北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)綜合練習(xí)（二）（二模）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期綜合練習(xí)(二)(二模)

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={#+14。},3={x|—2Wx<l},則()

A.{%|x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x|%>-2}D.{x|-2VxV-l}

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間。,+⑹上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=VxB./(x)=e-'

C./(x)=x+—D./(X)=1ILV

3.在，ABC中，A=—,C=,b=，貝!J。=()

A.1B.V2C.73D.2

22

4.己知雙曲線,-}=l(a>0*>0)過點(diǎn)(3,0),且一條漸近線的傾斜角為30,則雙曲

線的方程為()

22

A.—-/=1B.f-匕=1

33

C.--^=1D.X?-4y2=1

62

5.直線/：y=-l與圓E:/+y2-4x=0交于A,3兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)C,使得.ABC為

等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為()

A.(0,0)B.(4,0)C.(1,5/3)D.(2,2)

6.袋中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，觀察

顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)小球，則

兩次摸到的小球顏色不同的概率為()

A.1B.2C.3D,1

5555

7.己知函數(shù)/(x)=|x-l|e*與直線y=l交于4(%,%),3(%,%)兩點(diǎn)，則|再-司所在的區(qū)

間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

8.已知平面向量q,e2,e3,是單位向量，且qLe2,貝！J"q-63=e?-64”是"63-64=0”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的，每一個(gè)純音都是由單一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的樂音，其數(shù)學(xué)模型為

g）=AsinW（A>0,o>0）,其中A表示振幅，響度與振幅有關(guān)；T表示最小正周期，T=/，

a）

它是物體振動(dòng)一次所需的時(shí)間；/表示頻率，/="，它是物體在單位時(shí)間里振動(dòng)的次數(shù).

下表為我國(guó)古代五聲音階及其對(duì)應(yīng)的頻率f：

音宮商角徵羽

頻率f262Hz293Hz330Hz392Hz440Hz

小明同學(xué)利用專業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個(gè)音，間隔;個(gè)單位時(shí)間后，第二次彈奏同

一個(gè)音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會(huì)減弱），若兩次彈奏

產(chǎn)生的振動(dòng)曲線在（；，+8）上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（）

A.宮B.商C.角D.徵

10.設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列｛?｝,如果對(duì)任意的正整數(shù)〃，都存在唯一的正整數(shù)機(jī)，使得

%=%+%+%++%，那么稱｛%｝為內(nèi)和數(shù)列，并令2=加，稱也｝為｛%｝的伴隨數(shù)列，

則（）

A.若｛%｝為等差數(shù)列，則｛4｝為內(nèi)和數(shù)列

B.若｛4｝為等比數(shù)列，則｛%｝為內(nèi)和數(shù)列

C.若內(nèi)和數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列也,｝為遞增數(shù)列

D.若內(nèi)和數(shù)列｛”“｝的伴隨數(shù)列｛〃｝為遞增數(shù)列，則｛〃“｝為遞增數(shù)列

二、填空題

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

11.二項(xiàng)式（4-2）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

X

12.若復(fù)數(shù)z滿足三7=2+i.則在復(fù)平_面__.內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是______.

1+1

13.設(shè)函數(shù)〃尤）［JR〉］，則/］匕1=，不等式〃x）＜/（2x）的解集是.

14.如圖，在六面體ABCD-A耳GR中，平面ABCZ）〃平面，四邊形ABCD與四邊

形AgGR是兩個(gè)全等的矩形.AB//A耳，AD//A.D,,四，平面ABCD.AB=4G=2，

8c=A旦=4,M=2,則.該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值

15.已知平面內(nèi)點(diǎn)集&=｛片,￡,…A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等.設(shè)

集合8=｛叫Vme｛l,2,,〃｝（旭"）,0＜咫目福3=1,2,

M=｛Pi\PiPj^B,i=1,2,，4.給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若〃=2,則&=加；

②若“為奇數(shù)，則Aw";

③若”為偶數(shù)，則4="；

④若忸弓",,"Pj\=B,則”5.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

解答題

16.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,ZPDA=9Q,平面PADJL

平面PCD.

p

⑴求證：AD1PC；

（2）若尸￡＞="＞=2,PD1DC,求平面PAD與平面P3C夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)〃尤）=$出（0%+。）［。＞0,0＜。＜5］的部分圖象如圖所示.

