甘肅省蘭州市五十五中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

甘肅省蘭州市五十五中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．2．若直線過(guò)兩點(diǎn)，，則的斜率為（）A． B． C．2 D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α0≤α≤π的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2至OB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為Q．記線段BQ的長(zhǎng)為y，則函數(shù)A． B．C． D．4．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．5．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)和點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．2 B． C． D．1210．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．12．已知函數(shù)，若，則__________．13．若，，，則M與N的大小關(guān)系為___________．14．如圖，已知扇形和，為的中點(diǎn).若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.15．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為__________.16．已知函數(shù)，對(duì)于下列說(shuō)法：①要得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱：③在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為；④為奇函數(shù).則上述說(shuō)法正確的是________（填入所有正確說(shuō)法的序號(hào)）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求證：.18．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，側(cè)面底面,是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.20．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程.21．求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出即可.【詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)的值，解題時(shí)要熟悉共線向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

直接運(yùn)用斜率計(jì)算公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)兩點(diǎn)，，所以直線的斜率，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了斜率的計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、識(shí)記公式的能力.3、B【解析】BQ=|y點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，要注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題．4、B【解析】

先求出，由此能求出．【詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算等基本知識(shí)，體現(xiàn)運(yùn)算能力、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．5、D【解析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得出答案.【詳解】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當(dāng)時(shí)，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時(shí)除以不為0的正數(shù)，成立故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí).6、B【解析】

分別令，求得不等式，由此證得成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系判斷項(xiàng)的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

求出A關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為C，則BC即為所求【詳解】如下圖所示：點(diǎn)，關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為C（0,2），連接BC,此時(shí)的最小值為故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．8、C【解析】

直接利用余弦定理的應(yīng)用求出A的值，進(jìn)一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．【詳解】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．9、C【解析】

由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，再結(jié)合棱柱的表面積公式求解即可.【詳解】解：由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，又由圖可知底面等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，棱柱的高為1，則該幾何體的表面積是，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，重點(diǎn)考查了棱柱的表面積公式，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過(guò)變形可知，累乘計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．12、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗裕?，所以，，所以，故填：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)自變量的取值范圍，利用作差法即可比較大小.【詳解】，，，所以當(dāng)時(shí)，所以，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較整式的大小，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

設(shè)，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據(jù)已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：設(shè)，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點(diǎn)，，在扇形中，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15、5【解析】

由題得表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】由題得表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離.又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、②④【解析】

結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐個(gè)分析即可得出答案.【詳解】①要得到的圖象，應(yīng)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所以①錯(cuò)誤；②令，，解得，，所以直線是的一條對(duì)稱軸，故②正確；③令，，解得，，因?yàn)?，所以在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，所以③錯(cuò)誤；④是奇函數(shù)，所以該說(shuō)法正確.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸、單調(diào)性、奇偶性與平移變換，考查了學(xué)生對(duì)的圖象與性質(zhì)的掌握，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解【解析】

（1）取的中點(diǎn)，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，E為PB中點(diǎn)，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因?yàn)?，，所以，，平面，又平面?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)一元二次方程無(wú)實(shí)根可知，解不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）（2）由題意知：無(wú)實(shí)數(shù)根，解得：或的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)值求解參數(shù)值、根據(jù)一元二次方程無(wú)實(shí)根求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及到一元二次不等式的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用即可證明；（2）由面面垂直的性質(zhì)即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）側(cè)面底面，側(cè)面平面，，平面，平面【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求出AC邊所在的直線方程，再由CM所在直線方程，兩方程聯(lián)立即可求解.（2）設(shè)，根據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立解得的值，再根據(jù)兩點(diǎn)式即可得到直線BC的方程.【詳解】（1）AC邊上的高BH所在直線方程為，且，AC邊所在的直線方程為，由AB邊上的中線CM所在直線方程為，，解得，故C點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則由AC邊上的高BH所在直線方程為，可得，AB邊上的中線CM所在直線方程為，，，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線BC的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程，