山西省晉中市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)5月高考適應(yīng)訓(xùn)練考試 數(shù)學(xué) 含解析

山西省晉中市2024年5月高考適應(yīng)訓(xùn)練考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題S分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

）.復(fù)數(shù)上口在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合4={0,1,2,3},8={1€川9—51+420},則408=（）

A.{1}B.{1,2}C.{（）,1}D.{1,2,3}

3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（O,X。）上單調(diào)遞減的是（）

A/(力=州B-f(x)=x3

lrtv,x>0,

c./3=：一犬D./(x)=<

-ln(-x),x<0

■jr

4.已知圓+）3-4x+2y+l=0,過圓C外一點(diǎn)/作兩條夾角為9的直線分別與圓C相交，當(dāng)所得

的弦長均為2時(shí)，［C"=（）

A.2B.273C.4D.3點(diǎn)

5.如圖，16顆黑色圍棋子構(gòu)成4x4的正方形網(wǎng)格，從其中任選3顆互相連線，可以圍成不同的三角形的

個(gè)數(shù)為（兩個(gè)三箱形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同即認(rèn)為是不同的三角形）（）

A.576B.528C.520D.516

3y/3

6.己知。,用￡—生1,sina+sin/?=-5，cosa-cos￡=3,則sin(a+￡)=()

11

A且Bc.-D，-2

2~~r2

TT

7.已知三棱錐P—ABC中，B4=PB=4,PC=1,NA〃B=NAPC=NBPC=—,M,N,7分別為棱

3

AB,AC,PB的中點(diǎn)，則直線PM與NT所成角的正切值為()

A.4>/2B.45/3C.5y/2D.2>/T3

22

8.己知雙曲線C：十一方=1僅>0,6>0)的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為6的直線與C的兩條漸近線

分別交于點(diǎn)分別位于第二、三象限，若=則C的離心率為()

\NF\2

■762x/3715/-

A.---B.----C.----D.J3

233

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有()

A.在樣本數(shù)據(jù)(%,對(duì)。=1,2,3,.，,,1())中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為$=3x—l,去除一個(gè)樣

本點(diǎn)(\,)\)后，得到的新線性回歸方程一定會(huì)發(fā)生改變

B,具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為八那么，?越大，x.y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非o的直線上，則決定系數(shù)尿=1

D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高

10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+)，)=/(A-)/(.y)+/W+/(),),且/⑴>T

則下列說法正確的是()

A./(())=()B./(X)為非奇非偶函數(shù)

C.若/⑴=1,則〃4)=15D./(?>-1時(shí)任意161<恒成立

11.在正四棱臺(tái)—AgGA中，A8=2A4=4,則下列說法正確的是()

A.若正四核臺(tái)內(nèi)部存在一個(gè)與核臺(tái)各面均相切的球，則該棱臺(tái)的側(cè)棱長為Jid

B.若正四棱臺(tái)的各頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為加的球面上，則該棱價(jià)的體枳為28&

C,若側(cè)樓長為為棱的中點(diǎn)，P為線段3M上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則。4。不可能成立

D.若側(cè)棱長為J?，0為棱的中點(diǎn)，過直線GQ且與直線與。平行的平面將棱臺(tái)分割成體枳不等的兩

部分，則其中較小部分的體枳為4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.己知橢圓6':「+提=11/>/2〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為F；，E，C上一點(diǎn)P滿足卜￡卜

卜周=|用+朋］=2,則6月由戶=.

13.下面給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”：

￡

2

12

-36

2

24816

該數(shù)陣滿足每一列成等差數(shù)列，每行的項(xiàng)數(shù)由上至下構(gòu)成公差為】的等差數(shù)列，從第3行起，每一行的

數(shù)由左至右均構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，記第1行的數(shù)為由，第2行的數(shù)由左至右依次為e,用,依次類推，

則Goo=

14.已知函數(shù)/（，）=/cos0+AsinO\+\asinO—Acos4的最大值為4應(yīng),則滿足條件?！礶"的整數(shù)a的個(gè)

數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在△A8C中,角A氏C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b2+c2+bc=a2.

