2024屆北京市大興區(qū)重點(diǎn)名校中考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2024屆北京市大興區(qū)重點(diǎn)名校中考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．如圖，，且.、是上兩點(diǎn)，，.若，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．下列命題是假命題的是（）A．有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形B．等邊三角形有3條對(duì)稱軸C．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等3．下列各式中計(jì)算正確的是A． B． C． D．4．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，其半徑為3，圖中陰影部分的面積是（）A．π B． C．2π D．3π5．計(jì)算6m6÷（-2m2）3的結(jié)果為（）A． B． C． D．6．上周周末放學(xué)，小華的媽媽來(lái)學(xué)校門口接他回家，小華離開(kāi)教室后不遠(yuǎn)便發(fā)現(xiàn)把文具盒遺忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并與班主任交流了一下周末計(jì)劃才離開(kāi)，為了不讓媽媽久等，小華快步跑到學(xué)校門口，則小華離學(xué)校門口的距離y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．7．方程x2﹣kx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．08．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，c＝3a，tanA的值為（）A． B． C． D．39．若m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2﹣m+n的值是（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．110．如圖，在中，邊上的高是（）A． B． C． D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度的一半為半徑作弧，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作直線EF，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．13 B．17 C．18 D．2512．不等式2x﹣1＜1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）13．平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，則m的取值范圍是_____．14．用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開(kāi)始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè)，則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．15．已知a2+1=3a，則代數(shù)式a+的值為．16．若，則＝_____．17．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________18．計(jì)算的結(jié)果是_____三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．19．（6分）先化簡(jiǎn)，然后從中選出一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．20．（6分）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：△ADE≌△CBF；求證：四邊形BFDE為矩形．21．（6分）為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具、圖（1）所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖（2）是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長(zhǎng)為20cm．點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB=75°．（參考數(shù)據(jù)：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求車架檔AD的長(zhǎng)；（2）求車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離（結(jié)果精確到1cm）．22．（8分）某海域有A、B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處，求：（1）∠C=°；（2）此時(shí)刻船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．23．（8分）如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)作一條直線，使其將分成面積比為兩部分．（保留作圖痕跡，不寫作法）24．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且．求證：△ADF∽△ACG；若，求的值．25．（10分）如圖1，拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A、B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x=1，拋物線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），交y軸于點(diǎn)D（0，﹣5）．（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M為拋物線l2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥y軸（如圖2所示），交拋物線l1于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．26．（12分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．求證：△ADE≌△CBF；若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．27．（12分）某地鐵站口的垂直截圖如圖所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C點(diǎn)到地面AD的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

參考答案一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1、D【解析】分析：詳解：如圖,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故選:D.點(diǎn)睛：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABF≌△CDE是關(guān)鍵.2、C【解析】解：A．外角為120°，則相鄰的內(nèi)角為60°，根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形可以判斷，故A選項(xiàng)正確；B．等邊三角形有3條對(duì)稱軸，故B選項(xiàng)正確；C．當(dāng)兩個(gè)三角形中兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，其中如果角是這兩邊的夾角時(shí)，可用SAS來(lái)判定兩個(gè)三角形全等，如果角是其中一邊的對(duì)角時(shí)，則可不能判定這兩個(gè)三角形全等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D選項(xiàng)正確；故選C．3、B【解析】

根據(jù)完全平方公式對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)冪的乘方與積的乘方對(duì)B、C進(jìn)行判斷；根據(jù)合并同類項(xiàng)對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A.，故錯(cuò)誤.B.,正確.C.，故錯(cuò)誤.D.,故錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】考查完全平方公式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=60°，再利用圓周角定理得到∠BOC=120°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積即可．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴圖中陰影部分的面積==3π．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理及扇形的面積公式，求得∠BOC=120°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5、D【解析】分析：根據(jù)冪的乘方計(jì)算法則求出除數(shù)，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則得出答案．詳解：原式=，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查的是冪的計(jì)算法則，屬于基礎(chǔ)題型．明白冪的計(jì)算法則是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．6、B【解析】分析：根據(jù)題意出教室，離門口近，返回教室離門口遠(yuǎn)，在教室內(nèi)距離不變，速快跑距離變化快，可得答案．詳解：根據(jù)題意得，函數(shù)圖象是距離先變短，再變長(zhǎng)，在教室內(nèi)沒(méi)變化，最后迅速變短，B符合題意；

故選B．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)距離的變化描述函數(shù)是解題關(guān)鍵．7、C【解析】

根據(jù)已知得出△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，解關(guān)于k的方程即可得．【詳解】∵方程x2﹣kx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，解得：k=±2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．8、B【解析】

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)即可解答.【詳解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，c=3a，設(shè)a=x,則c=3x,b==2x.即tanA==.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和三角函數(shù),熟悉掌握是解題關(guān)鍵.9、B【解析】

把m代入一元二次方程，可得，再利用兩根之和，將式子變形后，整理代入，即可求值．【詳解】解：∵若，是一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴，∴∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及一元二次方程的解，熟記根與系數(shù)關(guān)系的公式．10、D【解析】

根據(jù)三角形的高線的定義解答．【詳解】根據(jù)高的定義，AF為△ABC中BC邊上的高．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．11、C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根據(jù)勾股定理求得AB=13.根據(jù)題意可知，EF為線段AB的垂直平分線，在Rt△ABC中，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=AB，所以△ACD的周長(zhǎng)為AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故選C.12、D【解析】

先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】移項(xiàng)得，2x＜1+1，合并同類項(xiàng)得，2x＜2，x的系數(shù)化為1得，x＜1．在數(shù)軸上表示為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）13、0.5＜m＜3【解析】

根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)列式不等式組，然后求解即可．【詳解】∵點(diǎn)P(m?3,1?2m)在第三象限，∴，解得：0.5<m<3.故答案為：0.5<m<3.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程組與象限及點(diǎn)的坐標(biāo)的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元二次方程組與象限及點(diǎn)的坐標(biāo)的有關(guān)性質(zhì).14、4n+1【解析】

分析可知規(guī)律是每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè)．【詳解】解：第一個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為6=1+4；第二個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為1+4+4=1+1×4；第三個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為1+1×4+4=1+3×4；…；第n個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為1+（n﹣1）×4+4=1+4n=4n+1．故答案為4n+1．考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類．15、1【解析】

根據(jù)題意a2+1=1a，整體代入所求的式子即可求解.【詳解】∵a2+1=1a，∴a+=+===1．故答案為1．16、【解析】=.17、x=±1【解析】移項(xiàng)得x1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．18、【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．【詳解】==，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則.三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．19、-1【解析】

先化簡(jiǎn)，再選出一個(gè)合適的整數(shù)代入即可，要注意a的取值范圍.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，熟練掌握代數(shù)式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對(duì)直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對(duì)角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四邊形的對(duì)邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形即可的值．【詳解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查1．矩形的判定；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．平行四邊形的性質(zhì)．21、63cm.【解析】試題分析：（1）在RtΔACD，AC＝45，DC＝60，根據(jù)勾股定理可得AD＝AC2+CD2即可得到AD的長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，由AE＝AC+CE，在直角△試題解析：22、（1）60；（2）【解析】（1）由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出∠FBA=∠EAB=30°，∠FBC=75°，那么∠ABC=45°，又根據(jù)方向角的定義得出∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C=60°；（2）作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，解Rt△ABD，得出BD=AD=30，解Rt△ACD，得出CD=10，根據(jù)BC=BD+CD即可求解.解：（1）如圖所示，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∴∠C=60°．故答案為60；（2）如圖，作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，AB=60，∴AD=BD=30．在Rt△ACD中，∵∠C=60°，AD=30，∴tanC=，∴CD==10，∴BC=BD+CD=30+10．答：該船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)為（30+10）海里．23、詳見(jiàn)解析【解析】

先作出AB的垂直平分線，而AB的垂直平分線交AB于D，再作出AD的垂直平分線，而AD的垂直平分線交AD于E，即可得到答案.【詳解】如圖作出AB的垂直平分線，而AB的垂直平分線交AB于D，再作出AD的垂直平分線，而AD的垂直平分線交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC與△CEB在AB邊上的高相同，所以△CEB的面積是△AEC的面積的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的基本概念和尺規(guī)作圖，解本題的要點(diǎn)在于找到AB的四分之一點(diǎn)，即可得到答案.24、(1)證明見(jiàn)解析；（2）1.【解析】（1）欲證明△ADF∽△ACG，由可知，只要證明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到，由此即可證明．【解答】（1）證明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．25、（1）拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=x2﹣4x﹣1；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（3）在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值為12.1．【解析】

（1）由拋物線l1的對(duì)稱軸求出b的值，即可得出拋物線l1的解析式，從而得出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)D的坐標(biāo)求出拋物線l2的解析式即可；（2）作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CH=1，PH=|3﹣y|，PG=|y|，AG=2，由PA=PC可得PA2=PC2，由勾股定理分別將PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出兩個(gè)拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1，4，①當(dāng)﹣1＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，表示出MN的長(zhǎng)度為關(guān)于x的二次函數(shù)，在x的范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最值；②當(dāng)4＜x≤1時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，同理求出此時(shí)MN的最大值，取二者較大值，即可得出MN的最大值.【詳解】（1）∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3對(duì)稱軸為x=1，∴x=﹣=1，b=2，∴拋物線l1的函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），設(shè)拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=a（x﹣1）（x+1），把D（0，﹣1）代入得：﹣1a=﹣1，a=1，∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=x2﹣4x﹣1；（2）作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴CH=1，PH=|3﹣y|，PG=|y|，AG=2，∴PC2=12+（3﹣y）2=y2﹣6y+10，PA2==y2+4，∵PC=PA，∴PA2=PC2，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（3）由題意可設(shè)M（x，x2﹣4x﹣1），∵M(jìn)N∥y軸，∴N（x，﹣x2+2x+3），令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣1，可解得x=﹣1或x=4，①當(dāng)﹣1＜x≤4時(shí)，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣2x2+6x+8=﹣2（x﹣）2+，顯然﹣1＜≤4，∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值12.1；②當(dāng)4＜x≤1時(shí)，MN=（x2﹣4x﹣1）﹣（﹣x2+2x+3）=2x2﹣6x﹣8=2（x﹣）2﹣，顯然當(dāng)x＞時(shí)，MN隨x的增大而