2024年廣東韶關(guān)市高三二模高考數(shù)學(xué)試卷（答案詳解）

韶關(guān)市2024屆高三綜合測試(二)

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前、考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、學(xué)

校和班級填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在

試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)城內(nèi)和應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合A={x|l<xW6},B=尤*<0,則(第4)口3=()

A.{小W1或6WxW7}B.{小<1或6<x<7}

C.{女<1或6Wx<7}D.{巾<1或6cxW7}

2.設(shè)a,[3,丫是三個互不重合的平面，m,"是兩條互不重合的直線，則下列說法正確的是

()

A.若mlla,mlIf),則a〃￡B.若mlla,nila,則租//n

C.若"?_La,機(jī)_L￡,則D.若a_Ly,0Ly,則a〃尸

3.已知一組數(shù)據(jù)：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,將剩下的數(shù)

據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，則()

A.極差不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.上四分位數(shù)不變

4.過點(diǎn)尸(-2,3)作斜率為—2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓

C:0-3)2+(y-2)2=/(r>0)相切，則()

A.V2B.6C.2D.75

5.在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是

W=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000

平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

1Q

6.在,ABC中，tanA=：,tan8==.若4ABe的最長邊的長為J萬.則最短邊的長為（）

45

A.0B.6C.2D.75

22

7.已知雙曲線U十方=1（°>0*>0）的左焦點(diǎn)為人過點(diǎn)P的直線/：3x+4y+7〃=。與y軸

交于點(diǎn)3,與雙曲線C交于點(diǎn)A（A在y軸右側(cè)）.若3是線段"的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸

近線方程為（）

A.y=±^-xB.y=±-xC.y=+^xD.y=±2x

-3-2

,、[a,a>b/、{b,a>b

8.定義max{a,b}=（,,min{a,b）=\,對于任意實(shí)數(shù)x>0,y>。，貝I]

\b,a<b[a,a<b

A.V2B.72C.6D.^3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知復(fù)數(shù)Z”Z2,則下列命題正確的是（）

A.若團(tuán)=團(tuán)，貝！|Z]=±Z2B.若z=Z2,則2仔2卜團(tuán)2

C.若均是非零復(fù)數(shù)，且2：=乎2,則4=Z2D.若4是非零復(fù)數(shù)，則4+工片0

Z1

10.設(shè)函數(shù)/（尤）=251!12%-35詞尤|+1,則（）

A.7?（*）是偶函數(shù)B.在[-2兀,2可上有6個零點(diǎn)

試卷第2頁，共4頁

1jr

c.“X)的是小值為D.〃x)在-“o上單調(diào)遞減

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/'為),g'(x),且/(x)"(4-x),

/(1+x)-g(x)=4,尸(x)+g”+x)=o,貝！|()

A.g(x)關(guān)于直線x=l對稱B.g'⑶=1

c.r(x)的周期為4D.-5)45)=0(〃eZ)

三、填空題：本題共3小題、每小題5分、共15分.

12.二項(xiàng)式(2-的展開式中，V項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的2.5倍，則〃=_.

13.已知平面向量a、b、c均為單位向量，且|。+6|=1,則向量。與b的夾角為，

,+6).(b-c)的最小值為.

14.在三棱錐尸一ABC中，側(cè)面所在平面與平面ABC的夾角均為色，若AB=2,C4+CB=4,

4

且.ABC是直角三角形，則三棱錐尸-ABC的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.已知函數(shù)〃x)=依+1+21nx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線平行于x軸.

⑴求實(shí)數(shù)。；

⑵求的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是:，擊中

區(qū)域乙的概率是工，擊中區(qū)域丙的概率是:，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分.這次射擊

比賽獲獎規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎，有

一半的機(jī)會獲得三等獎；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不

獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號.

(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；

(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布

列和數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，圓柱。。內(nèi)有一個直三棱柱ABC-4瓦￡,三棱柱的底面三角形內(nèi)接于圓柱底面,

已知圓柱。a的軸截面是邊長為6的正方形，&2=>^^=同，點(diǎn)尸在線段。。|上運(yùn)動.

(1)證明：BCLP\.

⑵當(dāng)必=尸2時，求BC與平面\PB所成角的正弦值.

%_務(wù)4("—*)的數(shù)列｛%｝稱

18.記R上的可導(dǎo)函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為((x),滿足無向

J\Xn)

為函數(shù)/(X)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列上｝為函數(shù)/(X)=YT的牛頓數(shù)列，且數(shù)列加〃｝滿足

XIJ

%=2,an=ln——,xn>1.

