湖南省長沙市某中學(xué)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)高考前保溫卷數(shù)學(xué)試題+答案解析

絕密★啟用前

長郡中學(xué)2024屆考前保溫卷

業(yè)/丁，、憶

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合/=切了=2中，集合屋{小23},則一相=（）

A.（7,3）B.（0,3）C.[1,3]D.[1,3）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合4={x|xNl},再結(jié)合集合的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】由題意，可得集合2=5了=2忖}={,了21},即集合/={x|x?l},

又由集合8={中23},可得"3={小<3},

所以Ac除B=|x|l<x<3}=[1,3）.

故選：D.

—Z

2.已知z=l-----,則復(fù)數(shù)2=（）

1+i

A.2+iB.2-iC.1-iD.-1+i

【答案】C

【解析】

—z

【分析】設(shè)2=。+歷（〃，Z）eR）,代入Z=1-------,利用復(fù)數(shù)相等求解.

1+1

【詳解】設(shè)z=a+bi（q,Z?eR）,則z=a—Z?i.

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因?yàn)閦=l———,所以a-歷=］一。+』

1+i1+i

即(a-bi)(l+i)=l+i-(a+bi),

整理得2a+b+ai=l+i,

2a+b=1

所以《

a=\

o=l

解得、，，

b=-l

所以z=1-i.

故選：C

3.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時(shí)歷法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動(dòng)人

民的智慧.四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩

歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2

個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）

1151

A.—B.—C.—D.一

4623236

【答案】C

【解析】

【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.

4xC：5

【詳解】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為尸=7^=不■.

故選：C.

4.已知命題）：點(diǎn)（。*）在圓+y2=1內(nèi)，則直線"+勿=1與c相離；命題4：直線/上直線加，mil

平面。，則/_La.下列命題正確的是（）

A

A.P0B.pA（-，^）C.（^7?）vqD.（^p）Aq

【答案】B

【解析】

【分析】分析夕，4真假性后判斷選項(xiàng)

【詳解】對(duì)于命題D點(diǎn)（。涉）在圓。：/+72=1內(nèi)，貝|]°2+/<1，故圓心到直線依+勿=1距離

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d=>1,直線與圓相離,P為真命題,

對(duì)于命題夕，/與a位置關(guān)系不確定，夕為假命題,

選項(xiàng)中只有2A（」q）為真命題.

故選：B

5.已知數(shù)歹｝滿足%+3%+3?%+…+3"T%=；（〃￡N*）,則?！?（）

1111

A.—B.--C.—D.——

3〃3""3"3向

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，應(yīng)用作差法可得3"-%“=；,進(jìn)而求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證為是否滿

足通項(xiàng)公式.

【詳解】由題設(shè)，al+3a2+32%+…+3"T%=■|①，則4+3a?+3?%+…+（〃之2）②,

①-②得：3"T%=g_T=V（〃N2）,

333

所以%=提（"22）,由①知％也滿足上式，故4=上（“GN*）-

故選：C.

6.若?！?］〉0,則“a+6<2”的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.—F—<1B.ab<\C.a2+b2<2D.-J~a<yj2—b

ab

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)命題的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行賦值驗(yàn)證即可

【詳解】因?yàn)?/p>

對(duì)于A,當(dāng)Q+6<2,^La=b,明顯可見，一+—<1不成立，故必要性不成立，A錯(cuò)誤；

2ab

對(duì)于B,當(dāng)a+b<2,0<b<2-a,得。/）<。（2—。）=一（［-1）2+1<1,必要性成立；當(dāng)ab<l,取〃=2,

b=—,明顯可見，a+b>2,則a+b<2不成立，充分性不成立；則B正確

4

31a1

對(duì)于C,當(dāng)Q+b<2,取Q=—力二一，明顯可見，/+/=―+―〉2,則/+/<2不成立，故必要

24416

性不成立，則C錯(cuò)誤；

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對(duì)于D,當(dāng)a+6<2成立，則0<a<2—b,明顯可見，后<成立;當(dāng)&<=2-Z?，兩邊平方,

同樣有a+6<2,充分性也成立，D錯(cuò)誤；

故選：B

7.若AJL8c的內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2bcos8cos4+acos25=2a,則當(dāng)tan/取

最大值時(shí)，tan23=()

A.275B.V3C.-V3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用弦定理邊化角，再借助二倍角公式、同角公式將tan/用tanB表示，然后用

均值不等式求解作答.

