2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

專題25同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

一、【知識梳理】

【考綱要求】

sinx

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2^+cos2^=l,---=tanx.

cosx

JI

2.能利用單位圓中的對稱性推導(dǎo)出萬土a,m土a的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.

【考點預(yù)測】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

⑴平方關(guān)系：sin-a+cos'a=1.

sinciAA

⑵商數(shù)關(guān)系：——-=tanaa#J亍I+E,k^l\.

cosa12J

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

、.

公式—■二三四五八

2k八+JIJI

角JI+。—an一a1a

a(A-EZ)

正弦sina—sinQ—sinasinaCOSQcosa

余弦cosQ-cosaCOSQ—cosasinQ—sinQ

正切tanatana—tana—tana

口訣奇變偶不變，符號看象限

【常用結(jié)論】

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sina+cosff)2=l±2sinacosa；sina=tana?cosa.

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

JI

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指萬的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名

稱的變化.

3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.

【方法技巧】

1.利用sir?a+cos2a=1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角a所在象限確定符號;

利用2^=tana可以實現(xiàn)角a的弦切互化.

COSQ

2.應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa

這三個式子，利用(sina+cos^)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：l=sina+cosa,sina=1—cosa,cosa=1—sina.

4.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.

②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

5.含2兀整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2兀的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2兀的整數(shù)

倍去掉后再進(jìn)行運算.如cos（5幾一。）=cos（兀-4）=—cosa,

6.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈

活使用公式進(jìn)行變形；注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.

二、【題型歸類】

【題型一】“知一求二”問題

3

【典例1】已知。是第四象限角，且tan。=一?則sin。=()

3344

A.—rB.~C.~D.——

5555

■sina3

【解析】因為tana=-----7=一7

cosQ4

4

所以cosq=—§sin。①.

°9

sin2a+cos2a=1②，由①②得sin2a,又a是第四象限角，所以sin則sin

3

a=一三，故選A.

5

1

值

貝

的

?為

【典例2】已知。是三角形的內(nèi)角，且tan。=3-S1n4

1

【解析】由tanQ=3-

得sina——~cosCL,且sin。＞0,cos。＜0,

將其代入sin2a+cos?。=1,得與cos?a=1,

3710

所以cosa—山.1"一巫]0'

10'

V10

故sina+cosa=—

5?

5

【典例3】已知cosa,貝!J13sina+5tana=.

5

【解析】Vcosa=-且cos。#一1,

???。是第二或第三象限角.

13，

_12

sina1312

??tana,

cosab5r

-13

…)(412

此時，13sina+5tana=13x1——I+5X—=0.

綜上，13sina+5tana=0.

【題型二】sina,cosa的齊次式問題

【典例1］已知J；=T，求下列各式的值：

tanan<「7—1

sina—3cosa

⑴sina+cosa

(2)sin2a+sinacosa+2.

1

【解析】由已知得tan

sina—3cosatana—35

(1)

sina+cosatan。+13,

T|2+1

...,..sin2a+sinacosQtan2a+tana

(2)sin?a+sinocos2-;~2j2+2=:27~i+2=’

sina+cosatan。+1

If+1

13

2=一

5,

7

【典例2】已知sin9+cos,夕￡（0,兀），則tan。=.

760

【解析】方法一由sin0+cos,得sin8cose

1u169,

因為3e(o,n),所以sin"0,cos。<0,

________________17

所以sin9—cos9=^1—2sin9cos0=—,

J.u

12

sin0+cos夕=E，sin

13,

聯(lián)立，…解得<

5

sin0—cos9=77,cos0=

13,

所以tan0=——.

5

7

方法二因為sin。+cos^=—,

J.J

60

所以sin9cos0=—7777,

，是方程4金-^=。的兩根，所以荀韋…

由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin3,cos

5

13,

60

又sinGeos。=—TZ?7<°，?！?0，兀)，

169

所以sin"0,cos8<0.

