專題02 勾股定理（知識串講＋熱考題型＋專題訓(xùn)練）（原卷版）-期末考點串講練

專題02勾股定理一．勾股定理（共4小題）二．勾股定理的證明（共4小題）三．勾股定理的逆定理（共7小題）四．勾股數(shù)（共3小題）五．勾股定理的應(yīng)用（共7小題）知識點一、直角三角形直角邊與斜邊之間的大小關(guān)系定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊.知識點二、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.知識點三、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點四、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段.知識點五、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.知識點六、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點詮釋：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點七、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.要點詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；一．勾股定理（共4小題）1．（2022春?乾安縣期中）直角三角形的兩邊長分別為6和10，那么它的第三邊的長度為（）A．8 B．10 C．8或2 D．10或22．（2021春?沂水縣期中）已知O為數(shù)軸原點，如圖，（1）在數(shù)軸上截取線段OA＝2；（2）過點A作直線l垂直于OA；（3）在直線l上截取線段AB＝3；（4）以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸分別于點C，D．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有如下四個結(jié)論：①OC＝5；②OB＝；③點C對應(yīng)的數(shù)是﹣2；④5＜AD＜6．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④3．（2021秋?茂名期中）如圖，OP＝1，過點P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再過點P，作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法繼續(xù)作下去，得OP2021＝（）A． B． C． D．4．（2022春?靜海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長為（）A．11 B．10 C．9 D．8二．勾股定理的證明（共4小題）5．（2022春?延津縣期中）如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，則EF2的值是（）A．128 B．64 C．32 D．1446．（2022春?長葛市期中）若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項中不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．（2022春?雄縣期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．4 D．38．（2021春?洛陽期中）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．三．勾股定理的逆定理（共7小題）9．（2022春?仁化縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．10．（2022春?茂南區(qū)期中）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝2， B．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60 C．，b＝1， D．，b＝4，c＝511．（2022春?長沙期中）下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a(chǎn)：b：c＝5：12：13 C．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：512．（2022春?交城縣期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E是格點，則∠ABD+∠CBE的度數(shù)為．13．（2022春?黃石期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，則∠BCD的度數(shù)．14．（2022春?韓城市期中）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C、D都在格點上．（1）線段AB的長度是，線段CD的長度是．（2）若EF的長為，那么以AB、CD、EF三條線段為邊能否構(gòu)成直角三角形，并說明理由．15．（2022春?越秀區(qū)期中）如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求陰影部分的面積．四．勾股數(shù)（共3小題）16．（2022春?鳳山縣期中）像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對嗎？請說明理由．17．（2022春?三江縣期中）下列四組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．8，15，1718．（2022春?豐都縣期中）我們知道，如果直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，這樣的三個正整數(shù)就叫做一組勾股數(shù)．如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)；則正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④五．勾股定理的應(yīng)用（共7小題）19．（2022春?仙居縣期中）在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面尺．20．（2022春?江城區(qū)期中）湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計實驗測量兩棵景觀樹之間的距離，他們在與AB垂直的BC方向上取點C，測得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）兩棵景觀樹之間的距離；（2）點B到直線AC的距離．21．（2022春?渝北區(qū)期中）東營市某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗田”，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗田”實際操練，對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認(rèn)識．如圖，四邊形ABCD是規(guī)劃好的“試驗田”，經(jīng)過測量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四邊形ABCD的面積．22．（2022春?平邑縣期中）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元．23．（2022秋?淮安區(qū)期中）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？24．（2022春?確山縣期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經(jīng)過最低點B．最終蕩到最高點C處，若∠AOC＝90°，點A與點B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點C與點B的高度差CE為（）米．A．4 B．4.5 C．5 D．5.525．（2022春?溆浦縣期中）一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？一、單選題1．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在中，．分別以B、C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于E、F兩點，連接直線，分別交于點M、N，連接，則的面積為（）A．12 B．6 C．7.5 D．152．（2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）下列長度的三根線段，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cmC．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm3．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┮阎苯侨切我粋€銳角60°，斜邊長為2，那么此直角三角形的周長是()A． B．3 C．+2 D．+34．（2023秋·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，將一邊長為a的正方形（最中間的小正方形）與四塊邊長為b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為（）A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a(chǎn)2+2ab5．（2023秋·江蘇泰州·八年級?？计谥校┫旅嫠慕M數(shù)，其中是勾股數(shù)的一組是（

）A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．3，4，5 D．6，7，86．（2023秋·廣東汕頭·八年級汕頭市翠英中學(xué)?？计谥校⑦呴L為3cm的正三角形各邊三等分，以這6個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級校考期中）給出下列命題：①在直角三角形中，已知兩邊長3和4，則第三邊長為5；②三角形的三邊滿足，則；③中，若，則是直角三角形；④中若，則這個三角形是直角三角形；其中，正確命題的個數(shù)為（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題8．（2023秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，若，，則的長為________．9．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，，，點D是BC上一點，，則CD的長為________．10．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）在中，，．則的面積為______．11．（2023秋·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是_____．12．（2023秋·廣東汕頭·八年級汕頭市翠英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊三角形ABC中，AE＝3CE＝3，點D是BC上的一個動點，連接AD，點F、G在AD上，且∠BFD＝∠DGE＝60°，當(dāng)△AEG的面積最大時，F(xiàn)G＝________．13．（2023秋·江蘇蘇州·八年級期中）一個三角形兩條邊長為3和4，當(dāng)?shù)谌龡l邊長為__時，此三角形為直角三角形．14．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）若一個直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則其斜邊上的高為________．15．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA＝4，PB＝2，PC＝2，則ABC的邊長為________．16．（2023秋·江蘇蘇州·八年級期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和，請用所學(xué)知識說明它們是一組勾股數(shù)．17．（2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）直角三角形有兩條邊長分別為6和8，則第三條邊的平方為_____．18．（2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB=5，AD=3，則BC的長為____.19．（2023秋·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，，已知中，，的頂點A、B分別在邊、上，當(dāng)點B在邊上運動時，A隨之在上運動，的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的距離為整數(shù)的點有______個．20．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．以、為邊的正方形的面積分別為、，若，，則的長為______．21．（2023秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學(xué)?？计谥校┑妊男边吷嫌幸稽c，連結(jié)，將沿著折疊，點落在邊上，連結(jié)，則________．22．（2023秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，若，，則的長為________．三、解答題23．（2023秋·廣東汕頭·八年級汕頭市翠英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，點E在BC上，點D在AB上，CE＝CA，連接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足為點H．求證：DE＋AD＝CH．24．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┮患芴葑娱L25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？25．（2023秋·江蘇蘇州·八年級期中）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水