⑴求。2；

(2)證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列并求巴；

⑶設(shè)數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S",若不等式(T)"-0-144S：對任意的〃eN*恒成立，求r的

取值范圍.

19.已知橢圓C:\+當(dāng)=l(a>6>0)的離心率為長軸長為4,A3是其左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)

ab'2

是其右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)P(x0,%)(%>0)是橢圓C上一點(diǎn)，ZPFB的角平分線與直線AP交于點(diǎn)T.

①求點(diǎn)T的軌跡方程；

9

②若△7BF面積為了，求吃.

4

試卷第4頁，共4頁

1.B

【分析】先利用題給條件求得集合\A和集合8,進(jìn)而求得做勾B

【詳解】A={x|l<尤46},則條4={尤,<1或x>6},

又3=

則(aA)c3=1x|x<l或x>6}c{尤7}={x|xW1或6cx<7}.

故選：B

2.C

【分析】利用空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系即可對每個選項(xiàng)做出判斷，從而選出正確選項(xiàng).

【詳解】對于選項(xiàng)A：若ml/a,mll/3,則a與6平行或相交，故選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：若加〃cr,nila,則機(jī)與"可平行、異面、或相交；故選項(xiàng)B不正確；

對于選項(xiàng)C：若加則M/2,由垂直于同一條直線的兩個平面平行，知故選項(xiàng)C

正確；

對于選項(xiàng)D：若…,則a與夕平行或相交，故選項(xiàng)D不正確；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線平行、面面平行的判斷，屬于中檔題.

3.D

【分析】根據(jù)原數(shù)據(jù)和現(xiàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)字特征計(jì)算即可對選項(xiàng)一一判斷.

【詳解】在這組數(shù)據(jù)：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12和45后，得到16,

22,24,25,31,33,35,

顯然極差由45-12=33變成了35-16=19,故A項(xiàng)錯誤；

原平均數(shù)為I二—(12+16+22+24+25+31+33+35+45)=-示=27,

現(xiàn)平均數(shù)為7=1(16+22+24+25+31+33+35)=理W27,故B項(xiàng)錯誤；

77

22222

原方差為S2=匕12?+16?+22?+24?+252+31+33+35+45-9X27]=—,

現(xiàn)方差為s'?--[162+222+242+252+312+332+352-7x(―)2]=,

7749

顯然方差不同，故C項(xiàng)錯誤；

對于D項(xiàng)，由9xJ=2.25,知原數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第三個數(shù)據(jù)22,

4

答案第1頁，共15頁

又由7x：=1.75,知現(xiàn)數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第二個數(shù)據(jù)22,即D項(xiàng)正確.

4

故選：D.

4.D

【分析】如圖，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出直線小，進(jìn)而求出點(diǎn)4利用反射光線的性質(zhì)

求出直線BA,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線交無軸于點(diǎn)A,反射直線與圓C相切于點(diǎn)B,

直線以：＞-3=-2(X+2),即y=-2x-1,

11

令y=。，解得％=-彳，即A(-個0),

22

又即A+即A=。，所以欠班=2,

所以直線BA:y-0=2(x+；),gp2x-y+l=0,

則點(diǎn)C(3,2)到直線直線BA-.2Ay+1=0的距離為d==75,

即r=5/5.

故選：D

5.C

【分析】設(shè)矩形場地的長為九米，則W=4x+吧^+10016,結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.

x

【詳解】設(shè)矩形場地的長為X米，則寬為竺呦米，

X

.八J0000八4400001nAiL400001AOir

W-(x+4)(--------1-4)=4XH----------1-10016>2,4x-----------F10016=10816,

xxvx

當(dāng)且僅當(dāng)以=竺則，即x=100時，等號成立.

所以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為1x10816=10816元.

故選：C

6.A

【分析】求出tanC=—l<0,C為鈍角，故c=J萬，確定求出sinA,sinC,由正弦

答案第2頁，共15頁

定理求出答案.

