備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題25立體幾何平行與垂直判斷與證明問題

第25講立體幾何平行與垂直判斷與證明問題【考點預(yù)測】1、證明空間中直線、平面的平行關(guān)系（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面.（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2、證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）.（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）.【典例例題】例1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；

②若，，，則；③若，，則；

④若，，則.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】對于命題①，若，過直線的平面與的交線滿足，則，，，，則，命題①正確；對于命題②，若，，，則，命題②正確；對于命題③，若，，則或，或相交但不垂直，或，故③錯誤；對于命題④，根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若，，則，命題④正確.故選：D.例2．（2023·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，則【答案】D【解析】對于A，，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或相交，只有加上條件相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯誤；對于D，，，則，又因為，所以，D正確.故選:D.例3．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)是三條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則【答案】C【解析】對于A，根據(jù)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行，故A正確；對于B，根據(jù)平面平行的傳遞性，若，則，故B正確；對于C，由，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則不一定垂直于，故C錯誤；對于D，由，設(shè)，且，又，則，又，所以，故D正確．故選：C．例4．（2023·高一課時練習(xí)）正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．(1)求證：E、F、B、D共面；(2)求證：平面平面．【解析】（1）連接，由題意可得：分別為的中點，則，∵，，則為平行四邊形，∴，則，故E、F、B、D共面.（2）由題意可得：分別為的中點，則，∵，則，且平面，平面，∴平面，連接，由題意可得：分別為的中點，則，，∵，，則，，即為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面.例5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，四邊形為邊長為的菱形，，，為中點，為的中點．(1)求證：直線平面；(2)求直線與所成角大小．【解析】（1）取AD的中點E，連接NE，ME，因為為中點，為的中點，所以，，因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理可得平面PCD，因為，平面，所以平面平面PCD，因為平面MNE，所以直線平面；（2）連接AC，四邊形為邊長為的菱形，，所以，由余弦定理得：，因為，為中點，所以,因為底面，平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，所以，，因為，所以直線與所成的角或其補角為直線與所成的角，由余弦定理得：，故直線與所成角的大小為.例6．（2023·北京順義·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，，且，底面，E為中點．(1)求證：；(2)求證：平面【解析】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中點，連接，因為分別為的中點可知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得PA//平面DEF？并證明你的結(jié)論．【解析】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．（2）連接DE，EF，DF，設(shè)DE交AC于點H，連接HF因為PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；由于底面ABCD為菱形，為的中點，易證，所以，由PA//，可得，所以存在點為棱上靠近的三等分點，可使PA//平面DEF.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.【解析】（1）因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD，因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例9．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因為，，且點是的中點，所以平面，又因為平面，所以；（2）三棱錐,由條件可知是等腰直角三角形，，所以，點到平面的距離，.例10．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，在平面四邊形中，∥，，將沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如圖2所示.(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：；【解析】（1）證明:延長相交于點，連接，則為平面與平面的交線，由平面⊥平面，，平面，且平面平面，所以平面，又由∥，所以平面，因為平面，所以，所以，【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．平面內(nèi)的三個頂點到平面的距離相等，則與平行D．若，，，則【答案】D【解析】對于A，若，，則與可能平行，可能異面，所以A錯誤，對于B，若，，則有可能，有可能，所以B錯誤，對于C，若平面內(nèi)的三個頂點到平面的距離相等，則當(dāng)三點在的同側(cè)時，∥，∥，因為，，所以與平行，當(dāng)三點在的兩側(cè)時，可得與相交，所以C錯誤，對于D，因為，，所以，因為，所以，所以D正確，故選：D2．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知在正方體中，交于點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出圖形如圖所示，連接，因為，所以平面平面，故平面，其他三個選項易知是錯誤的.故選：C.二、多選題3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知空間中三條不同的直線a、b、c，三個不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】ACD【解析】對于A，，，則一定成立，A正確；對于B，如圖，正方體兩兩相交的三個平面,平面,平面,平面平面，平面平面,平面平面，但不平行，故B錯誤；對于C，若，，則或，但，所以，C正確；對于D，，，則，D正確.故選:ACD.4．（2023春·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線，兩個不同的平面和，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【解析】若，，則或，A錯誤；若，，則，B正確；若，，則由面面平行的性質(zhì)可得，C正確；若，，則與平行或相交，D錯誤；故選：BC5．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知m，n是空間中兩條不同的直線，，β是兩個不同的平面，Q是空間中的一個點，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】CD【解析】對于A，若，直線m與平面可能相交，故A錯誤；對于B，若可知n上有一點在內(nèi)，根據(jù)兩點確定一條直線可知，n不一定在β內(nèi)，故B錯誤；對于C，∵，故C正確：對于D，β，故D正確．故選:CD6．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考期末）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中（

