2024高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷1（解析版）

2024高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷01（解析版）

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.抽樣統(tǒng)計(jì)某位學(xué)生8次的數(shù)學(xué)成績分別為81,84,82,86,87,92,90,85,則該學(xué)生這8次

成績的75%分位數(shù)為（）

A.85B.85.5C.87D.88.5

【答案】D

【分析】將題設(shè)中的數(shù)據(jù)按由小到大排列后可求75%分位數(shù).

【詳解】8次的數(shù)學(xué)成績由小到大排列為：81,82,84,85,86,87,90,92,

因8x75%=6,故75%分位數(shù)為雙詈=88.5,

故選：D.

22

2.已知雙曲線C:3-方=1的焦距為6,則雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）

A.6B.2C.4D.商

【答案】B

【分析】由題意可得，c=3,由5+/=9,解得6=2,可得6,求出漸近線方程，再

由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到.

【詳解】由題意可得，c=3,焦點(diǎn)為（-3,0）,（3,0）,

貝!]5+。2=9,解得匕=2,又a=下,

則雙曲線的漸近線方程為y=±竽彳，

645

則焦點(diǎn)到漸近線的距離為彳=2.

k

故選:B.

3.等比數(shù)列｛%｝滿足4+。3=1。，。2+。4=2。，則§6=（）

A.30B.62C.126D.254

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，先求出首項(xiàng)和公比，即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心

2+c

由q+2=1°,4+g=20可得4=--------=2,

%十%

2

則a{+a3=a{+a[q=5%=10,

所以。i=2,

因止匕-26）=i26.

61-2

故選：C

4.設(shè)m,n是不同的直線，d夕是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若相〃％”〃力,a〃￡，則B.若a_L4，〃2_La,〃_L^,貝

C.若a_!_/?,機(jī)〃a,”///7,則m_!_/D,若機(jī)//〃,〃_1_萬,"z_La,則a〃/

【答案】D

【分析】利用線面、面面平行關(guān)系判斷A；由B的條件可得判斷；由直線機(jī)、”

都平行于a,尸的交線判斷C；由線面垂直的性質(zhì)推理判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)〃〃民a〃6，則直線機(jī)與"可能相交、也可能平行、還可能

是異面直線，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a_L尸，加_La,77_L/?,貝!B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a。，直線機(jī)與〃可能平行，

如直線加、〃都平行于名夕的交線，且滿足條件，而加//〃，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若根//〃,〃_1_2，則相J_￡,又加_La,因止匕a//6,D正確.

故選：D

5.某表彰會(huì)上3名男同學(xué)和4名女同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，則女生甲與女生

乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（）

A.194B.240C.388D.480

【答案】D

【分析】由題意，將女生甲與女生乙和女生丙與女生分別捆綁起來算作兩個(gè)元素，再與

3名男同學(xué)全排列即可.

【詳解】解：因?yàn)榕着c女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰，

則捆綁起來算作兩個(gè)元素，與3名男同學(xué)構(gòu)成5個(gè)元素，

則排法共有：A>A>A；=480種，

故選：D

兀

6.已知兀），且cos2e-3sing+l=0,貝Usin9+cos9=（）

A^3-1R1-A/3「布-1八1~A/3

4422

試卷第2頁，共19頁

【答案】D

【分析】根據(jù)條件，得至!|sine=1,從而得到。=學(xué)（或cos*-正），即可求出結(jié)果.

262

【詳解】由已知得l-2sin2〃一3sin6?+l=0,即Zsin?61+3sind-2=0,、

解得sind=彳i或sin〃=—2（舍去），又。e（j￡r,7i）,得。=S?ir,

226

sin+cos0=sin—+cos—=-—.

662

（另解:由已知得2sin2?+3sin9一2=0,

]兀

解得sin6=5或sin8=—2（舍去），又?！辏ㄓ谪＃?，

貝！Jcos/=-，l-sin29=一立,故sin6+cos6=^—.）

22

故選：D.

22

7.已知雙曲線C:3尤2-9=3/的一條漸近線1與橢圓

ab

B兩點(diǎn)，若閨瑪RABI,（月,8是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則E的離心率為（）

A.73-1B.且

2

C.（-00,1）D.（-00,0）

【答案】A

【分析】由題意求出雙曲線的漸近線，則可得NAO居=60。，由已知條件可得四邊形

然3工為矩形，則|AO|=|O閶=|M|=c,|陽=底,再根據(jù)橢圓的定義列方程化簡

可求出離心率.