A

BDC

（I）求tan4；

（II）若。=（C+l卜在邊8c上（不含端點(diǎn)）存在點(diǎn)。，使得4。=1,求a的取值范圍.

16.（15分）

已知函數(shù)/（￡）=白"，+ax,aeR

(I)討論的單調(diào)性;

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+21nx存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(15分)

如圖，在六面體ABCDE中，BC=BD=76,EC1ED,REC=ED=下,AB/'J平面CDE,AE口平面

BCD,AE.LCD.

J

(I)證明：平面ABE_L平面COE；

(II)若點(diǎn)A到直線CD的距離為為棱AE的中點(diǎn)，求平面8。6與平面BCD夾角的余弦值.

18.(17分)

甲、乙兩名同學(xué)玩擲骰子積分游戲，規(guī)則如下：每人的初始積分均為0分，擲I枚骰子I次為一輪，在每

輪游戲中，從甲、乙兩人中隨機(jī)選一人擲骰子，且兩人被選中的概率均為T，當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不小于3時(shí)，

擲假子的人積2分，否則此人積I分，未擲骰子的人本輪積。分，然后進(jìn)行下一輪游戲.己知每輪擲骰子

的結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的概率

(II)經(jīng)商議，甲、乙決定修改游戲規(guī)則，具體如下：甲、乙輪流擲骰子，誰擲誰積分，第一次由甲擲.當(dāng)

假子期上的點(diǎn)數(shù)不小于3時(shí),，積2分，否則積1分.甲、乙分別在5~25分之間選一個(gè)整數(shù)分?jǐn)?shù)(含5分和

25分)，且兩人所選的分?jǐn)?shù)不同，當(dāng)兩人累計(jì)積分之和首先等于其中一人所選分?jǐn)?shù)時(shí)，此人嬴得游戲.記

兩人累計(jì)積分之和為〃的概率為P(〃).

(i)證明：｛P(〃+l)—P(〃)｝為等比數(shù)列.

(ii)甲選哪個(gè)分?jǐn)?shù)乃自己最有利？請(qǐng)說明理由

19.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系旦萬中，已知點(diǎn)仞(1,0),P為動(dòng)點(diǎn)，以線段MP為直徑的圓與y軸相切.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的優(yōu)跡「的方程.

(II)已知點(diǎn)A(l,2),問：在「上是否存在點(diǎn)8,C使得△A8C為等邊三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；

若存在，請(qǐng)說明這樣的點(diǎn)8,C有兒組(不必說明點(diǎn)8,C的坐標(biāo)).

山西省晉中市2024年5月高考適應(yīng)訓(xùn)練考試試卷

數(shù)學(xué)(B卷)答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.答案A

命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

解析

山=1+3i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3］，位于第一象限.

2-i55(55)

2.答案C

命題意圖本題考查集合的運(yùn)算

解析因?yàn)?={為€w/一51+420}={1€可戈41或1？4},所以A「8={0,1}.

3.答案C

命題意圖本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

解析根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象，可知C正確

4.答窠B

命題意圖本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系

解析由題可知，圓。的半徑為2.當(dāng)直線被圓截得的弦長為2時(shí)，弦心距為出,結(jié)合對(duì)稱性，可得QH=2j5.

5.答案D

命題意圖本題考查計(jì)數(shù)原理

解析可以圖成C：6-10C：—4C；=516個(gè)不同的三角形

6.答案B

命題意圖本題考查三角恒等變換

解析兩式平方后再相加，可得2+2(sinasin/?—cosacos〃)=3,所以cos(a+/?)=—：，由

a,0w，得a+Qe［一凡乃］，所以&+/7=一,或用.又

3n,所以a+/?=一與,sin(a+/?)=一亭.