J.3

?、遼_、r-.八、tanA+tanB45.八

【詳斛】因?為tanC=—tan(A+B)=-------------=----；—=一1＜。，

'71-tanAtanB〔j_3

1vx

又tanA＞0,tan3＞0,故A,B為銳角，C為鈍角，故c=VF7,

因?yàn)椋?tanx在上單調(diào)遞增，tanAvtanB,故A＜3,所以。＜6,

又tanA=^q=&sin2A+cos2A=l,解得sinA=涼，同理可得sinC=等,

a_后

由正弦定理得二二二一，即丁二否，解得4=血.

sinAsinC—j=-—

V172

故選：A

7.C

【分析】利用題給條件得到〃力的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線。的漸近線方程.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為尸2,連接4工.

又4A明中，F(xiàn)O=OF2,FB=BA,則然〃。8,|然|=2|°創(chuàng),

由直線/：3x+4y+m=0可得/(—/,()),貝［J人］2

又由雙曲線。：，一3=1(。＞°/＞。)可得dG］,

ab\a)

mb2-竺，則有心3c°3

則—,即。2=—ac

32a22

貝ij有4/一9八9*二。，

又。2=a1+〃，

22

bb+3=o,解之得2=6

整理得-34

aaa

22

則雙曲線c：%-方=13＞0乃＞0)的漸近線方程為y=±氐.

故選：C

答案第3頁，共15頁

8.A

【分析】設(shè)11^{2蒼3y,/+點(diǎn)}=叫貝[]3A/22工+言尸3〉+^^，構(gòu)造函數(shù)/(x)=x+5(x>0),

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)〃x)的最小值進(jìn)而得3/2g,化簡即可求解.

23

【詳解】設(shè)max{2x,3y,/■+0"}=M,則M22x,M之("+》"

得加*+白+3〉+5=2》+點(diǎn)+3y+卜>

3

ior_o

設(shè)/(x)=x+?(x>。)，貝0，⑴=1-%=丁

令[(x)<0=>0<%<次，fr(x)>0x>A/2,

所以函數(shù)/⑺在(0,版)上單調(diào)遞減，在(次,+8)上單調(diào)遞增,

故/(X%?=/(3)=次+^?=4_,即/W2

33

得/(2x)>—,f(3y)>—,

2323

11336

所以3加*2工+西7+31+麗？=/(2號+/(31)2下+下

23

得M[=啦,即min{max{2x,3y,1+/}}=a

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由

3"22工+*+3丫+*=2工+^^?+3，+^^?構(gòu)造函數(shù)/0)=工+50>0),利用導(dǎo)數(shù)求得2次

即為題意所求.

9.BC

【分析】對于A項(xiàng)，可以舉反例說明；對于B項(xiàng)，可以設(shè)z=a+",貝”=a-歷，代入等

式兩邊驗(yàn)證即可判定；對于C項(xiàng)，可將題設(shè)條件等價轉(zhuǎn)化，分析即得；對于D項(xiàng)，可通過

舉反例4=i對結(jié)論進(jìn)行否定.

【詳解】對于A項(xiàng)，若4=l+i,z?=0i,顯然滿足㈤=w|,但4=士zz，故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，設(shè)4=。+歷(a,6?R),則z?=。-歷，Z]Z?=(a+bi)(a-bi)=a2+b2，故|Z]Z?|=a2+b~

而|4/=/+/,故B項(xiàng)正確;

對于C項(xiàng),由Z：=Z]Z2可得：z；-z/2=Z1(Z[-Z2)=O,因而是非零復(fù)數(shù),故Z-z2=0,即

答案第4頁，共15頁

Z］=馬，故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，當(dāng)1i時，4是非零復(fù)數(shù)，但+—=i+^=i-i=O,故D項(xiàng)錯誤.

zi1

故選：BC.

10.ABC

【分析】求得的奇偶性判斷選項(xiàng)A；求得在［-2兀,2兀］上的零點(diǎn)個數(shù)判斷選項(xiàng)B；

求得了（十）的最小值判斷選項(xiàng)C；舉特例否定選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)〃x）定義域?yàn)镽,

由/（-x）=2sin2（一x）—3sin|-x|+l=2sin2x-3sin（+1=f［x},

可得〃x）是偶函數(shù).判斷正確；

選項(xiàng)B：當(dāng)xNO時，/（x）=2sin2x-3sin%+l,

由2sin?尤-3sin尤+1=0,可得sinx=1,或sin尤=1,

2

則當(dāng)xe［0,2?i］時，彳=2或*=5或彳=等，

又/（X）是偶函數(shù)，則當(dāng)彳目一2兀,0］時，》=一臺或苫=-￡或》=-"，

626

則“可在［-2兀,2可上有6個零點(diǎn).判斷正確；

選項(xiàng)C：當(dāng)x20時，/（x）=2sin2%-3sinx+l=21inx-；）-g,

3i

則當(dāng)sinx=:時”X）取得最小值-;，

又“X）是偶函數(shù)，則“X）的最小值為-］判斷正確；

O

選項(xiàng)D：=Zsil?1-：］-3sin+1=^1--|A/2^+1<1,

f（0）=2sin20-3sin|0|+l=l

則d<〃o）,則?。┰?：，°上不單調(diào)遞減.判斷錯誤.

