備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題07函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性奇偶性周期性

專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)．2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．3、函數(shù)的對(duì)稱性（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（3）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．（4）若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期．（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期．【方法技巧與總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．（8）常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．5、對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【典例例題】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解析：A項(xiàng)，B項(xiàng)均為定義域上的奇函數(shù)，排除；D項(xiàng)為定義域上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，排除；C項(xiàng)為定義域上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．故選：C．例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有．所以函數(shù)一定是增函數(shù)．故選：C例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)在上是減函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，在上無(wú)意義，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，在上是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，的大致圖象如圖所示中，由圖可知在上是減函數(shù)，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，在上是增函數(shù)，不符合題意．故選：C．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明．【解析】（1）由為定義在上奇函數(shù)可知，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)對(duì)任意的都有故．（2）由遞增，可知在上為減函數(shù)，證明如下：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，不妨設(shè)，則．∵單調(diào)遞增，且，∴即，，，∴，∴，故在上為減函數(shù)．變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知．（1）證明：在（2，+∞）單調(diào)遞增；（2）解不等式：．【解析】（1）?x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則，∵x1，x2∈[2，+∞），則x1x24＞0，x1x2＞0，且x1﹣x2＜0，∴0，即，∴在[2，+∞）單調(diào)遞增．（2）由，即∈[2，+∞），∵在[2，+∞）單調(diào)遞增，要使，∴，即，解得，∴不等式的解集為．變式3．（2023春·山東濟(jì)寧·高三校考階段練習(xí)）已知，且（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷此函數(shù)的奇偶性并證明；（3）判斷此函數(shù)在的單調(diào)性（無(wú)需證明）．【解析】（1）由，解得（2）為奇函數(shù)．證明：由（1）得，則，為奇函數(shù)（3）∵，∴在上單調(diào)遞增【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】錯(cuò)令，是有，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可知：在上單調(diào)遞減，即其減區(qū)間為．故選：A．錯(cuò)因：沒有考慮函數(shù)的定義域．正由可得或，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，是有，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可知：在上單調(diào)遞減，即其減區(qū)間為．故選：D例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，令，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)遞增，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以a的取值范圍是，故選：A【方法技巧與總結(jié)】討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：1、若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2、若，在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為______．【答案】【解析】時(shí)，單調(diào)遞增，；時(shí)，單調(diào)遞減，．所以的最大值為．故答案為：．例8．（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】在上為增函數(shù)，則在上的最小值為，最大值為，即．故答案為：．例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知設(shè)，則函數(shù)的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以；綜上：函數(shù)的最大值為1故選：B變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝在[2，3]上的最小值為（

）A．2 B．C． D．－【答案】B【解析】y＝在[2，3]上單調(diào)遞減，所以x=3時(shí)取最小值為，故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1、如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3、若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】（－∞，0]【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－2x＋3滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，則，綜上得a≤0．故答案為：（－∞，0]例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】①時(shí)，在R上單調(diào)遞減∴滿足條件；②時(shí)，對(duì)稱軸為，解得．由①②得，故的取值范圍是．故答案為：例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則．故答案為：變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B【方法技巧與總結(jié)】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例13．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象開口向上，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤﹔B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，將圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得出的圖象，其在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C：由冪函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，其在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，所以在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：D．例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對(duì)于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于，，定義域是，不合題意；對(duì)于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域與單調(diào)性，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且對(duì)任意且都成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，由，因此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因此當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以有，因?yàn)椋?，即，因此．故選：B【方法技巧與總結(jié)】1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決．2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間（同增異減）．3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù)．同時(shí)注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系．題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)．（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（3）解不等式．【解析】（1）任取，令則∵則，可得∴即∴函數(shù)在上遞增．（2）的定義域?yàn)椤呒础酁槎x在上的奇函數(shù)．（3）即∵函數(shù)在上遞增∴即或．例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，四個(gè)函數(shù)定義域都是在中，，是奇函數(shù)；在中，，是偶函數(shù)；在中，，是偶函數(shù)；在中，，∴既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；故選：D．例18．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C．y=|x| D．【答案】D【解析】，都是奇函數(shù)，排除A，B．，都是偶函數(shù)，在上遞增，在遞減，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性．題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________．【答案】1【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，而，故即，故答案為：1．例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則________．【答案】【解析】由題意知：，同乘以得，故，故答案為：例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則常數(shù)_______．【答案】【解析】可知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，則，即，解得，則，顯然滿足題意，則．故答案為：．變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】4【解析】因?yàn)闉槎x域上的奇函數(shù)，，所以恒成立解得．故答案為：4．變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為__．【答案】【解析】函數(shù)是偶函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，，對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，即．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上的偶函數(shù)∴，∴即【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解．題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則__________．【答案】【解析】，，即，又為奇函數(shù)，，，，．故答案為：．例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在R上的解析式為___________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則有，設(shè)，有，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則．故答案為：例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，_________．【答案】【解析】由，則，且函數(shù)是偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，故答案為：變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的解析式為___________．【答案】【解析】由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：．故答案為：變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】時(shí)，，，∴，故選：C．變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，．故選：C【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式．題型九：已知奇函數(shù)+M例25．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，為定義在上的奇函數(shù)，，即，．故選：D．例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【解析】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)．因?yàn)椋?，則f（－a）＝1．故選：B例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)，，，若的最大值為M，最小值為m，那么M和m的值可能為（