（1）求。的值;

⑵從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/（x）存在，并求函數(shù)/（x）在0,］上的最

大值和最小值.

條件①：函數(shù)/1+1）是奇函數(shù)；

條件②：將函數(shù)“X）的圖象向右平移專個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了=5也8的圖象；

條件③："0）=/［g］

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.北京市共有16個(gè)行政區(qū)，東城區(qū)、西城區(qū)、朝陽(yáng)區(qū)、豐臺(tái)區(qū)、石景山區(qū)和海淀區(qū)為中

心城區(qū)，其他為非中心城區(qū).根據(jù)《北京市人口藍(lán)皮書?北京人口發(fā)展研究報(bào)告（2023）》顯

示，2022年北京市常住人口為2184.3萬(wàn)人，由城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口兩個(gè)部分構(gòu)成，各區(qū)常

住人口數(shù)量如下表所示：

東城西城朝陽(yáng)豐臺(tái)石景山海淀門頭溝房山

行政區(qū)

區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)

城鎮(zhèn)人口（萬(wàn)70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

人)

鄉(xiāng)村人口(萬(wàn)

000.91.3073.428.5

人)

通州順義昌平大興平谷延慶

行政區(qū)懷柔區(qū)密云區(qū)

區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)

城鎮(zhèn)人口(萬(wàn)

137.387.8185.9161.632.827.934.920.5

人)

鄉(xiāng)村人口(萬(wàn)

4744.740.837.511.117.717.7.13.9

人)

⑴在16個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)，求該區(qū)為非中心城區(qū)且2022年鄉(xiāng)村人口在20萬(wàn)人以下

的概率；

⑵若隨機(jī)從中心城區(qū)選取1個(gè)，非中心城區(qū)選取2個(gè)行政區(qū)，記選出的3個(gè)區(qū)中2022年常

住人口超過100萬(wàn)人的行政區(qū)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)記2022年這16個(gè)區(qū)的常住人口、城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的方差分別為“，只，s；.試判斷

s；,s；,學(xué)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

22

19.已知橢圓C:=+與=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為*3,0),左、右頂點(diǎn)分別為4B,直

線/:x=20，且A到尸的距離與A到I的距離之比為Y2.

2

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)N為橢圓C上不同的兩點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過點(diǎn)N作直線2M的平行線與直線

AM交于點(diǎn)。，過點(diǎn)/作直線3N的平行線與直線4V交于點(diǎn)E.求證：點(diǎn)。與點(diǎn)E到直線,

的距離相等.

20.已知函數(shù)〃%)=xsin2x+cos2x.

(1)求曲線y=在卜"［一:］處的切線方程;

「2兀5兀一

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間一—上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.已知A：4生,,為(“23)為有窮整數(shù)數(shù)列，若4滿足：-qe{p,q}(i=l,2,,H-1),

其中P,4是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且%=4=0,則稱4具有性質(zhì)T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性質(zhì)T的A?若存在，寫出一個(gè)這樣的人；若不存

在，請(qǐng)說明理由；

(2)若。=-1,q=2,且A。具有性質(zhì)T,求證：4,g,L,佝中必有兩項(xiàng)相同；

(3)若2+4=1,求證：存在正整數(shù)左，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的A,都有4，出，，4T中任

意兩項(xiàng)均不相同.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.A

【分析】求得A={x|x4-1},易求

【詳解】A={x|x+l<O}={x|x<-l},

所以A<JB={X\X<—\}<J{X\—2<X<Y\={X|X<1}.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B、D,利用導(dǎo)數(shù)判斷C選項(xiàng)的單調(diào)性.

【詳解】對(duì)于A：〃力=石在定義域[0,+8)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：/(x)在定義域R上單調(diào)遞減，故B正確；

對(duì)于C：f(x)=x+~,則尸⑺=1一4=.+1)!"-1)，

%JCX

當(dāng)時(shí)/什耳>。，所以/(x)=x+J在(1,+8)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：〃x)=lnx在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：B

3.D

【分析】由題意可得：B=g結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.

6

【詳解】由題意可得：B=it-A-C=^,

6

后x也

abZ?sinA

由正弦定理可得〃=2

sinAsinBsin3

2

故選：D.