故選：ABC

11.ACD

【分析】由題意,根據(jù)函數(shù)的對稱性,合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得g'（x）=-g'（2-x）、

答案第5頁，共15頁

f'(y+x)-g'[x)=o,通過合理賦值即可判斷BCD.

【詳解】由/。)=/(4一X),得/(l+x)=/(3—x)①，

/(l+x)-g(x)=4②，得/(3-x)-g(2-x)=4③，

由①②③，得gQ)=g(2-X),所以函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線x=l對稱，故A正確；

由gQ)=g(2—無)，得g'(x)=-g'(2-x),令x=l,得g'⑴=0；

由了(1+x)-g(x)=4,得f'O.+x)-g'(x)=0,

令x=l,得/'(2)=g，(l)=。，

r(2+x)-g〈l+x)=0④，

又廣(x)+g，(l+x)=0⑤，令x=2,得八2)=g〈3)=0,故B錯誤；

④⑤兩式相加，得廣(2+x)+t(x)=0,得:(4+x)+〃2+x)=0,

所以r(x)=r(4+無)，即函數(shù)了‘(X)的周期為%故c正確；

由1(2+x)+r(勸=0,令尤=2,得，(4)+r⑵=0,所以:(4)=0,

所以(l)g'(l)=八2)g'(2)=r(3)g'(3)=f(4)g，(4)==f'(n)g'(h)=0(〃eZ),故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，尋找關(guān)系式

g(x)=g(2-尤)、1(2+x)-g，(l+x)=0和「(2+x)+r(x)=0是解題的關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)

系，對稱性與周期性的聯(lián)系，都是解題的思路.

12.5

【分析】利用題給條件列出關(guān)于力的方程，解之即可求得”的值.

【詳解】二項(xiàng)式(2-司”的展開式通項(xiàng)為C：2"~r(-l)rxr,

則X2項(xiàng)的系數(shù)是C：2"N,常數(shù)項(xiàng)是C；2",

由題意得C：2"-2=|c°2",即=|,2"，

整理得/_〃—20=0,解之得〃=5或〃=-4(舍)

故答案為：5

2萬1

13.—##120—##-0.5

32

I|2--1

【分析】由卜+N=1可得=根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可求出〃與b的夾角；

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得(a+切?S-")=：-cos(a+4c),結(jié)合cos(a+￡c)的取值范圍即可求解.

答案第6頁，共15頁

【詳解】由題意知，H=W=H=I,

由,+0=a+2a-b+b=1,得〃?/7=—

所以cos(a,6)=j1^=_g,又,,力[0,利，

所以9?=g,即。與6的夾角為g;

(a+8)?(Z?-c)=a?Z?+/—(〃+6).。=；一卜+“dcos(a+A,c)=g—cos(a+仇c),

又cos(a+b,c)￡[-l,l],所以^-cos卜+A,c)2-;,

當(dāng)且僅當(dāng)〃+人與C同向時，等號成立.

所以(a+Z?).(b-c)的最小值為-1.

2

2兀1

故答案為：—;--

14.21或1:或3彳或三3

4242

【分析】過「作P01面ABC于。，過。作O￡，ACOD，3C,O/，A3,根據(jù)題設(shè)可得

NOEP-，ZPFO=-,ZPDO=-,分。為三角形的內(nèi)心或旁心討論，設(shè)5筋?=心利用

444

幾何關(guān)系得到V,再根據(jù)條件得到C在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上，再利用.ABC是直角三角形,

即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，過P作尸。，面ABC于。，過。作OE，AC,OD，8C,OF，A5,

