2024年廣東高考數(shù)學(xué)模擬試題 (二)

數(shù)學(xué)試題卷

考生須知

1.本卷共4頁，四大題19小題，滿分150分，答題時(shí)間120分鐘；

2.答題時(shí)須在答題卡上填涂所選答案（選擇題），或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與步驟（非選擇題）,

答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；

3.考試結(jié)束時(shí)，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙.

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.）

1.從長度為1,3,5,7,9的5根木棒中隨機(jī)選擇3根，其能構(gòu)成三角形的概率是

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2.已知復(fù)數(shù)z滿足i（z-l）=1,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知集合4=｛鈍角｝,B=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,則

A.4=BB.B=CC.AQBD.BQC

4.長度單位“米”的定義起源于法國.1米的長度最初定義為通

過巴黎的子午線上從地球赤道到北極點(diǎn)的距離的千萬分之一

（如右圖），并與隨后確定了國際米原器.隨著人們對(duì)計(jì)量學(xué)認(rèn)

識(shí)的加深，米的長度的定義幾經(jīng)修改.但現(xiàn)在的定義與這一定

義的數(shù)值仍十分接近.將地球視作一標(biāo)準(zhǔn)球體，估算地球體積,

下列最接近的是

A.IO10km3B.1011km3C.1012km3

D.1013km3

5.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bcosC,acosA,ccosB成等差數(shù)列，當(dāng)△ABC

的外接圓半徑R=2時(shí)，△ABC周長的最大值為

A.2V3B.4V3C.6A/3D.8V3

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

6.若函數(shù)/(x)=產(chǎn)與其反函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以是

A.1B.V2C.2D.e

7.拋物線E:y2=%的焦點(diǎn)為尸，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)為4B(點(diǎn)

4與P在拋物線同側(cè))，則方?麗+方?麗的最小值為

A.1B.2C.3D.4

8.在空間直角坐標(biāo)系。久yz中，A(8,0,0),B(0,8,0),C(0,0,8),則三棱錐?！狝BC內(nèi)部整點(diǎn)(所有坐標(biāo)

均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是

A.35B.36C.84D.21

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)

正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.)

9.已知與三條直線x+y=1,尤+ay=2,工+2y=3都相切的圓有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值可

以是

A.0B.1C.2D.3

10.已知隨機(jī)性離散變量X的分布列如下，則D(X)的值可以是

X012

Paa+ba-b

11.由倍角公式cos2%=2cos?無一1可知，cos2》可以表示為cos%的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)

以幾CN*)次多項(xiàng)式%(t)=。九嚴(yán)+H-----1-art+a0(其中a.恤-力…，a。CR),使得

cosnx=^(cosx),這些多項(xiàng)式匕(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可

得

2

A.P3(t)=4t3-3tB.P4(0=8t4-8t+1

—L/CVS+l

C.cos54=-----D.sin54。=~

64

三、填空題(本題共3小題，每小題5分,共15分.)

12.已知實(shí)數(shù)％,y滿足-1<%<y<1,則久+y的取值范圍是_________

數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

13.如右圖，在長方體4BCD-&B1C1D1中，已知4。=1,=2,

AAx=a,若對(duì)角線B%上存在一點(diǎn)P,使得西?時(shí)=0,則

a的最大值是.

14.已知函數(shù)/（九）的定義域和值域都為N*,且/（%）單調(diào)遞增，滿

足對(duì)任意nEN*,都有f(“"))=3n,則f(2024)=

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.（13分）

已知在銳角AZBC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,記其面積為S,則有

4S=a2+b2—c2

（1）求C；

（2）若c=V^,求S的最大值.

16.(15分)

如右圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD是矩形.已知4B=

3AD=2,PA=2,PD=2V2,ZPAB=60°.

（1）證明：AD1平面PAB；

（2）求二面角P-BO—4的正切值.

