福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.一組數(shù)據(jù)如下：3,7,9,10,13,15,19,21,該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.15B.17C.19D.20

2.已知復(fù)數(shù)Z=3,則|z2°24_z2°25卜（）

1+11I

A.2B.V2C.1D.0

3.二項(xiàng)式（1-2x）6展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-60B.-15C.15D.60

4.設(shè)。>0,6>0,且a+26=1,則log2。+log2b的（）

A.最小值為-3B.最小值為3

C.最大值為-3D.最大值為3

5.已知函數(shù)/■（x）=lnx+x,g（x）是函數(shù)/（2x+l）的導(dǎo)函數(shù)，則g（0）=（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知數(shù)列｛4｝是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，貝卜=2是%嗎。=4?%成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)函數(shù)/'（x）=（a+>0,aw1）,則函數(shù)/（x）的單調(diào)性（）

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a無關(guān)，且與b有關(guān)

C.與。有關(guān)，且與6無關(guān)D.與。無關(guān)，且與6無關(guān)

22

8.已知雙曲線C2=l（a>0/>0）左、右焦點(diǎn)分別為用工，過久的直線與C的漸近線

ab

n--------,--?

l：y=—-%及右支分別交于48兩點(diǎn)，若F1A=AB,F]B?F2B=0,則。的離心率為（）

a

3

A.-B.2rC.V5D.3

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.已知函數(shù)/'(x)=cos2x+asinx-2,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)。=0時(shí)，/(尤)的最小正周期為無

B.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)的最大值為

O

C.當(dāng)°=-3時(shí)，/(X)在區(qū)間［0,2可上有4個(gè)零點(diǎn)

D.若〃x)在上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為［0,+動(dòng)

10.如圖，四棱錐尸-48C。中，底面48CD,且===，

2

A.PBB.CDC.PCD.PD

11.我們把方程xe'=l的實(shí)數(shù)解稱為歐米加常數(shù)，記為Q.Q和e一樣，都是無理數(shù)，Q還被

稱為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)。的結(jié)論正確的是()

A.Qe(0.5,1)

B.In—=Q

Q

1

C./，其中〃=一

e

D.函數(shù)"#=之辿￡的最小值為/'(C)

()x+1

三、填空題

12.寫出過點(diǎn)尸(-2,-1)且與拋物線/=4彳有唯一公共點(diǎn)的一條直線方程.

13.已知向量1=(1,1),同=4,且另在3上的投影向量的坐標(biāo)為(-2,-2),則之與日的夾角

為.

14.在矩形48co中，/8=2,2。=1,夕為。。的中點(diǎn)，將尸沿/P折起，把AD4P折成

ASAP,使平面SAP1平面ABCP,則三棱錐S-ABP的外接球表面積為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.記AABC的內(nèi)角45,C的對(duì)邊分別為。也c,已知8=5,6=2行.

⑴若。,6,c成等差數(shù)列，求“BC的面積；

n

(2)若sirU-sinC=——b,求

12

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面48co為梯形，平面尸48,平面/BCD,

AB//CD,AB^LAD,△PAB是等邊三角形,M為側(cè)棱尸8的中點(diǎn)，.1.AD-DC=2,AB=4.

P

(1)證明：CM〃平面尸4D；

(2)G是線段尸。上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求平面GMC與

平面P45所成角的余弦值.

條件①：四棱錐G-ABCD的體積為g；

3

條件②：點(diǎn)G到平面PAB的距離為-.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.已知橢圓E：5+.=1(。＞0)的離心率為?點(diǎn)中恰有兩

個(gè)點(diǎn)在E上.

(1)求￡的方程；

⑵設(shè)〃eN*的內(nèi)角4,Bn,C,t的對(duì)邊分別為a?,b,?cn,

bl+Cl=2%,an+i=a?,b?+l=與%,cn+I=.若點(diǎn)B,,C,在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，問：是

否存在外,使得點(diǎn)4都在E上，若存在，請(qǐng)求出生,若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.某汽車廠商生產(chǎn)某型號(hào)具有自動(dòng)駕駛功能的汽車，該型號(hào)汽車配備兩個(gè)相互獨(dú)立的自動(dòng)

駕駛系統(tǒng)(記為系統(tǒng)A和系統(tǒng)8),該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后，先啟動(dòng)這兩個(gè)自動(dòng)駕

駛系統(tǒng)中的一個(gè)，若一個(gè)出現(xiàn)故障則自動(dòng)切換到另一個(gè)系統(tǒng).為了確定先啟動(dòng)哪一個(gè)系統(tǒng)，

