2024年重慶高考數(shù)學模擬試卷含答案

7等.比數(shù)列｛叫的前〃項和為S”，若%=2且&=17S4，則S3=（）

數(shù)學試卷A.6B.6或14C.-6或14D.2或6或14

8.正四面體的外接球與內切球的半徑比為（）

注意事項：A.l:lB.2:lC.3:lD.4:l

1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、班級、學校在答題卡上填寫清楚。二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，漏選得2分，錯選得0分）

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡

9.已知雙曲線C:Ax2-By2=l的漸近線方程為y=+2x,則該雙曲線的方程可以是

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試卷上作答無效。

3.考試結束后，請將答題卡交回，試卷自行保存。滿分150分，考試用時120分鐘。（）

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分）

1.已知正三棱柱所有棱長均為2,則該正三棱柱的體積為（）

D.4/-x2=1

B.4C.亞

A.273D.-

3310.拋物線C:/=2px（p>0）的焦點是F,過焦點F的直線/與C相交于不同的兩點4B,

P（x,y）滿足，（'-if+>2=卜+1],則點尸的軌跡為（

2.已知點)

O是坐標原點，下列說法正確的是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

A.以|力可為直徑的圓與y軸相切B.若"（1,2）是線段48的中點，且3=1,則p=2

3.在長方體48co—44GA中，AB=AA]=\.AD=2,則異面直線4c的夾角

C.ZAOB=-D.若也1=2,則直線/的斜率為-血

余弦值為（）2網(wǎng)

11.如圖1,正方體/BCD-44GA的棱長為2,M是棱48的中點，N為正方體表面

A.叵B.lC.2D.四

10536

力。44內的一個動點，且滿足MN//平面480,下列說法正確的是（）

4已.知圓G：（工一4『+5-1）2=1與圓。2：（工一1）2+（歹一3）2=4有且僅有2條公切線，

A.動點N的軌跡是一段圓弧

則實數(shù)。的取值范圍是（）

B.三棱錐N-CD"體積的最大值為g

A.（1-V5,1+V5）B.0+61+VH）C.（-2,0）D.（1-721,1+75）

C.MNLAC,

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，且S9>0,工。<0,則數(shù)列｛S.｝的最大項是（）

D.直線MN與AM夾角正切的最小值為變

B.S,2

6.已知直線加x+y-1=0與直線x-叩+2=0相交于點A,B為直線y=2x+6上一動

A3/B

點，則線段長度的最小值為（)

Si

V57冊「5石

--------c.-----

"V106

12.已知數(shù)列｛3｝滿足：V〃wN*，4+]=a；+2an+b,其中數(shù)列｛%｝的前〃項和是S”，19.如圖2所示，A48C為等腰直角三角形，AB=AC=2,瓦/分別為ZC,4C中點,

下列說法正確的是（）將△（?￡尸沿直線斯翻折，使得

A.當be（l,+oo）時，數(shù)列｛叫是遞增數(shù)列Z.AEC=—,如圖3所不.

2

B.當6=—6時，若數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)列，則/e（-oo,—3）U（2,+oo）（1）求證：平面力EC_L平面48EE；

（2）求平面與平面CE尸夾角的

C.當6=』嗎=2時，士包■

412余弦值.

ii14

D.當方=-2嗎=3時，—L—…—1—4士

20.已知雙曲線。：4—y2=]（Q>o）的左、右焦點分別為耳，p,點尸為雙曲線上一點，且

%+24+2q+2102

a2

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分）

|附|一|尸閶|=4.

13.已知直線4：x+@+Z=0,l2:x+y+2=0,且"/附則4與4之間的距離為

（1）求雙曲線。的標準方程；

（2）已知直線/阿：歹=京+1與雙曲線。交于兩點，且5眄=2&,其中O為坐標

14.已知函數(shù)f（x）=（x-98）（“一99）,則/'（99）=

原點，求女的值.

15.已知｛叫為等比數(shù)列，且%=3，%=12,貝iJ%=

16.已知雙曲線4-g_=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳,巴，傾斜角為工且過點片的

21.已知｛〃“｝的前〃項和為S”，且滿足eN*tSn=2an-2.

a2b23

直線與雙曲線的右支交于尸,。兩點，設心打鳥內切圓01的半徑為八，A。耳鳥的內切圓Q的（1）求｛a.｝的通項公式；

半徑為e，則圓心2的橫坐標為（填a或6）,若卜2一々223a2,則雙（2）若數(shù)列｛4｝滿足：4=1，且€N?也+1+6〃=2〃，求數(shù)列?2｝的前〃項和.

曲線離心率的最小值為（第一空2分，第二空3分）

四、解答題（本大題共6小題，其中17題10分，其余每小題12分，應寫出必要的解答、

推理過程和文字說明）

22.已知橢圓。:1+m=1（4>6>0）的離心率為平，上頂點8（0,百）.

