上海市文綺中學2025屆高一數學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

上海市文綺中學2025屆高一數學第二學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，，設，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．182．已知數列的前項和為，且，若，，則的值為（）A．15 B．16 C．17 D．183．設等差數列的前項和為，若，，則的值為()A． B． C． D．4．若，且，則“”是“函數有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．將正整數排列如下：則圖中數2020出現在（）A．第64行第3列 B．第64行4列 C．第65行3列 D．第65行4列6．在數列中，，，則的值為：A．52 B．51 C．50 D．497．若點為圓C：的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則周長的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．129．已知實數滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．610．已知，則使得都成立的取值范圍是().A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知中內角的對邊分別是，，，，則為_____．12．經過點，且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.13．已知為的三個內角A，B，C的對邊，向量，．若，且，則B=14．已知球的一個內接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．15．中，若，，則角C的取值范圍是________.16．方程，的解集是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，滿足：，，．（Ⅰ）求與的夾角；（Ⅱ）求．18．如圖，函數，其中的圖象與y軸交于點．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求使的x的集合．19．已知向量，滿足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.20．如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成的角的正切值．21．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標表示，最后求值.【詳解】,,當時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題型.2、B【解析】

推導出數列是等差數列，由解得，由此利用能求出的值.【詳解】數列的前項和為，且數列是等差數列解得解得故選：【點睛】本題考查等差數列的判定和基本量的求解，屬于基礎題.3、D【解析】

利用等差數列的前項和的性質可求的值.【詳解】因為，所以，故，故選D.【點睛】一般地，如果為等差數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數列；（4）為等差數列.4、A【解析】

結合函數零點的定義，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷，即可得出答案．【詳解】由題意，當時，，函數與有交點，故函數有零點；當有零點時，不一定取，只要滿足都符合題意．所以“”是“函數有零點”的充分不必要條件．故答案為：A【點睛】本題主要考查了函數零點的概念，以及對數函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記函數零點的定義，以及對數函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、B【解析】

根據題意，構造數列，利用數列求和推出的位置.【詳解】根據已知，第行有個數，設數列為行數的數列，則，即第行有個數，第行有個數，……，第行有個數，所以，第行到第行數的總個數，當時，數的總個數，所以，為時的數，即行的數為：，，，，……，所以，為行第列.故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，構造數列，利用數列知識求解很關鍵，屬于中檔題.6、A【解析】

由，得到，進而得到數列首項為2，公差為的等差數列，利用等差數列的通項公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，數列滿足，即，又由，所以數列首項為2，公差為的等差數列，所以，故選A．【點睛】本題主要考查了等差數列的定義，以及等差數列的通項公式的應用，其中解答中熟記等差數列的定義，以及等差數列的通項公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

根據題意，先求出直線PC的斜率，根據MN與PC垂直求出MN的斜率，由點斜式，即可求出結果.【詳解】由題意知，圓心的坐標為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【點睛】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點斜式方程即可，屬于常考題型.8、D【解析】

利用正弦定理和三角函數關系式，求得的值，由角的范圍求出角的的大小，再由條件和余弦定理列出方程，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，根據正弦定理可得，因為，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因為，當且僅當時等號成立，又由，所以，即，所以三角形的周長的最大值為.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數的性質，以及基本不等式的應用綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.9、D【解析】

設點，根據條件知點均在單位圓上，由向量數量積或斜率知識，可發(fā)現，對目標式子進行變形，發(fā)現其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數形結合思想，發(fā)現代數式的幾何意義，即構造系數，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.10、B【解析】

先解出不等式的解集，得到當時，不等式的解集，最后求出它們的交集即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，要想使得都成立，所以取值范圍是，故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性質應用，考查了數學運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據正弦定理即可．【詳解】因為，，；所以，由正弦定理可得【點睛】本題主要考查了正弦定理：,屬于基礎題．12、【解析】

由題可知，直線在x上軸截距為-3，再利用截距式可直接求得直線方程【詳解】∵直線過（0，5），∴直線在y軸上的截距為5，又直線在兩坐標軸上的截距之和為2，∴直線在x軸上的截距為2-5=-3∴直線方程為,即5x-3y+15=0【點睛】直線方程有五種基本形式，在只知道橫縱截距的情況下，截距式是最快捷的一種方式13、【解析】

根據得，再利用正弦定理得，化簡得出角的大小。再根據三角形內角和即可得B.【詳解】根據題意,由正弦定理可得則所以答案為?！军c睛】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應用,屬于基礎題。14、【解析】

求出面積的最大值，結合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當且僅當時，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，考查空間想象能力，是中檔題．15、；【解析】

由，利用正弦定理邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，進而可得結果.【詳解】由正弦定理可得，又，則,即，則，C是三角形的內角，則，故答案為：.【點睛】本題注意考查正弦定理以及兩角和的正弦公式的應用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.16、【解析】

用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結果.【詳解】解：即,即：或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是：故答案為【點睛】本題考查正弦函數的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）利用向量數量積的運算，化簡，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的數量積運算，求得的值，由此求得的值.【詳解】解：（Ⅰ）因為，所以．所以．因為，所以．（Ⅱ）因為，由已知，，所以．所以．【點睛】本小題主要考查向量數量積運算，考查向量夾角的計算，考查向量模的求法，屬于基礎題.18、（1）,（2），,（3）【解析】

（1）由函數圖像過定點，代入運算即可得解；（2）由三角函數的單調增區(qū)間的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因為函數圖象過點，所以，即．因為，所以．（2）由（1）得，所以當，，即，時，是增函數，故的單調遞增區(qū)間為，．（3）由，得，所以，，即，，所以時，x的集合為．【點睛】本題考查了利用函數圖像的性質求解函數解析式，重點考查了三角函數單調區(qū)間的求法及解三角不等式，屬基礎題.19、(1)(2)【解析】

（1）將展開得到答案.（2），平方計算得到答案.【詳解】解：（1）因為所以，，所以，，又夾角在上，∴；（2）因為，所以，，所以，邊的長度為.【點睛】本題考查了向量的夾角，向量的加減計算，意在考查學生的計算能力.20、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】

（1）只需證明PO∥BD1，即可得BD1∥平面PAC；（2）只需證明AC⊥BD．DD1⊥AC．即可證明AC⊥平面BDD1B1（3）∠CPO就是直線CP與平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，tan∠CPO即可求解【詳解】（1）設和交于點，連結，由于，分別是，的中點，故，∵平面，平面所以直線平面．（2）在四棱柱中，底面是菱形，則又平面，且平面，則，∵平面，平面，∴平面．（3）由（2）知平面．∴在平面內的射影為∴是與平面所成的角因為，所以為正三角形∴，在中，．∴與平面所成的角的正切值為．【點睛】本題考查了線