17.（15分）

甲參加一個(gè)“拋骰子”的游戲，其規(guī)則是：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子（六面）幾次，如果這n次拋

擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于2n,則算過關(guān).

（1）甲在這個(gè)游戲中，最多能過幾關(guān)？

（2）求甲在這個(gè)游戲中，連過前3關(guān)的概率.

18.（17分）

設(shè)4,B是拋物線C:y2=4%上異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn).

數(shù)學(xué)試卷第3頁（共4頁）

(1)探究直線0A,OB,AB的斜率七，k2,k3之間的關(guān)系；

(2)設(shè)直線2B交無軸于點(diǎn)F(1,O)，若C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)功(i=1,2,3),使得△ABD的面積

等于4夜，求直線力B的方程.

19.(17分)

已知有窮等差數(shù)列(??)的公差d大于零.

(1)證明：不是等比數(shù)列；

(2)是否存在指數(shù)函數(shù)y=/(%)滿足：y-/(x)在％=處的切線的交工軸于(a2，。)，y=/(%)

在x=a2處的切線的交x軸于(a3,0),y=/(%)在x=am_r處的切線的交工軸于(am,0)?若存

在，請(qǐng)寫出函數(shù)y=/(久)的表達(dá)式，并說明理由；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若數(shù)列｛的J中所有項(xiàng)按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列｛%｝,求出所有可能的m的取

值.

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.從長度為1,3,5,7,9的5根木棒中隨機(jī)選擇3根，其能構(gòu)成三角形的概率是

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2.已知復(fù)數(shù)z滿足i（z-1）=1,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知集合A=｛鈍角｝,B=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,則

A.a=BB.B=CC.AQBD.BUC

4.長度單位“米”的定義起源于法國.1米的長度

最初定義為通過巴黎的子午線上從地球赤道到

北極點(diǎn)的距離的千萬分之一（如右圖），并與隨

后確定了國際米原器.隨著人們對(duì)計(jì)量學(xué)認(rèn)識(shí)

的加深，米的長度的定義幾經(jīng)修改.但現(xiàn)在的定

義與這一定義的數(shù)值仍十分接近.將地球視作

一標(biāo)準(zhǔn)球體，估算地球體積，下列最接近的是經(jīng)姣與經(jīng)度

A.IO10km3B.1011km3C.1012km3D.1013km3

5.在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bcosC,acosA,ccosB成等差

數(shù)列，當(dāng)△ABC的外接圓半徑R=2時(shí)，△ABC周長的最大值為

A.2V3B.4V3C.6V3D.8H

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

6.若函數(shù)/(久)=〃與其反函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以是

A.1B.V2C.2D.e

7.拋物線E:/=%的焦點(diǎn)為尸，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的兩條切線，

切點(diǎn)為4B(點(diǎn)4與P在拋物線同側(cè))，則方?麗+西?麗的最小值為

A.1B.2C.3D.4

8.在空間直角坐標(biāo)系。xyz中，4(8,0,0),B(080),C(0,0,8),則三棱錐?！狝BC內(nèi)部

整點(diǎn)(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是

A.35B.36C.84D.21

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得。分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng),

每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.)

9.已知與三條直線x+y=l,x+ay=2,x+2y=3都相切的圓有且僅有兩個(gè)，則

實(shí)數(shù)a的值可以是

A.0B.1C.2D.3

10.已知隨機(jī)性離散變量X的分布列如下，則D(X)的值可以是

X012

Paa+ba-b

11.由倍角公式cos2x-2cos?x—1可知，cos2x可以表示為cos%的二次多項(xiàng)式.一般

地，存在一個(gè)n(neN*)次多項(xiàng)式匕(t)=與嚴(yán)+H-----1-art+a0(其中

an,an-i，...,a0ER),使得cosnx=Pn(cosx'),這些多項(xiàng)式％(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)

式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得

A.P3(t)=4t3—3tB./(t)=8d—8/+1

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足一1＜久＜y＜1,則x+y的取值范圍是

數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

13.如右圖，在長方體ABC?！?B1C1A中，已知

AD=1,AB=2,AA1=a,若對(duì)角線BD1上存

在一點(diǎn)P,使得西?西=0,則a的最大值是

14.已知函數(shù)f(n)的定義域和值域都為N*,且〃久)單調(diào)遞增，滿足對(duì)任意neN*,

都有=3n,則/(2024)=.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(13分)

已知在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,瓦c,記其面積為S,則有

4S=a2+b2—c2

(1)求C；

(2)若c=/，求S的最大值.

