四川省多校2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試卷(含答案)

四川省多校2024屆高三下學(xué)期第一次統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.已知集合A=｛%|V+尤<0｝,8=<廁AB=（）

22jJ

則D-H4]

2.一次課外活動(dòng)中，甲，乙，丙，丁，戊五名同學(xué)準(zhǔn)備從羽毛球和乒乓球兩項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選

擇一項(xiàng)參加，則甲，乙兩名同學(xué)參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（）

A.1B.lc.lD.-

4323

3.已知平面向量°,匕滿足a=W=2.若（a+傷）.a=0,則向量a，b的夾角為（）

A.30°B.45°C.135°D.150°

4.在之：的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-60B.60C.-120D.120

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的〃值是（）

A.9B.99C.100D.999

6.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S〃=2'T-g,則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為（）

—n—I

n2n2

Ay=2'，Bq=2"TC.an=（-2）-D.an=2-

2n,n>2

7.函數(shù)/(x)=[g-牙9](Y_3X)的圖象大致是()

8.已知3〃=兀，4》=3,3°=1082€6，則。，瓦。的大小關(guān)系為()

a>b>ca>c>bC,c>b>aD.b>c>a

9.已知函數(shù)〃x)=JGsin0x+coss(0>O)在區(qū)間[0,1]上恰好有兩個(gè)最值，則①的取值

范圍為()

10.設(shè)正方體A5CO-A與GA的棱長為1,與直線AC垂直的平面。截該正方體所得的

截面多邊形為M則M的面積的最大值為()

A.-73B.-73C亞D.Jj

842

2

11.已知雙曲線C：?—>2=1左、右焦點(diǎn)分別為耳,心,過耳的直線與c的兩條漸近線

分別交于A乃兩點(diǎn).若△OAB為直角三角形，則=()

A.J3B.更C.bHD.同

「422

12.已知函數(shù)/(x)=(x+l)e光和g(x)=x(lnx+Q)有相同的最小值.若

/（石）二8（42）=，。>。），則71、22的最大值為（）

（玉+1）%2

A.-B.eC.—D.2e

22

二、填空題

13.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i+7§i，計(jì)算2=.

Z

14.已知等差數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為Sn，且為+%=4+3,則S9=.

15.如圖，在矩形ABCD中,AB=4，AD=2,點(diǎn)E為線段8的中點(diǎn).沿直線AE將4ADE

翻折，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸的位置.當(dāng)平面以E與平面A3CE所成角為60。時(shí),三棱錐

P-ABC的體積為.

16.已知點(diǎn)“在拋物線I：/=分上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M的兩直線與圓C：%2+（y_3）2=4

相切，切點(diǎn)分別為4B,當(dāng)|AB|-|MC|取最小值時(shí)，直線AB的方程為.

三、解答題

17.在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲害調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，

并測(cè)量其高度力（單位：cm）,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

本頻率

T羸

0.06r..............j—I

0.05.............

“0.0t2—…-1--…-----—j---------

0叫什十，一十一卜日，

0^20253035404550cm

（1）估計(jì)該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間［30,45）的概率；

（3）已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為3%,果苗高度位于區(qū)間［40,50）的棵

數(shù)占該果苗總棵數(shù)的20%.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間［40,50）的果苗，求該棵

果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率

作為受到病蟲害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.

18.記AWC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知兒+。=acosC-

一一2

（1）求角A；

（2）若z，=3,c=5,Z8AC的角平分線交3c于D,求AD的長.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中,AT>//8C，AZ)_LPD，平面A4D_L平面PC。,設(shè)平面PAD

與平面P3C的交線為/.

(1)證明:平面P5C_L平面尸8；

⑵已知4￡>=r￡)=￡>。=2,。。=2道.若直線/與直線A3所成的角為4.求直線/與

4

平面以3所成角的正弦值.

20.已知定點(diǎn)網(wǎng)百,0b定直線/：》=手，動(dòng)點(diǎn)/(%,%)在曲線C:1+y2=l上.

