第8章整式乘法和因式分解單元測試卷2023-2024學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)七年級下冊

滬科版七年級數(shù)學(xué)下冊第8章整式乘法和因式分解單元測試卷一、單選題1．若，，則代數(shù)式的值為A．1 B． C． D．62．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ayC．x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 D．（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋33．計(jì)算a3?a3結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)9 B．a(chǎn)6 C．2a3 D．2a94．多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是（）A． B． C．a(chǎn) D．5．下列計(jì)算正確的是（）A．x3÷x2＝x B．x3?x2＝x6 C．x3+x2＝x5 D．（x3）2＝x96．下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．7．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2=a4 B．(a2)3=a5 C．a(chǎn)+2=2a D．(ab)3=a3b38．若（x﹣2）（x+3）=x2+ax+b，則a、b的值分別為（）A．a(chǎn)=5，b=6 B．a(chǎn)=1，b=﹣6 C．a(chǎn)=1，b=6 D．a(chǎn)=5，b=﹣69．不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（）A．0組 B．2組 C．4組 D．無窮多組10．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．二、填空題11．計(jì)算（a-1）（2a+1）=.12．分解因式：x2y﹣2xy+y=．13．因式分解：x3﹣4x2＝．14．已知，，為正整數(shù)，且若，，是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，則的最小值為．三、解答題15．有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為2和13，則正方形A，B的面積之和為16．如圖所示，一扇窗戶的上部是由4個(gè)扇形組成的半圓形，下部是邊長為a的4個(gè)小正方形組成，請計(jì)算這扇窗戶的面積和窗框的總長.17．閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：．（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次；（2）若分解因式，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是；（3）分解因式：（為正整數(shù)）．18．先化簡再求值：，其中．四、綜合題19．整式乘法和乘法公式（1）計(jì)算：（﹣x）2（2y）3（2）化簡：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2（3）如果（x+1）（x2+ax+b）的乘積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，求下面式子的值：（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2（4）課本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推導(dǎo)得出的，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，則（a﹣b）3＝.20．已知am=2，an=4，求下列各式的值（1）am+n（2）a3m+2n．21．如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）.（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：.（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計(jì)算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12.22．實(shí)驗(yàn)材料：現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長方形硬紙片.實(shí)驗(yàn)過程：用若干塊這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，通過不同的方法計(jì)算面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項(xiàng)式乘法或分解因式的新途徑.例如，選取正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個(gè)如圖②的長方形，計(jì)算它的面積寫出相應(yīng)的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.探索問題：（1）小明想用拼圖的方法解釋多項(xiàng)式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要兩種正方形紙片張，長方形紙片張；（2）選取正方形、長方形硬紙片共8塊可以拼出一個(gè)如圖③的長方形，計(jì)算圖③的面積，并寫出相應(yīng)的等式；（3）試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在方框內(nèi).23．如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形(A類)、長為a寬為b的長方形(B類)以及邊長為b的大正方形(C類)，發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取圖①中的若干個(gè)(三種圖形都要取到)拼成一個(gè)長方形，使其面積為(2a+b)(a+2b)，在虛框中畫出圖形，并根據(jù)圖形回答(2a+b)(a+2b)=（2）若取其中的若干個(gè)(三種圖形都要取到)拼成一個(gè)長方形，使其面積為a2+5ab+6b2．根據(jù)你畫的長方形，可得到恒等式（3）如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x、y表示四個(gè)矩形的兩邊長（x>y），觀察圖案，指出以下正確的關(guān)系式___________填寫選項(xiàng)）．A．xy= B．x+y=mC．x2－y2=m·n D．x2+y2=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：，，．故答案為：．【分析】直接提取公因式將原式分解因式，進(jìn)而將已知代入求出答案．2．【答案】A【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，屬于因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1，沒把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故答案為：A．【分析】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式轉(zhuǎn)換為乘積的形式逐項(xiàng)判斷即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.所以故答案為：B.【分析】此題目考查的知識(shí)點(diǎn)是同底數(shù)冪相乘.把握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加的規(guī)律就可以解答.4．【答案】B【解析】【解答】解：=x（x-1），故答案為：B.【分析】利用提公因式法分解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：A、x3÷x2＝x，故A符合題意；

