福建省福州某中學(xué)2024屆高三年級下冊第十六次檢測（三模） 數(shù)學(xué) 含解析

福州三中2023-2024學(xué)年高三第十六次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.(1—ax，的展開式中V的系數(shù)為16°,則()

A.2B.-2C.4D.-4

2.設(shè)S“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S3=4,%+%+4=8,貝()

752

A.2B.-C.D.

337

3.某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(單位：S)分別為：13.09,13.15,12.90,

13.16,12.96,13.11,x,13.24,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為13.155,則x=13.15

B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為13.15,則x=13.15

C.若該八名選手成績的極差為0.34,則12.904x<13.24

D.若該八名選手成績的平均數(shù)為13.095,則x=13.15

在，中，

4.ABCC=t,AB=AC+BC=5,則ABC的面積為()

3

A拒B.26C.3A/3D.473

Ti17

5.已知0<P<a<—,sinasm/3=歷,cosacos'=-,則cos2a=()

724

A.0B.——C.D.1

2525

6.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往

3個(gè)場館A,5c開展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時(shí),場館B僅有2

名志愿者的概率為()

32163

A-B.—C.—D.-

550114

7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4(-3,4)的直線

/的一個(gè)法向量為(1,-2),則直線/的點(diǎn)法式方程為：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=。，化簡得

x-2丁+11=0.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)”(1,2,3)的平面的一個(gè)法向量為

m=（i,<2）,則該平面的方程為（）

A,x-4y+2z+l=0B.%-4y-2z+l=0

C,x+4y-2z+l=0D.%+4y-2z-l=0

8.曲線。是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)耳鳥。,0）和鳥（0,1）的距離的和等于2&的點(diǎn)的軌跡.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①曲線。關(guān)于x軸、y軸均對稱；

②曲線C上存在點(diǎn)尸，使得歸閭=半；

③若點(diǎn)尸在曲線。上，則△片P鳥的面積最大值是1；

④曲線。上存在點(diǎn)尸，使得/可尸工鈍角.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（冗冗\(yùn)

9.已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+044〉0,。〉0,一?<°<萬）的部分圖象如圖所示，貝!|（）

A.“X）的最小正周期為兀

JT11

B.當(dāng)X60,—時(shí)，/（%）的值域?yàn)橐籛5

C,將函數(shù)外力的圖象向右平移4個(gè)單位長度可得函數(shù)g（x）=sin2x的圖象

6

D.將函數(shù)/（尤）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)

[T，0）對稱

10.已知Z],Z2是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若4=2，則Z1+Z2與Z]Z2均為實(shí)數(shù)B.若Z1+Z?與Z]Z2均為實(shí)數(shù)，則4=馬

C.若4/2均為純虛數(shù)，則2為實(shí)數(shù)D.若無為實(shí)數(shù)，則4*2均為純虛數(shù)

Z2Z2

11.已知函數(shù)〃%)及其導(dǎo)函數(shù)/'(力的定義域均為R，若“可是奇函數(shù)，/(2)=-/(1)^0,且對

任意％”R,/(x+y)=/(x)/,(y)+/,(x)/(y),則()

A-r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.￡f(k)=lD.￡f(k)=-l

k=lk=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={—2,0,2,4},3={乂|無一3|<根},若AB=A,則機(jī)的最小值為.

a—2c—

13.已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時(shí)，b<2a+3cKbc=a1>則----的取值范圍是.

b

14.已知棱長為8正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長為2的小正四面體(如圖)，剩余中間

部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)(容器壁厚度忽略不計(jì))，則該球形容器表面積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)g(x)一公2—2xlnx+2x.

4

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求g(x)的圖象在點(diǎn)(Lg(D)處的切線方程；

(2)若g'(x)20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22

16.已知橢圓C:二+4=l(a〉6〉0)的右焦點(diǎn)工與拋物線/=4x的焦點(diǎn)重合，且其離心率為白

ab

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，線段"N的中點(diǎn)為尸，求證：kMN-k0P

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為定值.

17.如圖，在正四棱臺ABC?！?4G。中，A5=2A耳=4.

(1)求證：平面ABCD1平面ACGA；

(2)若直線用C與平面ACG4所成角的正切值為魚，求二面角8-CG-A的正弦值.

6

18.某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北

區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求.

