浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷試題及答案

金華十校2024年4月高三模擬考試

數(shù)學(xué)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè).考試時(shí)間120分鐘.試卷總分為150分.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無(wú)效.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合5=2x<。},則4八（）

A.{0}B,{1}

C.{1,2}D.{1,2,3)

【答案】B

【解析】

分析】根據(jù)一元二次不等式求解§={x|0<x<2},即可由交集求解.

【詳解】B={X|X2-2X<0}={X|0<%<2),故AB={1},

故選：B

2.'=()

2+i

12.12.

A—1B.--------1

5555

12.12.

C.-+-1D.--------1

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.

i(2-i)_l+2i

【詳解】

2+1(2+i)(2"廣丁

故選：A

3.設(shè)ae(0,兀)，條件“：sintz=工，條件q：cosa=也，則P是g的()

22

A.充分不要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求解.

【詳解】由于。武0,兀)，

若sina=_,貝ijcosa=土Jl-sin2a=土也,充分性不成立,

22

若costz=走，則sina=Jl-cos2a=1,必要性成立,

22

故。是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.設(shè)直線/:x—2y—/=0,圓C：(x——2)2=1,貝Ij/與圓c()

A.相交B.相切C.相離D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較即可判斷求解.

【詳解】圓C:(x—l)2+(y—2)2=1的圓心為C(L2),半徑廠=1,

U-4-g2!(3+a2)3

>>1=r

則圓心C到直線/的距離〃=&一亞一亞

故直線/與圓C相離.

故選：c.

5.等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為正數(shù)，公差為d,S”為｛4｝的前〃項(xiàng)和，若出=3,且邑，Si+S.,S5成等

比數(shù)列，則d=()

c.29

A.1B.2D.2或一

22

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到S2s5=(H+S3『，結(jié)合求和公式得到d=-3q或d=2q,再由4=3,

4〉0計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)轷?S,+S3,S5成等比數(shù)列,

所以S2s5=（Sj+S3『，即（2q+d）（5q+10d）=（4q+3d）2,

即（3q+d）（2q—d）=0,

所以d=—3q或d=2%,

又。2=3,>0,

3

當(dāng)d=-3〃i，則％+2=%-3%=3,解得力二一耳（舍去）,

當(dāng)d=2q,則q+d=q+2ax=3,解得％=1,則d=2.

故選：B

所

6.在AANC中，sinB=旦，C=120°,BC=2,則ZXANC的面積為(

7

A.6A/3B.473

C.3A/3D.2A/3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出6,代入面積公式即可得解.

【詳解】由題意，

sinA=sin（60°—5）=sin60°cosB-cos60°sinB=-^-x11---—x

'12V492714

cV21

,.dd.eab,asmB7.

由正弦定理，-----=-----,即人=-------=—健一=4,

sinAsinBsinA\21

R

所以SAABC=—absinC=—x2x4x^-=2^，

△4BC222

故選：D

7.金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)

校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（）

A.72種B.48種C.36種D.24種

【答案】A

【解析】

【分析】首先取2名教學(xué)型老師分配給一個(gè)學(xué)校，再把剩余老師分成A；組，然后分給剩余2個(gè)不同學(xué)校有

A；種不同分法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解.

［詳解］選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有C；C；種不同的方法,

剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有A；種,

這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有A；種不同分法,

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C；?C］A；?A；=3X6X2X2=72種不同的分法.

