2025優(yōu)化設計一輪第2節(jié) 導數(shù)的運算

第2節(jié)導數(shù)的運算高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025研考點精準突破目錄索引

強基礎固本增分12強基礎固本增分知識梳理(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=_________f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=_________f(x)=sin

xf'(x)=_________f(x)=cos

xf'(x)=_________f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=_________f(x)=exf'(x)=_________f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=_________f(x)=ln

xf'(x)=_________0αxα-1cosx-sinxaxlnaex(2)導數(shù)的運算法則①[f(x)±g(x)]'=__________.

②[f(x)g(x)]'=_________________________,特別地,[cf(x)]'=__________.

(3)復合函數(shù)的求導法則:復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為y'x=__________,即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)y'u·u'x常用結論

3.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.f'(a)=[f(a)]'.(

)2.若函數(shù)f(x)定義域為R,且f(-x)+f(x)=0,則f'(-x)=f'(x).(

)3.若f(x)=ln3,則f'(x)=.(

)4.若f(x)=sin2x,則f'(x)=cos2x.(

)×√××題組二

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題組三

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1研考點精準突破考點一導數(shù)的運算例1(1)(多選題)(2024·吉林長春模擬)在下列求導運算中,不正確的是(

)BCD(2)(2024·湖南長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+x3f'(1),則f(1)=(

)C解析

設x∈(-2π,-π),則x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin

x,又因為f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin

x,此時f'(x)=sin

x+(x+2π)·cos

x,B規(guī)律方法函數(shù)求導運算的基本原則(1)熟記常見函數(shù)的導數(shù)公式和四則運算法則,切勿記錯記混;(2)求導前,應利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)解析式進行化簡,以便減少運算量,減少差錯;(3)復合函數(shù)求導,要正確分析函數(shù)的復合過程,分清內外層函數(shù),按照法則進行求導;(4)求函數(shù)在某一點處的導數(shù)且解析式未知時,應先根據(jù)條件求出該點所在區(qū)間的解析式再求導;(5)當函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)(如f'(x0)等)時,應將待定系數(shù)看成常數(shù)進行求解.考點二導數(shù)運算的應用(多考向探究預測)考向1與導數(shù)運算有關的新定義問題例2(2024·山東煙臺模擬)給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導,即f'(x)存在,且導函數(shù)f'(x)在D上也可導,則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù),記f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù),以下四個函數(shù)在(0,)內不是凸函數(shù)的是(

)A.f(x)=cos

x+sin

x

B.f(x)=ln

x+3xC.f(x)=-x3+4x-8 D.f(x)=xexD規(guī)律方法導數(shù)新定義問題的求解策略新定義題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情境,要求考生在閱讀理解的基礎上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的.遇到新定義問題,應耐心讀題,分析新定義的特點,弄清新定義的性質,按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗證、運算,使問題得以解決.[對點訓練1](2024·浙江杭州模擬)曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標,其定義為:若f'(x)是f(x)的導函數(shù),f″(x)是f'(x)的導函數(shù),則曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的曲率K=

.已知f(x)=cos(x-1)-ln

x,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的曲率為__________.

0考向2導函數(shù)性質的應用例3(2024·山東德州模擬)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)的定義域均為R,且f(x-1)為奇函數(shù),f'(2-x)+f'(x)=2,f'(-1)=2,則

=(

)A.2025

B.2024 C.1013

D.1012B解析

由f'(2-x)+f'(x)=2,令x=1,得2f'(1)=2,所以f'(1)=1.由f(x-1)為奇函數(shù),得f(x-1)=-f(-x-1),所以f'(x-1)=f'(-x-1),故f'(x)=f'(-x-2),①又因為f'(2-x)+f'(x)=2,②由①和②得f'(2-x)+f'(-x-2)=2,即f'(4-x-2)+f'(-x-2)=2,所以f'(x)+f'(x+4)=2,③令x=-1,得f'(-1)+f'(3)=2,得f'(3)=0;令x=1,得f'(1)+f'(5)=2,得f'(5)=1.又因為f'(x+4)+f'(x+8)=2,④由③-④得f'(x)-f'(x+8)=0,即f'(x)=f'(x+8),所以函數(shù)f'(x)是以8為周期的周期函數(shù),故f'(7)=f'(-1)=2,所以f'(1)+f'(3)+f'(5)+f'(7)=1+0+1+2=4,=506[f'