就餐區(qū)域

性合

南北

別計(jì)

區(qū)區(qū)

男331043

女38745

合

711788

計(jì)

(1)現(xiàn)在對學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)

?=0.100的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？

(2)張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為3；如果前一

12

天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為二，如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，

33

乙餐廳的概率均為:?張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為工，

/442

a0.1000.0500.0250.010

2.7063.8415.0246.635

(i)求第2天他去乙餐廳用餐的概率;

(ii)求第九(HeN*)天他去甲餐廳用餐的概率

n(ad-be)’

附：z2n=a+b+c+d；

(a+6)(c+d)(a+c)(〃+d)

19.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)九)滿足：對于任意的尤eR,者B有”(％+2兀)=/7(力+/2(2兀)，則稱函數(shù)

,尤)具有性質(zhì)尸.

⑴判斷函數(shù)/(x)=2羽g(x)=cosx否具有性質(zhì)尸；(直接寫出結(jié)論)

(2)己知函數(shù)/(x)=sin(0x+9)［<0<'!」9|<_|］，判斷是否存在。，0，使函數(shù)/(%)具有性質(zhì)

P?若存在，求出私。的值；若不存在，說明理由；

(3)設(shè)函數(shù)/(￡)具有性質(zhì)尸,且在區(qū)間［0,2可上的值域?yàn)?⑼,〃2切.函數(shù)g(x)=sin(/(x)),

滿足g(x+27i)=g(x),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/(2兀)=2兀.

福州三中2023-2024學(xué)年高三第十六次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（1—融）6的展開式中/的系數(shù)為160,則（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，再令廠=3,即可求出展開式中V的系數(shù)，從而得解.

【詳解】二項(xiàng)式（l—ax）6展開式的通項(xiàng)為（+]=c：（—依丫（其中04r<6且reN）,

令r=3可得方=或（-ax）3=或（—”-%3,

所以C：（-?/=160,解得a=—2.

故選：B

2.設(shè)5“是等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若S3=4,%+4+&=8,則^=（）

753

A.2B.—C.—D.一

337

【答案】B

【解析】

【分析】S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，得到方程，求出品=28,得到答案.

【詳解】由題意得S6-S3=8,S6=S3+8=4+8=12,

因?yàn)镾3，S6_S3，S9—S6成等比數(shù)列，故（S6—S3）2=S3（Sg_S6），

即82=4（89—12）,解得$9=28,

S9287

故豆-17-

故選：B

3.某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：S）分別為：13.09,13.15,12.90,

13.16,12.96,13.11,413.24,貝U下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為13.155，則x=13.15

B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為13.15,則x=13.15

若該八名選手成績的極差為0.34,則12.90<x<13.24

D.若該八名選手成績的平均數(shù)為13.095,則x=13.15

【答案】A

【解析】

【分析】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論x判斷C.

【詳解】對A,因?yàn)?x75%=6,當(dāng)％=13,八名選手成績從小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為

13.15+13.16

=13.155,但尤=13W13.15,故A錯(cuò)誤;

2

對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確;

對C,當(dāng)x<12.9,極差為13.24—x>0.34,不符合題意舍去;

當(dāng)12.90VxW13.24,極差為13.24—12.9=0.34,符合題意

當(dāng)x>13.24,極差為x—12.9>0.34不符合題意舍去，綜上，12.904尤413.24,C正確;

12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+x

對D,平均數(shù)為=13.095,解得x=13.15,故D正確.

8

故選：A

4.在j45c中,C=—,AB=y/13,AC+BC=5,則的面積為（）

A.73B.2出C.3A/3D.4A/3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理可求解ab=4,由面積公式即可求解.

【詳解】在中，C=|,AB=c=y/13AC+5C=b+a=5,

由余弦定理可得c?="+/.2abcos^=(a+-2ab-ab,解得次?=4,

=—absin—=’倉必

所以SMC

232*5

故選：A

jr17

5.已知0夕<5，sincifsin/=歷，cosacos/=而，則cos2a=()

24

A.0Bc.—D.1

-125

【答案】A

【解析】

【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合

cos2a=cos[(cr+/?)+(o-/?)]=cos(cr+/?)cos(cr-j3)-sin(a+/?)sin(<z-0求解.

17

【詳解】已知sinosin￡=—,coscifcosB--,

1010

則cos(cr-p)-cosacos+sinorsin=—+—=—,

cos(cif+尸)=cosacosy^-sincifsin^=,

兀71

O</?<6/<5，..O<6/—,<5,0<。+,<兀，

則sin（tz-0）=-y1-cos2（?-/?）=—,sin（tz+'）=^/l-cos2（?+/?）=—,

則cosla=cos［（a+尸）+（a-尸）］=cos（?+尸）cos（（z-/?）-sin（（z+13）sin（a-/3）

3443c

=-x------x—=0.