試卷第3頁，共4頁

進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對(duì)系統(tǒng)A和3分別進(jìn)行測(cè)試試驗(yàn)，一輪的測(cè)試結(jié)果得出后，再安排下

一輪試驗(yàn).當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個(gè)系統(tǒng)少2次時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故

障少的系統(tǒng)比另一個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若系統(tǒng)A不出

現(xiàn)故障且系統(tǒng)3出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得1分，系統(tǒng)3得-1分；若系統(tǒng)A出現(xiàn)故障且系統(tǒng)3不

出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得-1分，系統(tǒng)3得1分；若兩個(gè)系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩

個(gè)系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)45出現(xiàn)故障的概率分別記為夕和廣，一輪試驗(yàn)中系統(tǒng)A的得分為X

分.

(1)求X的分布列；

(2)若系統(tǒng)A和B在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予2分，p,g0,1,2,3,4)表示“系統(tǒng)A的累計(jì)得分為i時(shí),

最終認(rèn)為系統(tǒng)A比系統(tǒng)8更穩(wěn)定”的概率，則4=0,夕4=1，Pt=ap-+bpj+cpm(i=1,2,3),

其中a=P(X=-1),6=尸(X=0),c=4X=巳.現(xiàn)根據(jù)p2的值來決定該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕

駛功能后先啟動(dòng)哪個(gè)系統(tǒng)，若則先啟動(dòng)系統(tǒng)8；若2209,則先啟動(dòng)系統(tǒng)A；若

0.1<772<0.9,則隨機(jī)啟動(dòng)兩個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)，且先啟動(dòng)系統(tǒng)A的概率為。2.

①證明:^2-?2(l-/7)2+(l-a)2/?2；

②若a=0.001,/?=0.002,由①可求得求該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自

動(dòng)切換到另一?個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率.

19.設(shè)。,6eR,函數(shù)/(x)=卜/一2》+。|+卜6",

g(x)=2xex-x2-2x+a+b,h^-x2+的定義域都為一；，1

(1)求g(x)和%(x)的值域;

⑵用max伽,〃｝表示心,力中的最大者，證明：/(x)=max||g(x)|,|/z(x)||；

(3)記/(x)的最大值為尸6),求尸(a,b)的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，利用分位數(shù)的求解方法進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】由題意可知，共8個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)從小到大排序得3,7,9,10,13,15,19,21,

因?yàn)?x75%=6,故選擇第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為75%分位數(shù)，即空譽(yù)=17.

故選：B.

2.B

【分析】由復(fù)數(shù)乘除法以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可求解.

1-i(1)2

【詳解】z-幸=—1,

0T(l+i)

所以—24_z2必口1+h行=行

故選：B

3.D

【分析】先求出。-2無葉的展開式的通項(xiàng)，再求出展開式中尤2項(xiàng)系數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)題意，二項(xiàng)式（1-2尤）6的展開式的通項(xiàng)&1=晨亡'（-2%）"

其中一項(xiàng)為，6=C；（-2xy=60/,

所以的展開式中爐項(xiàng)的系數(shù)為60.

故選：D.

4.C

【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求。6的范圍，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,6>0,且。+26=1,

所以a+2b22^2ab，即Vg,

o

當(dāng)且僅當(dāng)。=26時(shí)取等號(hào)，

0Tlog2tz+log2fe=log2ab<log21=-3,

BPlog2tz+log2Zj<-3.

故選：C.

5.D

答案第1頁，共17頁

【分析】計(jì)算/(2x+l)=ln(2x+l)+2x+l的導(dǎo)數(shù)，得到g(x),代值即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=lnr+x(x>0),

所以〃2x+l)=ln(2x+l)+2x+l,

即心+1F+2,

2

所以g(x)=7；—;+2,

2x+l

所以g(0)=4.

故選：D.

6.A

【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)判斷充分性，根據(jù)通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可判斷必要性.

【詳解】由下標(biāo)和性質(zhì)可知,若，=2,則％=?！?;

記數(shù)列｛%｝是公比為/若4?%()=4m9，則%嗎『=%夕1⑶"，即〃"9=40+7,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以爐=1"7,得'+7=9"=2.

綜上，則/=2是成立的充要條件.

故選：A

7.D

【分析】通過對(duì)。進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與。，b

是否有關(guān).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(q—l)a'+6(a>0,q。1),

所以當(dāng)0<。<1時(shí)，/(x)=｛a-l)ax+b單調(diào)遞增.當(dāng)a>1時(shí)，/(x)=(Q-1)，+b單調(diào)遞增.

