2024屆北京市石景山區(qū)高三年級下冊第一次模擬考試試題和答案

2024北京石景山高三一模

數(shù)學(xué)

本試卷共9頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試

結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合

題目要求的一項。

1.已知集合4=九尤2一2尤B=｛x|x>l｝,則ADB=

A.(-1,3)B.(-3,l)C.(-l,l)D.(l,3)

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是

A./(x)=sinxB.f(x)=cosxC./(x)=ln(x+l)D.f(x)=2-x

3.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到

紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B,則P(8|A)=

4234

A.—B.-C.-D.-

15555

4.設(shè)a,B,y是三個不同平面，且any=/,PAy,則“/〃機(jī)”是“a〃(3”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.等差數(shù)列｛a｝的首項為1,公差不為0.若a,a,a成等比數(shù)列，則｛a｝的前5項和為

n236n

A.-15B.-3C.5D.25

6.直線y=區(qū)+1與圓+(y+l”=16相交于4,3兩點(diǎn)，則線段AB的長度可能為

A.5B.7C.9D.14

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(①x+(p)(co>0,l(pl<5)的部分圖象如圖所示，則/(-)的值是

A.0

B.1

C.-1

D.-石

8.設(shè)〃=2O.3,b=sin—,c=In2,貝|

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.中國民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復(fù)音的

五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有

第1頁/共4頁

A.18種B.24種C.36種D.72種

10.對于曲線C：X-2+廣2=1,給出下列三個命題：

①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；

③曲線C與曲線lxl+1y1=3有四個交點(diǎn).

其中正確的命題個數(shù)是

A.OB.lC.2D.3

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（-1,2）,則3=.

z

12.斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線w=4x的焦點(diǎn)為尸，且與該拋物線相交于48兩點(diǎn),

則IA81=.

13.已知向量a,滿足仍1=2,a與5的夾角為一，則當(dāng)實(shí)數(shù)九變化時，除-九。1的最小值為

6

…、耳十業(yè)/%3+3ax,x<1

14.設(shè)函數(shù)/（%）=（

3x+Q2,X>1

①若/（X）有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的一個取值可以是;

②若/（X）是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：x￡[0,l]時,

L,x=K(p,qeN*,K為既約真分?jǐn)?shù))

.若數(shù)列。=R（㈡,

R(x)=\Qqq〃EN*,

〃n

0,x=0,1和(0,1)內(nèi)的無理數(shù)

給出下列四個結(jié)論:

①Q(mào)=—；

〃n

②a<a；

n+2n+1

③a<—；

ii+l2

i=l

④乙a>In---.

i2

i=l

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.（本小題13分）

在銳角△A8C中，角A,8,C的對邊分別為a,4c,且2bsinA-氐=0.

第2頁/共4頁

(I)求角B的大??；

(II)求cosA+cosC的取值范圍.

17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ,平面A8CD,

PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2^3.

(I)求證：CD_L平面PAO；

(ID再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，

求平面P3C與平面所成銳二面角的大小.

條件①：AB=45;

條件②：BC〃平面PAD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按

第一個解答計分.

18.(本小題13分)

為研究北京西部地區(qū)2次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學(xué)習(xí)小組暑假

以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對象進(jìn)行調(diào)查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的

抽樣調(diào)查數(shù)據(jù).其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據(jù)如表1,表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木層表2：妙峰山油松次生林林下灌木層

植物名稱植物類型株數(shù)植物名稱植物類型株數(shù)

酸棗灌木28黃護(hù)喬木幼苗6

荊條灌木41樸樹喬木幼苗7

孩兒拳頭灌木22欒樹喬木幼苗4

河朔第花灌木4鵝耳楊喬木幼苗7

臭椿喬木幼苗1莓葉蛇葡萄木質(zhì)藤本8

黑棗喬木幼苗1毛櫻桃灌木9

構(gòu)樹喬木幼苗2三裂繡線菊灌木11

元寶械喬木幼苗1胡枝子灌木10

大花漫疏灌木10

(I)從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2丁香灌木8

株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率;

(II)以表格中植物類型的頻率估計概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機(jī)抽取3株

(假設(shè)每次抽取的結(jié)果互不影響)，記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為X.求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(III)從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不

同植物名稱的概率估計值為尸；從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選

1

第3頁/共4頁

2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計值為尸.請直接寫出P與尸大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

212

19.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=xeax(a>0).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(II)求/(無)在區(qū)間［-1,1］上的最大值與最小值；

(III)當(dāng)a=l時，求證：/(x)>lnx+x+1.

20.(本小題15分)

已知橢圓C:上+二=l(a>b>0)的離心率為9,短軸長為2g.

［2b22

(I)求橢圓。的方程；

(II)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(-L-當(dāng)分別作直線1,1,直線/與橢圓相切于第三象限內(nèi)

2i21

的點(diǎn)G,直線/交橢圓C于兩點(diǎn).若IPGl2=|尸M,判斷直線/與直線OG的位置關(guān)系，并說明

22

理由.