5555

故選：A.

6.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往

3個(gè)場館A5C開展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時(shí)，場館B僅有2

名志愿者的概率為（）

32163

A-B.—C.—D.一

550114

【答案】B

【解析】

2

【分析】首先得甲去場館區(qū)或。的總數(shù)為150x—=100,進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概率.

3

（r2r2\

【詳解】不考慮甲是否去場館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為C+戲”A；=150,

、A?）

2

甲去場館A,B,C的概率相等，所以甲去場館5或C的總數(shù)為150x—=100,

3

甲不去場館A,分兩種情況討論，

情形一，甲去場館8,場館8有兩名志愿者共有C；C；國=24種；

情形二，甲去場館C,場館8場館C均有兩人共有C；C；=12種，

場館B場館A均有兩人共有C：=6種，所以甲不去場館A時(shí)，

24+12+64221

場館B僅有2名志愿者的概率為----------=——二一.

10010050

故選：B.

7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4(-3,4)的直線/

的一個(gè)法向量為(1,-2),則直線/的點(diǎn)法式方程為：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=0,化簡得x—2y+11=0.

類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)”(1,2,3)的平面的一個(gè)法向量為加=(1,T,2),則該平面

的方程為()

A.x-4_y+2z+l=0B.x-4y-2z+l=0

C.x+4y-2z+l=0D.x+4y-2z-l=0

【答案】A

【解析】

分析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，利用平面法向量與面內(nèi)任意向量垂直，即可求得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)尸(%,%z),

則=(無一l,y_2,z_3)

，平面法向量為根=(LT,2),

lx(x-l)-4x(y-2)+2x(z-3)=0

x—4y+2z+l=0

故選：A.

8.曲線C是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)^(-1,0),F2(1,0)和耳(0,1)的距離的和等于2、歷的點(diǎn)的軌跡.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①曲線c關(guān)于x軸、y軸均對稱；

②曲線c上存在點(diǎn)P,使得歸閶=竽；

③若點(diǎn)尸在曲線C上，則△4PK的面積最大值是1；

④曲線C上存在點(diǎn)尸，使得/耳尸馬為鈍角.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

22

【分析】根據(jù)題意得曲線C的方程為^(x+l)+/+^(x-l)+/+G+(y—1)2=2后，可判斷①錯(cuò)

誤；②假設(shè)結(jié)論成立，推得曲線C不存在；當(dāng)點(diǎn)P為工點(diǎn)時(shí)，△耳P瑪?shù)拿娣e最大，最大值是1,故③正

確；在曲線C上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)P(0,>),驗(yàn)證/耳尸馬〉90即可判斷④正確.

【詳解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(羽丁)，由題意可知C的方程為

j(x+])2+)2+J(x-1)2+y2+也2+(y-1)2=2^2■

①錯(cuò)誤，在此方程中用-X取代X,方程不變，可知c關(guān)于y軸對稱；

同理用-y取代y,方程改變，可知。不關(guān)于x軸對稱，故①錯(cuò)誤.

②錯(cuò)誤，若“=半,則忸團(tuán)+忸國=殍<國聞=2,

曲線。不存在，故②錯(cuò)誤.

③正確，凰+|P與閆期|+|P4|+歸閶=2"

2

P應(yīng)該在橢圓Q:土+/=1內(nèi)(含邊界)，

2

曲線C與橢圓。有唯一的公共點(diǎn)招(0,1),此時(shí)閨閭=2,|0閭=1,

當(dāng)點(diǎn)尸為工點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值是1,故③正確；

④正確，由③可知，取曲線C上點(diǎn)招(0,1),此時(shí)/可罵工=90,

下面在曲線C上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)P(0,y),0<y<l,

則2jl+/+1—y=20，

把2丁+/=2a-1+y兩邊平方,

整理得3y2+(2-4&)y+4后-5=0,

解得。=4四一2；(8一4五),即或

因?yàn)?<4后一5<i，則取點(diǎn)p[o,生\二2,

此時(shí)/月「月〉90故④正確.