sina+sin/?=一5〈一1,所以a,/?e,。

2

7.答案C

命題意圖本題考查向量的線性運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用

解析記PA=a,PB=b,PC=c,則尸M=g(〃+〃)，

TN=；(a+c)-；Z?=；(4+c、一〃),〃Z?=8,a?c=2,〃c=2,則

PM-TN=-(a+b)--(a+c-b)=-(a2-Ir+ac+Ac)=1

224

W"卜;Jg+少了=26,卜兇卜3五=—yfa2+c2+b2+2a-c-2a-b-2c-b=

22

sin*亨，所以

設(shè)直線PM與NT所成的角為仇則cos0=

ianO=5"

8.答案B

命題意圖本題考查雙曲線的基本性質(zhì)

解析設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn).由怛｝=」=得工"比=’，又兩漸近線關(guān)于.1?軸對(duì)稱，所以嗎=1.令

IW2SOFN2\N0\2

NMOFH,則NBWO=2X—d/Mvo=&-0,由正弦定理得即/^一嚴(yán)⑶即

33.(兀?12乃小

sin---Z，JIsin----

U)I30)

附0|_,巾〔1一外_1小出卜6『“防囪、如加+〃273

回陪一可23"3"3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選

對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.答案CD

命題意圖本題考查一元線性回歸分析中的相關(guān)概念

解析對(duì)于A若去除的點(diǎn)恰好在原回歸直線上，則去除該點(diǎn)后，回歸方程不會(huì)發(fā)生改變，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,M越接近于I,則X,），之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)系，決定系數(shù)

V=1,故C正確；

對(duì)于D,在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故D正

確.

10.答案ACD

命題意圖本題考查抽象函數(shù)

解析對(duì)于A,令x=y=0,得/（0）+[40）『=0,，解得/（。）=0或/（0）=-1,

又所以/（0）=0,故A正確;

對(duì)于B,令/(x)=0,滿足題意，顯然〃x)=0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,令x=)，=1,得/(2)=[/(1)]2+2/(1)=3,令x=)=2,得

/(4)=[/(2)T+2/(2)=32+2x3=15,故C正確；

對(duì)于D,由/(x+)-)=/(x)/())+/(x)+/()),,得/(x+)，)+l=[/(x)+l][/()-)+l],令)，=l,得

/(x+l)+]=[/(x)+l][/⑴+l],因?yàn)?⑴>_l,所以/⑴+]>O,累乘得

/(x)+l=[/(1)+1T，XWN",所以/(x)+l>OJ(x)>—1,故D正確.

II.答案ACD

命題意圖本題考查正四樓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

解析對(duì)于A,如圖(I),設(shè)分別為核用G，AR,A。,8c的中點(diǎn)，當(dāng)正四樓臺(tái)存在內(nèi)切球時(shí)，

球的大圓。為等腰梯形HG/K的內(nèi)切圓，根據(jù)切線長定理，可知6/=空+1￡=3,此時(shí)，止四樓臺(tái)側(cè)面

22

的高為3,側(cè)楂長為加,故A正確；

對(duì)于B當(dāng)止四桂臺(tái)的外接球半徑為加時(shí)，其上、下底面均為球的截面圓對(duì)應(yīng)的內(nèi)接正方形，截面圓的半

徑分別為42,2^2,因?yàn)楸匕?6<V10,故截面圓均為外接球的小圓，因此符合要求的樓臺(tái)有2個(gè)，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C當(dāng)側(cè)樓長為G,正四棱臺(tái)的高為1,取棱的中點(diǎn)連N,接MN,DN,設(shè)MN與AG交于點(diǎn)?，則

P為線段8例上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，直線。P在平面8DVM內(nèi)，根據(jù)正四樓臺(tái)的性質(zhì)，可知AC」-8O,假設(shè)

OPJ,AC(P與8不重合)，則必有ACJ■平面3OMW,建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系，則

02(0,0,0)01—孝,0,1，4(〃；0,1),。卜2￡0,0)，4。=卜3五,0,-1),0四=一1,0,1，則

AC-aa=2#o,即A。與aa不垂直，故人?！挂黄矫?。四例不成立，故假設(shè)不成立，故c正確;

對(duì)于D,當(dāng)側(cè)校長為時(shí)，正四核臺(tái)的高為1,根據(jù)條件可作出符合題意的截面CQSTP,如圖（3）所示，

V

截面下方的多面體體積V=VCI_CEI,-%_皿-P-DFT根據(jù)截面性質(zhì)，可以得出S,T,P分別為樓

AB,A。,DR的中點(diǎn)，且6E=D尸=2,故%「°杯=；x；*6x6x1=6,同理可得VQ_RES=Vp_nrr=g,

所以丫=3，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，可得正四棱臺(tái)的體積為竺，所以截面上方多面體的體積為4,故較小部

33

分的體積為4,故D正確D.

