2023屆北京市房山區(qū)初三5月中考信息卷數學試題含解析

2023屆北京市房山區(qū)張坊中學初三5月中考信息卷數學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.計算1+2+22+23+…+22。1。的結果是（）

A.22011-1B.22011+1

C.1（22011-1）D.|（22011+1）

2.cos45。的值是（）

A.-B.—C.—

222

3.一組數據是4,x,5,10,11共五個數，其平均數為7,則這組數據的眾數是（）

A.4B.5C.10D.11

4.某商品價格為。元，降價10%后，又降價10%,因銷售量猛增，商店決定再提價20%,提價后這種商品的價格為

()

A.0.96。元B.0.972。元C.1.08。元D.。元

5.矩形ABCD與CEFG,如圖放置，點B,C,E共線，點C,D,G共線，連接AF,取AF的中點H,連接GH.若

6.如圖，A點是半圓上一個三等分點，3點是弧AN的中點，尸點是直徑“V上一動點，。。的半徑為1,則AP+

BP的最小值為

A.1B.C.V2D.V3-1

2

7.如圖，。。的半徑OA=6,以A為圓心，OA為半徑的弧交。。于B、C點，貝IBC=（）

A.6GB.6夜C.36D.372

8.y=（m-1）xM+3m表示一次函數，則m等于（）

A.1B.-1C.0或-1D.1或-1

9.在RtZkABC中，ZC=90°,如果AC=4,BC=3,那么NA的正切值為（）

3434

A.—B.—C.—D.一

4355

10.（3分）學校要組織足球比賽.賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場）.計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊

參賽？設邀請x個球隊參賽.根據題意，下面所列方程正確的是（）

,11

A.x-21B.—x（x-1）=21C.—%9—21D.-1）—21

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

AB1AE

11.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AC、BD相交于點E,若一=-,則一=____.

CD4AC

12.為了求1+2+22+23+...+22M6+22。"的值,

可令5=1+2+22+23+...+22016+22017,

則2S=2+22+23+24+...+22017+22018,

因此2S-S=22°i8-1,

所以1+22+23+...+22017=22018-1.

請你仿照以上方法計算1+5+52+53+...+52。*的值是.

13.長、寬分別為。、方的矩形，它的周長為14,面積為10,則a2H.2的值為.

14.在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球,

2

它是白球的概率為則黃球的個數為.

15.如圖是我市某連續(xù)7天的最高氣溫與最低氣溫的變化圖，根據圖中信息可知，這7天中最大的日溫差

一二三四五六日

16.寫出一個經過點（1,2）的函數表達式___.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）計算：4苴+8x2」（V2015+1）°+2?sin60°.

3

（2）如圖1,當根=2,〃=3時，連DE并延長交C4延長線于尸，求證：EF=-DE.

（3）如圖2,連交CE于G,當A￡>=應>且CG=「AE時，求一的值.

2n

19.（8分）某商場服裝部為了調動營業(yè)員的積極性，決定實行目標管理，根據目標完成的情況對營業(yè)員進行適當的獎

勵.為了確定一個適當的月銷售目標，商場服裝部統(tǒng)計了每位營業(yè)員在某月的銷售額（單位：萬元），數據如下：

17181613241528261819

22171619323016141526

15322317151528281619

對這30個數據按組距3進行分組，并整理、描述和分析如下.

頻數分布表

六

組別二三四五七

銷售額13《x<1616?x<1919,,%<2222,,%<2525?%<2828?%<3131,,x<34

頻數793a2b2

數據分析表

平均數眾數中位數

20.3C18

請根據以上信息解答下列問題：填空：a=—，b=—,c=—；若將月銷售額不低于25萬元確定為銷售目標，則

有一位營業(yè)員獲得獎勵；若想讓一半左右的營業(yè)員都能達到銷售目標，你認為月銷售額定為多少合適？說明理由.

20.(8分)如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E為BC上一點，BE：CE=3：2,連接AE,點P從點A出發(fā),

沿射線AB的方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，過點P作PF〃BC交直線AE于點F.