【詳解】在中，由正弦定理及2bcos8cos4+QCOS25=2。得：

2sin5cosBcosZ+sin/cos2B=2sin/,

TT

即tan/(2—cos2B)=2sinBcos5,顯然，Bw—,否則tanZ=O,5不是鈍角，否則tan/<0,A為

2

鈍角，矛盾,

.工c八.2sin5cos52sin5cos5=—2吁，—=-------

則n2為銳角，tan5>0,tanA=---------=..-----匚；3tan25+11

2-cos253osin-3+cos2B3tanB+

tan5

I1==T，當(dāng)且僅當(dāng)3tanB=」一，即tan3=@，3=二取“=”，

2、3tan8-------tan536

vtan5

所以當(dāng)3=三時(shí)，tan/取最大值9,此時(shí)tan23=tanX=C.

633

故選：B

2

8.已知函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意的xeR,f(x)+f(-x)=2,若函數(shù)歹=/⑺與y=2—亍力圖像的

交點(diǎn)為(七/)。=12…則Za+匕)的值為()

，=1

A.0B.2nC.nD.-n

【答案】c

【解析】

【分析】根圖象的對(duì)稱性可得X(X,+弘)的值.

1=1

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【詳解】因?yàn)槿我獾膞eR,/（x）+/（-%）=2,故/（x）的圖象關(guān)于e,1）對(duì)稱.

2

又y=2—=1+拉

2A+12T+1

設(shè)g（x）=F7F則g⑴的定義域?yàn)镽且g（—x）=F7I=F7I=—g（x）'

2

故g（x）為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而y=2-5節(jié)=l+g（x）,

故了=2-圖像關(guān)于（0,1）對(duì)稱.

故函數(shù)尸〃x）與了=2-示片圖像的諸交點(diǎn)關(guān)于8」）對(duì)稱，

n

不妨設(shè)再<》2<…<X"，則Z%=0，

i=l

且%+匕=%+%一i=,一="+匕3=2,其中14左4〃，

n“

故2工,=（%+匕）+（為+匕T）+…+（匕+%）=2,，所以ZN="，

1=11=1

n

故Z（x，+%）="，

Z=1

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工

作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為54

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為國C：

C.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同

安排方案的種數(shù)是+c，；

D.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為

（c；c；+c；c；）w

【答案】ABD

【解析】

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【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷A、B,對(duì)開車的人員分類討論利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)

原理判斷C,按照部分平均分組法判斷D；

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有砥團(tuán)

種安排方法，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車,

則有C\C}^+c/4種安排方法，C正確；

對(duì)于。，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、

導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作,有勾種情況，則有4種安排方法,。錯(cuò)誤;

故選：ABD.

10.正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的一種信號(hào)，因這種信號(hào)的波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線而得名，很多復(fù)雜的

信號(hào)都可以通過多個(gè)正弦信號(hào)疊加得到，因而正弦信號(hào)在實(shí)際中作為典型信號(hào)或測(cè)試信號(hào)而獲得廣泛應(yīng)用

已知某個(gè)聲音信號(hào)的波形可表示為/(x)=2sinx+sin2x,則下列敘述不正確的是()

A./㈤在［0,2乃)內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)

B./(x)的最大值為3

C.(2肛0)是/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

D.當(dāng)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的零點(diǎn)、最值、對(duì)稱中心、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A,由/(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

令/(%)=0,則sin%=0或cosx=-l,易知f(x)在［0,2%)上有2個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)?sinxV2,sin2xVl,由于等號(hào)不能同時(shí)成立，所以/(x)<3,B錯(cuò)誤.

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對(duì)于C,易知/(x)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又周期為2〃，故(2肛0)是/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心.