4.A

【分析】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為!-y?=%20,代入點(diǎn)(3,后)運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可知：雙曲線的一條漸近線方程為y=^x,

設(shè)雙曲線方程為三-y2=彳*0,

3'

代入點(diǎn)(3,忘)，可得力=：一(匈2=],

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

所以雙曲線的方程為:-丁=1.

故選：A.

5.D

【分析】設(shè)A3的中點(diǎn)為D,連接￡?、AE.BE,即可求出/AEB=120。，分析可知：ABC

為等邊三角形，即可得到點(diǎn)C在48的中垂線x=2與圓E的交點(diǎn)（A3上方），從而求出C點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】圓心/+/一4x=0,即（X—2）2+/=4,圓心為E（2,0）,半徑r=2,

設(shè)的中點(diǎn)為。，連接￡￡）、AE.BE,則ED_LAB,且怛。|=1,

ED1

貝所以44￡。=60。，則NBED=60°,即NAEB=12O°,

AE2

若在圓上的點(diǎn)C使得.ABC為等腰三角形，

若|AC|=|AB|（忸C|=|AB|也類似），連接CE,則NA￡C=/AEB=120。，

此時(shí)NCEB=12O。，貝1」。|=|4。=|48］,所以ABC為等邊三角形，

若|ACj=|CB|也可得到ABC為等邊三角形，所以點(diǎn)C在A3的中垂線尤=2與圓E的交點(diǎn)

（AB上方），

由［11"-"""。，解得彳［:或［I］'所以可以是。2,2）.

6.B

【分析】分第一次從袋中摸出1個(gè)白球，一次從袋中摸出1個(gè)黑球兩種情況可求解.

【詳解】若第一次從袋中摸出1個(gè)白球，則放入1個(gè)白球，第二次摸出黑球的概率3為2=）1,

565

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

若第一次從袋中摸出1個(gè)黑球，則放入1個(gè)黑球，第二次摸出白球的概率為2:x^3==1,

565

119

故兩次摸到的小球顏色不同的概率為-+-=

故選：B.

7.B

/、(x-l)ex,x>1/、

【分析】根據(jù)題意可得〃X)=I工分X21和x<l,利用導(dǎo)數(shù)判斷“X)的單調(diào)

性，進(jìn)而可得函數(shù)/(元)與直線y=i的交點(diǎn)，即可得結(jié)果.

【詳解】不妨設(shè)項(xiàng)<馬，

(x-l)ex,x>1

因?yàn)椤▁)=k-l|e'=，

若則/(x)=(x—l)e，,可得/'(x)=xe'>0,

可知/⑺在［1,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且/⑴=。(1,/(2)=e2)1,

即y=l與y=/(x),x21有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi);

若n<1,則=可得了")=—%e”,

當(dāng)x<0,/'(x)>0；當(dāng)0<x<l,/'(x)<0；

可知在(-雙0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則/(x)W/(O)=l,

綜上所述：玉=0,%?。,2),所以后一引=蒼?1,2).

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)題意不妨設(shè)耳=(1,0),/=(0,1),舉反例結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄縂，4，%，Q是單位向量，且弓,心，

不妨設(shè)q=(1,0),e2=(。,1)，

右令《二與烏，例如G=F'F，/=可，可卜

Miriru*/ouu

滿足q?%=%q=?A~，但%q=1w0，即充分性不成立；

什…5(0(后逝］

右％4=。，例如％=---,―，/=—，

\7\7

-ITIT萬(wàn)ITIT萬(wàn)uuuLL

滿足%?%=。，但Gq=--—,e2-e4=^~,即q4。與S，即必要性不成立；

綜上所述：“q，；=/?%”是“％?/=?！钡募炔怀浞忠膊槐匾獥l件.

故選：D.

9.C

【分析】根據(jù)題意可知：左T=g?eN*,可得/=3Z,keN*,結(jié)合題意分析判斷即可.

11

【詳解】由題意可知：kT=—,keN*,可得T=▽，笈eN*,

33k

1*

則/=7=3太GeN*,

結(jié)合題意可知：只有“角”的頻率為3的倍角，

所以小明彈奏的音是“角”.

故選：C.