則。>0且awl,6GR,f(x)=｛a-V)ax+b的單調(diào)性都為單調(diào)遞增.

所以函數(shù)“對(duì)二0-0^+臺(tái)的單調(diào)性與①b無關(guān).

故選：D

8.C

【分析】根據(jù)題意分析可知A為月5的中點(diǎn)，且與5,瑪5,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得

H耳1=6,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.

答案第2頁，共17頁

【詳解】因?yàn)槿f，可知A為的中點(diǎn),

且。為耳工的中點(diǎn)，可知CU〃B&,

又因?yàn)辂?郎=0,可知耳2,g3,則丹/，/。,

be

則點(diǎn)耳(-c,0)到直線l-.bx-ay=0的距離|"；|==b,

\la2+b2

可得廬周=2|/周=2仇|叫|=|%|-2a=26-2a,

2

由網(wǎng)「+忸用,=\FtF21可得(Zb?+(26-2/=(Ze?=4(/+〃)，

整理得6=2°,貝!|62=4/=°2一/,整理得02=5〃，

所以C的離心率為e=￡=J[=\[5.

aVa~

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法：求橢圓、雙曲線的離

心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6

用a,c代換，求e的值；2.焦點(diǎn)三角形的作用：在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義,

三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

9.AB

【分析】利用三角恒等變換，轉(zhuǎn)化為正弦型或者余弦形函數(shù)即可求出周期，采用換元法結(jié)合

三角函數(shù)的有界性即可求出最值，結(jié)合三角函數(shù)圖像解三角方程即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，將三

角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)即可求出參數(shù).

【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)“=0時(shí)，/(x)=cos2x-2,

其周期由cos2x決定，周期為7=兀，A正確.

選項(xiàng)B：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=cos2x+sinx-2=l-2sin2x+sinx-2=-2sin2x+sinx-l,

答案第3頁，共17頁

在本式中令"sinx可得，力⑺=-2/+/-1,

其定義域?yàn)閟inx的值域，即,￡卜1川，

當(dāng)它取最大值時(shí)，/=-(=;,;4-1』,可以取到，

將其代回原式得到最大值為-2?)2+1-1=-2選項(xiàng)B正確.

選項(xiàng)C,當(dāng)。=-3時(shí)，

/(x)=cos2x-3sinx-2=-2sin2x_3sinx-l=-(sinx+l)(2sinx+l),

令/(x)=0,可得sinx=—l或sinx=—g,

sinx=-l的解在［0,2可間的有且只有工=|■兀，

1711

sinx=-j的解在［0,2兀］間的有且只有》=不兀和》=不兀，

因此在［0,2可上總共有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D,f(x)=cos2x+asinx-2=-2sin2x+asinx-2,

在該式中令/^sinx,則

h(t)=-2t2+at-l,tE［-l,l］,為開口向下的二次函數(shù)，所以頂點(diǎn)右側(cè)為單調(diào)遞減函數(shù)，

其頂點(diǎn)橫坐標(biāo),

2a4

當(dāng)a24時(shí)，/(X)在定義域上單調(diào)遞增，

當(dāng)。＜4時(shí)，存在單調(diào)遞減區(qū)間，則單調(diào)遞減區(qū)間為

原式中單調(diào)遞減區(qū)間為即

因?yàn)橐玻?,所以僅需要即可，解出

故a的取值范圍是(-8,0］,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】利用線面所成的角判斷A；利用線面垂直的判定定理可知CD，平面B4。，利用線

面平行的判定定理證明4E//平面PAD,由線面平行的性質(zhì)定理可得4E//I,進(jìn)而可證明/1

答案第4頁，共17頁

平面尸DC,可判斷BCD

【詳解】分別取PZ人尸C的中點(diǎn)，連接4B、EF、BF,

因?yàn)镋F是△尸。C的中位線，所以斯||DC且放

2

又AB=、CD旦4B"CD,所以EF〃4B且EF=4B,

2

所以四邊形/2FE是平行四邊形，

所以4E〃BF,且NE=8尸，

又/Eu平面RW,8廠Z平面力。，所以/￡//平面為￡）,

又平面尸/。與平面尸3C交線為/,/^（=平面我。，所以/E",

又PA=AD,￡是「。的中點(diǎn)，所以4E_LPD,

因?yàn)镻/L底面/BCD,CDu平面/BCD,所以尸/LCD,

又/ADC=9Q。,所以/D_LDC,又PDCl/。=u平面燈。，

所以CD_L平面RID,又NEu平面BID,

所以/E_LCD,AE1PD,PDcCD=D,PD,CZ）u平面PDC,

所以NE_L平面尸DC,又NE〃/,所以//平面PDC,

又尸C,CD,PDu平面PDC,

所以PC，/,CD，/,尸。，/,故BCD對(duì)