B、x3?x2＝x5，故B不符合題意；

C、x3+x2≠x5，故C不符合題意；

D、（x3）2＝x6，故D不符合題意；

故答案為：A.【分析】利用同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可對A作出判斷；利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可對B作出判斷；只有同類項(xiàng)才能合并，可對C作出判斷；利用積的乘方法則，可對D作出判斷.6．【答案】D【解析】【解答】解：A.，故不符合題意；B.，故不符合題意；C.，故不符合題意；D.，符合題意；故答案為：D【分析】利用同底數(shù)冪的乘法，除法法則，冪的乘方，積的乘方法則計(jì)算求解即可。7．【答案】D【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

B、(a2)3=a6≠a5,所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

C、a+2不能合并，所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

D、(ab)3=a3b3，所以此答案是正確的，符合題意；

故答案為：D。

【分析】A、整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，合并的時(shí)候，只把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)都不變，故a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

B、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，故(a2)3=a6≠a5,所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

C、整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，合并的時(shí)候，只把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)都不變，但不是同類項(xiàng)的不能合并，故a+2不能合并，所以此答案是錯(cuò)誤的，不符合題意；

D、積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，故(ab)3=a3b3，所以此答案是正確的，符合題意。8．【答案】B【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6=x2+ax+b，∴a=1，b=﹣6．故答案為：B．【分析】將等式的右邊去括號(hào)，可轉(zhuǎn)化為x2+x﹣6=x2+ax+b，利用對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，就可得出a、b的值。9．【答案】A【解析】【解答】解：若有解，x必為奇數(shù)，令x=2n+1，（2n+1）2=2y2+5，整理得2n（n+1）=2+y2，y為偶數(shù)，令y=2m，2n（n+1）=2+4m2，n（n+1）=1+2m2，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)．所以無整數(shù)解，故答案為：A．【分析】根據(jù)式子特點(diǎn)，若有解，x必為奇數(shù)，將原式整理，得出兩側(cè)分別為奇數(shù)與偶數(shù)，矛盾，即可得出結(jié)論．此題考查了非一次不定方程的解，將原式變形轉(zhuǎn)化為奇偶性問題并推出矛盾是解題的關(guān)鍵．10．【答案】B【解析】【解答】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，此選項(xiàng)正確，符合題意；C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.故答案為：B.【分析】整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，從而即可判斷A；利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可對B作出判斷；利用積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可對C作出判斷；利用冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可對D作出判斷.11．【答案】2a2﹣a﹣1【解析】【解答】解：（a﹣1）（2a+1）=a（2a+1）-（2a+1）＝2a2+a﹣2a﹣1＝2a2﹣a﹣1.故答案為：2a2﹣a﹣1.【分析】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加。12．【答案】y（x﹣1）2【解析】【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y（x2﹣2x+1），=y（x﹣1）2．故答案為：y（x﹣1）2．【分析】先提取公因式y(tǒng)，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．13．【答案】x2（x﹣4）【解析】【解答】解：原式＝x2（x﹣4），故答案為：x2（x﹣4）．【分析】直接提公因式x2即可．14．【答案】1297【解析】【解答】解：設(shè)b+c=(n-1)2，則a+c=n2，a+b=(n+1)2，n為正整數(shù)，且n＞1.

∴2（a+b+c）=(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2，

∴n為偶數(shù)，且a+b+c=，

∴a=，b=，c=，

∴n≥6，當(dāng)n增大時(shí)，a2+b2+c2的值也增大，

而n=6時(shí)，a=30，b=19，c=6符合題意，

∴a2+b2+c2的最小值為：302+192+62=1297.

故答案為：1297.