10.C

【分析】對(duì)于ABD：舉反例說明即可；對(duì)于C：根據(jù)題意分析可得。也〉。叫，結(jié)合單調(diào)性可

得相2>叫，即可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB：例題與=1,可知｛q｝即為等差數(shù)列也為等比數(shù)列,

則為+的=2,但不存在meN*,使得4"=2,

所以｛q｝不為內(nèi)和數(shù)列，故AB錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?>0,

對(duì)任意《i，%eN*,4<%，可知存在機(jī)1，/%eN*,

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

使得4%=ax+a2+a.+V+%,。也=a1+a2+a3+L+年,

則%-。叫=4+1+%產(chǎn)+L+"w>°，即％”>%,

且內(nèi)和數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，可知？>叫，

所以其伴隨數(shù)列也J為遞增數(shù)列，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如2,1,3,4,5,…,

顯然｛4｝是所有正整數(shù)的排列，可知｛%｝為內(nèi)和數(shù)列，且｛%｝的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，

但｛??)不是遞增數(shù)列，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問題，要充分理解定義，把定義轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，簡(jiǎn)

化理解和運(yùn)算.

11.60

【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出x的指數(shù)為0的項(xiàng)即得.

【詳解】二項(xiàng)式(?-2)6的展開式的通項(xiàng)公式

X

J=G(石廠］一3=(-2)'屋/等,『46八N，

由3-5廠=0,得廠=2,則(=(-2)2或=4x15=6。，

所以二項(xiàng)式(火-2)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.

X

故答案為：60

12.(1,3)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求z,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解.

【詳解】因?yàn)閭?2+i,可得z=(2+i)(l+i)=l+3i,

所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3).

故答案為：(1,3).

13.1I-co,-l|u|^,+coI

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

「mi??f2x|>i,,

【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式直接代入即可求KB］;分［2x|<l、和因21三

種情況，結(jié)合題中函數(shù)解析式分析求解.

【詳解】由題意可知：f=/（i）=i；

因?yàn)?（%）</（2%）,

當(dāng)|2x|<l,即」<x<L時(shí)，貝煙<；<1,可得1<1,不合題意；

222

當(dāng)即U時(shí)，可得1<（2方

解得x>g或所以xe1l,-￡|ugl}

當(dāng)|尤仁1,即或xWT時(shí)，則網(wǎng)=2國(guó)之2>1,可得（2/）=4/,符合題意；

綜上所述：不等式/?<〃2x）的解集是口］；,+8）.

故答案為：1；1一0°廠H,+sj

14.2A/26

【分析】建系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合空間中兩點(diǎn)間距離公式求兩點(diǎn)間距離，即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗?，平面ABCO,且平面ABC。，則叫，A3,懼，AZ）,

且即A4,AB,A。兩兩垂直,

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,ADM分別為％y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,4,0）,7）（0,4,0）,4（0,0,2）,B,（4,0,2）,Q（4,2,2）,^（0,2,2）,

貝ljBBi=J（4-2）2+（0-0）2+（2-0）2=2點(diǎn).

要求六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值，只需考慮各體對(duì)角線的距離，

則M=2底,BtD=6,AQ=2后,BD、=2上,

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

所以該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值為DBl=6.

故答案為：2應(yīng)；6.

15.①③④

【分析】先證明A=H,得到①③正確，②錯(cuò)誤，然后在｛片與，々弓，-，"尸/=2和左26的

情況下推導(dǎo)出矛盾，從而得到左45,即④正確.

【詳解】由于A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等，故所有風(fēng)m個(gè)向量4弓（，*/）兩

兩不相等.

這表明對(duì)任意的4弓率*5當(dāng)且僅當(dāng)V機(jī)?1,2,1｝（加"），有

將其轉(zhuǎn)換為更通俗的語(yǔ)言就是：對(duì)于點(diǎn)￡,弓?4?〃），學(xué)*8當(dāng)且僅當(dāng)尸j是集合A里除

了A以外的點(diǎn)中到P.的距離最短的點(diǎn).

所以，對(duì)每個(gè)耳wA,顯然存在另一個(gè)到B距離取到最小值的點(diǎn)尸八

則此時(shí)就有片與?8,從而EeM,這就直接說明了4=”.

