備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題18三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

專題18三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．3、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T．三角函數(shù)線INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INET有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線知識點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；知識點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【典例例題】題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別【方法技巧與總結(jié)】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】首先角度制與弧度制不能混用，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；又與的終邊相同的角可以寫成，所以正確．故選：．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由圖知，角的取值集合為:故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角，還考查了集合的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.題型二：等分角的象限問題【方法技巧與總結(jié)】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．例3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【解析】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，其終邊在第三象限；當(dāng)時(shí)，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.題型三：弧長與扇形面積公式的計(jì)算【方法技巧與總結(jié)】（1）熟記弧長公式：，扇形面積公式：（弧度制）（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法例5．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對弦圍成的圖形．若弧田的弦長是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長為_______，弧田的面積為_________．【答案】

;

.【解析】由題意可知：，所以弧長，弧田的面積，故答案為：；.例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長為4cm，當(dāng)它的半徑為________cm和圓心角為________弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________cm2.【答案】

1

2

1【解析】，則，則時(shí)，面積最大為，此時(shí)圓心角，所以答案為1；2；1.題型四：三角函數(shù)定義題【方法技巧與總結(jié)】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定義；例7．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，由任意三角形的定義知：，.故選：D.例8．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，由三角函數(shù)的定義可知，.故選：D.例9．（2022·北京·二模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，而.故選：A題型五：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的【方法技巧與總結(jié)】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．例10．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，則的值為___________.【答案】【解析】.故答案為：.例11．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則___________．【答案】【解析】．故答案為：例12．（2022·廣東惠州·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，，所以，，所?故選：A.例13．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，由，，可得?故選：A.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，原等式化為：，整理得：，因，則，解得：，所以.故選：B例15．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故選：C題型六：誘導(dǎo)求值與變形【方法技巧與總結(jié)】（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化例16．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，故選：D．例17．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））若則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B.例18．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C．例19．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A．2 B．—2 C． D．【答案】C【解析】由已知得，，∴.故選：C【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末），，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由得，，則，又，，則，，故選：.2．（2023·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？计谀┮阎堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．-2 B． C．3 D．9【答案】B【解析】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，即，解得，．故選：B．3．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，因此.故選：C.4．（2023·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D5．（2023·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，則，由可得，即有，即，，解得，故選：C6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選：A.7．（2023·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，所以.故選：D8．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，故選：D.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以與角終邊相同的角是和，故選：AC．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個(gè)象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【解析】因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿?，所以，，所以，，?dāng)，時(shí)，，，位于第一象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第二象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；故選：ABC11．（2023·山東濟(jì)寧·高一?？计谀┮阎瑒t（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由已知，得對于A：，A正確；對于B：，B錯(cuò)誤；對于C：，C正確；對于D：，D正確.故選：ACD.12．（2023·山西大同·高一大同一中?？计谀┮阎?，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，，所以，故A正確；所以，所以，故D正確；聯(lián)立，可得，，故B正確；所以，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則______．【答案】【解析】由直線斜率得，故.故答案為：14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）______．【答案】【解析】.故答案為：.15．（2023·吉林松原·高一?？计谀┮阎P(guān)于x的方程的兩根為和（），則m的值為___________.【答案】【解析】關(guān)于x的方程的兩根為和，則，因此，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：16．（2023·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┮阎菫榈谒南笙藿牵覞M足，則_________【答案】【解析】由題意得，所以，因?yàn)?，所以可得，所以，因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，所?故答案為：.四、解答題17．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）從①，②，③，三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，再回答后面兩個(gè)小問．已知，且滿足______．(1)判斷是第幾象限角；(2)求值：．【解析】（1）選擇①：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得，由此可知是第二象限角．選擇②：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，進(jìn)而可得，由此可知是第二象限角．選擇③因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是第二象限．?）選擇①：由（1）得，所以，又由，，可知，所以，與聯(lián)立解得，，所以.選擇②：由（1）得，所以，所以，與聯(lián)立解得，所以．選擇③：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，又因?yàn)椋?，所?8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．【解析】（1）因?yàn)?，所以扇形的面積為；（2）由題意可知：，即，所以扇形的面積為，當(dāng)時(shí)，扇形面積的最大值為，此時(shí)，19．（2023·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終