【分析】根據(jù)題意“b+c、a+c、a+b是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方”可設(shè)b+c=(n-1)2，則a+c=n2，a+b=(n+1)2，n為正整數(shù)，且n＞1；把這三個(gè)等式相加可判斷n為偶數(shù)，于是可將a、b、c用含n的代數(shù)式表示出來，且n≥6，當(dāng)n增大時(shí)，a2+b2+c2的值也增大，于是取n=6分別計(jì)算可求出a、b、c的值，再求a2+b2+c2即可求解.15．【答案】15【解析】【解答】解：設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b（a＞b），

由圖乙得(a+b)2-a2-b2=13，

∴a2+2ab+b2-a2-b2=13，

∴2ab=13；

由圖甲得(a-b)2=2，

∴a2-2ab+b2=2，

∴a2+b2=2+2ab=2+13=15，即正方形A，B的面積之和為15.

故答案為：15.

【分析】設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b（a＞b），由圖乙得(a+b)2-a2-b2=13，整理得2ab=13；由圖甲得(a-b)2=2，然后利用完全平方公式展開后整體代入可得a2+b2=15，此題得解.16．【答案】解：這扇窗戶的面積=2a?2a+π?a2=（4+π）a2；窗框的總長=6?2a+3a+πa=（15+π）a.【解析】【分析】窗戶的面積=邊長為2a的正方形的面積+半徑為a半圓的面積，窗框的總長=所有小正方形的邊長+三條半徑的長+圓弧的長，據(jù)此分別計(jì)算即可.17．【答案】（1）提公因式法；2（2）2023；（3）解：；【解析】【分析】（1）觀察可知，分解因式的方法是提公因式法，共應(yīng)用了2次；

（2）由（1）的計(jì)算過程得出結(jié)論即可；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果總結(jié)規(guī)律即可得出答案.

此題有特殊推廣到一般，要善于觀察思考，注意結(jié)果和指數(shù)之間的關(guān)系.18．【答案】解：，當(dāng)時(shí)，原式【解析】【分析】原式利用完全平方公式、平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可化簡，最后將m的值代入即可求解.19．【答案】（1）解：（﹣x）2（2y）3＝x2?8y3＝8x2y3（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1＝a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1＝4a2（3）解：（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，∵（x+1）（x2+ax+b）的乘積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，∴a+1=0a+b=0，得，當(dāng)a＝﹣1，b＝1時(shí)，（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2＝（﹣1+2×1）（﹣1+1）﹣2（﹣1+1）2＝1×0﹣2×02＝0﹣0＝0（4）a3﹣3a2b+3ab2﹣b3【解析】【解答】（4）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，∴[a+（﹣c）]3＝a3+3a2?（﹣c）+3a?（﹣c）2+（﹣c）3＝a3﹣3a2c+3ac2﹣c3，∴（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，故答案為：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.【分析】（1）根據(jù)冪的乘方與積的乘方即可解答本題；（2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可解答本題；（3）根據(jù)（x+1）（x2+ax+b）的乘積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，可以求得a、b的值，從而可以求得所求式子的值；（4）根據(jù)（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，可以求得所求式子的結(jié)果.20．【答案】（1）解：∵am=2，an=4，∴am+n=am×an=2×4=8（2）解：∵am=2，an=4，∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128【解析】【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則求出即可；（2）利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則結(jié)合冪的乘方運(yùn)算法則求出即可．21．【答案】（1）（2）解：①4

②【解析】【解答】解：（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到公式故答案為：；（2）①∵∴又∵2a+b＝6，故答案為：4；【分析】（1）由圖形可得：圖1中陰影部分面積為a2-b2，圖2中陰影部分面積為(a+b)(a-b)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等可得等式；

（2）①根據(jù)4a2-b2=(2a+b)(2a-b)進(jìn)行計(jì)算；

②將待求式子從左至右兩項(xiàng)一組進(jìn)行分組，組內(nèi)利用平方差公式分解因式后