北京市景山校2024屆中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷含解析

北京市景山校2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.2017年“智慧天津”建設(shè)成效顯著，互聯(lián)網(wǎng)出口帶寬達(dá)到17200吉比特每秒.將17200用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.172xl02B.17.2X103C.1.72xl04D.0.172xl05

2.如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF/7CB,交AB于點(diǎn)F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.24B.18C.12D.9

3.如圖：將一個(gè)矩形紙片ABC。，沿著跳折疊，使C、￡＞點(diǎn)分別落在點(diǎn)G，"處.若NG3A=50°,則/鉆￡的度

數(shù)為（）

70'/

%-------%

A.15°B.20°C.25°D.30°

4.如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC互相垂直（A、D、B在同一條直線上），設(shè)NCAB=a,那么拉

線BC的長(zhǎng)度為（）

DB

sinacosatanacota

5.如圖，直線a〃b,一塊含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如圖所示放置.若Nl=55。，則N2的度數(shù)為（）

6.下列算式的運(yùn)算結(jié)果正確的是()

A.m3?m2=m6B.m5-rm3=m2(m/0)

C.(m2)3=m-5D.m4-m2=m2

7.(-1)°+|-1|=()

A.2B.1C.0D.-1

8.下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布.

年齡/歲13141516

頻數(shù)515X10—九

對(duì)于不同的x,下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）

A.眾數(shù)、中位數(shù)B.平均數(shù)、中位數(shù)C.平均數(shù)、方差D.中位數(shù)、方差

9.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩個(gè)全等三角形，一定是軸對(duì)稱的

B.兩個(gè)軸對(duì)稱的三角形，一定是全等的

C.三角形的一條中線把三角形分成以中線為軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形

D.三角形的一條高把三角形分成以高線為軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形

10.（3分，）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（）

1

&43

2布店

"2亞3而

...????????

A.2屈B.向C.572D.751

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.已知關(guān)于x的方程￡+2=白有解，則k的取值范圍是.

12.一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于150，則它的邊數(shù)是—一.

13.將一個(gè)含45。角的三角板ABC,如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8’恰

好落在軸上，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),則點(diǎn)8'的坐標(biāo)為.

14.若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為.

15.如圖，正方形ABCD中，AB=3,以B為圓心，』AB長(zhǎng)為半徑畫圓B,點(diǎn)P在圓B上移動(dòng)，連接AP,并將AP

3

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至Q,連接BQ,在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，BQ長(zhǎng)度的最小值為.

16.已知|x|=3,y2=16,xy<0,則x-y=

abcib

17.有下列等式：①由a=b,得5-2a=5-2b；②由a=b,得ac=bc；③由a=b,得一=—；④由一=一，得3a=2b；

cc2c3c

⑤由a?=b2,得2=1>.其中正確的是.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18.(10分)如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在弦AB上(E不與A重合)，且四邊形BDCE

為菱形.

(1)求證：AC=CE；

22

(2)求證：BC-AC=AB?ACS

(1)已知。。的半徑為1.

AR5

①若tK=W，求BC的長(zhǎng)；

21.3

②當(dāng)年為何值時(shí)，AB?AC的值最大？

oc

19.(5分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NPAC+NPCA=一，連接PB,試探究PA、

2一

PB、PC滿足的等量關(guān)系.

(1)當(dāng)a=60。時(shí)，將4ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACPr,連接PPS如圖1所示.由4ABP絲AACP，可以證

得AAPP，是等邊三角形，再由NPAC+NPCA=30。可得NAPC的大小為度，進(jìn)而得到^CPP，是直角三角形，

這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，參考(1)中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；

20.(8分)網(wǎng)上購(gòu)物已經(jīng)成為人們常用的一種購(gòu)物方式，售后評(píng)價(jià)特別引人關(guān)注，消費(fèi)者在網(wǎng)店購(gòu)買某種商品后，對(duì)

其有

，，好評(píng)，，、“中評(píng)”、“差評(píng)，，三種評(píng)價(jià)，假設(shè)這三種評(píng)價(jià)是等可能的.