125

所以sin,cos—

sin。_12

所以tan

cos95

60

方法三由sin9+cos0,得sin9cos9

LO169,

sinOcos°60

所以，

sin2+cos28169,

../口tan960

齊次化切，得十2—1=FH，

tan〃士1169

BP60tan2^+169tan。+60=0,

195

解得tan0=--或tan0=——

512

,、760

又夕￡(0,JE),sin0+cos0=—>0,sin夕cos0<0,

1o169

r313兀、12

所以3eCT，所以tan3=——,

1

asina—3cosa

【典例3］已知tan-2-；sin2a+sinacos4+2

sina+cosa

【解析】已知tana=-,

sina-3cosa_tana-3_5

'sina+cosatan。+13'

sin2a+sinacosa+2

.2I.

sin〃+sin&cos七

sin2a+cos2a

tai?Q+tana

tan2。+1

2

【題型三】sina土cosa,sinacosa之間的關(guān)系

【典例1】已知。金(一兀，0),sina+cos。

5

(1)求sina—cosa的值；

/\_^sin2a+2sin2a

⑵求——~~-的值.

1—tana

【解析】⑴由sina+cosa=-,

5

平方得sin%+2sin<2cosa+cos2a=—,

24

整理得2sinacosa=——

25

49

所以(sinci-cosa)2=l—2sinacos=25,

由ae(—JI,0),知sina<0,又sina+cosa>0,

所以cosq>0,則sina—cos〃<0,

痂?7

故sina—cosa=——

sin2Q+2sin2a2sina(cosa+sina)

1—tanasina

1-------

cosa

241

-25X5

2sincicosa(cosa+sina)24

cosQ—sina-7-：175,

5

3

【典例2】已知tana貝|sina(sinQ-COSa)

2125

A-25B?五

45

C-5Dq

s.m2a—s?macosa

【解析】sina(sina—cosa)=sin2a—sinacosa

sin2a+cos2a

tan2a—tana

1,將tana

tan2。+1

故選A.

【題型四】誘導(dǎo)公式

JI1y+。卜勺值為（

【典例1］已知sina——則cos|

4*

羋

B

11

cD

3-3-

故選D.

tan(—a)cos(2n—a)sin|

【典例2】的值為（

cos(—q—兀)sin(—?！?)

A.-2B.-1C.1D.2

?-tana?cosQ?(—cos。)

【解析】原式=cos(n+

q)?[—sin(n+a)]

tanQ?cos2Q

—cosQ?sina

sinacosa

——------?-:-----=-1.

cosQsmQ

故選B.

【典例3】已知函數(shù)/■（x）=ai+2（a>0且aWl）的圖象過定點尸，且角。的始邊與x軸的

<11Ji)<9JI,

cosl-QIsinla+sin2Q

正半軸重合，終邊過點尸，則一一—?等于（)

cosl-+alsin(—Tl一Q)

2

A.—B.

o3

33

C，D.

22

【解析】易知函數(shù)f（x）=尸+2（蘇0且aWl）的圖象過定點P（2,3），

3

故tana=~,則

JTA

y+alsin(—JI—a)

cos^~+a)sina

—sinacosa+2sinacosa

—sin〃sina

COSQ

sina

1_____2

tana3,

故選B.

【題型五】基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

【典例1］已知。為銳角，且2tan（兀一a）—3cos^y+￡）+5=0,tan（兀+a）+6sin（兀

+￡）—1=0,則sina的值是（）

1

C-

D.3

【解析】由已知可得一2tana+3sin￡+5=0,tana—6sin￡一1=0,解得tana=

3,又a為銳角，故sina

故選C.

【典例2］已知a是第三象限角，且A。）=

sin（一。-兀）cos（5兀-。）tan（2兀一a）

cos^~-a）tan（—a-兀）

①化簡廣（。）;

②若tan（兀一。）=—2,求fO）的值；

③若。=—420°,求/V）的值.

【解析】①由題可得，

/、sin（一?！撸ヽos（5兀-。）tan（2兀-。）

sina(—cosa)(—tana)

=-------:-----7—;------7-------=-cosa.

sina(—tana)

②因為tan(兀一。)=一2,所以tana=2.

所以sina=2cosa.

所以(2cosaV+cos?。=1.所以cos2a=：.