22_

【詳解】由已知C:二-上y=l,則雙曲線的一條漸近線/:y=gx,即/A。?=60。，

m3m

又閨局即|0閶且四邊形442工為矩形,

所以|AQ|=|O閶=|隹|=c,則|然上而『二而=限，

又根據(jù)橢圓定義可知|前|+|4閭=豆。+。=2。,

所以離心率W=G-

故選：A

8.某數(shù)學(xué)興趣小組研究曲線C]：g+J7=l和曲線C2：]+y4=l的性質(zhì)，下面同學(xué)提

出的結(jié)論正確的有()

甲：曲線G，Cz都關(guān)于直線y=x對(duì)稱

2

乙：曲線C1在第一象限的點(diǎn)都在橢圓。3：1r+>2=1內(nèi)

丙：曲線C?上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為指

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】C

【分析】對(duì)于甲，直接舉反例即可推翻，對(duì)于乙，由條件E+J7=l，0<x<2,0<y<l,

通過比較亍+丁-1和0的大小關(guān)系即可得解，對(duì)于丙，直接由三角換元法即可判斷.

【詳解】對(duì)于甲，曲線a：E=1上的點(diǎn)G，o)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(o,2)不在曲

線G：E+J7=I上，故甲錯(cuò)誤；

對(duì)于乙,若=1,0<x<2,0<y<1,

貝1J?+y2T=。-6)+y2T=。-4)+(y+i)(77+i)(V7T)

+(7+1)(77+1)]=(77-1)卜6-3尸377一1+〉77+y+77+1)

=(Vy-l)(2yVy-2y+477)=277(77-1)(y-77+4)=277(77-1)[4-]+/<0

,故乙正確；

對(duì)于丙，用(-X,y),(X,-y),(r,-y)依次分別代替曲線C2：；+y4=1方程中的x,y方程

依然成立，

故曲線C?關(guān)于坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

所以不妨設(shè)，萬=3。,丫2=5皿。,。€0段,

所以yfx2+y1-J2cose+siv。=/后sin(6+0)<A/5<小,故丙錯(cuò)誤；

試卷第4頁，共19頁

綜上所述，同學(xué)提出的結(jié)論正確的有1個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷乙的關(guān)鍵是由條件J5+V7=l,0<x<2,0<y<l,通過比較

:+y2_i和0的大小關(guān)系即可順利得解.

二、多選題

9.已知函數(shù)ya）=sinox-6cosox（0>O）的最小正周期為兀，則（）

A.3=2

B.點(diǎn)（-去。］是?。﹫D象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.〃x）在上單調(diào)遞減

D.將“X）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長度，可得至打=2^（2》-「的圖象

【答案】AD

【分析】由已知利用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期公式即可

求解得。的值，即可判斷A；利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)

性即可判斷C；利用三角函數(shù)的圖象變換即可判斷D.

【詳解】因?yàn)?（%）=sinG%-百cosG%=2sin（G%-g）的最小正周期為兀,

2兀

所以一=兀，解得0=2,故A正確，

G）

TT

所以/（x）=2sin（2x-§）,

由于"一己）=2'訶2乂（-己）一目=-2,

所以點(diǎn)，器，。］不是/⑴圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤，

當(dāng)xe信"可得2x-ge（g，學(xué)），函數(shù)不是單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤,

7T

將/（尤）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移W個(gè)單位長度,

TT

可得y=2sin[2(%+')—二]=2sin|2x+———=2cos(2x——)故D正確.

故選：AD.

10.已知Z”Z2為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.zx+z2=z2

B.|z1-z2|=|z1|-|z2

C.若zj+z；=O,則Z]=Z2=。

D.若Z]Z2=0,則4=0或z?=0

【答案】ABD

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷ABD,舉反例判斷C.

【詳解】設(shè)+歷，z2=c+di(a,b,c,deR),因?yàn)?+z2=a+c-(b+d)i,

Z+Z2=a+c-(b+d)i,所以4+Z2=Zj+Z2,故A正確；

又|z[.z2]=[(a+6i)(c+di)|=\ac—bd+^ad+bc)^,

=+(ad+6c)-=&ac)2+(bd『+(adj+(.c)一,

[Z1口z?|=y/a2+b2-y/c2+d2-^(ac)2+(M)2+(^c)+{bc^,

所以歸旬=聞生|,故B正確；

取4=1,z2=i,可得z：+z；=l-l=O,故C錯(cuò)誤；

若奪2=0,由B選項(xiàng)知|平2卜㈤憶卜0,所以團(tuán)=0或㈤於0,可得4=。或Z2=0,

故D正確；

故選：ABD.