(1)設(shè)曲線C離心率為，點(diǎn)〃到直線/的距離為a求證:回l=e；

d

(2)設(shè)過定點(diǎn)R的動(dòng)直線與曲線C相交于P,。兩點(diǎn),過點(diǎn)尸與直線/垂直的直線與/相

交于點(diǎn)尺直線QR是否過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是，請(qǐng)說明理由.

21.已知函數(shù)/(%)=加+%-1!1丫-0.

⑴若/⑺21,求的值;

(2)若〃%)有2個(gè)零點(diǎn)Xi，/，證明：/(%+/)+止(％+%)>2-。.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(-2,T)且傾斜角為45。的直線/與軸相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)

。為圓心的圓半徑為2.以點(diǎn)。為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/的一個(gè)參數(shù)方程和圓Q的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與圓。相交于點(diǎn)M,N,求△MON的面積.

23.已知/(%)=卜+1|+|2了—21

(1)求不等式〃x)W5-x的解集；

(2)令“X)的最小值為M若正數(shù)。力滿足。+。=2,證明:￡

ab

參考答案

1.答案：A

r,f1

解析：集合A={XM+x<0},3=<x—g<x<g，則A1<X<—

、2.

故選:A

2.答案：C

解析：基本事件的總數(shù)為25,

34

甲、乙參加同一項(xiàng)活動(dòng)包含的基本事件有2x2=2，

由古典概型的計(jì)算公式,所以甲，乙參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為二=1

252

故選:C.

3.答案：C

解析：由(a+回)/=0得:"/力=0,

又卜I=什=2,所以a.b=—2立,

設(shè)向量a，/,的夾角為，，

可得"相=去1=等且0°應(yīng)180。，

解得向量a，匕的夾角為135。.

故選:C.

4.答案：B

解析：由題意得:加=c]f[―々J=(2=6-3'(_2)'，r=0』,…6

當(dāng)r=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為C；(-2)2=60，

故選:B.

5.答案：B

解析：已知程序框圖的功能是求S=lg2+lg3+lg&++lg上l=lg(〃+l),

23n

由S=lg(〃+1”2得”299,所以輸出”=99.

故選:B

6.答案：D

解析：S,=2"T—L當(dāng)〃=1時(shí),%=，=2°--=-,

"21122

當(dāng)"-—S-2、三也滿足,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=2"-2.

故選:D

7.答案：A

解析：因?yàn)?-*](三-3%),定義域?yàn)镽,

11(12A-)

又〃T)=—JC'+3x)

22-x+l(22r+l)

(12,+13j_1

122X+1)2-2A-+l

11

3，可知為偶函數(shù)，排除CD;

2~2X+1(X-3X)=/(X)

當(dāng)x>0時(shí)，!一——>0,

22X+1

當(dāng)0<x<百時(shí)，/一3x=x(%2—3)<0,則/(九)<0,

當(dāng)x〉S'時(shí),％3-3x>0,則/(%)>0,B不符題意,

故選:A.

8.答案：A

解析：依題意,a=log3?r,6=log43；

因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x是增函數(shù)，且兀心3.14,所以a=log37i>log33=1；

因?yàn)楹瘮?shù)y=log4x是增函數(shù)，所以g=log42<&=log43<log44=1；

因?yàn)楹瘮?shù)y=log2eX是增函數(shù)，且e=2.7,所以c=log2eG<log2e衣=；，

綜上可得:a>b>c-

故選:A.

9.答案：C

解析：由/(x)=^sin69x+COS69X=2sin+當(dāng)OKxKl時(shí)，烏(3+二二①+',

k6J666

函數(shù)”外在區(qū)間［0』上恰好有兩個(gè)最值，由正弦函數(shù)的圖象知史＜◎+巴〈空，

262

解得"＜。＜工.

33

故選:C.

10.答案：B

解析：連結(jié)因?yàn)槠矫鍭53IA，A4u平面A34A，所以

且5c，4臺(tái)u平面ABC,所以A3］，平面u平面/BC,

所以A51，AC,同理42，4C,且AB］Bn=BrABi，BQu平面4月2,

所以A。，平面A5Q；

所以平面a為平面A4R或與其平行的平面,〃只能為三角形或六邊形.