對(duì)于D,f\x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-l)(cosx+1),因?yàn)閏osx+120,所以2cosx-l>0時(shí),

'JIQ

即：XG2k?！?2左》+一(左eZ)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增,

133；一

xe2kn+—,2kn+—(keZ)時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

I33

故選：ABD

11.在所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)/是三棱柱的頂點(diǎn)，M,N、。是所在棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中直

【答案】AC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得而，加的坐標(biāo)，計(jì)算而?而，即可判斷

A,B,C,D的正誤.

【詳解】所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)N是三棱柱的頂點(diǎn)，M,N、。是所在棱的中點(diǎn),故可設(shè)棱長為2,

在正三棱柱中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

對(duì)于A,0,0),0(0,0,0),M(0,1,1),2V(0,0,2),

故而=(—6,0,0),加=(0,—1,1),

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則而?加=（—6,0,0＞（0,—1,1）=0,故而，加，即故A正確；

對(duì)于B,Z（0J,0）,Q（$^-g,2）,M（#＞-；,0）,N（g＞；,0）,

故2。=（3,-5,2）,ACV=（O,1,O），

則而?麗=（等,—g,2＞（0,l,0）=—T，故/。,又乂不垂直，故B不正確；

h1

對(duì)于C^（73,0,0）,0（0,1,1）,M（0,-1,1）,N（^~,--,2）,

故而=（一肉,1）,麗=（曰;1）,

則ZQ?JW=（—6,1,1）?（寸，5，1）=0，故ZQLJW,即ZQLJW,故C正確；

Fy1/T1

對(duì)于D,/（0,1,0）,°（",-5,2）函（1-5,O）,N（O,-I,I）,

___＞、h3___?i

故/。二（丁,一彳,2）,跖V=（--—,--,1）

2222，

則而?麗=（等1■,2）?（—等,—g,l）=2，故/。,又乂不垂直，故D不正確；

故選：AC

12.如圖所示，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的橫、縱坐標(biāo)之和作為標(biāo)簽，例如：

原點(diǎn)處標(biāo)簽為0,記為??；點(diǎn)。，0）處標(biāo)簽為1，記為外；點(diǎn)（1,1）處標(biāo)簽為2,記為4；點(diǎn)（0』）處標(biāo)簽

為1,記為的；點(diǎn)（T』）處標(biāo)簽為0,記為應(yīng)；…以此類推，格點(diǎn)&J）（i"eZ）處標(biāo)簽為"J,記

Sn=al+a2+---+ail,則（）

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A.。2022=-2C.aSn=0

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)圖示，分析可得第一圈從q（1,0）到心。，T）共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可得/+%+…+%=°，

第二圈16個(gè)點(diǎn)，相加也為0,歸納可得第"圈共有8〃個(gè)點(diǎn)，這8〃項(xiàng)的和也是0,分析々cm所在位置，即

可判斷A的正誤；求得的023、的024的值，可判斷B的正誤；代入特殊值檢驗(yàn)，可判斷C的正誤；分析可

得5京+3"=54”,4“-（。京+而+也41+…+%人3用），求得各項(xiàng)值，分析計(jì)算，即可判斷D的正誤，即

可得答案.

【詳解】由題意得=i+j,

第一圈從口（1,0）到?。?,一1）共8個(gè)點(diǎn),由對(duì)稱性可得q+a2+…+6=0,

第二圈從。9（2,-1）到。24（2,-2）共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可得。9+/o+…+。24=0，

根據(jù)歸納推理可得第n圈共有8〃個(gè)點(diǎn)，這8?項(xiàng)的和也是0,

設(shè)“2022在第力圈，貝！18+16+—F8〃=4〃（〃+1）,

且4x22x（22+1）=2024,

由此可知前22圈共有2024個(gè)點(diǎn),即邑。24=0，且%。24對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(22,-22),

所以。2023對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(21,-22),4022對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(20,-22),

所以％022=20-22=-2,故A正確；

因?yàn)?2024=0，

=-

所以$2022=$2024一°2024-020230(22-22)-(21-22)=1,故B錯(cuò)誤；

第9頁/共24頁

由圖可得名2對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,3)，所以的2=1+3=4*0,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镾4/+3〃=S4M+4,,一(%"*"+%M+4"T+…+%M+3“+J，

又%"44”對(duì)應(yīng)點(diǎn)為("-")，所以%M+4“=°，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為("」，-")，所以*40-1=-1

%M+3“+l對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1，力)，所以冤?+3“+1=一(〃一1)

所以邑z：=0-[-1-2——("1)]="(〃T),故D正確.

xzJ

4?+3nLo

故選：AD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)在于需根據(jù)圖示，歸納推理，總結(jié)規(guī)律，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，進(jìn)行判斷，對(duì)于

S4M+3),=$4"2+4“+%“2+4"-1+…+°4“2+3“+1)，需進(jìn)行合理分析和歸納’難度較大，屬難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a=(l,3),a+B=(—1,2),貝！J|a—書|+aj=.

