山西省晉城市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題（含答案與解析）

晉城市2024年高三第二次模擬考試

數(shù)學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

已知復數(shù)Z滿足（"3I）Z=1+2I,則忖=（

1.)

1

A.—B.C.-D.邁

5555

它的側(cè)面展開圖是圓心角為身的扇形，則此圓錐的體積為（

2.已知圓錐的側(cè)面積為12兀，

16后兀

A6夜兀B.C6舟D.中

3

3.已知向量。和〃滿足忖=3,忖=2,卜+^=、廳，則向量6在向量2上的投影向量為（）

A.—uB.—〃C.—ciD.a

4.已知雙曲線三—1=1（「＞（）,6＞。）的兩條漸近線均和圓。：必+＞2+8》+7=0相切，且雙曲線的

左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）

2222

R4—4y2c#4y2

A土-乙=1C.-----------------=iD,土-匕=1

97977979

5.將函數(shù)/（x）=2sin3x+；的圖象向右平移。（。＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（M的圖象，若函數(shù)

g（x）在區(qū)間（0,9）上恰有兩個零點，則9的取值范圍是（）

5兀3TI]37i13TC]15兀3兀（3n13兀

L124）L412J1124」I412」

6.“五一”假期將至，某旅行社適時推出了“晉祠”“五臺山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路

可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個名額，其余線路名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這

四人前去報名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報名情況總

共有（）

A.360種B.316種C.288種D.216種

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，若，5>0,16<0,則幺的取值范圍是（）

。[THD.卜,累卓”]

8.已知正方形A3CD的邊長為2,點P在以A為圓心，1為半徑的圓上，貝|忸3「+忸0『+忸0「的最小值

為（）

A.18-872B.18-873C.19-8A/3D.19-872

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個基本因素構(gòu)成.某實驗

基地有兩塊面積相等的試驗田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗田分別種植了甲、乙兩種水稻，連

續(xù)試驗5次，水稻的產(chǎn)量如下：

甲（單位:kg）250240240200270

乙（單位：kg）250210280240220

則下列說法正確是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70

B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差

10.已知函數(shù)/a)的定義域為R,且對任意的羽yeR,都有/(盯)=4(y)+W(x)，若/⑵=2,則

下列說法正確的是()

A.f(l)=0B./(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

20242024

(2026

c.Z/(2')=2023x22025+2D,/(2)=2O24x2+2

/=1i=i

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝4GR中，點p是側(cè)面AD。A內(nèi)的一點，點E是線段CG上

的一點，則下列說法正確的是()

A.當點P是線段4。的中點時，存在點￡,使得平面「與。1

9

B.當點E為線段CQ的中點時，過點A,E,。的平面截該正方體所得的截面的面積為一

4

C.點E到直線BQ的距離的最小值為72

2冗

D.當點E為棱CG的中點且尸石=2血時，則點尸的軌跡長度為彳

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A=JxeN-<3Al<27>,B={x|x2-3x+m=0},若leA|B,則的子集的個

3

數(shù)為.

13.已知tana=2tan/?,sin(a+/?)=；,則sin(/?-a)=.

22

14.己知橢圓C：:+3=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳，B，過工的直線與C交于A,8兩

ab

且|A耳|=|A8|,若Q4月的面積為且〃，其中。為坐標原點，則粵的值為

點,

6"也|

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

在中，內(nèi)角的對邊分別為V5

15.A,B,Ca,b,c,csin^^=—Z?sin2C+csinCcosB?

242

(1)求sinA的值;

r—兀

(2)如圖，a=66，點D為邊AC上一點，且2DC=5O5,ZABD=-,求JSC的面積.

2

16.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收

氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細胞的生長和繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，

加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力.某學校對男、女學

生是否喜歡長跑進行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計得到以下2x2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計

男生12080200

女生100100200

合計220180400

(1)試根據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，能否認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)為弄清學生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9

人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，記隨機變量X表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布

列；

(3)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取12人，記其中喜歡長跑的人數(shù)為

匕求丫的數(shù)學期望.

n(ad-bc)2

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.02500100.001

10828

Xa2.7063.8415.0246.635

17.如圖1,在JSC中，AC=BC=4,AB=4、/5，點。是線段AC的中點，點E是線段AB上的一

點，且。將VADE沿。E翻折到△POE的位置，使得連接尸8,PC,如圖2所示，

圖1圖2

⑴若BF=2PF,求證：C/〃平面PDE；

(2)若直線CF與平面尸BD所成角的正弦值為生畫，求線段的長.

57

18.已知拋物線C：y1=2px(°>0)的準線與圓。：_?+,2=]相切.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點P是C上的一點，點A,B是C的準線上兩個不同的點，且圓。是鉆的內(nèi)切圓.

①若|AB|=26,求點尸的橫坐標；

②求面積的最小值.