11.已知函數(shù)“X）滿足（x+y）/（x）/（y）=a/（x+y）,且/'⑴=2,則（）

A.〃。）=。

B."2）=8

C.函數(shù)/（X）為奇函數(shù)

D./（1）+/（2）+/（3）++/（"）=（〃一1）2向+2

【答案】ABD

【分析】令x=O,y=l判斷A,令x=y=l判斷B,令x=Ty=2,求出/（一1）=一gw-/⑴,

判斷C,令x=l,y=〃，得/⑺=ax2",利用錯(cuò)位相減法判斷D.

【詳解】對(duì)于A,令x=O,y=l時(shí)，則/（0）/（1）=0,又/（1）=2,所以/（0）=0,故A

正確;

試卷第6頁，共19頁

對(duì)于B,令x=y=l時(shí)，則=/⑵，又/⑴=2,所以/（2）=8,故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)x=Ty=2時(shí),則/（—1）/（2）=-2〃1）,又/⑴=2,/（2）=8,

所以/(-1)=-：力-/(1),所以函數(shù)/(x)不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)x=l,y=〃時(shí)，則(1+力)/(1)/(〃)=45+1),又/(1)=2,

/、,、、f(n+l)n+1

所以2(1+〃)/⑺=械(幾z+1),即一———-=2——,

A1）XZHX34

所以當(dāng)時(shí),x—X—X

/（2）/（3）23

即著“二

即/伍)=8“X2"-3="X2〃，n>2,

當(dāng)〃=1時(shí)，代入上式，lx21=2=/(l),所以/(〃)=〃x2",

設(shè)S.=/(l)+/(2)+〃3)++/(〃)，

則S“=1x21+2x2?+3x2、+nx2"①

234K+1

2Sn=1X2+2X2+3X2++nx2②

①-②得，

,234n+1

-S,I=2+2+2+2++2"-nx2

Qo〃+i

=——-nx2"+1

1-2

=(l-n)x2,i+1-2,

所以S.=(〃-l)x2"，2,故/⑴+〃2)+/(3)++"〃)=(〃—l)2"+i+2,故D正確,

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：賦值法的直觀應(yīng)用，對(duì)于D選項(xiàng)，構(gòu)造數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法

求解.

第II卷(非選擇題)

未命名

三、填空題

12.已知集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,_y)|(x-1)2+y2=1},則AcB中元素的個(gè)

數(shù)為

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可求解.

【詳解】由圓(x-l)2+V=i,可得圓心M(1,O),半徑為廠=1,

則圓心”(1,0)到直線x+y=2的距離4=展=1<1,

可得直線與圓相交于兩個(gè)公共點(diǎn)，所以AcB的元素的個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

13.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A[B]C]A中，AB=6,A瓦=4,隊(duì)=底,則該棱臺(tái)的

體積為，點(diǎn)4到面AC2的距離為.(本小題第一空2分，第二空3分)

【分析】過點(diǎn)4作AE，AC交AC于E點(diǎn)，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析出\E即為正四

棱臺(tái)的高，然后根據(jù)體積公式求出體積；過點(diǎn)耳作耳交。。于M點(diǎn)，根據(jù)幾

何關(guān)系證明出4M的長即為所求點(diǎn)面距離，再根據(jù)線段長度求出結(jié)果.