【答案】0

【解析】

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得正確選項(xiàng).

【詳解】a=(l,3),a+b=(-1,2),S=(-1,2)-(1,3)=(-2,-1),a-6=(3,4)

\a-b\+a-b=J9+16+(-2-3)=0.

故答案為：0

14.已知定義在N*上的單調(diào)遞增函數(shù)歹=/(x)，對(duì)于任意的〃eN*，都有/(〃)eN*,且=

恒成立，則/(2022)—/(2019)=.

【答案】9

【解析】

【分析】令”=1,2,3,4,5,…13,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知，求出/(1),/(2),/(3),…,/(22)的值，通過歸

納的思想求出〃218,〃eN*時(shí)，/(〃)的表達(dá)式，最后代入求值即可.

【詳解】令〃=1,則有/(/(1))=3,若/⑴=1,則有=/⑴=3,顯然矛盾；

若/⑴=3,則有/(/。))=/(3)=3,顯然與已知矛盾，當(dāng)/⑴大于3的整數(shù)時(shí)，與已知函數(shù)是單調(diào)遞

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增相矛盾，故/。)=2,所以有/(2)=3；

令〃=2時(shí)，/(〃2))=6n/(3)=6；

令〃=3時(shí)，/(/(3))=9=>/⑹=9,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：/(4)=7,/(5)=8；

令〃=4時(shí)，/(/(4))=12n/(7)=12；

令〃=5時(shí)，/(/⑸)=15n/(8)=15；

令〃=6時(shí)，/(/(6))=18^/(9)=18;

令〃=7時(shí)，/(/(7))=21^/(12)=21；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：/(10)=19,/(II)=20；

令〃=8時(shí)，/(/(8))=24n/(15)=24；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：/(13)=22,/(14)=23；

令〃=9時(shí)，/(/(9))=27n/(18)=27；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：/(16)=25,/(17)=26,

令〃=10時(shí)，/(/(10))=30n/(19)=30；

令〃=11時(shí)，/(/(U))=33n/(20)=33；

令〃=12時(shí)，/(/(12))=36=>/(21)=36;

令〃=13時(shí)，/(/。3))=39=/(22)=39；

所以歸納得到當(dāng)〃218,〃eN*時(shí)，/(〃)=3〃-27

所以/(2022)-"2019)=3x2022-27-(3x2019-27)=9

故答案為：9

15.如圖，已知扇形的半徑為10,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，02=(10,0),礪=(6,8),

則凝的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】(475,275)

【解析】

第11頁/共24頁

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cos/CO4sinNCCU,由此可求得C

點(diǎn)坐標(biāo).

A2

【詳解】由三角函數(shù)定義得：cosZBOA=—=~,

105

2cos2NCOA-l=cosZBOA=-,cosZCOA=、R=拽，

5V55

sinZCOA=Jl-cos2/COZ=—，

5

xc=lOcosZCOA=4^/5,yc=10sinZCOA=2s/5,

.?.C點(diǎn)坐標(biāo)為卜石,2仆）.

故答案為：（475,2V5）.

16.一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串.七馬》3…X"（〃eN*）,其中々（左=1,2,…,〃）稱為第左位碼元.二

元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?）.已

X]十工2十4十工7=1

知某種二元碼七超七…吃的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：＜X十七十/十吃=。，其中運(yùn)算十定義為：

￡十Z十4十%7=。

0十0=0,0十1=1,1十0=1,1十1=0.現(xiàn)己知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第4位發(fā)生碼元錯(cuò)

誤后變成了1101011,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定左等于—.