圖⑶

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.答案6

命題意圖本題考查橢圓的幾何性質(zhì)

解析設(shè)C的半焦距為c（c>0）.由陷|=|叫=閥+叫=2,可知P是C的短軸端點(diǎn)，所以

2

\PF]=a=2業(yè)片+2勾=2方=2,得c=JJ,所以片6.丹2=片/F1O=2c=6（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

13.答案1792

命題意圖本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

解析由題意，每一行的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成通項(xiàng)公式為?！岸ǖ牡炔顢?shù)列，則前〃行的項(xiàng)數(shù)和為八——I,由

2

"S100,〃wN?，得"W13.前13行共91項(xiàng)，所以“仙為第14行的第9項(xiàng).由題可知第14行第1項(xiàng)

為7,所以“歐=7x28=1792.

14.答案5

命題意圖本題考查輔助角公式

解析|acose+〃sine|+Ksine-Aos。[=+b2|cos(^-<9)|+-Jo^+b2|sin(0-^)|

=Jc『+Z?2.(lcos(e_9)|+lsin(e_()|)其中tan0=0■，而

5/?7^205(夕,)+.(8-3)]=>/2a2+2〃?(0-9+《卜j2c『+2次當(dāng)且僅當(dāng)

2

O-(p+~=^+2k7t,keZ時(shí)等號(hào)成立，故((6/cos0+/?sin^|+1t/sin0-/?cos6\)llux=y]2a+2lr=4叵,

得/+/=]6,點(diǎn)(“⑼落在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓周上，若?！礶",則點(diǎn)落在函數(shù)y=e*

圖象的上方，驗(yàn)證可知，滿足條件的整數(shù)。有5個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.命題意圖本題考查利用正余弦定理解三角形

解析(I)由已知及余弦定理，得cosA=":+/_匕=心￡=_1,又A.(,,乃),

2bc2bc2

27r

所以A=——，所以taiM=-73.

3

(II)因?yàn)椤?(石+1',由正弦定理得sin8=(JJ+l卜inC,

TT-TT

(I)知8+。=一，故C=一一8,代入上式，

33

得sin8=(>/J+"sin仁一“,化簡得(6+3卜由8=(6+3卜058,

所以tan8=l,又8為銳角，所以8=—TT,C=72T.

412

當(dāng)A￡>=1時(shí)，在△AC。中，設(shè)NAQC=&則巖),

,i,T”.一.前.bsine,,,sin。

由正弦,三理得——=----，故〃=------

ADsinC.乃'

因?yàn)?吊。=5畝三=與走,所以〃=(#+&k.夕

.2萬

s】n—「

在△ABC中，由正弦定理得g=sin/BAC=_3通

bsinB4心2

4

故”=乎6=(3+4)sjnd,因?yàn)?所以sindw,1,

所以。的取值范圍為(逅,3+赤.

I2」

16.命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.

解析U)r(x)=f+..若“NO,則r(x)?o恒成立“X)在R上單調(diào)遞增

若由a<o,r(x)=o,得工=一\/^或/

當(dāng)X￡(—00,一時(shí)/'(x)>0,當(dāng)Xe(-口7，右7)時(shí)/'(x)<0,

當(dāng)xe(+x)R>jf(.v)>0,故/(x)在(-co,-J^a)和(J-a,+s1上單調(diào)遞增，

在卜J工,，上單調(diào)遞減.

12

(II)由題意知g(x)=/(x)+21ru=-x3+ax+21(u(x>0),g'(x)=x?+〃+—.

2

根據(jù)題意知g'(x)=f+a+:=0在(0,笆)上有2個(gè)不等的變號(hào)根.