故選：A

8.已知cos(。一二:，sinosin/?=一)，則cc^a-sin2。=(

)

111

A.—2B.-C.一D.-

368

【答案】C

【解析】

【分析】由已知結(jié)合兩角差的余弦公式可先求出cosacos/?,然后結(jié)合二倍角公式及和差化積公式進(jìn)行化

簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】由cos(a-/)=g得cosacos尸+sinasin/?=g,

又sinasin/=-g，所以cosacos/7,

1+cos2a1-cos2y0_cos2a+cos2￡_cos[(a+/)+(a—+cos[(a+/)一(a—77)]

所以cos2a-sin20=

2222

=cos(a+/3)cos(a-/3)

=(cosacos/一sinasin/?)(cosacos尸+sinasin仍

121212236

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50?35OKW-h之間，進(jìn)行

適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左

A.x的值為0.0044

B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175

C.用電量落在區(qū)間［150,350）內(nèi)的戶數(shù)為75

6

D.這100戶居民該月的平均用電量為X（50"25應(yīng)

1=1

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1即可判斷A,根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算即可求解B,根據(jù)頻率即可求

解C,根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0,0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?0.0024+0.0036)*50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)x50=0.6>0.5,

所以中位數(shù)落在區(qū)間口50,200)內(nèi)，設(shè)其為加，

則0.3+(加一150)x0.006=0.5,解得相。183,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,用電量落在區(qū)間口50,350)內(nèi)的戶數(shù)為

(0.0060+0.0044+0.0024+0.0012)x50x100=70,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,這100戶居民該月的平均用電量為

6

(50+25應(yīng)+(50x2+25*2++(50x6+25)s6=^(50/+25)s;,故D正確.

Z=1

故選：AD.

10.已知OvavOvl,m>n>1,則()

A.ba>abB.”>心

clog/>log/D.log/>log/2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?lt;。<6<1,所以指數(shù)函數(shù)y="在R上單調(diào)遞減，且所以/>〃，

因?yàn)槟缓瘮?shù)y=/在(0,+Q0)上單調(diào)遞增，且所以d〈戶，

所以故A正確，

對(duì)于B,取加=5,n=2,則5?<25,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)>在(0,+8)上單調(diào)遞減，>=1。8",%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以log。a〉10gz,6=1,log,?n<log,,,m=l,

所以10gzla>log",",故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閥=Inx在(0,+s)上單調(diào)遞增，

ri、「八i八riiInmInm,

所以InavlnOvO,lnm>0,貝!Jlog“m=----->—-=iogm,

Inainbh

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logfl%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以logon>logam>log"m,故D正確.

故選：ACD.

11.在矩形ABC。中，AB=2AD,E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線翻折成△A]OE.若M

為線段A。的中點(diǎn)，則在△ADE從起始到結(jié)束的翻折過(guò)程中，()

A.存在某位置，使得DE,AC

B.存在某位置，使得CELA。

C.MB的長(zhǎng)為定值

D.MB與CD所成角的正切值的最小值為3

【答案】BCD

【解析】

（分析】當(dāng)AC±DE時(shí),可得出。石上平面4。。，得出OC，。石推出矛盾判斷A,當(dāng)。4t，平面BCDE

時(shí)可判斷B,根據(jù)等角定理及余弦定理判斷C,建系利用向量法判斷D.

【詳解】如圖，

設(shè)OE的中點(diǎn)。，連接OCOA,則若4CLDE,由A04O,4Cu平面人。。,

可得DE工平面A。。，OCu平面AOC，則可證出OCLOE，顯然矛盾（CDwCE）,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)镃ELDE,所以當(dāng)。4，平面3CDE,由CEu平面3CDE可得O|A，CE,由DE=O,

O]A,DEu平面ADE,即可得C￡,平面4DE,再由平面^DE,則有CEL4。，故B正確;

取CD中點(diǎn)N,MN//A.D,MN=^AlD,BN//ED,且N"Nfi,NADE方向相同，

所以NMN3=NADE為定值，所以BM=飛MN?+BN?-2MN-BMcosZMNB為定值，故C正確；

不妨設(shè)AB=2后，以O(shè)E,ON分別為乂丁軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)ZAON=9,則4（0,cos。,sin。），5（2,l,0）,C（l,2,0）,MJ+j,D（-l,O,O）,

DC=（2,2,0）,8M=信，^^，等J,叫=萼

,設(shè)MB與CD所成角為。,

\DCBM\3-COS6>22小2J5

貝ijcose=^~-—L=J―—d<—=-2L_；即MB與CD所成最小角的余弦值為處，此時(shí)

|OC|.|BW|2V5V555

tan0=：,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理折疊問(wèn)題，注意折前折后可變量與不變量，充分利用折前折后不變的量，其次

靈活運(yùn)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是研究垂直問(wèn)題的關(guān)鍵所在，最后不容易直接處理的最值問(wèn)題可

考慮向量法計(jì)算后得解.