17.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，｛%｝的前"項和為*，4=11，§3=9.

（1）求橢圓C的標準方程；

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；（2）求證：J_+_2_+...+_B_<1，

2R3s2（〃+1電

（2）0為坐標原點，M（-（百,0），點4是橢圓C上的動點，過4作直線，40,

18.已知曲線f（x）=x3-x+l,

4N分別交橢圓C于另外P,凡。三點，求SMOM+SMON的取值范圍.

（1）求曲線在點尸（1,1）處的切線方程；（2）求過點。且與曲線相切的直線方程.

數(shù)學參考答案

一、單選題

12345678

ACBABADC

1【答案】A

【解析】V=Sh=-x2x2xsin-x2=2^,故選A.

23

2【答案】C

【解析】由拋物線的定義可知：尸的軌跡為拋物線，故選C.

3【答案】B

【解析】A.D//B.C,所以異面直線ZC,4。的夾角等于/。，與。的夾角,

AC?+BAB：

。-5+5-2_4,故選

cos<AC,B]C>=B.

2AC-BXC2x^5x^55

4【答案】A

【解析】由題可知兩圓的位置關系為相交，所以卜―G|<|C]G]<4+G，

即1<J(a-l>+(-3)2<3,平方得1<。2一2。+5<9,解得1—括<。<1+病，故

選A.

5【答案】B

【解析】$9=9(丁)=9%>0,所以4>0,又因為幾=呸詈1=53+&)<0，

第1頁共13頁

所以%+必<0，，%>0，?6<0?d=g-%<0，；?數(shù)歹”｛%｝是遞減數(shù)歹卜前項5為正,

從第6項起均為負數(shù)，所以數(shù)列｛邑｝的最大項是S5,故選B.

6【答案】A

【解析】直線加x+y—1=0恒過定點尸（0,1）,直線x—加.v+2=0恒過定點°（—2,0）,

由兩直線的方程可知：兩直線相互垂直。所以點力的軌跡方程為

（x+l）2+^-1^|=：（xwO且ywO）,圓心為圓心到直線y=2x+6的距離

-2」+62

d=j=7右>正,所以（x+i『+口一；］=：（xw0且y力0）與直線y=2x+6

相離，所以線段48長度的最小值為撞_如=在，故選A.

102

7【答案】D

【解析】設等比數(shù)列的公比為g,當邑=0時，則《=-1,所以Ss=2；

當邑#0時，若q=l,則”=等=2317,所以#1,

aq

Sg='^~）=17=17S4，即1一爐=17（1-/）,又因為4片

\-q\—q

所以1+/=17,解得r=16,所以q=±2

所以品"'"J1）"6或14,綜上：S3=2或6或14,故選D.

8【答案】C

【解析】如圖，設正四面體S-ABC的外接球球心為0

外接球半徑為R=/O=SO,內切球半徑為「，設棱長為

a,在AA8C中,

第2頁共13頁

由正弦定理得」^=2/0，所以/。=也”，

.7113

sin—

3

所以sq=一AO；=%，R2=/q2+oq2=zq2+（sq_R『，解得火=乎.；由

「，所以,=j^=3x；s^xsa=2="“，

等體積法得到憶皿=卜表

412

所以4二于“芝"3」，故選C

二、多選題

9101112

ACABBCDACD

9【答案】AC

【解析】由題可設雙曲線的方程為4——/=x（2w0）,當2=4,-4時，對應的方程為

22

/-匕=1,匕—Jul,故選AC.

44

10【答案】AB

【解析】設/（如%）,尸go],所以/尸中點為N"二萬,'，N到了軸的距離

V7

+

d=」1了~,又因為|/下|=%+^,所以1=殍II，所以以M尸I為直徑的圓與V軸相切，故

A正確；

設/(孫必)，B(X2,%),所以《二%一％2P=：p=i，所以p=>"=2,故B正

AB22.

21__匕弘+%yM

2P2P

確；

第3頁共13頁

設/(如弘),B(X2,%),若ZAOB=W，則次?無=0,所以中2+%％=日4+乂刈=0,解

24P

得乂力二―?2，所以工產(chǎn)2=4夕2,與玉七=2矛盾，所以乙408*1，故C錯誤；

設直線的傾斜角為。，當點/在第一象限時，同=P,|昉|=P，所以

1-COS01+COS0

四J+cos。所以cos?！?如B=tanO=20;當點/在第四象限時，\AF\=p>

\BF\l-cos031+COS0

p

\BF\=，所以四J-cose所以?os*」，kAB=land=-242,所以D錯誤;

1-COS0\BF\1+COS03

故選AB.