由AE//1,所以“/BF,

所以,與尸2所成的角就是BF與與PB所成的角即ZPBF,

^-PA=AB=AD=-CD=a,

2

PD=42a,AE=BF=與a,PB=&a,PF=,C=（龍）1加丫=g

?+l_3

PB2+BF1-PF22+T-o

在尸中，由余弦定理得cos/P8F=------=----幺*

2PBBF2xgx也

2

IT7T

NPBFw0,-,所以/尸8尸=右，故/與PB不垂直，故A錯(cuò)；

答案第5頁，共17頁

11.ABC

【分析】對(duì)于A：構(gòu)建g(x)=xe:1,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判

斷；對(duì)于B：對(duì)Oe「=l,取對(duì)數(shù)整理即可；對(duì)于C：設(shè)/=°,整理得=如

結(jié)合選項(xiàng)A分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合不等式e，2x+1分析可知/(x)>l,當(dāng)且僅當(dāng)--lnx=O

X

時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合加(x)=：-Inx的零點(diǎn)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：構(gòu)建g(x)=xe*-1,則。為g(x)的零點(diǎn)，

因?yàn)間'(x)=(x+l)e，，

若x<-l,則g'(x)<0,可知g(x)在(-8,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,且g(x)<0,

所以g(x)在內(nèi)無零點(diǎn)；

若x>-l,則g")>0,可知g(x)在(T+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

g(O.5)=手一1<0且g(l)=e-l>0,所以g(x)在(T+⑹內(nèi)存在唯一零點(diǎn)Qe(O.5,l)；

綜上所述：Qe(0.5,1),故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?。e0=l,Qe(0.5,1),即'=e'

兩邊取對(duì)數(shù)可得：In：=Ine"=。，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)/'=°,則/=.,整理得/=a,即=a,

可得ae"=l,所以。=。，即￡}=〃""，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：構(gòu)建力(x)=e*-x-l,則〃(x)=e*-l,

令〃(x)>0,解得x>0；令"(x)<0,解得x<0；

可知〃(x)在(-叫0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則訪@"訪(0)=0,可得e'2x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

答案第6頁，共17頁

則/(x)=

當(dāng)且僅當(dāng)—bln—=0,即—lnx=0時(shí)，等號(hào)成立，

xxx

因?yàn)榱?Ly=-Inx在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減，

x

可知%（x）=L-lnx在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減,且切⑴=1>0,加（e）=<0,

可知在（0,+8）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)尤°e（l,e）,即不>。，

所以/（x）的最小值為/（%）=1,不為/（。），故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求

解.這類問題求解的通法是：

（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.

12.y=—1,y=x+1,y=——X—2（寫對(duì)一、個(gè)方程即可）

【詳解】如圖，當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，與拋物線必=4x有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)方程為y=T；

當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)/的方程為x=機(jī)（了+1）-2,

[y2=4%心，.

聯(lián)立〈/x消去x,整理得：y-4my+8-4m=0,

x=+1)-2

因?yàn)橹本€/與拋物線「=4x有唯一公共點(diǎn)，所以A=16療—4（8-4加）=0,

角畢得冽=1或冽=一2,所以/為x=（y+l）—2或工=一2（歹+1）—2,

即尸％+1或尸——x-2.

綜上，過點(diǎn)尸（-2,-1）且與拋物線必=4x有唯一公共點(diǎn)的直線方程為:

y=-1或y=x+i或y=——x-2.

故答案為：y=-1(或y=x+i或y=-y-2).

答案第7頁，共17頁

【分析】根據(jù)投影向量公式得B在3上的投影向量為Wc°s3j,結(jié)合已知可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)口與B的夾角為。，且。目0,可，W=jF+F=后,

b一b....................