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知單位向量a,匕滿足|a-2切=出，則a與b的夾角為

【答案】IJT（或?qū)懗?0。）

【解析】

【分析】將等式|。-2切=百兩邊平方即可.

【詳解】因?yàn)閨a-2。l-a?-4a必+4/=3,

所以。?/?=—,

2

rJ

所以cos〈ar,b〉=5,.a,Z?.w[0,兀],.〃1.=n].

故答案為：

冗2JQ<0

13.已知函數(shù)/"(%)=<，-，若“力在點(diǎn)。，/⑴）處的切線與點(diǎn)（天,/?））處的切線互相垂直，則

Inx,JC>0

xo=--------

【答案】-上林-0.5

2

【解析】

【分析】分別求出函數(shù)在兩段上的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由切線垂直得解.

【詳解】當(dāng)x>o時(shí)，r（x）=->0,所以尸（1）=1,且點(diǎn)（%,/（1））不在y=lnx上，

否則切線不垂直，故/<0，

當(dāng)x<0時(shí)，r（x）=2x,所以/'（%）=2%0，

由切線垂直可知，2x0xl=-l,解得x（）=-g.

故答案為：—

2

2222

14.設(shè)橢圓G：=+2=I（4>b}>o）與雙曲線c2：斗—二=1（4>0,偽>°）有相同的焦距，它們的

44b?

離心率分別為4，江,橢圓C1的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,C1；。2在第一象限的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)p在直線y=x

上，且/片PF2=90°,則二+4■的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,先根據(jù)題意得出點(diǎn)P的坐標(biāo)(c>0),再將點(diǎn)P分別代入橢圓和

雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,則。；+偽二c2,a；_b；=c2,

又鳥=90°,所以|。尸|=(月乙|=c,

又點(diǎn)尸在第一象限，且在直線丁=%上，

所以尸—c,一c,又點(diǎn)P在橢圓上，

[22J

(3Y(eY22

所以VCVC，即1+pj=2,

____L-+____L-=1禽a,2-c2

a；b；

「1丫1

整理得2a；—4"+。4=0,即2--4--+1二0,

1e"el

1

HR/日14±716-4X22±V2廠二八,2+近

解傳2——，因?yàn)樗远?------，

e；42q2

pYpYaa

同理可得點(diǎn)「在雙曲線上，所以〔丁)[口

，即〒方~~3=2,

—\a?C—〃2

a；b；

解得工=2zYl,

鼻2

所以―"U=2.

e；￡22

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.為鼓勵(lì)消費(fèi)，某商場(chǎng)開展積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，消費(fèi)滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點(diǎn)數(shù)之和等于

7,則獲得5個(gè)積分：若點(diǎn)數(shù)之和不等于7,則獲得2個(gè)積分.

（1）記兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7為事件A,第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件8,證明：事件A,2是獨(dú)立事件;

（2）現(xiàn)有3位顧客參與了這個(gè)活動(dòng)，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望.

【答案】（1）證明見解析

（2）分布列見解析；—

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)古典概型分別計(jì)算P（A）,P（B）,P（AB）,由P（AB）,尸（A）P（3）的關(guān)系證明；

（2）根據(jù)〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蟪龈怕?，列出分布列，得出期?