11【答案】BCD

【解析】如圖，過M作平面AffiF〃平面4助，凡尸分別為說,3中點，所以動點N的

軌跡是線段跖，故A錯誤；

當N與E重合時，三棱錐N-CDD]體積的最大，此時

VNCDD=-S^h=-x-x2x2x2=-'故正確；

/V-vzjzj]3AvCjMDjLDxj323B

由圖可知/GJ_平面AffiF,又因為“Nu平面MEF,

所以NG，〃N，故C正確；

直線MN與AM夾角為NAMN,顯然4W_L/N,所以tanN4VW=W上，

AM

MMmm=*,|/W|=1，所以直線與4W夾角正切的最小值為,，故D正確，

故選BCD.

12【答案】ACD

【解析】因為“…"+4+J+T小…，所以…>。,數(shù)列

第4頁共13頁

｛氏｝是遞增數(shù)列，故A正確;

若數(shù)列｛4｝是單調遞增數(shù)列，

當〃22時，an+1-an=(a；+2an-6)-+2a“_]一6)=(4-)(a“+an_r+2)>0

且a“一見T〉0，所以%+4-1+2〉0,又因為｛a“+a,i+2｝是單調遞增的，所以只需

>0Ia,2+?,-6>0

要42?=4,解得/〉2或/<—4,故B錯誤；

?2+<?!+2>0[aj+3a「4〉0

+a?+l>a?+l>所以%+i-⑸21，

所以6=￡（如「％）+%2〃+1，所以S,,2上即，故C正確;

k="）.2

易知｛對｝是遞增數(shù)列，所以見》。]=3,則%+]+2=°“（?+2”3（%+2），即“向+223,

a?+2

所以%+2X%T+2X...X￡1±ZN3"T(〃22)，即a“+223"T(%+2)=；x3"(〃N2)，所以

an-\+2?！?2+2%+2

，當〃=1時，_^=1<2±,所以

%+255X31%+253”\

所以廣1/仆?1?…?1]=3乂衰3"）〈工，D正確，故選ACD.

白為+2—5（3323"）5]」10

-3

三、填空題

第一空：a

13【答案】—

第5頁共13頁

【解析】由題可知上HO,且一,=一1，所以左=1，所以4x+^+l=O,/2：x+y+2=0,

k

所以人與，2之間的距離為"=口=1.

V22

14【答案】1

【解析】八x）=2x—197/（99）=1.

15【答案】6

【解析】由等比數(shù)列的性質可得:%2=。3%=36,又因為%=%相>0,所以%=6.

16【答案】a；1+逑

4

【解析】如圖所示，設耳（-c,0）,外（c,0），其中/=<?+/.

設。1（%,必）,。262，%）?過。1分別作平、PF「《8的垂線，垂足分別為R、S、T,

所以由切線長定理有閘|=回,|空|=|耳T|,|gS|=\F2T\,

則只~產(chǎn)閭=|網(wǎng)+網(wǎng)|-（陶+解|）=網(wǎng)卜陋|=|47-|巧|=2a，

又因為內瑪|=|回|+|叫|=2c，所以|s|=a+c.

又耳（-c,0），所以%=a，同理可得稱=無所以。|、C在直線x=a上，

所以用7=FF=FJ=c-a,過Q作直線相傾斜角為/"G=g，

由題可知ZPF2G=ZO2OtH,

所以tanZO2OtH=tan工=百=~=>卜一2|=乂。廠"），

3<3

第6頁共13頁

??=62（c-a）4（c-a）

sin/OQH=sin—=——=---------n乙+分='廠,

2132…2V3

所以,2-42卜h-4）億+小卜8（。3。）>3〃2,化簡為8c之—I6ac—a2>Q

所以8/-16e-lNO,又因為e〉l,解得e2i+￡!L

4

四、解答題

17【答案】（1）an=2H-1;（2）見解析

4=q+5d=11

a=\

【解析】（）設數(shù)列｛%｝的公差為由題得V,解得x

1d,3x2

邑=3%T———d=9d=2

所以?！?1+2（〃-1）=2〃￡N*）?...................................................................................5分

（2）由（1）可得$=四也±0=”2,所以_n_=_1_=1__1_,

2（〃+l）S“+〃〃+1

所以———F—^―H----1-------------=1——+———H-----F------!—=1—<1..........................10分

2sl3s2+1）S〃223nn+\n+\

18【答案】（i）y=2x-\\（2）y=2x-l^y=-x+l.

【解析】（1）由題可知：切點為（1,1）,/'（x）=3f—1,所以廣⑴=2,

第7頁共13頁

所以曲線在點處的切線方程為y=2（x-l）+l,即丁=2x-1.6分

⑵點不在曲線〃x）=x3-x+l上，設切點為/優(yōu),％）,所以/（%）=3/2-1,

切線方程為了=（3婕一1）（了一/）+/3一%+1,因為在直線上，

所以§=口靖——x。）+葉—X。+1,即2x。3—2x02=0,解得x0=l或%=0.