16.（15分）

如右圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCC是矩

形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2或，

ZPAB=60°.

(1)證明：AD1平面PAB；

(2)求二面角P-BD-A的正切值.

17.(15分)

甲參加一個(gè)“拋骰子”的游戲，其規(guī)則是：在第九關(guān)要拋擲一顆骰子(六面)n次,

如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于2聯(lián)，則算過關(guān).

(1)甲在這個(gè)游戲中，最多能過幾關(guān)？

(2)求甲在這個(gè)游戲中，連過前3關(guān)的概率.

數(shù)學(xué)試卷第3頁(共4頁)

18.（17分）

設(shè)4,B是拋物線C:/=4%上異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn).

（1）探究直線OB,AB的斜率的，k2,七之間的關(guān)系；

（2）設(shè)直線4B交支軸于點(diǎn)F（1,O）,若C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)Di（i=1,2,3）,使得

△的面積等于4A泛，求直線的方程.

19.（17分）

已知有窮等差數(shù)列｛an｝的公差d大于零.

（1）證明：｛a"不是等比數(shù)列；

（2）是否存在指數(shù)函數(shù)y=/（久）滿足：y=/（久）在％=的處的切線的交支軸于

（。2,0），y=y（無）在久=a2處的切線的交為軸于（。3，。），…，y=/'（無）在久=am-i處

的切線的交x軸于（%?，0）?若存在，請(qǐng)寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，并說明理由；若

不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列｛an｝中所有項(xiàng)按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列｛%｝，求出所有

可能的m的取值.

數(shù)學(xué)試卷第4頁（共4頁）

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.）

題號(hào)12345678

答案ADCBCBDA

二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)

正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.具體得分如【附】評(píng)分表.）

題號(hào)91011

答案BCABCABD

m評(píng)分表

9-11題（每題滿分6分）得分情況

2個(gè)選對(duì)1個(gè)（選A或D）3分

（如AD）選對(duì)2個(gè)（選AD）6分

正確選項(xiàng)個(gè)數(shù)選對(duì)1個(gè)（選A或B或C）2分

3個(gè)

選對(duì)2個(gè)（選AB或BC或AC）4分

（如ABC）

選對(duì)3個(gè)（選ABC）6分

（注：有選錯(cuò)的得0分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

題號(hào)121314

1

答案（-2,2）3885

4

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共4頁）

15.(13分)

(1)由題意，4S=a2+b2—c2,又由正弦定理S=[absinC,得

a2+b2—c2=4S=2absinC

q2+入2_

=>sinC=-------------=cosC(由余弦定理)

2ab

又Ce(o(),所以C=：.

(2)由余弦定理，

a2+b2-c2V2

--------------=cosC=—

lab---------------2

=>“2+廬=y/2ab+2

由基本不等式，a2+b2>2ab,即y/2ab+2>2ab,解得ah<V2+2,

由正弦定理,

1V2

S=-absinC=—ab

24

V2,r-.1V2

<T(V2+2)=-+T

故S的最大值是a+乎，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到.

16.(15分)

(1)在△PAD中，由題意P4=AD=2,PD=2>/2,

可得PT!2+4。2=p￡)2,所以4。iPA.

又四邊形ABC。是矩形，所以力D_LAB.

又24C,所以2。1平面PAB.

(2)如圖，過點(diǎn)P作PHLAB于點(diǎn)4,過點(diǎn)“作于點(diǎn)E,連接PE.

