2024年新高考數(shù)學一輪復習-兩角和與差的正弦余弦和正切（學生版）

專題26兩角和與差的正弦、余弦和正切

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.

2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、

正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公

式不要求記憶).

【考點預測】

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin（q±￡）=sinocos￡±cos〃sin￡.

cos（=cos。cos￡±sinasin8.

tan?！纓an￡

tan（?！馈辏?/p>

1干tan。tan

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sin〃cosa.

cos2Q=cos：t—sir?a=2cos2〃一m—Zsir?a、

2tana

tan2a=一丁、

l—tana

3.函數(shù)_f（。）=asina+6cosQ（a,b為常數(shù)），可以化為f（吟=［才+）sin（a+

0）（其中tan0=號或f（a）=yja+l}?cos（a—0）（其中tan6=禾

【常用結(jié)論】

1.tana+tan￡=tan（?！馈辏╥Ttanatan￡）.

1+cos2ci—

2.21cos2a

2.降幕公式:cosa=2：sina=---------

3.1+sin2a=(sina+cos^)2,

1—sin2a=(sina-cosa)2,

sinQ+cosa=@sin(a

【方法技巧】

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用。，￡的三角函數(shù)表示?！馈?/p>

的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)

一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.

2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公

式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

3.常用的拆角、配角技巧：2a=(a+￡)+(a—￡)；a=(a+￡)—￡=(a—￡)+￡；

u.+pci—p

￡=--———--=（。+2￡）—（a+￡）；a—￡=（a—7）+（%一￡）；15°=45

-30。；?JI=了七JI一fTl'等\.

二、【題型歸類】

【題型一】和差公式的直接應用

【典例1】已知?！辏?,兀），且3cos2a—8cos。=5,則sin。=（）

亞

小21

c

B.D.9

--

333(n\1

【典例2】已知sina=-,a11)tan(n—則tan(a—￡)的值為()

221111

A.——B.-C.-D.——

【典例3】已知。仁仔，口)，sina=雪.

(1)求sin(：+的值；

(2)求cosH^—2a)的值.

【題型二】三角函數(shù)公式的逆用與變形應用

【典例1】在中，若tanAtan8=tanJ+tan6+1,則cos。的值為（）

B.f

1

cD1

2-

2

0,貝！Jsin(a+￡)=

1

典例

知

31已n2q--

SI3

11

A

3-B.3-

22

C.D.

33

【題型三】三角函數(shù)公式中變“角”

【典例1]（多選）若tan[a+S|=24,貝M

亞

A.tana

J.U

C.tan2a=D.tan2a=23

53

【典例2】已知?！甓际卿J角，cos(。+￡)=逐sin(。-￡)=:則cos2a=

【題型四】三角函數(shù)公式中變“名”

【典例1】求值：1^20°°-Sin100島「"an5。).

【典例2】求4sin20°+tan20°的值.

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點在坐標原點，以xnA

軸非負半軸為始邊的銳角a與鈍角￡的終邊與單位圓。分別交于4gZHTV

?x/5\/Mx

8兩點，x軸的非負半軸與單位圓。交于點四已知見W=為-，點8\/

的縱坐標是、帶歷.

⑴求cos(a—B)的值;

(2)求2。一￡的值.

JI

【訓練二】已知X,片0yLsin(x+p)=2sin(x—y),則x—p的最大值為()

JIJIjiJI

A-B-TC-TD?百

JI

【訓練三】已知。一￡=豆,tana—tan￡=3,則cos(a+￡)的值為()

1

2-

Ac.

11

3-D.3-2

【訓練四】已知函數(shù)/1(x)=sin(x+ej,xdR.

(1)求(一■的值；

⑵若cos夕=1,高，求《2夕一高的值.

【訓練五】已知sina+cosa=邛士ae(0,sin(￡一~^J=|,6G

⑴求sin2a和tan2a的值；

(2)求cos(a+2￡)的值.

【訓練六】設(shè)a，￡￡[0,兀],且滿足sinacos￡—cosasin￡=1,貝!Jsin(2。一

￡)+sin(a—2￡)的取值氾圍為

四、【強化測試】

【單選題】

1.若sin。=^5cos(2兀一。)，則tan2。=()

A—亞R亞r—亞

332

cos150+sin15°,,,./

2.15。一sin5的值s的r()

cos

A.

3

C.

jcose/,八JI

3.已知而下=3。。$(2"+"),I0\<—,則sin29=()

C逑

L9邛

A/53

4-若.,￡都是銳角，且cos0='sin(a+￡)q,則cos￡=()

77

c.D.

2525

6.則cosx+cos

AV3

?4

C1

?-

E4

知si

A.2B.3

C.4D.5

jiji(5兀、

8.已知a為第二象限角，且tana+tan—=2tanatan77—2,則sin4+工一等于

JL乙J.乙V.U，

)

VTo亞

A.B.

io10

37103^10

D.

1010

【多選題】

9.下面各式中，正確的是（）

JIJIJI

D.COS-=cosg—cos—

10.下列四個選項中，化簡正確的是（）

乖一也

A.cos(-15—4

B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(15°-105°)=0

C.cos(ff-35°)cos(25°+a)+sin(。一35°)sin(25°+a)=cos[(a—35°)-(25

-coso

60

1

o0

Dsin4s6cos--

co742

11.已知函數(shù)〃數(shù)=s：n4x+*cos4;則下列說法正確的是（）

sin2才一33cos2x

A.F（x）的最小正周期為JI

B.『（x）的最大值為2

C.f（x）的值域為（—2,2）

D.F（x）的圖象關(guān)于（一三，0）對稱

12.下列結(jié)論正確的是（）

A.sin(a—￡)sin(￡—7)—cos(a—￡)cos(7—￡)=-cos(a—7)

3^/15sinx+3y[dcosx=3#sin(x+-^-

B.

XY

C.f{x}=sin-+cos5的最大值為2

D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1

【填空題】

13.sin(￡)cos(丫-B)—cos(￡+a)sin(y)=.

14.已知sin(5+aey>0),貝Ucos(°一彳)的值為.

15.tan25°—tan70°+tan70°tan25°=.

16.已知sin10°+屣os10°=2cos140°,則m=.

【解答題】

17.已矢口aefo,—J,tan4=亍求tan24和sin(口—的值.