當切點為（1,1）時，切線方程為y=2x-l；

當切點為（0,1）時，切線的斜率為（（0）=7,此時切線方程為y=-x+l.

綜上所述，過點。［g,1且與曲線/（x）=d-x+1相切的直線方程為：

>=2%—1或〉=一、+1............................................................................................................12分

19【答案】（1）見解析；（2）顯

3

【解析】（1）證明：由題可知4S_L/C,因為瓦少分別為/C,5C中點，所以EF//4B,

所以￡/_1￡。,￡/，/￡,又因為￡Cn/￡=￡,￡C,/￡u平面NEC,所以￡F_L平

面/EC,因為斯u平面所以平面/EC,平面4&FE；............................6分

冗

（2）由（1）可知所，￡C,￡F，/￡，因為44￡。=5,

所以ZELEC,所以/￡,￡尸,￡。兩兩垂直，以￡/為x

軸，以斯為》軸，以EC為z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系￡-乎

￡(0,0,0),5(1,2,0),C(0,0,1),尸(0,1,0),CS=(1,2,-1),方=(1,1,0)

易得平面CEF的一個法向量記=（1Q0）

第8頁共13頁

設平面BCF的法向量為n=(x,y,z)

所以[藝〃=°,即尸+2—=0,解得一個法向量〉=(—)

FB-n=O[x+y=0

歷斫以"Icos<-m.n>I==---1-(==——7：

11m\\nlxV33

所以平面BCF與平面CEF夾角的余弦值為YL..............................12分

3

20【答案】(1)土—必=1；(2)左=土叱或土土

4.34

【解析】(1)由題可知2a=4,所以。=2

丫2

所以雙曲線的方程為：—-/=1.5分

4.

(2)設M(X]/I),N(X2/2)，由題可知左/±g，

y=kx+l

聯(lián)立x2,n(l-4/b2-8fcc-8=0

----y—1

[4J

A=(—8左『一4x(—8)(1—4左2)=32(1—2左2)〉0

所以k2<工，X+X=--~-,XX=---,

2'一1—4/'—]_4左2

1

點o到直線『：了=丘+1的距禺d7=乙=^^，所以

W+H

第9頁共13頁

S\MON=；|肱*+",卜「可，

令左2=/<!，化簡得：24/—1"+1=0,解得：/或/=±

238

所以左=±---或±...........................................................12分

34

嚴一1吧"+1。（"為偶數(shù)）

21【答案】⑴%=2”;（2）C=3

,（3"-4）*+”奇數(shù)）

【解析】（1）

當〃=1時，Sx=ax=2a]-2?所以q=2

當〃22時，因為S〃=2a〃-2①，所以S"_i=2Q”_1-2②

①-②得Sn-S"_\=a”=2an-2an_t,即％=2an_t

所以%=2",

當"=]時，q=2滿足上式，所以%=2"（〃eN*）...................................4分

（2）因為%+2=2〃，所以2+2+6,+]=2〃+2,兩式相減得方也-6,=2,所以｛4｝的奇

數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列。

當〃為奇數(shù)時，%2=2+2,令n=2k_l（keN）,則砥+[=41+2,

所以砥T=4+2（后一1）=2后_1,此時%-X&-=（"-1）22/7；..................5分

當〃為偶數(shù)時，酊2=6,,+2,令n=2k（keN）,貝加厘=&+2,

所以4斤=4+2（左—1）=24,止匕時％*x4*=（24一1）2?。......................6分

記的前”項和為C"

第10頁共13頁

當n=2k（左eN*）時，

C.=Gk=+…+%人也石1+a2M2A

（H----------1-Z>_（2a+04人4"1----------

=%4+a3b}13tJ+aa2kbQ

2M2W

令看=+aA+…+a/也1T=lx2+3x2>…+供-3卜2+（2fc-1）<2①

所以47；=1X2'+3X25+…+（24-3）x227+^-1）X22M②

］一②得一37；=2+203+2、+…+22*T）—（2左一1）x22/1+1=?

（12左-10）x22"+10

所以Tk=8分

9

令M卜=a,b,++…+a2kb2k=lx22+3x24+,??+（2k—1卜2~

發(fā)現(xiàn)=27；.................................................................................................................................9分

（12I0）x2"+10

所以C”=4+M=37；=?eN*

3

（6?-10）x2"+10

所以當"為偶數(shù)時，C=10分

3

當〃為奇數(shù)時，〃+1為偶數(shù),

,,+1n+1

cr,,（6w-4）x2+10+1,（3n-4）x2+10八

所z以C=C-axb------------------------?-2"=^---------.......................................11分

nn++1n+1ln++1l33

」一10）x2,+10

所以C=3..........................................................................