因?yàn)椤?1面ABC,ACu面ABC,所以PO_LAC,又OEcPO=O,。瓦尸Ou面尸OE,

所以AC,面POE,又尸Eu面尸OE,所以AC,尸E,故/PEO為二面角的平面角，

JjJIJ[

由題知，NOEP=—,同理可得/尸/。=—,NPOO=—,

444

當(dāng)。在三角形ABC內(nèi)部時，由OE=OF=OD,即。為三角形的內(nèi)心，

設(shè)SaBc=f，貝lk=；(A2+BC+AC>OD=3OD，得到OD=；，所以O(shè)P=OD=；，

三棱錐P-ABC的體積為V=1s^OP=g/；

答案第7頁，共15頁

又因?yàn)镃4+CB=4>A5=2,所以點(diǎn)C在以A,8為焦點(diǎn)的橢圓上，

如圖，以A3所在直線為無軸，48的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),8(1,0),

22

由題知，橢圓中的c=l,a=2,b=石，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+上_=1,

43

設(shè)C(x,y),因?yàn)锳BC是直角三角形，

當(dāng)A=T時，易知x=-l,此時|AC|=；,所以/=；|4?卜同[=：,得到,=

當(dāng)B=g時，易知x=l,此時|AC|=；,所以f斗忸C|=；,得到!/=：/=；,

乙乙乙乙7I

又因?yàn)?=6,0=1,故以。為圓心，1為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即CH],

綜上所述，V=y；

4

同理，當(dāng)。在三角形A3C外部時，由OE=O9=0，即。為三角形的旁心，

1321

設(shè)SABC=，，則f=5(AB+3C—AC>0O=50D,得到。。=了，

方121

所以O(shè)P=OD=1,三棱錐尸―A5C的體積為V=3SABCOP=3/=5；

或/=1(BC+AC—AB)OO=OD,得到OD=1,

2

ii3

所以。尸=8=f,三棱錐尸一ABC的體積為V=§SABcOP=§r=w；

或t=-(AC+AB-BC)OD=-OD,得至ljOD=2t,

22

i23

所以O(shè)P=8=2t,三棱錐P—ABC的體積為

答案第8頁，共15頁

1、1、3、3

故答案為：了或；或了或彳.

4242

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，設(shè)出SABC=，后，得出V=g產(chǎn)，再將問題轉(zhuǎn)化

到以A8為焦點(diǎn)的橢圓上來求ABC的面積，即可解決問題.

15.(1)1

(2)答案見解析

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，依題意只需使尸(1)=0即可求得實(shí)數(shù)

(2)利用(1)寫出函數(shù)解析式，求導(dǎo)并分解因式，在定義域內(nèi)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即

得單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極值.

【詳解】(1)由/(x)=〃％■!i~21nx可得：/'(%)=〃—-—,

XXX

由題意，r(l)=a—1=0,解得。=1；

(2)由(1)得/'(尤)=x+』+21wc,(x>0),貝]尸(刈=]_2+2=廠+21=5+3)尸),

XXXXX

當(dāng)0<x<l時,_f(x)<0,則/(x)在(0,1)上是減函數(shù);

當(dāng)尤>1時，/(%)>0,/(x)在(L+8)上是增函數(shù).

故x=l時，函數(shù)〃x)有極小值為了⑴=4,無極大值.

故函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8),遞減區(qū)間為(0,1),函數(shù)有極小值為了⑴=4,無極

大值.

16.⑴口

24

(2)分布列見解析;E(X)=1

【分析】(1)根據(jù)概率已知條件記“射擊一次獲得'優(yōu)秀射擊手'稱號”為事件A;射擊一次獲

得一等獎為事件3；射擊一次獲得一等獎為事件C,分析可知A=8C,利用互斥事件的

概率加法計(jì)算公式所以求尸(BuC)即可.

(2)根據(jù)題意判斷根據(jù)二項(xiàng)分布求概率、期望公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)記“射擊一次獲得'優(yōu)秀射擊手'稱號”為事件A；射擊一次獲得一等獎為事件B；

答案第9頁，共15頁

射擊一次獲得一等獎為事件C,所以有A=BC,所以尸（2）=；,

p（c）=rrr所以尸（&）=尸（BUC）=P（B）+尸（c）=；+g=（?

（2）獲得三等獎的次數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4；

記“獲得三等獎”為事件D,所以P（0=：+；xg=：,

3

■=3）=叱［前急

64

p(X=4)=C：

C=?所以

X01234

81272731

P

2566412864256

[T，E(X)=4x：=l.

顯然X~B

17.（1）證明見解析.

⑵姮.