所以①③正確，②錯(cuò)誤；

對(duì)于④，假設(shè)｛4《,々弓，k>6.

由于仍力，"弓，，蚌馬*

故片,媼，…,Pik,與兩兩不同,且對(duì)每個(gè)m=l,2,...,k,點(diǎn)弓都是A中除與外到Pim距離最短的

點(diǎn).

特別地，弓都是到片,空，…，”各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).

不妨設(shè)（1修匕，4/5/6）=（1,2,3,4,5,6）,并記P,為點(diǎn)。，

則。是到62,…，心各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).

對(duì)兩個(gè)不同點(diǎn)”，N,記直線MN的傾斜角為0Mve[0,7t）.

假設(shè)存在1WM6（E）使得<pOPu=%斗，不妨設(shè)|<|0用,

則比q=|0劃-|0q<|0州，這與。是到R的距離最短（不包括R,本身）的點(diǎn)矛盾.

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

所以0，…,夕(瑞兩兩不相等，不妨設(shè)外片<…<%穌.

由于|。制〈山劇,|。閭<|片閭，故NO恰〈幺”,AOPXP2<APXOP2,

11jr

所以APXOP2=-(ZROR+NROg+APXOP2)>-(/0旦<+ZOPtP2+ZP^OP,)=j.

jrJi

故幺">3,同理jo%"%"。心'""取404>§.

而對(duì)/=L2,3,4,5,有夕叫—50Pl—NQ°B+i或%%]一外弓=2?！狝PtOPM>7t>Z.PtOPl+x,

故%%i-%勺>].

55兀

所以外券-(POR=E(%%-%/?)>7，這意味著ZP6OPl<矛盾.

1=133

這表明假設(shè)不成立，所以左W5,④正確.

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)集合新定義的理解，以及三角形中邊長(zhǎng)的大小關(guān)

系與角度的大小關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)，即所謂的“大邊對(duì)大角”.

16.(1)證明見解析

⑵近

3

【分析】(1)由已知可得尸D_LAD,結(jié)合平面尸ZM_L平面尸CD,可得AD_L平面PCD,可

證結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)AD與3c交于點(diǎn)/,可證AP1PM，PM工PB,所以NAPfi為平面PAD與平

面尸3C所成角的平面角，求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?PZM=90。，所以尸D,AD,

又平面PD4_L平面PCD,平面PD41平面PCD=PD,ADu平面PZM,

所以AD_1_平面尸CD,PCu平面PCD,

所以ADLPC；

(2)延長(zhǎng)AD與BC交于點(diǎn)M,連接PM,則平面PD4一平面=

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

所以。是AM的中點(diǎn)，又因?yàn)镻D=AD,所以/APAf=90。，

所以4P1PM，又因?yàn)槠矫鍼CD,CDu平面PCD,

所以AD_LOC,又PD1DC,PDcAD=D,PD,AOu平面RM,

所以CD_L平面PZM,■PMu平面PZM,所以CD_LPM,所以AB_LPM,

又APAB=A,平面/MB,所以尸M_L平面E4B,

因?yàn)镻3u平面弘8,所以

所以ZAPB為平面PAD與平面PBC所成角的平面角，

在RtARW中，因?yàn)镻￡)=A￡>=2,可得PA=20，

在RtPA3中，因?yàn)镻A=20,AB=4,可得9=J8+16=,

所以cosZAPB="=嗎=①,

PB2瓜3

所以平面PAD與平面P3C夾角的余弦值為3.

3

17.(1)2

(2)最大值為1,最小值為-g

【分析】(1)根據(jù)題意可得7=兀，即可得。的值；

(2)若選條件①：根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性可得。=j$r,以2x+7TB為整體，結(jié)合正弦

66

函數(shù)有界性分析求解；若選條件②：根據(jù)題意結(jié)合圖象變換可得9二I占T，以2x+7BT為整體，

結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解；若選條件③：根據(jù)題意代入，結(jié)合正弦函數(shù)值的符號(hào)分析判

斷.

【詳解】(1)設(shè)的最小正周期為T,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

由題意可得：—=+^-j-x0=,即7=兀，

2冗

且。＞0,所以。=臼=2.