當(dāng)M為三角形時(shí),其面積的最大值為3x(四了=日；

當(dāng)〃為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，

設(shè)m=x，則必=1一蒼雙=后(1一九)，硒=缶，

依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示:六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，

當(dāng)且僅當(dāng)x=；時(shí)，六邊形面積最大,即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為［6.

11.答案：C

解析：該雙曲線的漸近線方程為y=±且％,則ZAOB=60。，

3

若△OAB為直角三角形，則只可能NQ4B=90°或者AOBA=90°,

這兩種情況對(duì)稱，面積相同，只研究一種情況即可，

如圖所示,NQ4B=90。，

在RtZkCA耳中，有周=2,|明仁|?！瓴纷?0。=1,|人@=|0耳卜0530。=石,

3A/3

在RtAOAB中,ZAOB=60。,||AB|=3,所以S^0AB

2

故選:C.

12.答案：A

解析：依題意,r(x)=(x+2)e，,可知尤<-2時(shí),/'(x)<0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減;

x>-2時(shí),/(司>0,此時(shí)“X)單調(diào)遞增；

則x=-2時(shí),/(x)取得極小值2)=-4也即為最小值；

e

又g'(x)=lnx+a+l，0<x<e~a~l時(shí),g'(x)<0,此時(shí)單調(diào)遞減；

x〉e-“T時(shí),g'(x)>0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞增；

則x=e-T時(shí),g(力取得極小值g卜…)=—e-1也即為g(%)最小值.

由一士二一已心，解得a=L

e

因?yàn)椤ㄊ?=g(凡)=%?>。),所以(石+1)?西二人(1電+1)=t(t>0),

1+ln/1+lnZ_1+In，

可知%>-1,九2>,，且玉=lnx2，所以

2

e(%+琰%(lnx2+l)xfr

令恤)=岑％>0),則"?)=匚曰:，當(dāng)0</<eT，〃(/)〉O,此時(shí)/(力單調(diào)遞增;

當(dāng)/〉eW，〃⑺<0，此時(shí)/(x)單調(diào)遞減；

(_i>

故/_e」時(shí)，"(%)取極大值he萬=E，也即為最大值.

I)2

故選:A.

13.答案：l_^i

22

22(1—石)」艮

解析：-

Z1+V3i(l+73i)(l-^/3i)221

故答案為:，—且i

22

14.答案：27

解析：因?yàn)椋袨榈炔顢?shù)列，所以2+%=。6+%=。6+3，解得。5=3,

所以59=幽曰=-=9%=27?

故答案為：27

15.答案：巫

3

解析：如圖，取AB的中點(diǎn)/，連接￡)f，與AE交于點(diǎn)

AB

由翻折前后的不變性可知,wAE?由已知,四邊形DEFA為正方形，則DF1AE,

所以NPHF（或其補(bǔ)角）為平面抬E與平面ABCE所成角的平面角，故NPHF=60?；?/p>

ZPHF=120°；

由于PH=H,PH,DFu平面PDE所以AE，平面PDF,AEu平面ABCE,

故平面ABCE±平面PDF,即P在平面ABCE上的射影。在直線DF上（點(diǎn)。在線段

或上均可）.

由題意可知，在Rt△尸770中,NPHO=60。,=夜，則

PO=PHsin60。=手，又S.MC=4,則％語

故答案為:偵

3

16.答案：土x-y+l=0

（r2\

解析：如圖，設(shè)M，設(shè)AB與MC交于H,

、4）

由題意知AB，MC,AC=2,

RtAACM中,|河卜|加。|=|AqjM4|=2|M4|=2ylcM2-4，

而|,則[AB1-\MC\=2\AH\-\MC\=CM2-4，

^\CM\最小時(shí),|明.|MC|取最小值.