【答案】6

【解析】

【分析】由題意，相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為o,不同數(shù)字運(yùn)算后為1，討論錯(cuò)誤發(fā)生的位置，結(jié)合校驗(yàn)方程組，

依次驗(yàn)證即可得結(jié)果.

【詳解】依題意，二元碼在通信過程中僅在第左位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101011,

X

①若左=1,則占=0,x2=l,x3=0,x4=l,x5=Q,X6=1,7=1,從而由校驗(yàn)方程組，得X]十七十/十吃=1，

故人右1；

②若k=2,則X]=1,》2=°，工3=°，》4=1,毛=°，16=1，工7=1，從而由校驗(yàn)方程組，得

鼻十/十4十工7=1，故4W2；

③若左=3,則X]=l,x2=l,x3=l,x4=l,x5=0,x6=1,X7=1,從而由校驗(yàn)方程組，得西十退十匕十工7=1,

第12頁/共24頁

故於w3；

④若左=4,貝I否=l,x2=l,x3=0,x4=0,x5=0,x6=l,x7=1,從而由校驗(yàn)方程組，得X]十%十4十工7=0,

故《w4；

===

⑤）若k=5,則X]=1,%1,Xj=0,%1,X51,Xg=1,Xy=1,從而由校驗(yàn)方程組，得X]十/十/十“7=0，

故比w5；

⑥若左=6,則X]=1,》2=1，》3=0，》4=1，匕=0,工6=°，%7=1，從而由校驗(yàn)方程組，得

%十%十工6十%7=1，苞十￡十/十=°，》3十匕十4十工7=0，故左=6符合；

⑦若左=7,則X]=l,x2=l,x3=O,x4=l,x5=0,X6=l,x7=0,從而由校驗(yàn)方程組，得X]十W十匕十工7=1,

故左彳7；

綜上，k等于6.

故答案為：6

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，△4BC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2a—c=2Z?cosC.

B

（1）求角B的大小；

（2）已知b=3,若。為△A8C外接圓劣弧ZC上一點(diǎn)，求/D+DC的最大值.

【答案】（1）

⑵2G.

【解析】

【分析】（1）法一:利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得sinC（2cosB-1）=0,再利用三角形內(nèi)角的取值

范圍即可求解；

法二:利用余弦定理得出cos5=-,根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；

2

（2）方法一：設(shè)/D4C=e,則NDC4=；—6,利用正弦定理得出=2Gsin]]—，），

第13頁/共24頁

DC=26sin?，

然后利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.

【小問1詳解】

法一:V2a-c=26cosC,由

2sin-sinC=2sinBcosC,2sin（5+C）-siinC=2sinScosC

:.2（sin5cosC+sinCcos5）-sinC=2sin5'CosC,

sinC（2cosS-l）=0,丁sinCwO,

1JI

cosB,又：0<8<兀，:.B=_,

23

法二:*.*2a-c-lbcosC，

M卜2_2

由余弦定理得2a—c=2*-~~—n2a2--ac—￡+匕2—c2，

2ab

.22,2.Ra2+c2-b21

??a+cb—ac???cosB—二—,

lac2

7T

*.*0<5<71,B=—.

3

【小問2詳解】

JT__

由（1）知，B=-,面四邊形/BCD內(nèi)角互補(bǔ),則ZADC=—,

3

7T

法一:設(shè)NDAC=0,則NDCA=——3,

3

ADDCZC

J3

由正弦定理得（兀口】。也生

si.n——0sin5,

（3）3

：./￡>=2瓜in]g—4,

。。=2瓜in。，

/.AD+DC=243-^J+2V3sin0=3cos0+V3sin0=2V3sin^+|j<2V3,

當(dāng)且僅當(dāng)4D=DC=0時(shí)?,4D+OC的最大值為2G.

2兀

法二:在△/DC中，ZADC=——，AC=3,

3

由余弦定理得

NO?-DC2-2ADDCcos—,

3

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■\AD+DC^=9+AD-DC<9+（血了。），?*-AD+DC<2^3，

當(dāng)且僅當(dāng)ND=DC=G時(shí)，ND+DC的最大值為2G.