因為。是第三象限角，所以cosa=一害,

5

所以f(a)=4

5

③因為cos(—420°)=cos420°=cos60°=；,

1

所以_f(a)=—cosa2-

【典例3]已矢口tan(—2019兀+。)=-2,貝!]24sin(。一豆Jsin(。+7)=()

XAi?—乙2JD??—

B5

2市+33

C.V匚-D.~

55

【解析】因為tan（—2019n+。）=—2,

所以tan夕=—2.

貝lj2/sin(夕一Ssin(

=N^sin—cos9)(sin9+cos夕)

=/sin2。一cos?。+(鎘—1)sinOcos0

cos?。+(\[^一1)sin9cos8

sin20+cos20

<\Z^tar?e—l+-tanJ

tan2夕+1

4+1

羋里故選B.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知&為第二象限角，則cos<2-^1+tan2a+sin

/sin2ci+cos2ci/sin2a+cos2a1

【解析】原式=cos/-------2------+sin<7A/------------=cosa-\------

\lcosQsina\cosa

]

sinQ|sina|，

因為。是第二象限角，

所以sina>0,cosa<0,

所以cosffK^r^+sin°扇彳=—1+1=°'即原式等于0?

【訓(xùn)練二】如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一

個大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為9,大正方形的面積是1,

小正方形的面積是白，則sin2夕一COS，9的值是.

【解析】由題意可知，拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cos明

短直角邊為sin小正方形的邊長為cos。-sin0,

???小正方形的面積是二，工（cos夕一sin夕）2=白,

???。為直角三角形中較小的銳角,

1

夕--

cosJ>sin8，AcosJ0L

又,:(cos—sin^)2=1—2sin。cos

24c八49

.*.2sin?cos0=~,/.l+2sin9cos,

zLu乙0

497

即(cos'+sin夕)2=赤，...cos"+sin

7

；?sir?9——cos?8=(cos9+sin9)(sin0—cos0)=

【訓(xùn)練三】（多選）已知小。弓,則下列說法正確的是（

)

A./的最小值為一十

B./<a）的最小值為一1

C.『（a）的最大值為十一1

D./的最大值為1—4

【解析】設(shè)t=sina+cosa=^2sinfa+~

JI

由OWqW萬,

JIji3兀

得La+y<—,

則IWtW小,

又由(sina+coso)2=

得2sinacos

2

所以f（。）=g（t）=t+1^1-7+T,

9

又因為函數(shù)尸七一1和尸一干在［1,上單調(diào)遞增，

O

所以g（t）=t—1—E在［1,短］上單調(diào)遞增，

g（力min=g（l）=一L

g（力max=g（鏡）=l—y［2.

【訓(xùn)練四】已知關(guān)于x的方程2/一（4+l）x+/=0的兩根分別是sin9和cos。,

?！辏?,2兀），求：

⑴.s『-7+夕的值;

sinc/—cosu13—t?an〃

（2）%的值;

⑶方程的兩根及此時夕的值.

?2Q

【解析】⑴原式=sinUcose

sin9

cos。

sin28____+cos29

sin0-cos°cos。-sin8

sin2°—cos29

sin0-cos°

=sin9+cos0,

由已知得sin3+cos

而risi.夕cos8_m+1

sin0—cos°1—tan92,

(2)由已知得sin8cos9=%

因為l+2sin?cos0=(sin8+cos

-cos好早,

sin

(3)聯(lián)立＜

夕cos夕=凈，

sin

解得q

1

COS夕=~

sm

或＜

cos

JIJI

因為"0,2"),所以"后或干

【訓(xùn)練五】已知sina=l—sin(5+￡),求sin'q+sinK■一￡)+1的取值范圍.

【解析】因為sin。=1—sin(~^+￡)=1—cosB,

所以cos￡=1—sina.因為一IWcos￡W1,

所以一1W1—sinaWl,0Wsin

又一IWsin所以sinae[0,1].