而|CM=J（X「O）2+[?-3]=J2-J+9=JW（X；-4）2+8'

當(dāng)且僅當(dāng)x；=4吐3（片-4丫+8取得最小值，此時(shí)M（±2,1）,|CM|=2A/2,|M4|=2,

則以M為圓心,|八例為半徑的圓的方程為：（x.2）2+（y-if=4,

與圓C:%之+（,-3）2=4的方程相減，可得AB的直線方程為:y=±x+l,即土x-y+l=0,

故答案為:±x-y+1=0

17.答案：(1)33cm

(2)0.6

(3)0.0225

解析：(1)由頻率分布直方圖得該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度為：

h=0.02x5x22.5+0.05x5x27.5+0.06x5x32.5+0.04x5x37.5+0.02x5x42.5+0.01x5x47.5=33(cm)

(2)該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間［30,45)的頻率為：

(0.06+0.04+0.02)x5=0.6.

所以，估計(jì)該苗圃一顆受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間［30,45)的概率為06

(3)設(shè)從苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間［40,50)的果苗為事件A,該棵果苗受到這種

病蟲害為事件5,

P(AB)3%x(0.02+0.01)x5

則nlzx\/=-------------』—=0.0225.

117P(A)20%

18.答案：(1)A=—

3

(2)”.

8

解析：(1)解法一：

由」c+b=acosC及正弦定理，

2

可得工sinC+sinB=sinAcosC-

2

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以,sinC+cosAsinC=0"

2

又在△AfiC中,sin。w0,故cosA=--,

2

A￡(0,兀1所以A=§*

解法二:由+=acosC及余弦定理，

2

a2+b2-c2

可得+=a-

2lab

艮口b2+c2-a2=-be，

所以cosA="+d—4

2bc2

Ae（0,功，所以A=g.

(2)由(1)知ZBAC=0,ZBAD=ZDAC=a.

33

Vv

又b=3，c=5，SAABC"ABD丁+UAACD，

所以』Z?csin型=—c?AD-sin—+—b-AD-sin—-

232323

所以=

8

19.答案：（1）證明見解析；

（2）正L

7

解析：（1）因?yàn)槠矫鍺）,平面PCD,且其交線為

平面PCD

又AD//BC,所以，平面PCD,NC<=平面PBC.

所以，平面P5C_L平面PCD.

（2）AT>//3C,5Cu平面PBC,AD<z平面PBC,所以ADU平面PBC.

又平面PAD平面P3C的交線=/，A￡）u平面心。,所以〃/AD（可知直線/與平面PAB

所成角等于直線AD與平面PAB所成角）.

由直線/與直線A3所成的角為色,知/加3=包.

44

可推出BC=4，AB=2y/2-

由⑴可知,AD,平面PCD，ADu平面A3CD,即平面ABCD,平面PCD,

由于兩平面的交線為CD,

過P作直線CD的垂線，垂足為H,則W平面ABCD.

方法1：

PC=26，PD=DC=2,PC=2A/3，則ZCPD=ZDCP=30°，

則ZPDC=120°,PD=2，PH

又PA=y/PD2+AD2=2后，AB=20，AP5c是一個(gè)直角三角形,

PB2=BC~+PC2,PB=2A/7，

S/人\IDJrA\Br>=—2,x2x2^xsinl350=2,

22

^PAB=1|^|^A5-Q|PB|^=1X2V7X^8-(T7)=V7-

設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,

由^D-PAB=Vp-ABD后—，S/\PAB.'=]''^DAB'PH，

解得〃=也.

7

2A/21

直線/與平面以3所成角的正弦值為h_萬-

AD~27

方法2:

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量04，?。?“P的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向，建立如圖空

間直角坐標(biāo)系.

則A（2,l,0）,B（4,3,0）,D（0,l,0）,P（0,0,V3）,

ZM=（2,0,0）,AB=（2,2,0）,AP=（-2,-l,V3）,

設(shè)平面必3的法向量為〃=（%,y,z）,

,\n-AB=Q[2x+2y=0

由,得r-

n-AP=0—lx—y+y/3z=0

取光=V3,得y==

則平面以5的一個(gè)法向量為〃=（石，-若,1）.