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閮纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于7有以下基本事件：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個(gè)，

所以尸(4)=(=：'又p(3)=g

30O

而第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本事件是（1,6）,（3,4）,（5,2）共3個(gè),

31

所以P（AB）=—=一,

、73612

故P（AB）=P（A）P（6）,所以事件4B是獨(dú)立事件.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)三位參與這個(gè)活動(dòng)的顧客共獲得的積分為X,則X可取6,9,12,15,

P（X=6）=C“"[3=蓋,P（X=9）=c[[l.噎,

P（X=12）=Ct[Di）=裝,P（X=15）=C；=立，

所以分布列為：

X691215

1257515I

P

216216216216

125〃75八151cI15

所以石'(X)=-----x6H------x9H-------x12H--------x15——

、72162162162162

16.設(shè)/(%)=sinxcosx+QCOSX,

(1)若a=l,求/(尤)的值域；

(2)若/(%)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

-3也-

【答案】(1)o,-4-

4

(2)(-l,+oo)

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)，得/'(x)=—(sinx+l)(2sinx—l),即可根據(jù)xe［。*］和判斷導(dǎo)數(shù)的正

負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求解，

⑵將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了'(%)=0在x/0,=］上有解，即可分離參數(shù)得a=」一-2sinx,利用換元法，結(jié)

72)sinx

合函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

7C

若a=l,/(x)=sinxcosx+cosx,xG0,—,

/'(1)=cos2x-sin2x-sinx=-2sin2x-sinx+l=-(sinx+l)(2sinx-l)

當(dāng)XE］。,小時(shí)，sinx>0,2sinx-l<0,則//(x)單調(diào)遞增；

(jrjr\

當(dāng)?shù)豆?萬(wàn))時(shí)，sinx>0,2sinx-l>0,則/'(力<0,〃尤)單調(diào)遞減

所以/(￡)［0,乙一］，即/(%)的值域?yàn)椋?。，工一?/p>

【小問(wèn)2詳解】

f(x)=cos2x-sin2x-asinx=l-2sin2x-asinx.

/(%)存在極值點(diǎn)，則/'(x)=0在上有解，即a=/1—2sinx有解.

令，=sinx,則〃=；一2%在，￡（0,1）上有解.

因?yàn)楹瘮?shù)y=：—2/在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，所以ae（—L+”），經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

17.如圖，在三棱柱A3C-4與￡中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是矩形,

M=A1B.

（1）求證：三棱錐A-ABC是正三棱錐；

（2）若三棱柱A3C-4瓦G的體積為2?，求直線AG與平面M片§所成角的正弦值?

【答案】（1）證明見解析

⑵顯

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，證明4。，平面ABC即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角正弦即可.

【小問(wèn)1詳解】

分別取AB,BC中點(diǎn)。，E,連接CD,AE交于點(diǎn)O,則點(diǎn)。為正三角形ABC的中心.

因?yàn)?A}B,CA—CB得CD_LAB,AD}_LAB,

又\D?CD=D,A,D,CDu平面\CD,

所以AB工平面ACD，又AOu平面AC。，

則AB±Afi；

取用G中點(diǎn)連接片耳，E1E,則四邊形A41gE是平行四邊形,

因?yàn)閭?cè)面3片￡。是矩形，所以BCLEE],又3CJ.AE,

又EE】AE=E,EEpAEu平面A4jE]E,

所以3cl平面A&&E,又AOu平面則BC，A。；

又ABcBC=B,AB,BCu平面ABC,所以4。，平面ABC,

所以三棱錐A-ABC是正三棱錐.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槿庵鵄3C-4用G的體積為2血，底面積為出，所以高4。=半

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，胡為x軸正方向，EB為y軸正方向，過(guò)點(diǎn)E且與。&平行的方向?yàn)閦軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系,

d2#、

^-，U,---

I337

2626、

設(shè)平面田的法向量〃j,因?yàn)?3=卜若,1,0),44=n

3J

AB-n{=-A/3X+y=0

則《2百2n'取z=l,可得"=（點(diǎn)‘卡」）,

AA?%=---------x-\-------z=0

133

5J3

XAC1=A41+AC=--

設(shè)直線AG與平面與3所成角為6,

77rAe1276V2

所以sin8=|cos%,ACj|=

%||AG66一3.