T

（2）由（1）可知：/（x）=sin（2x+0）,

若選條件①：函數(shù)小+!||=sin21+15|兀|+夕=sin12x+g+”是奇函數(shù),

12

口八71l5兀5兀4K

且。＜0＜彳，貝rm+

2663

可得乎+0=兀，解得夕J，貝廳（x）=sii42x+m],

又因?yàn)閤e05，貝IJ2x+\w,

2J01_66

可知：當(dāng)2x+2=?,即x=g時(shí)，/（X）取到最小值

00，Z

當(dāng)2了+巳=1,即x=￡時(shí)，〃X）取到最大值1；

若選條件②：將函數(shù)〃x）的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后,

得至！1＞=小林=sin2卜一1+0=sin[2x+°-E卜sin2%,

717171

且。則一—<（D-----<——

663

可得。4=0,解得9=5，貝（無(wú)）=sin|2x+g

66<o

又因?yàn)閤e0,/，貝IJ2x+\e,

2J0l_00_

可知：當(dāng)2X+￡=F，即x=g時(shí)，/（尤）取到最小值-；；

00，Z

當(dāng)2x+專三，即時(shí),〃x）取到最大值1；

若選條件③：因?yàn)?'（O）=7'U，即sine=sint+（|,

口八兀mi4兀4兀1171

且。＜。＜7，貝1=＜二+9〈,，

2336

可知0皿0＞0,$也[]+0]＜0,即sin。wsin（手+"）,不合題意，舍去.

5

18.（1）—

16

（2）分布列見解析，E（X）=|

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

(3)S]>s2>S3

【分析】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；

（2）依題意X的可能取值為0,1,2,3,求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期

望；

（3）根據(jù)極差判斷s；最小，再分別計(jì)算出s；,s；,即可得解.

【詳解】（1）在16個(gè)行政區(qū)中有10個(gè)非中心城區(qū)，鄉(xiāng)村人口在20萬(wàn)人以下的有門頭溝區(qū)，

懷柔區(qū)，平谷區(qū)，密云區(qū)，延慶區(qū)，共5個(gè)；

所以隨機(jī)選擇一個(gè)行政區(qū)，則該區(qū)為非中心城區(qū)且鄉(xiāng)村人口在20萬(wàn)人以下的概率P=

（2）6個(gè)中心城區(qū)中常住人口超過100萬(wàn)人的有4個(gè)區(qū)，

10個(gè)非中心城區(qū)中常住人口超過100萬(wàn)人的有5個(gè)區(qū)，

則X的可能取值為0,1,2,3,

所以尸(x=o)=器■=*尸(x=i)/c漂C&1

yJ。乙1yJ。3

c；Cc；+c；c；=4clc：4

p(X=2)=

CC°-9'（一）一爆或27

所以X的分布列為:

X0123

2144

P

273927

21445

所以石(X)=0x——+lx-+2x-+3x——=—

v72739273

(3)s；>

由數(shù)據(jù)可知城鎮(zhèn)人口的最大值為343.3,最小值為20.5,極差為343.3-20.5=322.8；

鄉(xiāng)村人口的最大值為44.7,最小值為0,極差為44.7,

常住人口為城鎮(zhèn)人口與鄉(xiāng)村人口之和，最大值為344.2,最小值為34.4,極差為

344.2—34.4=309.9,

所以城鎮(zhèn)人口的極差最大，鄉(xiāng)村人口的極差最小,

所以鄉(xiāng)村人口的方差s；最小，

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

又城鎮(zhèn)人口的平均數(shù)為t（70.4+110++20.5）=”35,

常住人口的平均數(shù)為()2184.3…

A70.4+110+343.3+0.9++20.5+13.9=---------=136.51875,

16

所以城鎮(zhèn)人口的方差為

s；=5[(70.4-119.55)2+(110-119.55)2++(20.5-119.55)2]?"誓，

常住人口的方差為

s；=^[(70.4-136.51875)2+(110-136.51875)2++(20.5+13.9-136.51875)｝胃廣

所以

19.⑴上+工=1

42

⑵證明見詳解

【分析】（1）可知A（F,0）,c=VL根據(jù)題意求得4=2,進(jìn)而可得/=2,即可得方程；

（2）設(shè)/（285C,>/^^1）,"（28$分,&'$山/?）,求相應(yīng)的直線方程，進(jìn)而可得點(diǎn)。、E的

橫坐標(biāo)，對(duì)比分析即可證明.

