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中?？紝ｎ}練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（

）A．7 B．12 C．15 D．31【答案】C【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因?yàn)?，所以，?故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，若成等比數(shù)列，則公差d=（

）A．或2 B．2 C．1或 D．1【答案】B【解析】由題意可得，即即所以由題意，則，所以所以，所以故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則的公差為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，又又，故選：A5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，則（

）A．7 B．4 C．1 D．–2【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，則，即，解得或（舍去），故.故選：C.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的前10項(xiàng)和為（

）．A． B． C．171 D．【答案】A【解析】由于，，成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列，滿足，，成等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，又滿足，，成等比數(shù)列，即，可得，所以，則，所以.故選：B.8．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列與各項(xiàng)均為整數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)分別為，且，.將數(shù)列，中所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列（重復(fù)的項(xiàng)只計(jì)一次），則數(shù)列的前40項(xiàng)和為（

）A．1843 B．2077 C．2380 D．2668【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，得到，解得，，，根據(jù)題意，，，，故，，可與一起排列，故：，故數(shù)列的前40項(xiàng)和為：.故選：B9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，則，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，則，故選：D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．96 B．102 C．118 D．126【答案】B【解析】在等比數(shù)列中，，，，在等差數(shù)列中，，，，故選：B．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，3，成等比數(shù)列，則為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比數(shù)列，所以，所以+，所以，故選：A.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知1，，，4成等比數(shù)列，1，，，，4成等差數(shù)列，則的值是（）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】∵1，，，4成等比數(shù)列，1，，，，4成等差數(shù)列，∴，，，則．故選：B．二、多選題14．（2023春·安徽阜陽·高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B．為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列C．為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列D．的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對(duì)于，均為等比數(shù)列且公比相等，當(dāng)時(shí),數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則不能構(gòu)成等比數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則常數(shù)，所以為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，數(shù)列中，對(duì)任意,，則；所以數(shù)列是遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，，即，所以時(shí)，，如數(shù)列；不滿足題意，所以必要性不成立，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，故選：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A．若數(shù)列的前n項(xiàng)和（a，b，c為常數(shù)），則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前n項(xiàng)和，則，，，…仍為等比數(shù)列【答案】BC【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以，所以只有當(dāng)時(shí)，數(shù)列成等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以，則數(shù)列成等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：數(shù)列是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則，，，是公差為（為的公差）的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，則，，，是常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：BC.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由題設(shè)，若的公差和首項(xiàng)分別為，而，∴，整理得，又公差和首項(xiàng)都不等于0，∴，故D正確，C錯(cuò)誤；∵，∴，故A正確，B錯(cuò)誤.故選：AD17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】，，，，公比為整數(shù)．解得．，．，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．．．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．綜上可得：只有ABC正確．故選：ABC．三、填空題18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學(xué)考試）在等差數(shù)列中，公差不為，，且，，成等比數(shù)列，當(dāng)______時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值.【答案】5【解析】依題意，，即，整理得，而，解得，于是得，顯然數(shù)列是遞減等差數(shù)列，，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值.故答案為：5.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列，即解得或（舍）故答案為：20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差d不為零，則由，知，，．故答案為：.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，則，可得，所以，故.故答案為：22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若成等比數(shù)列，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【解析】等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，，∴，解得或（舍），∴．故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公比不為1的等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為__________.【答案】【解析】由題意：為等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則，，，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比不為1，故答案為：.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，，則______.【答案】【解析】由題意得，所以，，所以，所以，所以.故答案為：25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列．【答案】【解析】因是等比數(shù)列，令，當(dāng)時(shí)，，，是遞增數(shù)列，令是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，且，若，，成等差數(shù)列，則，即，則有，顯然、都是正整數(shù)，，都是偶數(shù)，于是得是奇數(shù)，從而有不成立，即，，不成等差數(shù)列，數(shù)列不成等差數(shù)列，所以.故答案為：26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則______．【答案】4【解析】由題意，.故答案為：4.27．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，若，則公比

__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，可得，因?yàn)?，所以，解得：，故答案為?28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則的值為___________.【答案】-2【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)；；當(dāng)時(shí)，，所以①，.又成等差數(shù)列，所以，即②.由①②解得，所以.故答案為：-229．（2023春·北京·高三北京二中?？奸_學(xué)考試）等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列前20項(xiàng)的和____【答案】200或330【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，由成等比數(shù)列，得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是，故答案為200或330.30．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則=_________．【答案】【解析】等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，故公比為正數(shù)且不等于1．，即，即為，解得，，故答案為：．四、解答題31．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.【解析】（1）證明：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②得，，即，即,所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，.32．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，是，的等比中項(xiàng)，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求．【解析】（1）設(shè)公差為d，由題意得，解得，∴．（2），①，②②－①得，，∵，∴．∴．33．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，解得，因?yàn)?，，整理可得，解得，所以?（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，即數(shù)列為公比為等比數(shù)列.所以由可得即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式：.由，，成等差數(shù)列，得：，，，有.（2）由（1）知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列..35．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)