18.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),直線％=—1是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)2的直線/

與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,A(l,〃)是不在直線/上的一點(diǎn)，直線AM,AN分別與準(zhǔn)線交于尸,

Q兩點(diǎn).

(I)求拋物線C的方程；

⑵證明：忸P|=忸@:

(3)記△AMN,△APQ的面積分別為M，叢，若SI=2S2,求直線/的方程.

【答案】(1)9=4%

(2)證明見解析(3)x±若y+1=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)線方程可得?，即可求解；

(2)設(shè)/：x=ty-l,〃(％，K),N(X2，%)，聯(lián)立直線與拋物線，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線的相交

求出產(chǎn),Q坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求yP+yQ=o即可得證；

(3)由⑵可得S2=|PQ|,再由S]=J”N|d,根據(jù)5]=2邑可得/,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閤=-1為拋物線的準(zhǔn)線，

所以K=l,即2。=4,

2

故拋物線C的方程為/=4x

小問(wèn)2詳解】

設(shè)/：x=ty-l,河（石,乂）川（x2，%），

聯(lián)立V=4x,消去x得/―49+4=0,

X+%=由

則△=16,2—1）＞0,且＜

J%=4'

y-n2（X—

又AM：y-n=―x―-（x-1）,令x=—1得P-l,n-

再T>

（2（為,

同理可得。—L〃—一I「

I%-1）

2（y1-n）+n_2（A-n）=2n_2（yt-n）[2（y2-n）

所以為+為=〃一

%]一]

Oi—2ty2-2

2（.一祖仇-2）+2（%一〃）（叫_2）

-2）.（Zy2-2）

4。1%一（2加一4）（/+%）+8/_8n-8nt2

■“一―二--MX+%）+4-n~^T-'

故忸尸|=忸。].

【小問(wèn)3詳解】

I?2（y-n\2（y2-n\2\nt-l\

由⑵可得：邑二同二⑺5）=I,

-11。1-2僅一2

S]=1|M^|J=1X|#+1-4#+12/2—1'〃"2|,

由H=2S2,得：t2—1=2）解得r=±J5，

所以直線l的方程為x±"y+1=0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)中直線較多，解題的關(guān)鍵在于理清主從關(guān)系，據(jù)此求出RQ點(diǎn)的坐標(biāo)

（含參數(shù)），第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于將忸P|=|5Q|轉(zhuǎn)化為P,Q關(guān)于x對(duì)稱，即%+%=0.

19.設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)〃，記〃++…+&p。Wp[n）=a0+al+a2+---+ak,

其中4e{O,l,2,---,/?-l}（O<z<Z：）,如果非負(fù)整數(shù)n滿足嗎（〃）能被P整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”.

（1）分別判斷194,195,196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說(shuō)明理由；

（2）判斷并證明在p2〃，p~n+l,p2n+2,P,+?。縏）這p?個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)式協(xié)

調(diào)”；

（3）計(jì)算前p2個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和.

【答案】（1）194,196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”

（2）有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，證明見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)〃對(duì)P“協(xié)調(diào)”的定義,即可計(jì)算叱(194),叱(195),暝(196),即可求解，

(2)根據(jù)〃對(duì)p“協(xié)調(diào)”的定義以及整除原理可證明引理，證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，即可

根據(jù)引理求證.

(3)將02〃,02”+1,夕2“+2,?,22“+(22一］)這。2個(gè)數(shù)分成夕組，每組p個(gè)數(shù)，根據(jù)引理證明每一列里

有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)P“協(xié)調(diào)”，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?94=2x3°+1x31+0x32+1x33+2x3、所以叱(194)=2+1+0+1+2=6,

195=0X3°+2X31+0X32+1X33+2X34，所以叱(195)=0+2+0+1+2=5,

196=1X3°+2X31+0X32+1X33+2X34.所以叱(196)=1+2+0