⑴線段AE=；

⑵設點P的運動時間為t(s),EF的長度為y,求y關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

(3)當t為何值時，以F為圓心的。F恰好與直線AB、BC都相切？并求此時。F的半徑.

21.(8分)今年3月12日植樹節(jié)期間，學校預購進A、B兩種樹苗，若購進A種樹苗3棵，B種樹苗5棵,

需2100元，若購進A種樹苗4棵，B種樹苗10棵，需3800元.

(1)求購進A、B兩種樹苗的單價；

(2)若該單位準備用不多于8000元的錢購進這兩種樹苗共30棵，求A種樹苗至少需購進多少棵？

22.(10分)數學課上，李老師和同學們做一個游戲：他在三張硬紙片上分別寫出一個代數式，背面分別標上序號①、

②、③，擺成如圖所示的一個等式，然后翻開紙片②是4P+5X+6,翻開紙片③是3爐-x-1.

?~\-~-

解答下列問題求紙片①上的代數式；若X是方程lx=-x-9的解，求紙片①上代數式的值.

23.(12分)如圖，NBAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,交BC于點F,NABC的平分線交AD于點E.

D

(1)求證：DE=DB：

(2)若NBAC=90。，BD=4,求AABC外接圓的半徑；

(3)若BD=6,DF=4,求AD的長

24.如圖，矩形中，E是AO的中點，延長CE,5A交于點F,連接AC,DF.

(1)求證：四邊形AC。尸是平行四邊形；

(2)當C尸平分時，寫出8c與C￡＞的數量關系，并說明理由.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、A

【解析】

可設其和為S,則2s=2+22+23+2，+…+22。1。+22?！?，兩式相減可得答案.

【詳解】

設S=l+2+22+23+...+220100

貝!J2S=2+22+23+...+22010+22011(2)

②-①得S=22011-l.

故選A.

【點睛】

本題考查了因式分解的應用；設出和為S,并求出2s進行做差求解是解題關鍵.

2、C

【解析】

本題主要是特殊角的三角函數值的問題，求解本題的關鍵是熟悉特殊角的三角函數值.

【詳解】

V2

cos45°=—.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查特殊角的三角函數值.

3、B

【解析】

試題分析：(4+X+3+30+33)+3=7,

解得：x=3,

根據眾數的定義可得這組數據的眾數是3.

故選B.

考點：3.眾數；3.算術平均數.

4、B

【解析】

提價后這種商品的價格=原價x(1-降低的百分比)(1-百分比)x(1+增長的百分比)，把相關數值代入求值即可.

【詳解】

第一次降價后的價格為ax(1-10%)=0.9a元，

第二次降價后的價格為0.9ax(1-10%)=0.81a元，

二提價20%的價格為0.81ax(1+20%)=0.972a元，

故選B.

【點睛】

本題考查函數模型的選擇與應用，考查列代數式，得到第二次降價后的價格是解決本題的突破點；得到提價后這種商

品的價格的等量關系是解決本題的關鍵.

5、C

【解析】

分析：延長GH交AD于點P,先證△APH且AFGH得AP=GF=1,GH=PH=；PG,再利用勾股定理求得PG=&,

從而得出答案.

詳解：如圖，延長GH交AD于點P,

,/四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，

/.ZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

；.AD〃GF,

ZGFH=ZPAH,

又是AF的中點，

/.AH=FH,

在AAPH和△FGH中，

"PAH=ZGFH

?:\AH=FH,

NAHP=ZFHG

.,.△APH^AFGH(ASA),

1

.,.AP=GF=1,GH=PH=-PG,

2

；.PD=AD-AP=L

；CG=2、CD=1,

.,.DG=1,

]]______5

貝！IGH=yPG=-x7P￡)2+DG2=x_,

故選：c.

點睛：本題主要考查矩形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理等知識點.

6、C

【解析】

作點A關于MN的對稱點連接￡5,交MN于點尸，則BL+PB最小,

A

、B

連接OA'^A'.