21.(本小題15分)

已知集合S=(X|X=(x,x，…,x),xe{o,l},f=?l,2,(n>2),對于A=(a,a，…,a),

n12ni12n

B=(b,b.…，b)eS,定義A與B之間的距離為d(A,B)=Zla-bI.

12nnii

i=l

(I)已知A=(1,1,1,0)eS,寫出所有的,使得d(4,3)=l；

44

(II)已知/=…,l)eS,若,并且d(/,A)=d(/,8)=pV”，求d(A,8)的最大值；

nn

(III)設(shè)集合PqS,尸中有機(jī)OW2)個元素，若尸中任意兩個元素間的距離的最小值為t,求證：

n

m<2?-i+i.

第4頁/共4頁

石景山區(qū)2024年高三統(tǒng)一練習(xí)

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分,共40分）

(1)D(2)D(3)C(4)B(5)A

(6)B(7)A(8)B(9)C(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)-l-2i(12)8

(13)1(14)-1[0,1]U2+8)

(15)②③④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題13分)

解：(I)在銳角AABC中，根據(jù)正弦定理b=。，有

sinBsinA

2sinBsinA-且sinA=0,

向

因?yàn)锳E(0,—),所以sinA。0,所以sin3=-,

22

因?yàn)锽e(0,—),即8=9【6分】

23

(II)由(I)知NA+NC=J.

3

cosA+cosC=COS(TI-B-C)+COSC

2兀

=cos(--C)+cosC

]V3

=—cosC+—sinC+cosC

22

]y/3

="cosC+—sinC

22

=sin(C+看)

高三數(shù)學(xué)答案第1頁（共9頁）

在銳角△ABC中，因?yàn)樗?lt;C<",所以?<。+2<生

62363

所以sin(C+【13分】

62

（17）（本小題14分）

解：（I）因?yàn)槭珹_L平面ABCD,AD,C￡>u平面ABC。,

所以PA_LAD,PA_LC。

在平面A3CD上過A點(diǎn)作AE〃CD交BC于E點(diǎn)，

根據(jù)（I）知上4,4。,上4,4及4。，4￡,建立以A為原點(diǎn),

向量女方向?yàn)闊o軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系.

連接AC,易知AC=2jI,因?yàn)?2=在，BC=3,

ACj+BC2二AB28+9-5—巫

在△ABC中，cosZACB=

2ACBC2X2A/2X3-2

所以/AC2=烏，因?yàn)?ACD=3,所以5C，C￡）,

44

易證四邊形AEC。為正方形.

40,0,0),尸(0,0,2),8(2,-1,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0)

7^=(2,-1,-2),用=(2,2,-2)

高三數(shù)學(xué)答案第2頁（共9頁）

設(shè)平面P5C的法向量為〃=(x,y,z),則

2x-y-2z=0

2x+2y-2z=0

-P?=0

解得y=O,x=z,令x=z=l,則〃=(1,0/)，

由(I)知平面PA。的法向量為也=(-2,0,0),

C^n

cos<cd,n>

|阿,|2夜2

所以，平面P3C與平面PAD所成銳二面角的大小為兀.【14分】

選條件②

因?yàn)锽C〃平面產(chǎn)AQ,平面ABCOn平面尸A。=4。，BCu平面ABC。

所以8C〃AD.

在平面A3C。上過A點(diǎn)作AE〃CD交BC于E點(diǎn)，

易證四邊形AEC。為正方形，

根據(jù)(I)知上4,4。,上4,4及4。，4￡,建立以A為原點(diǎn)，

向量花,9,%產(chǎn)方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系.

則40,0,0)，尸(0,0,2),5(2,-1,0),C(2,2,0),0(0,2,0)

7^^(2,-1,-2),定=(2,2,-2)

設(shè)平面P5C的法向量為”=(x,y,z),則

n-=0P2x—y—2z-0

〈即〈

_<2x+2y-2z=0

n-P^=01

解得y=0,x=z,令x=z=l,則“=(1,0,1),

高三數(shù)學(xué)答案第3頁(共9頁)

由(I)知平面PA。的法向量為運(yùn)=(-2,0,0),

2

cos<C15,n>42

2及一2

IC^llnl

所以，平面P8C與平面PA。所成銳二面角的大小為【14分】

4

(18)(本小題13分)

解：(I)設(shè)事件A為“從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，

2株植物的類型都是喬木幼苗”，由表格知，樣本中老山油松人工林林下灌

木層的植物共有100株，其中喬木幼苗有5株，所以P(A)估計為￡-=」一.

C2495

100

【3分】

(II)由題意可知，從抽取的妙峰山油松次生林灌木層的植物樣本中隨機(jī)抽取1

株植物是灌木的概率估計為—X的可能取值是0,1,23

805

尸(X=l)估計為C1

3?54397

尸(X=2)估計為C；*q)2x§=西;P(X=3)估計為(-)3=—.

隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

8365427

P

125125125125

8136c54。279

所以EX估計為0x------Fix-----F2x------F3x=

1251251251255

339

或因?yàn)閄~5(3,7,所以EX估計為3義二=《【10分】

(III)P>P.【13分】

21

高三數(shù)學(xué)答案第4頁(共9頁)

(19)(本小題15分)

解：(I)f'(x)=e*+辦?e公=(ax+l)eax,

所以4(O)=(O+l)e。=1,/(0)=0.

所以/(x)在(0"(0))點(diǎn)處的切線方程為y=x.【4分】

(II)因?yàn)閺V(無)=(ox+l)eax,令廣(x)=0,由已知“>0,解得X=-1.

當(dāng)X變化時，/'（X）,"X）隨X的變化如下表:

X/1_1/1、

(-GO,--)、(--,+8)

aaa

廣（無）—0+

7。）減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以①當(dāng)-Lw-l，即0<OW1時，“X）在［-1,1］為增函數(shù),

a

則/(X).=/(-l)=-e-a,f(x)=/(I)=ea.

minmax

②當(dāng)一1<-』<1,即a>l時，

a

/(X)在［-i,-L］為減函數(shù)，在［-Lu為增函數(shù).

aa

則/(%)=/(--)=--e-i,而/(一1)=-e-a<0,f(l)=ea>o,

1nm

aa

所以“D〉/(—1)，即/⑴=/(l)=e?.

max

［10分］

(III)當(dāng)〃=1時，/(x)=xex,

令F(x)=f(x)-(Inx+x+1)=xe%-Inx-x-1(x>0),

1jv1

貝!I尸'(x)=(x+l)ex--1=(xe］—1),

XX

令G(x)=xex-1,則當(dāng)x>0時，Gr(x)=(x+l)e無>0,

所以函數(shù)G(%)在區(qū)間(0,+oo)上是增函數(shù)，

高三數(shù)學(xué)答案第5頁（共9頁）

又G(0)=—l<0,G(l)=e-l>0,

所以函數(shù)G(x)存在唯一的零點(diǎn)七￡(0,+oo),

且當(dāng)犬￡(0,%0)時，G(x)<0；當(dāng)無￡(%0,+8)時，G(x)>0.

所以當(dāng)工￡(0,5)時，P(x)<0；當(dāng)?！?玉,+00)時，P(x)〉O.

所以函數(shù)b(x)在(0,%0)上為減函數(shù)，在(5,+00)上為增函數(shù)，

故尸(x)=F(x)=xQX-Inx-x-1,

由G(x0)=0得天氣-1=0,即=1.

兩邊取對數(shù)得Inx+x=0,故/(x)=0,

000

所以尸(x)20恒成立，即/⑴2lnx+龍+1.【15分】

(20)(本小題15分)

c_\(3

一,

a2

解：(I)由題意得，解得a=20,b=yj2.

2b=2點(diǎn),

〃2=82+02,

所以橢圓。的方程為三+匕=1.【5分】

82

(II)直線/與直線OG平行.證明如下：

2

顯然直線(斜率存在，設(shè)直線(方程為y+]=w(x+l).

無2+4”=8,

由，3得(4根2+1)尤2+(8m2-12m)x+4m2-12m+1=

y=m(x+1)——

因?yàn)橹本€/與橢圓相切，

1

A=(8m2-12m)2-4(4加2+1)x(4機(jī)2-12m+1)=4(28機(jī)2+12m-1),

令A(yù)=0解得加=一！或機(jī)=」.

高三數(shù)學(xué)答案第6頁(共9頁)

因?yàn)橹本€/與橢圓相切于第三象限內(nèi)的點(diǎn)G,所以加=1舍去.

114

所以加=—1，所以2%2+8X+8=0,x=—2,

13

所以，=一5（%+1）-5=一1'

所以G（—2,—1）,直線0G斜率為工，IPG|2=2

24

所以IPG|2WIPM|.|尸NI,不成立.

3

設(shè)直線（的方程為y+5=%（x+D，M。［,>7］），N（x,,y）,

m+4y2=8,

3,得(4%2+1)%2+(8k2-12k)尤+4%2-12左+1=0.

y=k(x+Y)--

直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn).A=4(2812+121)＞0,

2

所以左〈一或左＞-.

214

七修12k—8k24左2-12左+1

加以％+X=------------------,XX=--------.

121+4左2121+4左2

\PM\=+1)2+(^+|)2=71+Jt2IX+1I,同理l/WI=Jl+hI4+1I

所以1PMi?IPNI=(1+左2)3+1|卜2+1|=(1+左2)|\4+(5+%2)+ll

二(1+左2)——.

4左2+1

所以Q+%2)-f7—=二S，解得％=1L或%=—1上；

4左2+1422

因?yàn)榕家?或左＞」-,所以％=1.

所以直線/與直線0G平行.【15分】

高三數(shù)學(xué)答案第7頁（共9頁）

(21)(本小題15分)

解:(1)(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0).【4分】

(II)d(I,A)=a-ll=1-aI

ii

i=li=l

—1—ci+1—a+■,?+!—a—n—(a+a+?,?+〃)=〃