則B在3上的投影向量為Wcos%=cos?,a-cos0,-,(1,1)=(-2,-2)=—2(1,1),

a

b?7T

即cos9?==—2,所以cos6=—衛(wèi)，所以。=:，

a24

故答案為：不

14.4兀

【分析】利用勾股定理逆定理證明8尸，/尸，由面面垂直的性質(zhì)得到5尸，平面皮尸，求出

△“尸外接圓的半徑廠=3/尸，設(shè)三棱錐S-/3尸的外接球的半徑為R,則尺2=/+1?],

最后由球的表面積公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?8=2,AD=\,尸為DC的中點(diǎn),

貝I]有/尸=JF+仔=e，BP=Vl2+12=V2>

ffi^AP2+BP2=AB2>所以

又平面"尸_L平面48CP,平面5L4Pc平面48c尸=/尸，BPu平面48cp.

所以AP_L平面S4尸，

又△”尸為等腰直角三角形，所以其外接圓的半徑/=_1/尸=1,

22

設(shè)三棱錐5-48尸的外接球的半徑為R,則斤=/

所以R=l,所以三棱錐5-48尸的外接球的表面積5=4成2=4兀.

答案第8頁，共17頁

故答案為：47t

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是證明3尸，平面皿尸，再由直棱錐的外接球的模型

計(jì)算外接球的半徑.

15.(1)36

(2)4

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=助，再利用余弦定理求得ac的值，進(jìn)而利用

三角形的面積公式求解；

(2)根據(jù)已知條件代入，并用三角恒等變換化簡(jiǎn)求得力,再利用正弦定理求解.

【詳解】(1)因?yàn)椤?6,c成等差數(shù)列，所以0+c=26,

又6=2百，所以O(shè)+C=4AG①，

在。中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

又8=1，所以12=a?+/—ac=(q+op—3ac②，

由①②得QC=12,

所以。6c的面積S=LacsinS=Lxl2x且=3百.

222

L61

(2)因?yàn)?=26與11^一5也。=背6,所以sirt4-sinC=5,

又因?yàn)?+2+。=兀且3=?,所以c=4一/,

所以sirU一立cos/-」siiL4=工，所以'sirU-gcos/=工，

222222

所以sin]/_：)=；,

又因?yàn)?<4<兀，所以-?</-[<￥，所以/一2=2,所以/=1，

333362

所以。=々；=4.

sinB

16.(1)證明見解析;

答案第9頁，共17頁

(2)子.

【分析】(1)解法一關(guān)鍵取P/的中點(diǎn)。，去構(gòu)建平行四邊形0MC。，從而去證明線面平行;

解法二關(guān)鍵構(gòu)建平行平面。CM,從而去證明線面平行.

(2)首先證明正交基底垂直關(guān)系OC_LAS,OP_L平面4BCD,然后建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)

選擇的條件①或條件②，來確定各點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用空間向量法求兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)

空間向量求空間角的思想，最后可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解法一:證明：取尸區(qū)的中點(diǎn)。，

連接。機(jī)。。，貝=且QM"AB,

又因?yàn)?,48,NB//CD,

2

所以=且QM〃C。，

所以四邊形QMCD為平行四邊形，

所以CM〃紗，

又因?yàn)镃M0平面尸平面P4D,

所以直線CM〃平面尸4D.

解法二：證明：如圖，取N3的中點(diǎn)。，連接OC,?！?

因?yàn)镸為側(cè)棱尸8的中點(diǎn)，

所以。M//PA,

因?yàn)镺Ma平面PAD,PAU平面PAD,

所以0M〃平面尸4D,

因?yàn)镈C=2,/B=4,/5HCD,

所以0c=/O,DC〃/O,

所以四邊形/OCO為平行四邊形，

答案第10頁，共17頁

所以O(shè)C〃AD.

因?yàn)镺C<Z平面PAD,ADu平面PAD,

所以O(shè)C〃平面P/O,

因?yàn)?。CnOW=O,（Wu平面OCM,OCu平面OCW

所以平面OCMH平面PAD.

因?yàn)镃Mu平面。CM,所以CM〃平面P/O.

因?yàn)槭堑冗吶切?，。為的中點(diǎn)，

所以

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABCD,

平面PABc平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

所以O(shè)P_L平面48cD,

又。Cu平面/BCD,所以0P_L0C.