又AD=（-2,0,01令直線4。與平面B43所成角為a,

ADn_273_V21

則sina=

lADl-H一幣一〒

所以，直線/與平面以3所成角的正弦值為立!.

7

20.答案：（1）證明見解析;

（2）直線QR過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為,0.

解析：（1）由題意，曲線C的離心率e=3，d"x。

23

顯然=1,即寸=與疝又因?yàn)檠鄱?/p>

X。一百）+玉

"\MF|丫_（%-⑹442幣x°+43

所以22

、d，、（46.、8A/3164，

x--------^----

----o303

U）IJ）

所至I」也竺1=走,即回［=e.

did

（2）設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（％,乂）,（々,%卜

x-ty+\[3

由題意，當(dāng)直線PQ的斜率不為0時(shí),設(shè)直線PQ的方程為x=ty+y/3X22?

——+y=1

〔4?

x=ty+6

聯(lián)立方程組尤2，消去并整理得（產(chǎn)+4）/+2舟—1=0,

—+y2=l

由韋達(dá)定理知%+%=--；一＞％力=--2―7，

r+4r+4

由已知，點(diǎn)R的坐標(biāo)為j竽,％,

_（4G〕

則直線QR的方程為V=訪—X—亍+%，

-----x,1）

3一

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，如果直線QR過定點(diǎn)，則此定點(diǎn)一定在軸上，

4#）

令y=o,可得4也，y1一一丁弘，

x-------=-----------------

3%-%

而馬=伙+百，X+%=，所以

4A/36t6

X46「必一丁%/「__1_=_A/3

3%-%%-%92?2736

%M

此時(shí),x=拽為定值，

6

當(dāng)直線PQ的斜率為0時(shí)，直線QR與直線PQ重合，必然過點(diǎn)（雙I,。］,

綜上，直線QR過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為

21.答案：(1)0;

(2)證明見解析.

解析：(1)^g(x)=/(x)-l=ar2+x-lnx-a-l(x>0),

貝I=2ax+l--,g(l)=0.

①當(dāng)a>0時(shí)，知g'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

1

又g'⑴=2a>0,g'言+1—(4+上島+1-(4+/)=-1-/<。，

4+4

,

^?,lj,g(xo)=O.

貝I3x0G

當(dāng)X〉X。時(shí)，由于g，(x)單調(diào)遞增，則/(%)>0,所以g(x)在(須,位)上單調(diào)遞增.

又g(l)=0,所以當(dāng)不<%<1時(shí),g(x)<0,即/(%)<1,不符題意.

1r_i

②當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=/(%)-1=x-lnx-l(x>0),gf(x)=1——=-----

XX

可知當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)<0；當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0.

所以當(dāng)X=1時(shí),g(X)取得極小值，也即為最小值，該最小值為g⑴=0.

所以g(x)=〃x)—1?0,即〃龍”1,不等式成立.

③當(dāng)a<0時(shí)，可”時(shí),g(x)f-8,故/(%)21不恒成立，不符題意.

綜上所述,的值為0.

(2)欲證/(石+/)+111(石+%2)>2-a,

只需證。(石+々)-+(玉+尤2)—In(石+X2)_a+ln(%+x2)>2-tz,

即證明〃（項(xiàng)+x2）2+（西+%2）>2，

因?yàn)閍xf+%-1叫—Q=0,axl+%—1n^2—〃二0，

兩式相減，得a（x,+馬）（石_9）+（玉-x2^-（iwcl-lnx2）=0,

整理得。&+々）=1叫一向2-1,

xx-x2

所以，只需證明不等式[則凸1]（玉+々）+&+%）>2,

I%—%27

ln%、

即證明15-1噸（為+%）〉2,即證明—2+1>2,

玉~X22_1I”2>

不妨設(shè)0<西<%，令，=土，則0vrv1，

x2

只需證明里?+1）>2,即證明（/+1）1皿—20—1）<0（0</<1）即可，

令/z?）=a+l）lnr—2（