故答案為：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知函數(shù)/(x)=45m(0》+9)卜〉0,0〉0,-5<°<]]的部分圖象如圖所示，則()

?%\

A./(九)的最小正周期為兀

JT11

B.當(dāng)XE0,—時(shí)，/(%)的值域?yàn)橐?Q

C.將函數(shù)/(%)的圖象向右平移四個(gè)單位長度可得函數(shù)g(x)=sin2x的圖象

6

D.將函數(shù)/(X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)

,o1對稱

【答案】AD

【解析】

【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后的解

析式，判斷新圖象的對稱中心.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A=l,的最小正周期為T=4石■-q=兀，A選項(xiàng)正確；

T=7t=—,①=2,/I—I=smI2x—+I=1,

rtc兀兀At(ir-r\i47T.兀

則2x—F(p——\-2kli(keZ),由---</<一,行(p=一,

62226

所以/(%)=5也12%+^].

,「c兀1,C兀兀7兀

當(dāng)X￡0,一時(shí)，2%H---￡—,----sin[2%+^-je4了(%)的值域?yàn)?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

L2J6664

將函數(shù)八％)的圖象向右平移：個(gè)單位長度可得函數(shù)g(x)=sin21—￡=sin12x—向的圖象,

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

將函數(shù)"％)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)丸(x)=sin卜+看]

的圖象，

=sin+=sin7r=0,函數(shù)"(x)=sin\+^]的圖象關(guān)于點(diǎn),0對稱，D選項(xiàng)正確

故選：AD

10.己知4/2是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若馬=馬，則4+Z2與ZE均為實(shí)數(shù)B.若Z|+Z2與Z]Z2均為實(shí)數(shù)，則4=馬

C.若4衣2均為純虛數(shù)，則1k為實(shí)數(shù)D.若且為實(shí)數(shù)，則4/2均為純虛數(shù)

Z2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義即可求解ABC,舉反例即可求解D.

【詳解】設(shè)4=.+歷，z2=c+di(a,Z?,c,d￡R,Z?w0,dw0).Z]+z2=Q+c+(Z?+d)i,

平2=ac-bd+[ad+bc^\.

若Z]=Z2，則。=。，b+d=3所以4+Z2=2awR,2^2+Z22GR,所以A正確;

若4+z2與2理2均為實(shí)數(shù)，則/?+d=0,且必+/?c=0,又bwO,dwO,所以。=c,所以B正確;

若Z],Z2均為純虛數(shù)，則a=c=O,所以,=：￡R,所以C正確；

z?a

Y.Z1

取Z=2+2i,z2=l+l,則心為實(shí)數(shù)，但z?不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤.

Z2

故選：ABC.

11.已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(九)的定義域均為R,若/(X)是奇函數(shù)，/(2)=—/⑴W0,且對任

意x,yeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),則()

A.r(i)=-1B./(6)=o

20242024

c.￡f(k)=lD.￡f(k)=-l

k=lk=l

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?(x+y)=〃x)r(y)+r(X)/(y)，

令x=y=l得：/(2)=2/(1)/,(1),又因?yàn)椤?)=_/(1片0,所以/")=_:，故A正確；

因?yàn)椤?是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以/(。)=0,且/'(￡)為偶函數(shù).

令y=i,可得：/(x+i)=/(x)r(i)+r(x)/(i)@

再用一刀代替x可得：/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/(x)r(i)+r(x)/(i)

=⑴②

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)^/(x+l)=-/(x)-/(x-l)

所以：/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(x+l)=/(%+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以“可是周期為3的周期函數(shù)，所以：/(6)=/(3)=/(0)=0,故B正確.

因?yàn)椋篺(O)=O,f(2)=-f(l)^f(l)+f(2)=0,所以:/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：2“左)=674X[/⑴+〃2)+〃3)]+[/⑴+〃2)]=0,故c錯(cuò)誤；

k=\

又因?yàn)?'（力亦為周期為3的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以/'（—2）=/'⑴=—g=/'（2）

令1=1,>=0可得：/（i）=/（i）r（o）+r（i）/（o）^r（o）=i=r（3）,

所以r（i）+r（2）+r（3）=o.

2024

所以：￡/'（左）=674義[0⑴+廣（2）+廣（3）]+[0⑴+廣（2）]=-1.故D正確.

k=\

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于可導(dǎo)函數(shù)/（%）有：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

若定義在R上的函數(shù)/（%）是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為T，則其導(dǎo)函數(shù)/'（x）也是周期函數(shù)，且周期也為T.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={—2,0,2,4},3={用無一3區(qū)時(shí)，若AB=A,則加的最小值為.