?.?點A與4關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點,

:.ZA'ON=ZAON=60°,PA=PA',

???點5是弧ANA的中點，

:.N5ON=30°,

:.ZA'0B=ZA'ON+ZB0N=9Q°,

5L'：OA=OA'=1,

：.A'B=y/2

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=y[2

故選：C.

7、A

【解析】

試題分析：根據垂徑定理先求3c一半的長，再求的長.

解：如圖所示，設04與5c相交于。點.

AB=OA=OB=6,

：./\OAB是等邊三角形.

又根據垂徑定理可得，平分5C,

利用勾股定理可得BD=762-32=3+

所以BC=25O=6jL

故選A.

點睛：本題主要考查垂徑定理和勾股定理.解題的關鍵在于要利用好題中的條件圓。與圓4的半徑相等，從而得出

△OA5是等邊三角形，為后繼求解打好基礎.

8、B

【解析】

由一次函數的定義知，|m|=l且m-lrO,所以m=-l,故選B.

9、A

【解析】

根據銳角三角函數的定義求出即可.

【詳解】

切*?BC3

解：在RtAABC中,NC=90°,AC=4,BC=3,.\tanA=——=一.

AC4

故選A.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數的定義，熟記銳角三角函數的定義內容是解題的關鍵.

10、B.

【解析】

試題分析：設有X個隊，每個隊都要賽（X-D場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得：1）=21,故選B.

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

1

11、-

5

【解析】

利用相似三角形的性質即可求解；

【詳解】

解：VAB/7CD,

Z.AAEB^ACED,

?AE一AB一1

EC-CD-4'

AE1

:.——二一，

AC5

故答案為:.

【點睛】

本題考查相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質.

<20181

12、

4

【解析】

根據上面的方法，可以令S=l+5+52+53+...+52。17,則5s=5+52+53+…+52012+52。%再相減算出S的值即可.

【詳解】

解：令S=1+5+52+53+...+52°17,

則5s=5+52+53+...+52012+52018,

5S-S=-1+52018,

4s=52018.1,

<20181

則,

4

52018_i

故答案為：-——

4

【點睛】

此題參照例子，采用類比的方法就可以解決，注意這里由于都是5的次方，所以要用5s來達到抵消的目的.

13、1.

【解析】

由周長和面積可分別求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代數式可化為ab(a+b),代入可求得答案

【詳解】

???長、寬分別為a、b的矩形，它的周長為14,面積為10,

14

；.a+b=——=7,ab=10,

2

?*.a2b+ab2=ab(a+b)=10x7=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查因式分解的應用，把所求代數式化為ab(a+b)是解題的關鍵.

14、1

【解析】

首先設黃球的個數為x個，然后根據概率公式列方程即可求得答案.

解：設黃球的個數為x個，

Q

根據題意得：--=2/3解得：x=L

8+x

二黃球的個數為1.

15、11.

【解析】

試題解析：???由折線統(tǒng)計圖可知，周一的日溫差=8℃+1℃=9℃；周二的日溫差=7℃+1℃=8℃；周三的日溫差

=8℃+1℃=9℃；周四的日溫差=9℃；周五的日溫差=13℃-5℃=8℃；周六的日溫差=15℃-71℃=8"C；周日的日溫差

=16℃-5℃=11℃,

...這7天中最大的日溫差是ire.

考點：1.有理數大小比較；2.有理數的減法.

16、y=x+l(答案不唯一)

【解析】

本題屬于結論開放型題型，可以將函數的表達式設計為一次函數、反比例函數、二次函數的表達式.答案不唯一.

【詳解】

解：所求函數表達式只要圖象經過點(1,2)即可，如y=2x,y=x+l,…答案不唯一.

故答案可以是：y=x+l(答案不唯一).

【點睛】

本題考查函數，解題的關鍵是清楚幾種函數的一般式.