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，又對(duì)任意的正整數(shù)加,〃，都有%—@=—2,且禺=30.

n-m

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6=2^，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

【答案】（1）an=12-2n

f64-26-"（?<6）

⑵Tn=\J

[61+2"-5（”>6）

【解析】

【分析】（1）由%二%=-2可得等差數(shù)列｛4｝的公差d=-2,再由$5=30可求出火,從而可求出數(shù)列

n-m

｛4｝的通項(xiàng)公式，

（2）分〃〈6和〃>6兩種情況求解即可

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)?二以=_2,所以％+（"T）d-a「（/TM=d=_2,

n-mn-m

Sx4

又禺=30,即5%+^-x（—2）=30,解得%=10

所以%=12-2〃

【小問2詳解】

由（1）知%=12-2〃，令^*=6-〃之0,得〃<6

當(dāng)〃W6時(shí)，％之0，

a\a2an

從而T=22+22+…+22

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2

當(dāng)〃>6時(shí)，

巴生”-生

7；=22+22+…+22+22+...+22

=25+24+---+2°+2'+---+2^

=63+2"2f

=61+2"-5,

1-2

64-26-"(M<6)

綜上得看=

61+2"5(〃>6)

19.如圖所示，C為半圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，AD為底面直徑，/為弧2。中點(diǎn).△BCD是邊長為

2的等邊三角形，弦AD上點(diǎn)E使得二面角E-8C-。的大小為30°,且左=/］萬.

(1)求才的值；

(2)對(duì)于平面/CD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)尸總有OP〃平面2EC,請(qǐng)指出尸的軌跡，并說明該軌跡上任意點(diǎn)P都使得

OP//平面BEC的理由.

【答案】(1)

3

(2)P的軌跡為過2?？拷５娜确贮c(diǎn)及CD中點(diǎn)的直線，理由見解析

【解析】

【分析】(1)建立空間坐標(biāo)系，易得面BCD的一個(gè)法向量為方=(0,1,0),用/表示出面5CE的法向量,

通過二面角E-BC-。的大小為30°建立方程，解方程即可；

第16頁/共24頁

(2)取Z)E中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,連接“乂,?！?ON,證明面。W//平面BEC,結(jié)合上Wu面/CD,

即可求出尸的軌跡.

【小問1詳解】

易知0c_1面/80,OALBD,以所在直線為x，V，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則

^(0,1,0),5(-1,0,0),D(1,O,O),C(O,O,V3).5C=(1,0,V3),AD=(l,-l,0),BA=(1,1,0)，

BE=BA+AE=BA+tAD=(l,l,0)+t(11,0)=(l+/,l-/,0),

易知面BCO的一個(gè)法向量為刀=(0,1,0),

,\n-BC=x+Mz=0

設(shè)面BCE的法向量為n=(x,y,z)，則＜__.

n-BE=(1+t)x+(1-t)y=0

33

【小問2詳解】

第17頁/共24頁

c

P的軌跡為過靠近。的三等分點(diǎn)及S中點(diǎn)的直線，證明如下：

取/?？拷?。的三等分點(diǎn)即￡>￡中點(diǎn)3中點(diǎn)N,連接

由。為中點(diǎn)，易知ON〃BC,又ONu面BEC,BCu面BEC,

所以0N〃平面BEC,

又MNUEC,MNa面BEC,CEu面BEC,所以AW〃平面BEC,

又ONcMN=N,所以面QMN〃平面BEC,

即。和跖V所在直線上任意一點(diǎn)連線都平行于平面BEC,

又MVu面故尸的軌跡即為兒W所在直線，

即過2?？拷?。的三等分點(diǎn)及3中點(diǎn)的直線.

20.2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)

余隊(duì)進(jìn)行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝;

若甲連續(xù)頓停場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相互

獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為g；甲與丙比賽，丙贏的概率為0,其中:<°<g.

（1）若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排

下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？

（2）為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬元；

若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事

組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）的取值范圍.

【答案】（1）業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽

（2）E（x）的取值范圍為：（4.25,4.3）（單位：萬元）.

第18頁/共24頁

【解析】

【分析】(1)分別求出第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲或丙與甲進(jìn)行比賽業(yè)余隊(duì)獲勝的概率，比較兩者的

大小即可得出答案.