所以sin2a+sinf~~-7^j+l=sin2a+cos^+l=sin2a—sina+2=fsin

*(*)

又sinae[0,1],所以當(dāng)sin?時，（*）式取得最小值（；當(dāng)sin。=1或sina=0

7

時，（*）式取得最大值2,故所求取值范圍為72

【訓(xùn)練六】在中，

⑴求證：cos2^y^+cos2亨=1；

⑵若cos^^+^sin^-^-+^tan（C~兀）＜0,

求證：△/能為鈍角三角形.

【解析】（1）在中，A+B=Ji-a

A+B兀C

所以于=5

2f

2什BC

所以cos---十cos2-=1.

⑵若cosf^+jsinS^-(61—兀)<0,

所以(-sinA)(—cosB)tanC<0,

即sinAcos仇anC<0.

因為在△/酸中，0</<兀，0<^<n,0<6<兀且sinJ>0,

[cosB<0,[cos皮>0,

所以或

[tan00[tanCV0,

所以6為鈍角或。為鈍角，所以△/阿為鈍角三角形.

四、【強化測試】

【單選題】

_3

1.已知?！?0,n)，cosa=-則tan。=()

0

3

AB.

-44

44

C，3D.

3

【解析】,?'cos。=一鼻且aG(0,冗)，.\sina=^/l—cos2a=-,

OD

sina4

??tana=------%故選D.

cosao

2.已知sin(°-1JI\

，則a+瓦）的值是（)

3COS

11

A.一§B-3

C述

D.

33

_11

..cos=cosy+

=53

故選A.

3.logfcos號)的值為(

2)

1

A.-1B--2

1

c,5

4.故選B.

【解析】log2

2

(JC

4.若sin15+ag3,且Lae/(萬n，n)，則sin(n—2a)=()

2412

AA--25B.

25

1224

C-25D-25

【解析】Vsinfy+a34

=cosa，Asina=-,?\sin(冗—2a)=

g3o

4一||故選A.

sin2a=2sinacosa=2XTX

b

1+cosa

5.若?—2,則cosa—3sina=()

sina

A.-3B.3

99

C.D，

55

1~Heosa

【解析】?/--：------=2,Acosci=2sina—1,又sin?a+cos?a=1,

sina

Asin2a+(2sina—1)2=1,5sin2a—4sina=0,解得sin。=春或sina=0(舍去),

9

cosa—3sina=-sina—1=一三故選C.

□

C--3

=cos段+("3]=1.故選A.

【解析】

u

_21

7'已知sin2。=§,貝l|tan。+高()

B.^2

C.3D.2

1sina,cosa1

【解析】tana-\sin2ff=2=3,故選C，

tanacosasinasinacosa

3

8.已知aGR,sina+2cosa=半^,則tan2。=

)

43

A

3-B.4-

4

C--4D.

3

3^/10

sin

【解析】因為sina+2cosa=^^,sin2a+cos2a=1一10：

解得，

cos

一10

10

3710

10,

,-12tana2X33_2tana

所以tana=3或一亍所以tan2a=20=匚手=一疝或tan2a=2「

%.故選c.

【多選題】

9.在中，下列結(jié)論正確的是()

A.sin(Z+0=sinC

D-B+CA

D.sin---=cos~

C.tan(A+&=—tan《今日

D.cos=cosC

【解析】在勿中，有4+6+C=",

則sinC4+而=sin(兀一。=sinC,A正確.

,B+C?兀AA

sin---=sin|正確.

22cos2B

tan(/+③=tan(兀-0=—tan<今

C正確.

cos(Z+E)=cos(兀-0=—cosC,D錯誤.

故選ABC.

ff+cosff4則()

10.已知?！辏?,兀），且sin

Jl

A.—<

12

B.sincicosa=-

25

7

C.cosa-sin°=5

7

D.cosa—sin"=一匚

【解析】：sina+cos0=匚，

等式兩邊平方得

,21

(sina+cosa)=l+2sinaC0S°=25f

12

解得sinacosa=故B正確;

_/\12

Vae(0,兀)，sin〃cosa=——<0,

W已，口)故A正確；

cosa-sina<0,

且(cosa-sin—2sin〃cosa

7

解得cosa—sina故D正確.

5

故選ABD.