(1)小明對(duì)一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并列出了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

利用圖中所提供的信息解決以下問(wèn)題：

①小明一共統(tǒng)計(jì)了個(gè)評(píng)價(jià)；

②請(qǐng)將圖1補(bǔ)充完整；

③圖2中“差評(píng)”所占的百分比是;

(2)若甲、乙兩名消費(fèi)者在該網(wǎng)店購(gòu)買了同一商品，請(qǐng)你用列表格或畫樹(shù)狀圖的方法幫助店主求一下兩人中至少有一

個(gè)給“好評(píng),，的概率.

21.（10分）計(jì)算:-22-^2+11-4sin60°|

11

OzvA—ha—A2

22.（10分）先化簡(jiǎn)再求值：（a-）+巴二其中a=l+>/2，b=l-夜.

aa

23.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)C(1,0),正方形AOCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)

為B,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)G,使DG=BD,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=BC,以BG,BE為鄰邊作正方形BEFG.

4R

(I)如圖①，求OD的長(zhǎng)及言的值；

(II)如圖②，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形BETO記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a

<360°),連接AG，.

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NBAG，=90。時(shí)，求a的大?。?/p>

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF，的長(zhǎng)取最大值時(shí)，點(diǎn)F，的坐標(biāo)及此時(shí)a的大小(直接寫出結(jié)果即可).

24.（14分）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AB=14,AC=7,D是BC上一點(diǎn)，BD=8,DE±AB,垂足為E,求線段

DE的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解題分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移

動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)

數(shù).

【題目詳解】

解：將17200用科學(xué)記數(shù)法表示為1.72x1.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要

正確確定a的值以及n的值.

2、A

【解題分析】

【分析】易得BC長(zhǎng)為EF長(zhǎng)的2倍，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)=4BC問(wèn)題得解.

【題目詳解】；E是AC中點(diǎn)，

VEF/7BC,交AB于點(diǎn)F,

.,.EF是AABC的中位線，

；.BC=2EF=2x3=6,

二菱形ABCD的周長(zhǎng)是4x6=24,

故選A.

【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3、B

【解題分析】

根據(jù)折疊前后對(duì)應(yīng)角相等可知.

解：設(shè)NABE=x,

根據(jù)折疊前后角相等可知，ZClBE=ZCBE=50°+x,

所以50°+x+x=90°,

解得x=20°.

故選B.

“點(diǎn)睛”本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊

前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

4、B

【解題分析】

根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等，可由NCAD+NACD=90。，NACD+NBCD=90。，可求得NCAD=NBCD,然后在

4CD?CDh

RtABCD中cosZBCD=——，可得BC=---------------=---------.

BCcos/BCDcosa

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解題分析】

如圖，首先證明NAMO=N2,然后運(yùn)用對(duì)頂角的性質(zhì)求出NANM=55。；借助三角形外角的性質(zhì)求出NAMO即可解決

問(wèn)題.

【題目詳解】

如圖，對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注.

1?直線a〃b,

.\ZAMO=Z2；

VZANM=Zl,而/1=55°,

.,.ZANM=55°,

N2=NAMO=NA+NANM=600+55°=115°,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6、B

【解題分析】

直接利用同底數(shù)塞的除法運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則、積的乘方運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)得出答案.

【題目詳解】

A、m3?m2=m5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、m5-rm3=m2（m/0）,故此選項(xiàng)正確；

C、（nr?）3=m-6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、m4-m2,無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了同底數(shù)幕的除法運(yùn)算以及合并同類項(xiàng)法則、積的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

7、A

【解題分析】

根據(jù)絕對(duì)值和數(shù)的0次塞的概念作答即可.

【題目詳解】

原式=1+1=2

故答案為：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值和數(shù)的0次募，解題關(guān)鍵是熟記數(shù)的0次塞為1.

8、A

【解題分析】

由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10,即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.

【題目詳解】

由題中表格可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10-x=10,則總?cè)藬?shù)為3+15+10=30,故該組數(shù)據(jù)

14+14

的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為------=14（歲），所以對(duì)于不同的x,關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù),

2

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計(jì)量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方

差的定義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

9、B

【解題分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

解：A.兩個(gè)全等三角形，一定是軸對(duì)稱的錯(cuò)誤，三角形全等位置上不一定關(guān)于某一直線對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.兩個(gè)軸對(duì)稱的三角形，一定全等，正確；

C.三角形的一條中線把三角形分成以中線為軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，錯(cuò)誤；

D.三角形的一條高把三角形分成以高線為軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，錯(cuò)誤.