(2)由已知X=4.5萬元或X=3.6萬元，分別求其對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出E(x),由:<夕<g，

求出￡(X)的取值范圍.

【小問1詳解】

第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：

c1215

吁=3XP+3XPX3=9P；

第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：

1x112

pD.=-^p^Z\1y-py-^p=--p2+-p>

因?yàn)間<P<g，所以<_鳥所以4〉舄.

所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.

【小問2詳解】

由已知X=4.5萬元或X=3.6萬元.

由(1)知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.

此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為4=*夕，

9

212XX

專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為鳥=yX(l-J9)+-X(l-J9)Xy=---J?,

Q1

所以，非平局的概率為尸(X=4.5)=4+A

平局的概率為尸(X=3.6)=l—q—6+

X的分布列為：

X4.53.6

8111

（）----------V—+—P

Px9393

X的數(shù)學(xué)期望為E（x）=4.5X（§-§P]+3.6X[3+§7]=4.4一0.30（萬元）

第19頁/共24頁

而:＜夕＜g，所以E（x）的取值范圍為：（425,4.3）（單位：萬元）.

21.已知雙曲線C：.—%=1（?！?,6〉0）的離心率為2,F[,乃為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，N（2,3）是

雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若過點(diǎn)8（4,0）且不與漸近線平行的直線/（斜率不為0）與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為N,記雙

曲線C在點(diǎn)M,N處的切線分別為/rL，點(diǎn)P為直線4與直線的交點(diǎn)，試求點(diǎn)尸的軌跡方程（注：若

22

雙曲線的方程為4=1,%九1）

a2b2

【答案】（1）x2-^=l

3

⑵m=—

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)基本量列方程求解即可；

（2）設(shè)出直線/：x=（y+4t0土手和交點(diǎn)尸（加,〃），根據(jù)題意列出方程消去f即可求出加.

【小問1詳解】

據(jù)題意e=g=2,貝!]c=2。，

a

4o

點(diǎn)/（2,3）在雙曲線。上，則——5=1,

ab

43

又）2=02_Q2=3Q2,貝lj—....T=l，

aa

；?/=],b1=3,c2=4，

2

雙曲線C的方程為f一匕=1.

3

【小問2詳解】

x”+4"±@],

設(shè)MG”％）,7V（xy）,直線/：

2?2I3J

第20頁/共24頁

x=a+4

聯(lián)立《2/_n2例+45=0,

x----二1

3

,一247

A=(24「4x45x3/+180=36〃+180>0,y+y=——

t25t—1

由題知，切線/[：XV]_4^1=],切線，2：_^^2=1,

砂11

mxi——；=1

記尸(加,〃),則<

ny一

inXj----2-1

23

兩式相加得加(X］+%)_.(乂；％)=2n冽在［yx+y2)+8］一J％)二?,

—24，

將必+%=—；—代入得1-4冽=3t2-4切③;

3/2-1

H

兩式相減得得加(匹一%)—"工％)=0=>mt(y-y2)一，)=o,

力2A22

由%。為得，=—④，聯(lián)立③和④得1—4m-------=/(1—4m)，

3m3m23m3m217

故[J—1](1—4加)=0,又t/土回,所以則加=工，

(3"「33m24

故點(diǎn)P的軌跡方程為加=’.

4

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求某點(diǎn)的軌跡方程，可以先設(shè)出該點(diǎn)，然后運(yùn)用已知條件尋求橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.

22.已知函數(shù)/(x)=eig(x)-lnx.

(1)若函數(shù)g(x)=—x+ax+alnx|e1-x,討論/(x)的單調(diào)性；

\2)

(2)從下面①②兩個(gè)問題中任意選擇一個(gè)證明，若兩個(gè)都證明，則按第一個(gè)證明計(jì)分.

①若函數(shù)g(x)=(x+l)eiInx,/(加)=/("),且加證明：加+〃<1.②若函數(shù)

g(x)=—x2e1-'x2-x\nx+—,證明：/(x)〉1+32.

21xj2

【答案】(1)答案見解析

第21頁/共24頁

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)后，分類討論。，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果;