【詳解】U）由題意可知：A（-a,0）,c=V2,

因?yàn)锳到歹的距離與A至卜的距離之比為受，即“+?,=也,解得。=2,

2a+2V22

可得〃=/_。2=2,

22

所以橢圓C的方程匕+工=1.

42

（2）由（1）可知：A（—2,0）,5（2,0）,

sincrcosa?cos/??sinpwO,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

可知直線點(diǎn)黑人S'

過點(diǎn)N作直線BM的平行線為y=>sin°/_2cos0+0sin/3，

2coscr-2

6sina

y~x+2)

2cosa+2

聯(lián)立方程,解得x=cos(a-7?)+cosa+cos/一l,

0sina

y~(x-2cos〃)+0sin/3

2coscr-2

即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為cos(a—〃)+cosa+cos〃一1,

可知直線,尸if*2?)，

過點(diǎn)M作直線BN的平行線為y=/珪(尤-2cos0+夜sina,

忘sin0

y=(x+2)

2cos夕+2

聯(lián)立方程,,解得x=cos(a—/)+cosa+cos/7-l,

y二7sm"(%—2cosa)+0sina

2cos夕-2'

即點(diǎn)石的橫坐標(biāo)為cos(a—0+cosa+cos/7—l,

可知點(diǎn)。、￡的橫坐標(biāo)相等，所以點(diǎn)。與點(diǎn)E到直線/的距離相等.

TT

20.(l)x+y-—=0

(2)2

【分析】(1)求導(dǎo)，可得結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)換元令t=2x,構(gòu)建函數(shù)g(，)=?siru+cosf,利用導(dǎo)數(shù)判斷g⑺在內(nèi)的單調(diào)

47rSjr

性，結(jié)合g⑺的奇偶性可知g⑺在-5，至內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而可得“X)的單調(diào)性和極值

點(diǎn).

【詳解】(1)因?yàn)閒(%)=xsin2x+cos2%

貝U/'(%)=sin2x+2xcos2x—2sin2x=xcos2x—sin2x,

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

可知切點(diǎn)坐標(biāo)為切線斜率左=-1,

所以曲線y=〃x）在處的切線方程為＞-：=-卜-口即x+y\=O.

（2）令％=2x,則x=令g（f）=gfsin/+cos/,

因?yàn)間⑺的定義域?yàn)镽，且g（-。=；（一。sin（T）+cos（T）=5sin/+cos/=g,

可知g⑺為偶函數(shù)，

因?yàn)間'（，）=gsin/+g.cosf-sin.=；（

tcost-sint）

...「2兀5兀］…「4兀5兀

右工￡一--，則/￡一~-，

_36」|_a5_

取構(gòu)建/z（t）=7cos7—sin/,貝!］〃'?）=cost—tsint—cost=—tsint,

當(dāng)/?（0,兀）時(shí)，當(dāng)fe1私^^時(shí)，〃⑺＞0；

可知％0在（o,兀）內(nèi)單調(diào)遞減，在卜內(nèi)單調(diào)遞增，

mi7/、1/八、c7/4兀、2冗\(yùn)/3八7/5兀15TI6＞_

則/?（無(wú)）＜6（。）=。，/7v=__r+_r＜0,/zv=+0,

\JJ32v3yToV2

故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)％e1手，gj，

當(dāng)fe（OJo）時(shí)，h（t）＜G,即（⑺＜0；當(dāng)止',"時(shí)，咐＞0,即g4）＞0；

可知g⑺在（。小）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

47r57r

對(duì)于fe-y,y,結(jié)合偶函數(shù)對(duì)稱性可知：

g⑺在（oj。）內(nèi)單調(diào)遞減，在（告，巾。，"內(nèi)單調(diào)遞增，

又因?yàn)閠=2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：

〃尤）在內(nèi)單調(diào)遞減，在［三，內(nèi)單調(diào)遞增，

所以“X）在區(qū)間27r上57r的有2個(gè)極值點(diǎn)0,1：九，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

_JoJ2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法

（1）若求極值，則先求方程1（無(wú)）=。的根，再檢查尸（X）在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào);