傅里葉級數(shù)課件

傅里葉級數(shù)MathematicalAnalysis內(nèi)容

/CONTENTS01/傅里葉級數(shù)02/以2l為周期的函數(shù)的展開式1101/傅里葉級數(shù)101/傅里葉級數(shù)1三角函數(shù)系1問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?

設(shè)f(x)是周期T=2π的周期函數(shù)，且能展開成三角級數(shù)：01/傅里葉級數(shù)1111傅里葉系數(shù)傅里葉級數(shù)問題:1注意:函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多.收斂定理：狄利克雷(Dirichlet)充分條件)1題目類型：

(1)將定義在（，）上的以2

為周期的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。方法：(i)先求傅里葉系數(shù)(ii)寫出對應(yīng)的傅里葉級數(shù)1(iii)根據(jù)收斂定理把上式寫成等式1解例111所求函數(shù)的傅里葉展開式為所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.1方法:(i)對函數(shù)作周期為2

的周期延拓得定義在R上的周期函數(shù).將定義在[-

，]上的函數(shù)f(x)

展開成傅立葉級數(shù)。(iii)限制在[-

，]再用收斂定理得到所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式。(ii)延拓后函數(shù)的傅立葉級數(shù)與原函數(shù)的傅立葉級數(shù)相同.1解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.

拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于.例211所求函數(shù)的傅氏展開式為111.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.11定義1解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例3112、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)做法：奇延拓1偶延拓1解(1)求正弦級數(shù).例41余弦級數(shù)作為練習1總結(jié)：將f(x)展開傅立葉級數(shù)有以下三種情況：(1)將定義在（，）上的以2

為周期的函數(shù)f(x)

展開成傅立葉級數(shù)。方法：應(yīng)對f(x)作周期為2

的周期延拓得定義在（，）上的周期函數(shù)F(x),將F(x)的傅立葉級數(shù)限制在[-

，]再用收斂定理得到f(x)的傅立葉級數(shù)展開式。方法：計算f(x)的傅立葉系數(shù)后得到f(x)的傅立葉級數(shù)，再用收斂定理得到f(x)的傅立葉級數(shù)展開式。(2)將定義在[-

，]上的函數(shù)f(x)

展開成傅立葉級數(shù)。1方法：應(yīng)對f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定義在(-,]上的函數(shù)F(x),F(x)的傅立葉級數(shù)即為正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)），限制在[0]再用收斂定理得到f(x