19.已知函數(shù)/(%)=(%-a)e"+x+a(awR).

(1)若〃=4,求/⑺的圖象在％=0處的切線方程；

(2)若/(“20對于任意的恒成立，求a的取值范圍；

(3)若數(shù)列｛4｝滿足％=1且%+1=—^彳(neN*))記數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S“，求證：

+§vIn[(n+l)(n+2)].

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z滿足("3I"=1+2I,則忖=()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求Z,再根據(jù)復數(shù)的模長公式運算求解.

/、l+2i（1+21）（4+31）211

【詳解】因為（4—3i）z=l+2i,則2=----=-----給-----——+—

174-3i（4—3i）（4+3i）2525

2.已知圓錐的側(cè)面積為12兀，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）

A.6鬲B.更叵C.6島D.3叵

33

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為/,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及扇形弧長解得/=3廠=6,再結(jié)

合錐體的體積公式運算求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,

Ttrl=12兀

由題意可得：［2兀，c，解得/=3廠=6,

——I=271r

I3

則圓錐的高h=J/2—戶=4近，

所以此圓錐的體積為L/lXJt/=竺叵.

33

故選：B.

3.已知向量q和6滿足，/|=3,卜|=2,卜+。卜近，則向量6在向量［上的投影向量為（）

1-11

A.—aB.―〃C.—aD.〃

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運算法則，求得.為=-3,結(jié)合向量的投影向量的計算方法，即可求解.

【詳解】由向量a和〃滿足,1=3,慟=2,卜+,=近，

I.|2,_.2.,2

可得Q+Z?=(a+b)2=a+2a?b+b=13+2〃?6=7,解得〃.力=—3,

a-ba-31

所以向量b在向量〃上的投影向量仃.n=7_"二一￡〃?

忖忖93

故選：A.

4.已知雙曲線三―我=1(。>0,%>0)的兩條漸近線均和圓。：必+>2+舐+7=0相切，且雙曲線的

左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(

里一蟲22

C.=1D,三-乙=1

7979

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意求圓C的圓心和半徑，利用點到直線距離可得焦點到漸近線的距離d=b,結(jié)合題意分析

求解即可.

【詳解】因為圓。：/+,2+"+7=0的圓心為C(TO),半徑廠=3,

V2v2b

又因為雙曲線與―==1的一條漸近線為丁=—%,即法-紗=0,

a2b-a

be

雙曲線的左焦點(一c,0)到漸近線bx-ay=0的距離d==b,

yja2+b2

由題意可知：c=41=3,可得/=。2—〃=7,

22

所以該雙曲線的方程為土-匕=1.

79

故選：D.

5.將函數(shù)/(x)=2sin〔3x+：］的圖象向右平移9(。>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)

g(x)在區(qū)間(0,9)上恰有兩個零點，則。的取值范圍是()

5兀3兀、「3兀13兀、(5TI3兀］(3TI13兀

L124)L412J<124JI412」

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得g(x)=2sin(3x+：-30),由g(x)在(0,夕)上有2個零點得

JT

一2?！抖?3夕<一兀，解之即可求解.

4

7T

【詳解】將函數(shù)/(x)=2sin(3x+—)的圖象向右平移9個單位長度，

4

得g(九)=2sin(3九+7一3°)的圖象，由。vxv。，^--3(p<--3(p<-,

4444

IT

又g(x)在(0,9)上有2個零點，所以-27iV]-30<-無，

解得普<夕4學，即實數(shù)9的取值范圍為(含力.

124124

故選：c

6.“五一”假期將至，某旅行社適時推出了“晉祠”“五臺山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路

可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個名額，其余線路名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這

四人前去報名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報名情況總

共有()

A.360種B.316種C.288種D.216種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)四人是否有人選擇“喬家大院”線路進行分類討論，由此求得正確答案.

【詳解】若四人中，沒有人選擇“喬家大院”線路，4=2+1+1,

則方法數(shù)有C；xA：=144種

若四人中，恰有1人選擇“喬家大院”線路，

則方法數(shù)有C；(C；xAj=144種.

所以他們報名的情況總共有144+144=288種.

故選：D

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前W項和為s“，若S15>0,、6<0,則，的取值范圍是()

67613

A.B.

〒飛7t

【答案】B

【解析】

a?>0

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析可得〈C，進而可得d<o，>0,結(jié)合通項公式可得

4+為<0

1d2

一廠了（一任即可得結(jié)果.

Rs=15為>0f出>0

【詳解】由題意可得：°。/、八，即《八，可知。9<0

，6=8（火+%）<。+。9<°

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，則一為<0，

可得等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，則見〉0,

%>0\CL+ld>01d2

由《八可得7八，則一:7V—<一77，

。8+。9<°[2%+15d<07%15

、

所以a二,=c匕k+一d=一d+1￡

Cl-ydy

故選：B.