因?yàn)?平面PAB,PHu平面PAB,

所以AD1PH,又PH1AB,

所以PH1平面ABCD,又HELBD,

所以HE是PE在平面ABCD上的投影.

由三垂線定理可知，PELBD,

所以ZPEH是二面角P—BD—4的一個(gè)平面角.

由題意得，PH=PA-sin60。=遮,

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)

AHPA-cos60°=1,BH=AB—AH=2,

BD=y/AB2+AD2=V13,HE=黑BH=矗,

所以在RtaPHE中，tan/PEH=^=￥=避，

HEV-1=34

所以二面角P-BD-A的正切值是手.

4

17.（15分）

（1）因拋擲一次骰子，所得到的最大點(diǎn)數(shù)是6,

而6X4>24，6X5<25,

因此，當(dāng)"25時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不可能大于2幾，因此甲最多過4關(guān).

（2）設(shè)事件人幾為“第九次過關(guān)失敗”，則其對(duì)立事件五為“第九次過關(guān)成功”.

第一關(guān)：P（五）=1—P（4）=l—”|；

第二關(guān)：4所含基本事件數(shù)為方程久+y=a，當(dāng)a分別取234時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，則

盤+戲+或=6

所以，過此關(guān)的概率為P（石）=1—P（A2）=I—白=]

66

第三關(guān)：&所含基本事件數(shù)為方程％+y+z=a，當(dāng)a分別取3,4,5,6,7,8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，則

廢+廢+盤+《+鬣+b=56

所以，過此關(guān)的概率為P（a）=1—P（4）=1—署=條

所以連過前三關(guān)的概率為

___2520100

P（4）PQ42）P（金）/X%X方=很

18.（17分）

（1）；+*=；,理由如下：

fcl上243

由題意4,B是拋物線=4%上異于。（0,0）的兩點(diǎn)，

設(shè)4（尤1，%）,3（久2，%），則yl=4Kl，資=4x2，

故

11x

?=i,=yi1y2=yi+丫2

kik2yiy24yl4y24

由題意知的斜率存在，故

數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共4頁）

]=久2一久1=無一無='2+%

自先-714(力-%)4

44rli11

W—k]+—k?=—七.

(2)由題意知直線4B經(jīng)過點(diǎn)尸(1,0),若直線AB的斜率不存在，此時(shí)其方程為久=1,

不妨取4(1,2),8(1,-2),此時(shí)

1廠

^AABO=]X1X4=2<4A/2

此時(shí)曲線C:y2=4%在％=1左側(cè)的部分上不存在點(diǎn)。，使得△ABD的面積等于4立，

曲線C:/=4久在光=1右側(cè)的部分上將存在兩點(diǎn)。4=1,2),使得小的面積等于4遮，此時(shí)

C上存在兩個(gè)點(diǎn)=1,2),使得△4B4的面積等于4位，不合題意.

當(dāng)2B斜率存在時(shí)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)的斜率為k,k>0,"J

設(shè)和AB平行的直線1和拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為D(9，嗎),

由于k>0,此時(shí)切線]和拋物線在第一象限內(nèi)的部分相切

此時(shí)y=2y,yr=,則

12

k=,=-

際m

g

則畦)，

=

設(shè)直線AB的方程為y=磔工一1),聯(lián)立fy2^~x1)，

得V-於-4=0,A=g=16>0,

由韋達(dá)定理%+丫2=3yly2=-4,

故

MB|一jl+,2,4%+丫2)24yly2—J+11164(k2+1)

k2JH116-k2

點(diǎn)0(表十)到直線AB的距離為

+k|

d=

Vi+k2VT+k2

故

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共4頁)

_14(/c2+1)L+M_2(小+1貴

s^BD_2.-P-.VTTP—一法—

令

3

則(耳亙)=(/)二所以與亙=應(yīng)，

解得k=1,則