11.已知角。滿足sin-cosaWO,則表達(dá)式$1一°+?口)+。。$(a)(4.7)的取

sinQcosa

值可能為()

A.l2B.—1或1

C.2D.—2或2或0

—91nQ—enQCL

【解析】當(dāng)左為奇數(shù)時，原式=〃+〃=(—1)+(—1)=—2；

smQcosa

sinQcosQ

當(dāng)A為偶數(shù)時，原式+

sinacosa

???原表達(dá)式的取值可能為-2或2.

故選AC.

4

12.若sin6/=-,且。為銳角，則下列選項中正確的有（）

5

4

A.tanQ=—

0

3

B.cosa=—

5

C.sina+cosa=—

5

1

1

-

L

D.sina—cosa=0

4

【解析】「sin。技，且.為銳角,

cosa=，1—sin2a=一g2='故B正確，

4

sina54,乙一?

.**tanQ—故A正確,

cos。33

5

4378

.,.sina+cosa=~+-=-7^-,故C錯誤，

5555

4311

Asina—cosa故D錯誤.

5555

故選AB.

【填空題】

1

sin（?！＃?cos（9—2兀）則t

13.若2-an-

sin9+cos（兀+。）

sin（兀-0）+cos（。―2兀）sin0+cos91

【解析】因為

sin0+cos（n+。）sin8-cos8亍

所以2（sin0+cos9）=sin9—cos9,

所以sin0=-3cos°,所以tan。=-3.

14.若tana=—2,貝Ucos2a+2sin2a

cos2a+2sin2a

【解析】原式=

cos2a十Isi-n2a

cos2a+4sinacosa

cos':a+sin2a

l+4tana1—87

1+tan2a-1+「-5,

JI1則coTa'in%的值為

15.已知一E<aV0,sina+cosa-

11

【解析】由題意，因為sina+cosa=,所以l+2sinacos

50=加

24

所以2sinacosa,

49

所以（cosci—sinq）2=l—2sin°cosa,

25

JI

又因為一萬V4VO,所以sina<0,cosa>0,

7

所以cosa—sina

5

所以costalsir?。

125

（cosa+sina）（cosa—sina）7

16.已知。是第四象限角，且sinQ+V=|,貝ljtan(?—?.

【解析】由題意，得cosQ+S=(,

???tanQ+p)=|.

(JI\(JiJIA

.'.tanl。一丁尸tan1

14

tanQ+寧)"

【解答題】

17.(1)已知cosa是方程3x—x—2=0的根，且a是第三象限角，求

?3吟(3兀?)2

a4-Icosl-+aItan(兀一

一的值;

cosf-1-+ff--a

(2)已知sinx+cosx=一忘(0〈/兀)，求cos2sinx的值.

J.o

9

【解析】(1)因為方程3f—x—2=0的根為xi=LX2=—不

2

又。是第三象限角，所以

cosa=31

坐tana*.

所以sina

uuirs#—cosaSi?n"t,an2a5

所以原式二------：~；----；—t,an2

—sinacosaa=]

7

(2)Vsinx+cosx=——(0<x<,

.'.cosx<0,sinx>0,BPsinx——cosx>0,

7

才巴sinx+cosx=一百，

49

兩邊平方得l+2sinxcos了=麗,

目n120

即2sinxcosx=-7777,

169

289

(sinx-cosx)21—2sinxcos

169

.17

即Bnsinx—cos,

sinx+cosx=一記,

聯(lián)立17

sinx-cosx=—,

解得sinx=—,cosx；

22

.'.cosA-2sinx=—-.

LO

18.已知角a的終邊經(jīng)過點戶（30，WO）.

sin(a+JI)+cos(a—n)

⑴求的值;

sin1a+vj+2cosfa—y

（2）若。是第二象限角，求sin［。+與-）+sin（無一a）cos。-cos￡~+的值.

【解析】⑴°；m#0,cosaWO,

sin(a+兀)+cos(a一n)

即?

sin(a+-j+2cos|

—sin。一cosa

cosCL+2sina

—tana

l+2tana,

又???角。的終邊經(jīng)過點尸(3加一64EW0),

—6777

tana=——=