【答案】5

【解析】

【分析】由A3=A可得A。8,解出集合8后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】由AB=A,故

由機(jī)，^—m+3<x<m+3i

4<m+3fm>1

故有「，即〈廠，即加N5,

-2>-m+3[m>5

即加的最小值為5.

故答案為：5.

a—2c—

13.已知三個(gè)實(shí)數(shù)以b、c,當(dāng)c>0時(shí)，且=,則------的取值范圍是.

b

【答案】（一甩g

【解析】

分析】當(dāng)c>0時(shí)滿足：b,,2a+3c且秘=/,可得￡,,2a+3c,進(jìn)而得4—2ac—3c??0,解得

ca3

或￡<一1.于是二^=竺之=￡_2（￡[=/（與，令￡=/,可得加）=”2?,利用二次函數(shù)的單調(diào)性

abaa\ajaa

即可求解最值.

【詳解】當(dāng)c>0時(shí)滿足：6,,2。+3。且拉?=",

2

?2a+3c,§Pa2-2ac-3c2<Q，進(jìn)而（與？一2工一3,,0,解得一啜己3.

cCCC

C]C

所以一2一或一V—1,

a3a

a-2cac-2c1c（cVc

A―2―\——j（一），

baaya）a

令土=t,tG—,+oo|o（-oo-l],

.?./（/）=—2〃+/=—2,—；]+

由于feI，（-℃-1]

所以在/?（?,1]單調(diào)遞增，在“管，？區(qū)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí),璃當(dāng)"T時(shí)，/（T）=—3，

3秒，

所以

z1,

故答案為：寡？y.

14.已知棱長為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間

部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為.

【答案】48K

【解析】

【分析】先求出正四面體尸-A5C的外接球半徑，再利用0。1=尸。-尸。],結(jié)合外接球知識求出該八面

體的外接球半徑即可求解.

【詳解】如圖：

設(shè)。為正四面體尸—ABC的外接球球心，。|為的中心,“為_45。的中心，M為的中點(diǎn)，

由正四面體尸—ABC可知PH_L平面ABC,

因?yàn)锳Hu平面ABC,所以

又因?yàn)镻—ABC棱長為8,所以河=走*8=還，尸》=,82-(88］=巫,

33VI3J3

設(shè)正四面體外接球球心為。，則。在PH，則OP=QA=H為外接球半徑，

2

由A”2+O“2=AO2得［孚］+1乎一尺)=R，解得尺=2而，

即PO=2A/6,

在正四面體P—A31C中，易得4a=2萬下=26，po=J22r手：=孚，所以

4A/6

0。1=P0—POI=、一,

則該八面體的外接球半徑4。=q00；+=2百,

故答案為：48兀

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)g(x)=—/-奴2-2xlnx+2x.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求g(x)的圖象在點(diǎn)(Lg(D)處的切線方程;

(2)若g'(x)NO,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

9

【答案】(1)y—=0；

4

(2)ci<—.

2

【解析】

【分析】(1)把a(bǔ)=1代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)求出g'a),由已知分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.

【小問1詳解】

當(dāng)。=1時(shí)，g(x)一x?—2xlnx+2x,求導(dǎo)得g'(x)=三一2x-21nx,

559

則g(l)=—1,而g(l)=—,于是y——=—(X—1),即x+y——=0,

4-4-4

9

所以g(無)的圖象在點(diǎn)(1,g⑴)處的切線方程是x+j—=0.

4

【小問2詳解】

函數(shù)g(x)=Z%4-ax2-2xlnx+2x定義域?yàn)?0,+℃),求導(dǎo)得g'(x)=%3-2ax-21nx,

由g'(x)20,得令/(x)=f—^^,x>0,

XX

求導(dǎo)得f'(x)=2x-2-21nx=2x，+2d，令函數(shù)以X)=2/+2InX—2,X>0,

XX

顯然函數(shù)力(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,而飄1)=0,則當(dāng)Ov%V1時(shí)，h(x)<09f\x)<0,

當(dāng)%>1時(shí)，h(X)>QffV)>0,函數(shù)/⑺在(0,1)上遞減，在Qy)上遞增，/(%)min=/⑴=1，

因此2a<1,解得aV—，

2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是。三L.

2

22

16.已知橢圓。：\+27=1(?！?〉0)的右焦點(diǎn)工與拋物線>2=4%的焦點(diǎn)重合，且其離心率為￡.

ab

(1)求橢圓C方程；

(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線,與橢圓C交于N兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為P,求證：kMN-kOP

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為定值.