三、解答題(共8題，共72分)

17、6+G

【解析】

利用負整數指數幕、零指數幕的意義和特殊角的三角函數值進行計算.

【詳解】

解:原式=<27+3+8x1-l+2x與=3+4-1+布=6+6.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算:先把各二次根式化簡為最簡二次根式,然后進行二次根式的乘除運算,再合并即可.在

二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

11m3

18、(1)-；(2)證明見解析；(3)-=

24n4

【解析】

(1)利用相似三角形的判定可得ABCEs△。歸SAZMC,列出比例式即可求出結論；

(2)作DH//CF交AB于H,設=則m=4“，根據平行線分線段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,

然后根據平行線分線段成比例定理列出比例式即可得出結論；

(3)作斯，于根據相似三角形的判定可得AAEGSACE4,列出比例式可得AE?,設CG=3a,

AE=2a,EG=X,即可求出X的值，根據平行線分線段成比例定理求出加＞:BC=r?//:CE=5:8,設比＞=AD=5%,

BC=8b,CD=3b,然后根據勾股定理求出AC,即可得出結論.

【詳解】

(1)如圖1中，當加=2時，BC=2AC.

圖1

CE±AB,NACB=90。，

ABCE^ACAE^ABAC,

.CEACAEl

"EB~BC^EC~2f

:.EB=2EC,EC=2AE,

,AE1

,,一?

EB4

故答案為：一，一.

24

(2)如圖1-1中，悍DH"CF交AB千H.

tanNB=-----=------=—,tanZACE=tanNB=------=—

BEBC2CE2

/.BE=2CE,AE=-CE

2

BE=4AE,BD=2CD,設AE=a,則BE=4。，

DH//AC,

BHBD-

二.——=——=2,

AHCD

552

AH=-a,EH=-a—a=-a,

333

DH//AF,

EF_AE_a_3

瓦一而一髭一，，

3

3

:.EF=-DE.

2

(3)如圖2中，作QHLAB于H.

圖2

ZACB=ZCEB=90°,

ZACE-hZECB=90°9ZB+ZECB=90°,

:.ZACE=NB,

DA=DB,

ZEAG=ZB,

:.ZEAG=ZACEf

ZAEG=ZAEC=90°9

:.^AEG^\CEA,

AE2=EG.EC,

3

CG=-AE設CG=3〃，A￡=2a,EG=x,

29

貝?。萦?4=x(x+3a),

解得x=〃或Ya(舍棄)，

EG1

/.tanZEAG=tanZACE=tanNB==—,

AE2

.EC=4a,EB=8a9AB—lO6Z,

DA=DB,DH±AB,

,\AH=HB=5a,

DH——a,

2

DH//CE,

:.BD:BC=DH:CE=5:8,設BD=AD=5b,BC=8b,CD=3b,

在RtAACD中，AC=7AZ)2-CD2=4b?

/.AC:CD—4:39

,；mAC=nDC,

/.AC:CD—n:m=4:3,

.m3

,,一?

n4

【點睛】

此題考查的是相似三角形的應用和銳角三角函數，此題難度較大，掌握相似三角形的判定及性質、平行線分線段成比

例定理和利用銳角三角函數解直角三角形是解決此題的關鍵.

19、(1)眾數為15；(2)3,4,15；8；(3)月銷售額定為18萬，有一半左右的營業(yè)員能達到銷售目標.

【解析】

根據數據可得到落在第四組、第六組的個數分別為3個、4個，所以a=3,b=4,再根據數據可得15出現了5次，出

現次數最多，所以眾數c=15；

從頻數分布表中可以看出月銷售額不低于25萬元的營業(yè)員有8個，所以本小題答案為：8；

本題是考查中位數的知識，根據中位數可以讓一半左右的營業(yè)員達到銷售目標.

【詳解】

解：(1)在2幺,x<25范圍內的數據有3個，在28”x<31范圍內的數據有4個，

15出現的次數最大，則眾數為15；

(2)月銷售額不低于25萬元為后面三組數據，即有8位營業(yè)員獲得獎勵；

故答案為3,4,15；8；

(3)想讓一半左右的營業(yè)員都能達到銷售目標，我認為月銷售額定為18萬合適.