故選B.

10、B

【解題分析】

根據(jù)三角形數(shù)列的特點(diǎn)，歸納出每一行第一個(gè)數(shù)的通用公式，即可求出第9行從左至右第5個(gè)數(shù).

【題目詳解】

根據(jù)三角形數(shù)列的特點(diǎn)，歸納出每n行第一個(gè)數(shù)的通用公式是，山?）+1，所以，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是

,9（；1）+]+（5_1）=歷.

故選B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)每一行第一個(gè)數(shù)的取值規(guī)律，利用累加法求出第9行第五個(gè)數(shù)的數(shù)值是解決本題

的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、時(shí)1

【解題分析】

試題分析：因?yàn)椤?2=±,所以Lx+2（x?2）=?k,所以l?x+2x-4=?k,所以x=3-k,所以x=3-Z,因?yàn)樵匠逃薪?

所以x=3-上/2,解得

考點(diǎn)：分式方程.

12、十二

【解題分析】

首先根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計(jì)算出外角度數(shù)，再用外角和360。除以外角度數(shù)即可.

【題目詳解】

?.?一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°,

，它的外角為30。，

3600+30°=12,

故答案為十二.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角.

13、(1+72,0)

【解題分析】

先求得NACO=60。，得出NOAC=30。，求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角邊為0,從而求出卬的坐標(biāo).

【題目詳解】

解：VZACB=45O,NBCB，=75°,

.,.ZACBr=120°,

/.ZACO=60o,

.,.ZOAC=30°,

/.AC=2OC,

?點(diǎn)c的坐標(biāo)為(1,0),

/.OC=1,

/.AC=2OC=2,

,/△ABC是等腰直角三角形，

AB=BC=42

BC=AB'=V2

OB'=1+^2

.?:，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1+應(yīng),0)

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形變換，同時(shí)也利用了直角三角形性質(zhì)，首先利用直角三角形的性質(zhì)得到有關(guān)

線段的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題.

14、0或一1。

【解題分析】由于沒(méi)有交待是二次函數(shù)，故應(yīng)分兩種情況：

當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=2x-l是一次函數(shù)，與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)。

當(dāng)后0時(shí)，函數(shù)y=kx?+2x-1是二次函數(shù)，若函數(shù)與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則kx2+2x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

即A=22—4-k-(—l)=0=>k=—1o

綜上所述，若關(guān)于x的函數(shù)丫=心2+2*-1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為0或一1。

15、372-1

【解題分析】

通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線為以。為圓心，以1為半徑的圓，可知：當(dāng)。在對(duì)角線80上時(shí)，30最小，先證明

△PAB^AQAD,則?！?gt;=尸5=1,再利用勾股定理求對(duì)角線80的長(zhǎng)，則得出的長(zhǎng).

【題目詳解】

如圖，當(dāng)。在對(duì)角線50上時(shí)，3。最小.

連接5P,由旋轉(zhuǎn)得：AP^AQ,NR4Q=90。，AZPAB+ZBAQ-900.

:四邊形A5C￡)為正方形，：.AB=AD,ZBAD=9Q°,：.ZBAQ+ZDAQ=90°,：.ZPAB=ZDAQ,：./\PAB^/\QAD,

；.QD=PB=1.在RtAABO中，'：AB^AD^2),由勾股定理得：BD=d￥轉(zhuǎn)=3拒,：.BQ=BD-QD=342-h即

50長(zhǎng)度的最小值為(3夜-1).

故答案為3&-1.

【題目點(diǎn)撥】

本題是圓的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和最小值問(wèn)題，尋找點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵，通過(guò)證明

兩三角形全等求出30長(zhǎng)度的最小值最小值.

16、±3

【解題分析】分析：本題是絕對(duì)值、平方根和有理數(shù)減法的綜合試題，同時(shí)本題還滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

詳解：因?yàn)閨x|=l,所以x=±L

因?yàn)閥2=16,所以y=±2.