【詳解】連接AGc與2=&,AC連接。。，過點(diǎn)4作AELAC交AC于

E點(diǎn)，如下圖所示：

DiG

因?yàn)閹缀误w為正四棱臺(tái)，所以平面ABC。,

又因?yàn)锳E_LAC,OO|，AC,所以AE//。。，所以為正四棱臺(tái)的高,

又因?yàn)锳B=6,A4=4,

所以H任*=巫逑=應(yīng),

22

試卷第8頁，共19頁

所以AE=1附-4爐=2,

所以棱臺(tái)的體積為：|x2x(16+36+V16x36)=^y；

連接A。,與。，過點(diǎn)且作用M_L。。交。。于M點(diǎn)，如下圖所示:

因?yàn)??！?_LAC,AC_L8D,001BD=O,

所以AC,平面。24B,所以AC,用M,

又因?yàn)锽|M_L2。，ROAC=O,

所以與M，平面ACDt,所以gM的長度即為點(diǎn)B,到面AC%的距離，

由對(duì)稱性可知：DQ=BQ=5O；+OO；=78+4=2也,

所以sin/4口。=第=3==半，

DQ2V33

所以4M=4Rxsin/2QO=40xg=￥，

所以點(diǎn)用到面AC，的距離為短,

3

故答案為：苧；戰(zhàn).

33

14.定義,%}表示的、a?、L、?！爸械淖钚≈?，max{%,外,...,凡}表示的、

?2>L、%中的最大值，設(shè)G<m<n<p<2,已知"23:"或相+2〃W3,貝U

min{max{〃一私2一0}}的值為.

【答案】|3

【分析】設(shè)〃7"=x,P—n=y,2-p=z,可知x>0,y>0,z>0,可得出

Izz=2-v—z

\,，設(shè)河=111穌{%y,z},分機(jī)、機(jī)+2〃W3兩種情況討論，結(jié)合不等

[m=2—x—y—z

式的基本性質(zhì)可求得M的最小值.

【詳解】設(shè)〃一根二%,P~n=y,2—p=z，且。<根v簿vpv2,貝ljx>o,y>0,z>0,

n-2-y-z

所以,

m=2-x—y-z

若〃23相，則2—y—z—之3(2—x—y—z),故3%+2y+2z24,

3M>3x

4

設(shè)M=max{x,y,z},因此，<2M>2y,故7MN3x+2y+2zN4,gpM>—,

2M>2z7

若m+2〃W3,貝lj2—x—y—z+2（2—y—z）<3,即x+3y+3z>3,

M>x

3

則3M23）,故7M2%+3y+3z>3,當(dāng)且僅當(dāng)％=3y=3?=2時(shí)，等號(hào)成立，

3M>3z

綜上所述，min{max{〃—〃p—，2—〃}}的最小值為

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于換元〃一m=冗，P-n=y,2-p=2,

A/=max{羽y,z},將相、幾用無、>、z表示，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.

四、解答題

15.已知函數(shù)/（x）=lnx+f-"在點(diǎn)（1］⑴）處的切線方程為x+y+相=0.

⑴求實(shí)數(shù)上和加的值；

⑵求〃%）在［l,e］上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）攵=4,m=2

⑵e?—4e+l

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求人的值，再根據(jù)切線過切點(diǎn)求根的

值；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再求函數(shù)的最

大值.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=lnx+%2-履

所以/'(%)=—\-2x-k,

x

f(l)=3-k=-l

由題意可得,

f(l^=l-k=-m-1

試卷第10頁，共19頁

解得:左=4,m=2.

(2)由(1)可得，/(x)=lnx+x2-4x

所以「(尤)=。+2彳_4=2廠-4x+],且xe[l,e],

XX

易得，當(dāng)xe[l,l+乎]時(shí)，/'(@<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[l+*,e]時(shí)，r(X)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

又/⑴=-3,/(e)=e2-4e+l,￡./(e)-/(l)=e2-4e+4=(e-2)2>0,

即最大值為：/(e)=e2-4e+l.

16.已知函數(shù)〃x)=2月sir?x+(sinx+cosx)2一6.

⑴求函數(shù)/(%)的最小正周期；

JTJT

⑵若xe,求y=〃x)的最值及取最值時(shí)x的值；

(3)若函數(shù)y=/(x)-加在xe內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】⑴兀

⑵最小值為T,此時(shí)彳=若；最大值為2,止匕時(shí)x=；

⑶[1-后1+⑹{3}

/兀

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換得到〃/x)\=2sin/[2尤-71"|+1,從而根據(jù)時(shí)求出最小正

周期；

jrTT(jrA57rjr

(2)xe時(shí)，2x-we,整體法求出函數(shù)的最值及對(duì)應(yīng)的無；

(3)轉(zhuǎn)化為y=sin(2x-：j在xe的圖象在與直線>=—只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出

jr27r

>=5吊2在26--,y上的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解

【詳解】(1)/(%)=2布sin2x+(sinx+cosx)2-A/3=2^3--~+1+2sinxcosx-y/i

=sin2x-A/3COS2x+1=2sin-^+1,

故函數(shù)的最小正周期為D三R=兀.