因為中位數為18,即大于18與小于18的人數一樣多，

所以月銷售額定為18萬，有一半左右的營業(yè)員能達到銷售目標.

【點睛】

本題考查了對樣本數據進行分析的相關知識，考查了頻數分布表、平均數、眾數和中位數的知識，解題關鍵是根據數

據整理成頻數分布表，會求數據的平均數、眾數、中位數.并利用中位數的意義解決實際問題.

5--r(0</<4)

A\/]￡12

20、(1)5；(2)y=<u;(3)時，半徑PF=三；t=16,半徑PF=12.

5.z,x77

-r-5(r>4)

【解析】

(1)由矩形性質知8c=4。=5,根據BE：CE=3：2知3E=3,利用勾股定理可得AE=5；

ApAp5

(2)由P歹〃BE知一=—,據此求得4尸=—f,再分叱在4和t>4兩種情況分別求出EF即可得；

ABAE4

(3)由以點尸為圓心的。F恰好與直線A3、5c相切時PF=PG,再分U0或仁4、0Vf<4、f>4這三種情況分別求

解可得

【詳解】

⑴?.?四邊形ABCD為矩形，

.\BC=AD=5,

VBE：CE=3：2,

貝!]BE=3,CE=2,

,，,,

.".AE=X/AB+BE=X/4+3=5.

⑵如圖1,

當點P在線段AB上運動時，即0WK4,

VPF//BE,

AF=-t,

4

cr

則EF=AE-AF=5-t,即y=5—t(0<t<4)；

11

如圖2,

當點P在射線AB上運動時，即t>4,

此時，EF=AF-AE=t-5,即y=t-5(t>4)；

5-1r(0</<4)

綜上，y=<

|/-5(r>4)

⑶以點F為圓心的。F恰好與直線AB、BC相切時，PF=FG,分以下三種情況：

①當t=0或t=4時，顯然符合條件的。F不存在；

②當0Vt<4時，如解圖1,作FGLBC于點G,

則FG=BP=4-t,

,/PF/7BC,

/.△APF^AABE,

.正義即生二

RFAH31

APF=-t,

4

由4-t=；t可得t=",

則此時(DF的半徑PF=—；

7

③當t>4時，如解圖2,同理可得FG=t-4,PF=t,

4

由t—4=」可得t=16,

4

則此時OF的半徑PF=12.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，動點的函數為題，切線的性質，相似三角形的判定與性質及分類討論的數學

思想.解題的關鍵是熟練掌握切線的性質、矩形的性質及相似三角形的判定與性質.

21、(1)購進A種樹苗的單價為200元/棵，購進B種樹苗的單價為300元/棵(2)A種樹苗至少需購進1棵

【解析】

(1)設購進A種樹苗的單價為x元/棵，購進B種樹苗的單價為y元/棵，根據“若購進A種樹苗3棵，B種樹苗5棵,

需210元，若購進A種樹苗4棵，B種樹苗1棵，需3800元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得

出結論；

(2)設需購進A種樹苗a棵，則購進B種樹苗(30-a)棵，根據總價=單價x購買數量結合購買兩種樹苗的總費用不

多于8000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論.

【詳解】

設購進A種樹苗的單價為x元/棵，購進B種樹苗的單價為y元/棵，根據題意得：fsn+sn=2joo

+3&00

解得：，I_?

I二』300

答：購進A種樹苗的單價為200元/棵，購進B種樹苗的單價為300元/棵.

(2)設需購進A種樹苗a棵，則購進B種樹苗(30-a)棵，根據題意得：

200a+300(30-a)<8000,

解得：a>l.

???A種樹苗至少需購進1棵.

【點睛】

本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二元一

次方程組；(2)根據數量間的關系，正確列出一元一次不等式.

22、(1)7x1+4x+4；(1)55.