）A．4與3 B．3與1 C．5和2 D．7與4【答案】B【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù)，且，∴為偶數(shù)，故選：B．變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=2+的最大值為M，最小值為m，則M+m的值等于（

）A．2 B．4 C．2+ D．4+【答案】B【解析】設(shè)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)的最大值為N，最小值為n，則N+n=0．由題得所以．故選B【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：已知由函數(shù)奇偶性解不等式例28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，解得．故選：C．例29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)為，即，解得，即不等式的解集為．故答案為：例30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即有，所以或，解得或．故選：D．變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)，其定義域?yàn)?，且，故為上的奇函?shù)；又當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞減；又是連續(xù)函數(shù)，故在上都是單調(diào)減函數(shù)；則，即，則，解得．故選：D．變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，則或．故選：D．變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，且，或，故或，故選：C【方法技巧與總結(jié)】畫圖，數(shù)形結(jié)合．題型十一：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性例31．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義域是R的函數(shù)滿足：，，為偶函數(shù)，，則（

）A．1 B．-1 C．2 D．-3【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．故選：B．例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1C．6 D．216【答案】C【解析】根據(jù)題意，偶函數(shù)滿足，即，是周期為6的周期函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，故故選：C例33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的奇函數(shù)，滿足對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足對(duì)任意的都有，則，，因此，．故選：C．變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，．當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，，因此，．故選：D．變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則必有，所以，，，又因?yàn)闈M足，取，所以，，，則，取，則，A對(duì)；故選：A變式19．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，且．則下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的有（

）A．為奇函數(shù) B．周期為2C． D．是奇函數(shù)【答案】AD【解析】由于的定義域?yàn)椋谊P(guān)于中心對(duì)稱，可得是奇函數(shù)，故A項(xiàng)正確；因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，即，所以，所以函數(shù)的周期，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以是奇函數(shù)，故D項(xiàng)正確．故選：AD．【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．題型十二：函數(shù)性質(zhì)的綜合例34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________．【答案】【解析】解：是上的奇函數(shù)，又，，所以是周期函數(shù)，且周期為4．故答案為：2例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，①，②，請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】由①知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由②知為偶函數(shù)，所以，故為周期為2的周期函數(shù)，符合該條件的函數(shù)可以為．故答案為：（答案不唯一，只要符合條件即可）例36．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令得：，解得：，所以令得：，即，所以，故A正確；B選項(xiàng)，令得：，即，因?yàn)?，則，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，，所以，即，所以，所以的周期?，，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以令得：，解得：，令中得：，故D錯(cuò)誤．故選：ABC變式20．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是以2為周期的周期函數(shù)B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對(duì)稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榈闹芷跒?，關(guān)于對(duì)稱，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)榈闹芷跒?，則，，所以，故C錯(cuò)誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：BD．【方法技巧與總結(jié)】（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)（或軸對(duì)稱函數(shù)）與單調(diào)性綜合解不等式和比較大?。?）奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）之間距離的2倍，是對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，又為偶函數(shù)，所以，則，故選：B．2．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)既是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)是奇函數(shù)，非減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)為增函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)為增函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．直線對(duì)稱 B．直線對(duì)稱C．直線對(duì)稱 D．直線對(duì)稱【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，則，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．又函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，所以在的圖象上．故函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選：D4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得.故選：C5．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，此時(shí)是奇函數(shù)，所以.故選：B.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上不單調(diào)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，定義域，但，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，為偶函數(shù)，且在上既有增區(qū)間，也有減區(qū)間，所以在上不單調(diào)，故B正確；對(duì)于C，在單調(diào)遞減，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在單調(diào)遞增，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：B7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】，，，又，..故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說(shuō)法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C【解析】由函數(shù)的解析式知定義域?yàn)椋O(shè)，顯然在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，故選：C9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．﹣1 B．1 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.二、多選題11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】AD【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，．易得，故是奇函數(shù)，A正確；，故是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，故是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下面說(shuō)法正確的有（）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．的值域?yàn)镈．，且，【答案】AC【解析】對(duì)于A中，由，可得函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，設(shè)，可得，所以，即，解得，即函數(shù)的值域?yàn)?，所以C正確；對(duì)于D中，對(duì)，且，，可得函數(shù)為減函數(shù)，而為單調(diào)遞增函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】易得四個(gè)函數(shù)定義域均為R，對(duì)于A，令，則，且在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，令，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，且在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，令，，D錯(cuò)誤.故選：AC.14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且滿足，則以下結(jié)論成立的是（

）A．函數(shù)的周期B．C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．在上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】由定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且滿足，所以函數(shù)的周期為，所以A正確；由，即，所以，且，又由，所以，所以B正確；由，可得點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以C正確；由在上有，所以函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故D正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；故選：AD三、填空題16．（2023春·北京大興·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)．若當(dāng)時(shí)，，則______________．【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故答案為：17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則的一個(gè)解析式為___________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵為上的偶函數(shù)，∴，又，∴用替換，得，∴，∴的周期為4，則的一個(gè)解析式可以為故答案為：（答案不唯一）．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝log5(x2＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】(1，＋∞)【解析】由題意，函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；故答案為：.19．（