⑵由⑴知/(x)=2sin(2x—1)+l,因?yàn)閤e一:弓，所以「元―一g常，

(TT]SJTTT

令「2%-彳，貝|y=sinl,函數(shù)y=sinl在區(qū)間-■，-彳上單調(diào)遞減，

V3；_62.

在區(qū)間-再上單調(diào)遞增，所以f],即X=；時(shí)，

函數(shù)/(X)=2sin12x-今1+1有最大值，最大值為=2.

當(dāng)即A-自，函數(shù)/(x)=2sin(2xqj+l有最小值，

最小值為(-曰=-1.

綜上xe-*：，y=/(x)的最小值為一1,此時(shí)x=q；最大值為2,此時(shí)x=；.

(3)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)-m在xe。,|"內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(%)-m=0在xe0,y只有一個(gè)實(shí)根，

2sin^2x-y^+l-m=0,gpsin-=,

即函數(shù)y=sin(2尤f在xe的圖象在與直線y=—只有一個(gè)交點(diǎn)，

TTTTTT27rTT27r

當(dāng)xe0,-時(shí)，2x--e,畫出y=sinz在ze上的圖象，如下：

乙D。DJJ

結(jié)合函數(shù)圖象可知：函數(shù)y=sin[2x-]J在區(qū)間的圖象與直線、=?只有一個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，

—當(dāng)冬u{l},即一+@u{3}.

17.如圖，在平行六面體ABCD-4旦GA中，ACBD=O,AB=AD=2,AAi=3,

ZBAA,-ZBAD=ADA\=],點(diǎn)P滿足O尸=|zM+：OC+goD；.

(1)證明：O,P,31三點(diǎn)共線;

試卷第12頁，共19頁

（2）求直線AC與平面PAB所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

\^）———

【分析】（1）以為基底，表示。耳和。尸，得。4=30尸，可得O,P,耳三

點(diǎn)共線；

（2）證明0A。尻。4兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正

弦值.

【詳解】（1）證明：DO=-DA+-DC,所以。2=￡>2-。0=」。4+工￡^+、。。1,

22663

而OB[=OB+BBi=^DA+^DC+DD,,

所以（94=3OP,即O,P,q三點(diǎn)共線.

（2）連接。A，AB=AD=2,Z.BAD=—,所以BD=2,AC=2用,

TT

=3,=2,NBAAj=—,

由余弦定理得AB=J4+9—2x2x3xcos]=S，

同理可得，入D=夜.

又?，O為BD的中點(diǎn)，.??4。，瓦九AOHAB=BO。=屈.

AO=^/3,M2=A02+A02>即A。J-AO.

如圖，以o為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（O,O,W）,A（G,O,O）,B（0,l,0）,C（-73,0,0）,B《-也,1,㈣,

由（1）可得，P為線段。片三等分點(diǎn),

所以

4^|屈'

AC=(-V3,0,-V6),AP=[F'E,AB=(-^,1,0),

4百1nc

A4PD?幾=-------x+—yH------z=0,

設(shè)平面PAB的法向量為〃=(x,y,z),則，333

AB?n=—y[3x+y=0,

令％=應(yīng)，貝!]y=#,z=3,R=a,3).

設(shè)直線AC與平面PAB所成角為凡

4。川4屈4715^

則sin6=cos4。,九

4C||M|-3x717-51，

直線4c與平面PAB所成角的正弦值為勺叵.

51

22

18.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，雙曲線C:*-左=l(a>0/>0)的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的

距離是3,且C的離心率是2.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)4(%,%)是C上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)43關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，點(diǎn)A,。關(guān)于了軸對(duì)

稱.延長AD至E使得QE|=g|Aq,且直線BE和C的另一個(gè)交點(diǎn)廠位于第二象限中.

(i)求為的取值范圍，并判斷/。4尸=5是否成立？

(ii)證明：AE不可能是NBAF的三等分線.