11

［分析XI）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量3C和4尸的坐標(biāo)，由AP3c=0得到BCLPA；

（2）先由尸A=得到點(diǎn)尸是線段。。的中點(diǎn)，求出BC的一個方向向量和平面APB的

一個法向量的坐標(biāo)夾角余弦的絕對值，即為3C與平面所成角的正弦值.

【詳解】（1）

答案第10頁，共15頁

連接40并延長，交BC于/,交圓柱側(cè)面于N,

AO]_L8iG，。。1為圓柱的IWJ,

4￡、。。兩兩垂直，以。|為原點(diǎn)，過點(diǎn)。1做4。平行線為x軸，以片01為y軸,

以。。為Z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系孫Z,

OOl=AAl=AN=6,AB=AC=屈,

在.ABC中，由射影定理得AC?=4〃?AN=300a”=5,

OM^AM-AO^2,

從而CM=BM='（同『-52=-j5,

A（O,-3,O）,B（>/5,2,6）,C（->/5,2,6）,.-.BC=（-2>/5,0,0）,

設(shè)尸（0,0㈤，.1A戶=（0,3,彳）,

:.\PBC=Q,

8C_L尸A.

(2)由(1)可得，BP=,—2,2—6j,

小尸卜網(wǎng)，,行I+j5+4+("6『,得4=3,即點(diǎn)P是線段。。的中點(diǎn),

V=(0,3,3),BP=(-45-2,3),

設(shè)平面AtPB的一個法向量為n=(x,y,z),

3y+3z=0

則1-6口3=。’取k1'得哼田_91〕,

（5J

答案第11頁，共15頁

設(shè)3c的一個方向向量為機(jī)=(1,0,0),于是得:

設(shè)BC與平面4尸5所成角為，,則sin。=|cosn,m|=,

所以5c與平面4PB所成角的正弦值為反.

11

18.(1)4

⑵證明見解析，q=2"

25

⑶-94芯了

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，化簡數(shù)列遞推式，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算及遞推式求解即可；

(2)對遞推式變形結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得色包=2,利用等比數(shù)列定義即可證明，代入等比數(shù)列

%

通項(xiàng)公式求解通項(xiàng)公式；

14

(3)先利用等比數(shù)列求和公式求和，再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為(-1)"1(5"+不對任意的“€用

14/、

恒成立，令g(x)=x+1,xe(0,+8),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求解

函數(shù)最值，根據(jù)〃的奇偶性分別求解范圍即可.

【詳解】(1)因?yàn)椋?x)=f一》,貝ir(x)=2x—l,從而有

由％含，則

則臺"，解得寸二則有“工=三，所以=0言=21n六=4；

答案第12頁，共15頁

2

所以4+i=ln^+1=ln=21n-^=2a“(x.>1),

%+i-l1%口"I

故也=2(非零常數(shù))，且q=2w0,所以數(shù)列{qj是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

an

所以4=2X2"T=2"；

(3)由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得：s=2(1_2")=2用_2,

〃1-2

因?yàn)椴坏仁?-1)〃?不“-14WS；對任意的〃￡N*恒成立，又S”>。且S〃單調(diào)遞增，

所以(一D",，《3〃+?對任意的〃￡}\}*恒成立，令g(x)=%+匕，%?0,+8),

則==當(dāng)xe(0,M)時，g'(x)<o,g(x)是減函數(shù)，

當(dāng)xe(Vi?,+ao)時,g,(x)>0,g(x)是增函數(shù)，

又2=5]<舊<邑=6,且g(2)=9,g(6)=y,g⑹<g(2),貝i]8⑺血”;8⑹二三，

1425

當(dāng)"為偶數(shù)時，原式化簡為y5“+工，所以當(dāng)〃=2時，Q3；

3

C14

當(dāng)〃為奇數(shù)時，原式化簡為TWS.+不，所以當(dāng)〃=1時，-t<9,所以止-9；

25

綜上可知，-9W—.

19.⑴]+『1

43

(2).1%=4(y>0)；>2x0=1

【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率和長軸的概念建立方程組，解之即可求解；

(2)①易知當(dāng)％=1時7(4,3)；當(dāng)吃41時，利用兩點(diǎn)表示斜率公式和點(diǎn)斜式方程表示出直線

FT、AT方程，聯(lián)立方程組，化簡計(jì)算求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)T的軌跡方程；②利

用面積公式建立關(guān)于％的方程，化簡計(jì)算即可求解.

e=—c=—1(