170772{—1\

由.V2+4+V=0,得一”=f+*.令/心.)=W+*,則加(同=2工_彳=J).

XXXXX

當(dāng)A-e(0,1)時(shí)，//(.v)<0,/?(.v)單調(diào)遞減，當(dāng)A-e(1,+8)時(shí)〃'(x)>0,/?(.v)單調(diào)遞增，

所以〃(。血="0)=3,又當(dāng)X〉。且X—'。時(shí),"(X)―>+8,當(dāng)X—>48時(shí)，/?(.V)—>4-00,所以

-ae(3,+oo),得ae(-co,-3).故a的取值范圍是(一》,-3).

17.命題意圖本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間向量的應(yīng)用.

解析(1)設(shè)平面48七。直線。力=",連接河七,加8,則平面ABE。平面COE=例區(qū)平面ABEQ平面

BCD=MB,因?yàn)锳BH平面CDE,ABu平面ABE,平面A8E。平面CDE=ME,所以ABHME.同理,

AE//MB,所以四邊形A8ME是平行四邊形.

因?yàn)镃D,LAE,AE//MB,所以CDA.MB,又BC=BD=&i，所以M為極CD的中點(diǎn)

在△CQE中，EC=ED,MC=MD,所以CO一LME,CD1.AB.

因?yàn)锳8AE=A,A8,AEu平面A8E,所以CO_L.平面A8E,

又COu平面CDE,所以平面一L平面CDE.

（II）Hl（I）可知，。。，平面48例￡又人加匚平面48時(shí)￡,所以。?！挂?1加,

所以AA7=2J5.在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=JI得CD=2,MC=MD=ME=1.

在等腰三角形BCD中,由MC=MD=1,BC=BD=?得BM=瓜

在平行Bl邊形ABME中，AE=BM＜、AB=EM=1,AM=2近,由余弦定理得cosN/WEA=一且,

5

所以cosNBME=￥，所以3七=2.因?yàn)?后2+例盾=22+|2=（有丫=8例2,所以8￡_LME,

因?yàn)槠矫鍭BME_1_平面COE,平面A8MEC平面CDE=ME,

所以3E_L平面COE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ECEDE8分別為x軸、），軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

y

E（0,0,0）,C（&,0,0）,0（0,^,0）,8（0,0,2）,Aj—§,-多）+答到

[2

所以CD=（-V2,萬0）,08=伍,一夜,2），內(nèi)6=|孝，孝,斗

/

設(shè)平面BCD的法向量為m=（A-.,y.,zJ,則\mCD=°’即＜Si1+&y、-0,

[m-DB=0,-隹X+24=0,

則即取芯=2,則m=（2,2,J2）.設(shè)平面BDF的法向量為〃;二（七，）’2*2），

則卜.用=0即停…彳）大2=0,取

馬=1,則〃=（一3虛,逝,1）.

[小麗0，L向2+2句=0,

|而不」-3近_VW5

設(shè)平面BDF與平面8c。的夾角為6則cos（9=

|/n|-|n||Vl（）XA/JT35

>/105

即平而BDF與平面88夾角的余弦值為

35

18.命題意圖本題考查概率綜合.

解析(1)甲每輪游戲的積分可能為。分、1分、2分，記其每輪積分為0分、1分、2分的概率分別為

p(o)，p⑴,p⑵，則p(，)=；p⑴⑵=9：=;,

Z23OL33

故經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的所有可能情況如下：4輪中甲擲2輪，且每輪積分均為2分；4輪

中甲擲3輪，每輪積分分別為2,1,1：甲擲4輪，每輪積分均為1分.所以經(jīng)過4輪游戲，甲的累計(jì)積分

289

為4分的概率~=(2：

?5c唱展1296

(II)(i)記“累計(jì)積分之和為〃+2”為事件4+2,“累計(jì)積分之和為〃+1”為事件4+1，“累計(jì)積分之

和為〃”為事件4,則尸(〃+2)=P(4)尸(4+JAJ+P(A“+J尸(4」4+J=p(〃)*|