2

【答案】⑴尤2-工=1

3

(2)(i)［羋,+/；(ii)證明見解析

-=2

【分析】(1)結(jié)合題意可得:工，a，解出。力,。，寫出雙曲線方程即可.

a+c—5

c2=a2+b1

(2)(i)根據(jù)題意，得到求得直線BF的方程，聯(lián)立方程

組，結(jié)合韋達(dá)定理，求得/點(diǎn)的坐標(biāo)，列出不等式關(guān)系式，求得為的范圍，再由(i),

求得直線AF的斜率并化簡，得至IJkAFk0A=-l,即ZOAF=|,(ii)求得tanZBAE的

范圍，進(jìn)而證得AE不可能是/A4F的三等分線.

【詳解】(1)因?yàn)殡p曲線C的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,且C的離心率是2,

試卷第14頁，共19頁

-=24=1

a

所以解得c=2

〃+c=3

C2=/+/b=\/3

2

故雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐—匕=1；

3

（2）（i）因?yàn)辄c(diǎn)A（%,%）是。上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)A3關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，點(diǎn)

關(guān)于y軸對(duì)稱.延長AD至E使得口同=!">|,

所以3（-%0，-%），4-具0，%],所以％=-中，

\J）xo

可得直線BF的方程為y=--^-4%，

%

y=_3%

聯(lián)立：。，消去y并整理得[綽-3”^￡》+16%2+3=0,

X2_2_=]IX。）”。

、~T~

因?yàn)橹本€所與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，并設(shè)廠（3,%）,

I[=16—+3,16y；+3

所以「。

由韋達(dá)定理得解得

則力=一一—-4y0>0,所以/<一：/<0成立，

工03

尤=16婷+3<4xr-萬

此時(shí)只需Fa_9y^3'°,解得/>士竺，則%的取值范圍為子,+少

414

玉）\

3%?8%=3%?丁…。

2222

%r,16y0+3x09y0+16y0+3-3x0

o第二

--3^o

TT

所以七"OA=T，即/04斤=3，

jr

（ii）證明：由（i）知/。4歹=5，

因?yàn)閠an/BAE=%=迎=J1一」e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之

間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參

數(shù)的取值范圍.

19.對(duì)于給定的奇數(shù)加("后3),設(shè)A是由機(jī)x機(jī)個(gè)實(shí)數(shù)組成的加行加列的數(shù)表，且A中

所有數(shù)不全相同，A中第i行第/列的數(shù)%e{-M},記中)為A的第i行各數(shù)之和，c(j)

為A的第j列各數(shù)之和，其中盯e{1,2,,m}.記/(A)=一一卜⑴+，；)++廠(珂.設(shè)

集合?廠⑺<0或％”(/)<0,2,，叫},記"(A)為集合H所含元素

的個(gè)數(shù).

⑴對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表4，4,寫出/(下),"(A)，〃4)，"(4)的值;

11111-1-1111

1111-1-1111-1

111-1-1111-1-1

11-1-1-111-1-1-1

1-1-1-1-11-1-1-1-1

A\Ai

⑵若廠(1)/(2),中恰有$個(gè)正數(shù)，c(l),c(2),,c(〃2)中恰有，個(gè)正數(shù).求證:

"(A)>mt+ms-2ts-

試卷第16頁，共19頁

,H(A)

(3)當(dāng)m=5時(shí)，求?,/的最小值.

J\A)

【答案】⑴/(A)=i。，"(4)=12；"4)=12,“(4)=15

(2)證明見解析

⑶&

9

【分析】(1)按定義求出廠⑺，c(j),，=1,2,,5,j=l,2,,5,進(jìn)行求解即可.

(2)分兩種情況進(jìn)行證明，即①se{0,叫或f?0,3,②se{0,明且f任{0,叫分別證

明即可.

(3)因?yàn)榧?5,分情況討論①若se{0,5}或“{0,5}時(shí)；②若se{2,3}或一{2,3}；③

若{印}={1,4},進(jìn)行求解.

【詳解】(1)44)=1。，"(4)=12；44)=12,H(A)=15.

由定義可知：將數(shù)表A中的每個(gè)數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行(列)，H(A),/(A)的

值不變.因?yàn)閮?yōu)為奇數(shù)，因w{-U},所以r(l),r(2),,r(m),c(l),c(2),…,c(")均不

為0.

(2)當(dāng)se{0,"z}或te{0,叫時(shí)，不妨設(shè)s=0,BPr(z)<0,i=1,2,,m.

若t=0,結(jié)論顯然成立；

若30,不妨設(shè)c(j)>0,J=l,2,-,t,則