又因?yàn)閤y<0,所以x、y異號(hào)，

當(dāng)x=l時(shí),y=-2,所以x-y=3；

當(dāng)x=-l時(shí),y=2,所以x-y=-3.

故答案為：±3.

點(diǎn)睛：本題是一道綜合試題，本題中有分類的數(shù)學(xué)思想，求解時(shí)要注意分類討論.

17、①②④

【解題分析】

①由a=6,得5-2a=5-28根據(jù)等式的性質(zhì)先將式子兩邊同時(shí)乘以-2,再將等式兩邊同時(shí)加上5,等式仍成立,所以本選項(xiàng)正

確，

②由。=仇得加=兒,根據(jù)等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)乘以相同的式子，等式仍成立，所以本選項(xiàng)正確，

nh

③由“斗，得一=—，根據(jù)等式的性質(zhì),等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為。的數(shù)或式子，等式仍成立，因?yàn)镃可能為0,所以本選項(xiàng)

CC

不正確，

nh

④由一=一，得3a=2方，根據(jù)等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)乘以相同的式子6c,等式仍成立，所以本選項(xiàng)正確，

2c3c

⑤因?yàn)榛橄喾磾?shù)的平方也相等，由金眄得的4或.=也所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故答案為:①②④.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

3

18、(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(1)①BC=4&；②a

【解題分析】

分析：(1)由菱形知ND=NBEC,由NA+ND=NBEC+NAEC=180?？傻肗A=NAEC,據(jù)此得證；

(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作。C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,貝！|CF=CG=AC=CE=CD,證

BEBG

△BEFs^BGA得一=——，即BF?BG=BE?AB,將BF=BC-CF=BC-AC>BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

BFBA

(1)①設(shè)AB=5k、AC=lk,由BC2-AC2=AB?AC知BC=2?k,連接ED交BC于點(diǎn)M,RtADMC中由DC=AC=lk、

MC=yBC=V6k求得DM=y]cD2-CM2=k,可知OM=OD-DM=1-J^k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2

可得答案.②設(shè)OM=d,則MD=l-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=16-4d\AC2=DC2=DM2+CM2=

(1-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC2-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

詳解：(1)二?四邊形EBDC為菱形，

/.ZD=ZBEC,

四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，

；.NA+ND=180°,

XZBEC+ZAEC=180°,

.\ZA=ZAEC,

.*.AC=CE；

(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作。C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則CF=CG,

A

D\/

....

由(1)知AC=CE=CD,

/.CF=CG=AC,

???四邊形AEFG是。C的內(nèi)接四邊形，

/.ZG+ZAEF=180°,

XVZAEF+ZBEF=180°,

/.ZG=ZBEF,

VZEBF=ZGBA,

/.△BEF^ABGA,

BEBG

，——=——，n即nBF?BG=BE?AB,

BFBA

VBF=BC-CF=BC-AC,BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

/.(BC-AC)(BC+AC)=AB?AC,BPBC2-AC2=AB?AC；

(1)設(shè)AB=5k、AC=lk,

VBC2-AC2=AB?AC,

；.BC=2"k,

連接ED交BC于點(diǎn)M,

???四邊形BDCE是菱形，

ADE垂直平分BC,

則點(diǎn)E、O、M、D共線，

在RtADMC中，DC=AC=lk,MC=；BC=#k,

DM=7CD2-CM2=瓜>

.\OM=OD-DM=1-Gk,

在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得(1-6k)2+(76k)2=12,

解得：k=^8或k=0（舍）,

3

，BC=2?k=4后；

②設(shè)OM=d,貝!|MD=l-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,

/.BC2=(2MC)2=16-4d2,

AC2=DC2=DM2+CM2=(1-d)2+9-d2,

由(2)#AB?AC=BC2-AC2

=-4d2+6d+18

44

3381

...當(dāng)d=—,即OM=一時(shí)，AB?AC最大，最大值為一,

444

,27

,\DC2=—,

2

.??AC=DC=^^,

2

._9V6?AB3

??AAIRS------------此時(shí)——=-

4AC2

點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)、相似三角

形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

19、(1)150,PA2+PC2=PB2(1)證明見(jiàn)解析(3)4PA2sin2-+PC2=PB2

2

【解題分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到A為等邊三角形，得到NPPC=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