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由拋物線的焦點(diǎn)得橢圓焦點(diǎn)，即可結(jié)合離心率求解a,4c,

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合斜率公式即可求解.

【小問1詳解】

..?拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),

橢圓。的半焦距為c=l,

c]_______

又e=「=5'得。=2,b=Ja，-/=A/3-

22

...橢圓C的方程為土+匕=1

43

【小問2詳解】

證明：由題意可知，直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為丁=履+加(左。0),

y=kx+m

聯(lián)立口匚1,得(3+4左2)尤2+8bnx+4〃z2-12=0.

[43

A〉0,即加＜442+3,

設(shè)Af(4％),N(x2,y2),

8km,/、?6m

貝ij周+%=-3+4公'%+%=左(%+%)+2根=§+4左2'

.(4km3m

"〔一3+4左2'3+4+2

3m

k=3+4左2=3

op~4km—4k.

―3+4-2

17.如圖，在正四棱臺ABC?！?4GR中，A3=24與=4.

（1）求證：平面ABCD1平面ACG4；

（2）若直線4c與平面ACGA所成角的正切值為立，求二面角8-CG-A的正弦值.

6

【答案】（1）證明見解析

⑵也

17

【解析】

【分析】（1）將正四棱臺補(bǔ)成正四棱錐尸-A5CD,證明尸平面A3CD,再根據(jù)面面垂直的判定定理,

即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線片。與平面ACG4所成角的正切值求出棱臺的高，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),

求出平面5CG用的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【小問1詳解】

延長,四,CQ,DDX交于一點(diǎn)P,連接BD交AC于0；

P

由正四棱臺定義可知，四條側(cè)棱交于點(diǎn)P,且四棱錐尸—A6CD為正四棱錐,

即/，4=必=2。=?。，又點(diǎn)O分別為AC,的中點(diǎn)，

故尸OLACPOLBD,而ACBD=O,AC,8。u平面ABQ）,

故尸01平面ABCD,又POu平面ACQA,

18.某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北

區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求.

就餐區(qū)域

性合

南北

別計(jì)

區(qū)區(qū)

男331043

女38745

合

711788

計(jì)

(1)現(xiàn)在對學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)

?=0.100的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？

(2)張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為3；如果前一

12

天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為一，如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙

33

餐廳的概率均為張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為4，--

2442

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

(i)求第2天他去乙餐廳用餐的概率;

(ii)求第〃(?eN*)天他去甲餐廳用餐的概率

附：_______Mad-bcy______

n=a+b+c+d；

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

【答案】(1)沒有關(guān)聯(lián)

(2)(i)-；

8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)卡方的公式代入計(jì)算，與臨界值比較，即可求解；

(2)(i)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，結(jié)合全概率公式即可求解；(ii)根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定

義即可求解.

【小問1詳解】

零假設(shè)“。：在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒有關(guān)聯(lián)，

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，*=88x(33x7-10x38)土°&37<2706，

43x45x71x17

依據(jù)a=0.100的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，

因此可以認(rèn)為Ho成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

設(shè)4="第i天去甲餐廳用餐”，用="第i天去乙餐廳用餐”，

C,="第i天去丙餐廳用餐”，

則4,4.，G兩兩獨(dú)立，，=1,2,-n,

由題意可得，p(a)=p(3j=；,P(G)=；，p(a+4a)=g，

p(a+iB)=g，p(aMG)=:，p(%|a)=:,網(wǎng)/匕)=}

P(G+M=§，

(i)由為=生兒+B2q,結(jié)合全概率公式可得，

P(3J=P(與4+32G)=P(A)P(因A)+P(G)P(32|G)

11113

=—x——I——X—=—,

42228

所以張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為、3

O

(ii)記第〃(〃eN*)天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為

,11

則nPi=d=4'，=5，

由全概率公式可得a=P(4)=P(AA-1+442T+4G-)

=P(44T)+P(4%J+P(4GI)

=P(4_1)P(A|4_1)+P(B?_1)P(A|B?_1)+P(C?_1)P(A|C?_1)

故P“=5Pn-l+-縱-1+122)①，

同理可得％=gp“_i+g*(“22)②，

2

③,pn+qn+rn=l@,

由①②可得Pn=%§縱一，由④可得P-i=1-紜T—*1，

代入②中可得縱=J—,即=

乙乙JN1°J

口1111

*3—43-12)

故數(shù)列［