8.已知正方形ABCD的邊長為2,點P在以A為圓心，1為半徑的圓上，貝|忸3「+忸葉+|如「的最小值

為（）

A.18-8A/2B.18-8A/3C.19-873D.19-872

【答案】D

【解析】

【分析】不妨設(shè)A（l,1）,6（—1,1）,P（1+cos6>,1+sin6?）,G[0,2TI）,根據(jù)兩點間距

離公式結(jié)合正弦函數(shù)的最值分析求解.

【詳解】不妨設(shè)A。,1）,5（—1,1）,C（—1,—1）,D（L—1）,

因為V=1,設(shè)尸(l+cosai+sine),6￡[0,27i),

22

貝!!I尸+忸。2+忸?2=(2+cos6)2+sin8+(2+cos藥+(2+sin好+cos8+(2+sin好

=8sin6+8cos6+19=8后sin6+至+19,

4

因為同0,2兀）,則，+臺;學

Jr37r57r（jri

可知當8+—=——，即。=——時，sin，+：取得最小值一1,

424k4j

2

所以|PB「+|PC「+|PD|的最小值為I”8夜.

故選：D.

【點睛】結(jié)論點睛：以（。力）為圓心，半徑為r的圓上的任一點尸可設(shè)為（a+rcos。力+rsin。）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個基本因素構(gòu)成.某實驗

基地有兩塊面積相等的試驗田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗田分別種植了甲、乙兩種水稻，連

續(xù)試驗5次，水稻的產(chǎn)量如下：

甲（單位:kg）250240240200270

乙（單位：kg）250210280240220

則下列說法正確的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70

B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)表求出極差、中位數(shù)，判斷A,B；求出平均數(shù)判斷C；求出方差判斷D作答.

【詳解】根據(jù)給定數(shù)表知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為270—200=70,乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240,A,B

都正確；

甲種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為j(250+240+240+200+270)=240,乙種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為

|(250+210+280+240+220)=240,C錯誤；

甲種水稻產(chǎn)量方差為1(100+0+0+1600+900)=520,乙種水稻產(chǎn)量方差為

|(100+900+1600+0+400)=600,D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,且對任意的羽yeR,都有/(盯)=4>(y)+w(x)，若/⑵=2,則

下列說法正確的是()

A./(l)=oB./(X)的圖象關(guān)于>軸對稱

C.2/(21=2023x220+22/(2')=2024x22°26+2

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：令x=l,y=2代入運算即可判斷；對于B：令x=y=-l解得/(—1)=0,令x=2,y=-1

f(xy)/(x)/(y)

解得/(—2)=—2,即可判斷；對于CD：若陽y>0,可得=分析可知

是以首項/@=1,公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列以及裂項相消法分析求解.

2

【詳解】因為〃孫)=4(y)+W(x)，且函數(shù)〃力的定義域為R,

對于選項A：令x=l,y=2,可得〃2)=/(2)+2/⑴，解得"1)=0,故A正確;

對于選項B：令x=y=—1,可得/。)=—/(—1)—/(—1),解得〃T)=。，

令x=2,y=-l,可得〃—2)=蟲-1)-〃2)=-/(2)=-2,

所以/（X）的圖象不關(guān)于y軸對稱，故B錯誤；

對于選項CD：若x,y>。，可得/應(yīng)=/（0+81,

xyxy

令x=2,,y=2,QN*,可得自一但+工一但+i，

2-12'22'

2，

/()，是以首項/q=1,公差為1的等差數(shù)列,

可知數(shù)列《

2,2

可得答

則/(2;)=z-21=(z-1)-2,+1-(z-2)2;,

2024

所以￡于(2,)=[0-(-2)]+(23-0)+---+(2023X22025-2022x22024)=2023x22025+2,

f=l

故C正確，D錯誤;

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意整理可得若x,y>0,可得/包=/9+叢打，進而可得

xyxy

產(chǎn))中)

結(jié)合等差數(shù)列分析求解.

---2-，-+i-------￡:---r1'

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝4GR中，點P是側(cè)面AO2A內(nèi)的一點，點E是線段CG上

的一點，則下列說法正確的是（）

A.當點P是線段的中點時，存在點E,使得4石，平面「四。I

9

B,當點E為線段CQ的中點時，過點A,E,。的平面截該正方體所得的截面的面積為二

C.點E到直線BQ的距離的最小值為J5

D.當點E為棱Cq的中點且產(chǎn)后=2、歷時，則點尸的軌跡長度為三

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意分別畫出圖形，再逐項解決線面垂直、截面面積、距離最值和軌跡問題即可.