(1)如圖1,作將AAB尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110。得到AACP,連接PP,作AOLPP于O,根據(jù)余弦的定義得到尸產(chǎn)

=gPA,根據(jù)勾股定理解答即可；

(3)與(1)類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析：

【題目詳解】

解：⑴?.,△ABP^AACPS

：.AP^AP',

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZMPr=60°,P'C=PB,

.?.△MP，為等邊三角形，

，NAPP'=60°,

VZPAC+ZPCA=-X6O°=30°,

2

:.NAPC=150。，

；.NPPC=90°,

.?.PW+PCfCi,

.'.PA^PC^PB1,

故答案為150,EV+PCi=P)；

(1)如圖，作NQ4P'=120。，使A^=AP,連接FF，,.過(guò)點(diǎn)A作AO,于。點(diǎn).

■:NB4C=NK4P=120。，

即ZBAP+ZPAC^ZPAC+ZCAP',

:.ZBAP^ZCAP1.

'：AB=AC,AP=AP,,

；._BAP絲CAP'.

BC

ion_/pApr

PC=PB,NAPD=ZAP'D=——=30°.

2

\'AD±PP',

：.ZADP^0°.

也

:,在RtZ\APD中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

:.PP'=2PD=43AP.

??,ZR4C+ZPC4=60°,

AZAPC=180-ZPAC-ZPG4=120

/.ZP'PC^ZAPC-ZAPD=90°.

:.在Rt_P'PC中，P'P2+PC2=P'C2.

3PA2+PC2=PB2?

(3)如圖1,與(1)的方法類似,

作將AABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△ACP',連接PP',

作AD_LPP于O,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'^a,FC=PB,

a

：.ZAPP'=9Q°——，

2

a

ZPAC+ZPCA=—,

2

a

.\ZAPC=180°——，

2

aa

：.ZP'PC=(180°——)-(90°——)=90°,

22

：.PP'1+PC1=P'C1,

a

,/NAPP'=90°—一,

2

,a、a

..PD=PA*cos(90°——)=E4?sin一,

22

a

.,.PP'=LB4?sin—,

2

(X

.?.4協(xié)，1一+PCi=P3i,

2

Qf

故答案為4協(xié)isin1一+PC1=PB1.

2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈

活運(yùn)用類比思想是解題的關(guān)鍵.

20、(1)①150；②作圖見(jiàn)解析；③13.3%；(2)

9

【解題分析】

(1)①用“中評(píng)”、“差評(píng)”的人數(shù)除以二者的百分比之和即可得總?cè)藬?shù)；②用總?cè)藬?shù)減去“中評(píng)”、“差評(píng)”的人數(shù)可得“好

評(píng)”的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；③根據(jù)“差評(píng)”的人數(shù)+總?cè)藬?shù)X100%即可得“差評(píng)”所占的百分比；

(2)可通過(guò)列表表示出甲、乙對(duì)商品評(píng)價(jià)的所有可能結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式即可計(jì)算出兩人中至少有一個(gè)給“好評(píng)”

的概率.

【題目詳解】

①小明統(tǒng)計(jì)的評(píng)價(jià)一共有：(40+20)+(1-60%=150(個(gè))；

②“好評(píng)”一共有150x60%=90(個(gè))，補(bǔ)全條形圖如圖1：

③圖2中“差評(píng)”所占的百分比是：^xl00%=13.3%；

(2)列表如下：

好中差

好好，好好，中好，差

中中，好中，中中，差

差差，好差，中差，差

由表可知，一共有9種等可能結(jié)果，其中至少有一個(gè)給“好評(píng)”的有5種，

二兩人中至少有一個(gè)給“好評(píng)”的概率是.

考點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；列表法與樹(shù)狀圖法.

21、-1

【解題分析】

直接利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案.

【題目詳解】

=-4-273+273-1

=-1.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及特殊角的三角函數(shù)值，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

22、原式=巴心=0

a+b

【解題分析】

括號(hào)內(nèi)先通分進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的乘除法運(yùn)算，最后將數(shù)個(gè)代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【題目詳解】

tz2—lab+b1a

原式=

a(〃+b)(a-b)

_(a_b)a

a(