以。為原點(diǎn)，OC所在直線為無軸，03所在直線為了軸，。尸所在直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系。-統(tǒng)，則

F（0,0,2^p（0,^,0）,5（0,2,0）C^,0,0）D2,々0）,A/（0,1,73）,

選擇①：設(shè)麗=X麗=212,2,2抬"）=12A,2A,260,1）,

,11（2+4）x2廠

Vrt

由G-ABCD=]S/BCD，h=~x-xh=yj39

其中〃為點(diǎn)G到平面48s的距離，得〃=且，

2

又因?yàn)辄c(diǎn)P到平面ABCD的距離PO=243,

答案第11頁，共17頁

而”DGh1所以V，

所以而=

PO4

=叵￡_3顯

所以力=麗+麗=（0,-2,0）+

2，-2'V

設(shè)平面GMC的法向量為而=（x,y,z）,

又力=（1,0,0）是平面尸/8的一個(gè)法向量,

所以平面GMC與平面PAB所成角的余弦值為

選擇②：設(shè)萬不=無幣=/1（一2,2,2班）=（-2九2九26）；1€0,1）,

因?yàn)镺C〃D4,。。，平面P/8,所以D/_L平面尸

所以點(diǎn)。到平面PAB的距離為ZM=2,

3

又點(diǎn)G到平面PAB的距離為h=~,

2

所以生=&=。，所以0G=!PZ）,所以2=9，

PDDA444

以下與選擇①的解題過程相同.

22

17.⑴土+匕=1

43

（2）存在，%=2.

【分析】（1）分析出42在￡上,C不在E上，直接代入求解即可;

（2）根據(jù)題意用外表示出?+c“,再根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)4在以Bn,Cn為焦點(diǎn),2%為

長軸長的橢圓上，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷結(jié)果.

答案第12頁，共17頁

【詳解】⑴因?yàn)閐同與關(guān)于x軸對(duì)稱，￡也關(guān)于x軸對(duì)稱，",C中恰有兩

個(gè)點(diǎn)在E上，所以43在￡上，C不在E上，

9

所以1工41，

/b2

2

又因?yàn)閑=￡=±c=~b,a>b>0f

,a2

所以〃=2,b=\/3,c=1f

所以E的方程為《+亡=1.

43

(2)存在囚=2,使得點(diǎn)4都在E上.理由如下：

因?yàn)?+1=?！埃?=%,

因?yàn)閍+Lq^c+L”區(qū)，

所以包+1+Cn+l=|(^?+c?)+a?,即b?+l+C"+1=g(4+C")+%,

所以bll+1+C"M-2q=g(bn+c?-2?!),

又因?yàn)?+6=2%,所以4+q-2%=0,

所以。+?！?2%=0，即〃+&=〃，

所以4G+4紇=肛>%=用C”，

所以點(diǎn)4在以3“,C”為焦點(diǎn)，2%為長軸長的橢圓上，

又因?yàn)镋的焦點(diǎn)為(±1,0),長軸長為4,點(diǎn)色,G在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f2a.=4

所以點(diǎn)4都在橢圓E上。八00%=2,

B

[?C?=al=2

所以存在6=2,使得點(diǎn)4都在E上.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，關(guān)鍵在于表示出兩邊之和的

關(guān)系，利用橢圓的定義得到4的軌跡，以此來得到結(jié)果.

18.(1)答案見解析;

(2)①證明見解析；②0.9988.

答案第13頁，共17頁

【分析】(1)由題意可得X的所有可能取值為-1,0」，再由相互獨(dú)立試驗(yàn)的概率求出各取值

的概率，列出分布列即可；

(2)①將⑴中概率代入R=%_[+她+%+i(i=l,2,3)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合A=0,"=l進(jìn)行

計(jì)算，即可得到?。?/p>

②根據(jù)獨(dú)立試驗(yàn)概率公式代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)X的所有可能取值為-1,0』.

P(X=_l)=a(l_?),P(X=l)=(l_a)￡,

=0)=1-P(X--1)-P(X-1)=l-a(l-/?)-(1-?)/?=1-a-/7+2a/7,

所以X的分布列為

X-101

Pa。-尸)1—a—，+2aB(l-a)?

(2)①由題意，

得R=a(l-/7)pi+[l-a(l-6)一(1一,所以

[a(l-夕)+(l-a)閉口=a(1-/?)+(1-a)13pM

訴”[?(1-^)+(1-?)^]P~a(1-/?)A-i.

所以P"-----------7]-匕-------------1=123,

又20=°，24=1，

[&(1-￡)+(1-￡)口】口一。(1-⑸。o

所以Pi=

(~)￡

_[a(1/)+(0)刃Pi

[Q(1-￡)+(1-0￡他一研1一⑸0|

夕

3=(?)月

答案第14頁，共17頁

[a(l_0+(l_a)刃

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四2-a￡(l-?)”￡)

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訴”“一"a)/

所以外一優(yōu)”02+(1_4加’

②記“該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)”為事件T,“該

型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)系統(tǒng)A