）A．AB與CD平行 B．CD與GH是異面直線C．EF與GH成角 D．CD與EF平行【答案】CD【解析】該正方體的直觀圖如下：與是異面直線，故A錯；與相交，故B錯；因為該幾何體為正方體，所以，三角形為正三角形，直線與直線所成角為，則與所成角為，故CD正確.故選：CD.7．（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線BM是異面直線的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】顯然，，BD錯誤；與與直線BM既不平行，也不相交，是異面直線，AC正確.故選：AC8．（2023·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】A選項，若，則可能異面，A選項錯誤.B選項，若，則，B選項正確.C選項，若，則可能相交，C選項正確.D選項，若，則，D選項正確.故選：BD9．（2023·山西晉城·高二校考期末）如圖，在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ACD【解析】因為平面平面，所以平面，故A正確；與不垂直，則與不垂直，故平面不正確，故B錯誤；因為平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，故C正確；正方體中，有平面，因為平面，則，又，，平面，可得平面，因為平面，從而平面平面，故D正確.故選：.三、填空題10．（2023·高三課時練習(xí)）已知a、b、c是空間中的三條直線，下列說法中錯誤的是______．（寫出所有滿足條件的說法序號）①若，，則；②若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交；③若a、b分別在兩個相交平面上，則這兩條直線可能平行、相交或異面；④若a與c相交，b與c異面，則a與b異面．【答案】②④【解析】對于①：根據(jù)公理可得①正確.對于②如圖：把直線看成直線，直線看成，直線看成可知，直線a與c異面，故②錯誤.對于③如圖，可得③正確.對于④，如圖選項②的圖，把直線看成，直線看成，直線看成，所以直線相交，故④錯誤.故答案為：②④11．（2023·高一課時練習(xí)）下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是______．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【解析】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.又，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié).因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)、、.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接，因為為所在棱的中點，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.四、解答題12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）如圖，底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，為的中點．(1)當(dāng)時，求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：，取中點，連接，，如圖所示，∵為的中點，∴且，又當(dāng)時，則為的中點，又∵，且，∴，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）由題意知，在等邊中，D為BC中點，則，，又∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵，∴，即三棱錐的體積為．13．（2023·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）已知在四棱錐中，底面，且底面是正方形，F(xiàn)、G分別為和的中點.(1)求證：平面；(2)求證：.【解析】（1）連接AC，由已知F、G分別為和的中點，，又面ABCD，面ABCD，平面；（2）底面是正方形，，又底面，面ABCD，，面，面，面，又面，.14．（2023·高一課時練習(xí)）點是所在平面外一點，是中點，在上任取點，過和作平面交平面于．證明：．【解析】證明：連結(jié)，交于點，連結(jié).因為四邊形為平行四邊形，所以是的中點.又是中點，所以.因為平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明理由．【解析】（1）證明：如圖，連接交于，連接.因為為正方體，底面為正方形，對角線，交于點，所以為的中點，又因為為的中點，所以在中，是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）當(dāng)上的點為中點時，即滿足平面平面，理由如下：連接，，因為為的中點，為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因為，，平面，所以平面平面.16．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，E、F分別是空間四邊形中邊和的中點，過平行于的平面與交于點．求證：是中點．【解析】證明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因為點是的中點，所以是中點．17．（2023·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,底面,,設(shè)平面與平面的交線為．(1)證明:;(2)證明:平面;(3)求點到平面的距離．【解析】（1）證明:由題可知,平面,平面,故平面,平面,平面平面,;（2）證明:底面,,底面為直角梯形,且,,平面,平面,平面,由(1)知,平面;（3）由題知,且,連接,如圖所示:可得,,底面,,,,,為直角三角形,設(shè)點到平面的距離為,,即,即,解得:,故點到平面的距離為.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱在圓柱中，等腰直角三角形，分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點，分別在棱和上，，，平面，求的值【解析】如圖，過點作交于點，連接，，，與確定一個平面，平面，平面平面，，四邊形為平行四邊形，，又，，，.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，，求證：.【解析】在四棱錐中，平面，平面，平面平面，所以.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，分別是線段，的中點，證明：平面【解析】取的中點，連接，，則，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為長方形，，，點E、F分別為AD、PC的中點．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：．【解析】（1）取PB中點，連接FG，EG，因為點E、F分別為AD、PC的中點，所以，，因為四邊形ABCD為長方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因為平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．求證：平面；【解析】取的中點為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，，則，又平面，平面，故平面，，則，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面23．（2023·高三課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是棱、AB的中點．(1)求證：；(2)求四棱錐的體積；(3)判斷直線CF和平面的位置關(guān)系，并加以證明．【解析】（1）因為三棱柱是直棱柱，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以；（2）因為平面ABC，又平面ABC，所以，由，即，且，平面，所以平面，由E是棱的中點，則，所以四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為；（3）平面．如圖，取的中點G，連接EG、FG，因為F、G分別是棱AB、的中點，所以，，又，，所以，F(xiàn)G=EC，所以四邊形FGEC是平行四邊形，進而得，又平面，平面，所以平面．24．（2023·高一課時練習(xí)）已知在平面外，滿足，，平面，垂足為，求證：為底面的垂心．【解析】證明：如圖，連接，因為平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以同理可證平面，因為平面，所以，所以為底面的垂心．25．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，四棱臺的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；【解析】（1）平面平面，如圖，連接四邊形為正方形，，又平面，平面，平面.26．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，E是的中點，M是AD的中點．(1)證明：平面；【解析】（1）如圖，取中點F，連接EF，AF交于O，∵E，F(xiàn)分別為和中點，∴平行且相等，∵平行且相等，∴平行且相等，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵與相似，∴，∴，即，∴，∵平面，且平面，∴，∵平面，平面，∴平面；27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離.【解析】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，因為是菱形，所以，且是的中點，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設(shè)到平面的距離為，因為平面，平面,所以,因為,平面，所以平面，且平面,所以,因為，，所以，所以,,,所以且,所以,取中點為，連接,因為是菱形，，所以為等邊三角形，所以,且,又因為平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因為,因為，即,所以.28．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.(1)設(shè)平面平面，證明：⊥平面；【解析】（1）平面平面，平面.平面，平面平面，.由圖①，得，.平面，平面；29．（2023春·安徽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在幾何體中，四邊形為矩形，，，，.(1)證明：；【解析】（1）證明：由題意得，四邊形為直角梯形，又，，易知，，所以，所以.又因為，，平面，所以平面，平面，所以.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓錐的高為是底面圓的直徑，為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點在母線上，且．(1)證明：平面平面；【解析】（1）連接，由已知，，且