【詳解】對于A,如下圖所示，連接ACAg,

因為點尸是線段4。的中點，所以點尸也是線段的中點,

所以平面PBR即為平面ABXDX.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面A。。，A與J.平面ABC,

所以A。，AC,AB1±AC,

又因為ADXcAB】=A,ADu平面ABR,ABlu平面AB^,

所以AC,平面A42,所以E與。重合時，4￡1_平面「四。1，故A正確;

對于B,如下圖所示，取的中點

根據(jù)E,M分別為CC,,3C的中點，易得EM//AD},

所以四點共面,

所以截面為四邊形AMEQ,且該四邊形為等腰梯形.

又因為ME=Ji,ADi=2垃,AM=ED［=小,

所以等腰梯形AMED］的高為］（后—吟y=3^2,

所以截面面積為:（夜+2后）*苧=：,故B錯誤；

對于C,如圖建立空間直角坐標系，

由圖可得，8(2,2,0),A(0,0,2),所以3n=(—2,—2,2),

設(shè)E(0,2,m)(0<m<2),所以BE=(-2,0,m),

(

BD],BE

所以點E到直線82的距離d=BE

BD]

所以根=1時，距離最小，最小為故C正確;

對于D,如圖所示，取。2的中點G,連接EG,GP,PE,

易得GE，平面招R。，

又因為GPu平面招。。，所以GELGP,

所以GP=y]PE2-GE2=7（272）2-22=2，

TT

則點P在側(cè)面AARD內(nèi)的運動軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為

JT2兀

所以點P的軌跡長度為一x2=——，故D正確.

33

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A=<xeNg<3'+i<27>,B={x|x2-3x+m=0},若leAB,則的子集的個

數(shù)為.

【答案】8

【解析】

【分析】由leA5求得加=2,求得集合A3,進而求得Au8,結(jié)合元素個數(shù)可得結(jié)果.

【詳解】由leA8可知，則可得1—3+7"=0,解得：m=2,

所以JB={X|%2_3X+2=0}={乂九―2）=0},即_8={1,2}.

A=<%eN1<3x+1<27>={%GN|3-1<3X+1<33）={%eN|-2<x<2}={0,l},

所以4。8={0,1,2},則的子集的個數(shù)為23=8.

故答案為：8

13.已知tano=2tan，，sin（（z+/7）=；,則sin（/7-（z）=.

【答案】一卷

【解析】

【分析】由12口。=21@口/?切化弦可得$111。854=2（305=51114，結(jié)合兩角和差公式分析求解.

,--sina2sinB.八一.八

【詳解】因為tana=2tan/?,即-----=-------,可得smacos/?=2cosasin/,

cosacosP

又因為sin（a+尸）=sinacos[3+cosasin°=3cososin/?=—,可得cosasin/3=—,

所以sin-a)=cosasinJ3-sinacos0--cosasin/=-J

故答案為：----

12

22

14.已知橢圓。：=+==1Qa>b>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過F2的直線與。交于A,B兩

ab

點，且|A耳|=|/必，若.。4月的面積為巫〃，其中。為坐標原點，則的值為

6死也|

【答案】.

【解析】

TT

【分析】根據(jù)橢圓定義利用面積公式和余弦定理解得N￡Ag=§，進而可知.為等邊三角形，結(jié)合橢

圓性質(zhì)分析求解.

【詳解】設(shè)|筋|二m，閭=〃，/不明=。￡（0,兀），則加+〃=2〃,

2

在『心中，可知=2SV0AF1=^-b,

即-mnsmd^—b1，可得mn=之陵

233sin，

由余弦定理可得4,—m+n1—2mncos0=(m+n)2—2mn—2mncos0，

即4c之=4/_——46bcos6，可得出sinS—cos。=1，

3sin。3sin0

Gsin6-cose=l”口smt)=——sin"。

則22，解得I2或<

sin20+cos2。=1cos0--\

cos6--

2

?AG

sint)-——

又因為6>e(O,兀)，則sin8>0,可得<2,可知。=方，

cos0--

I2

又因為可知.鈣片為等邊三角形，

即|M|=|班|，結(jié)合對稱性可知ABIx軸，

L\AB\2n2A/3

則加=2〃，2c=，所以I.=-j=~=.

|耳均73n3

故答案為：空.

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題意可知S△相&=2SV0M利用解三角形知識分析可得N4AE=1,

結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)分析求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在_ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,csin"1/■=2cH———csinCcosB.

242

B

不一

ADC

(1)求sinA的值；

(2)如圖，a=6行，點。為邊AC上一點，且2Z)C=5O5,ZABD=~,求的面積.

2

4

【答案】⑴y

(2)18

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理可得sinCsinO/u@sinBsinZC+KSsiVCcosB，再根據(jù)三

242

角恒等變換分析求解；

54

(2)a△ABD中，可得AD=—c,DB=-c,可知b=5c,進而在.ABC中，利用余弦定理和面積公式

33

分析求解.

【小問1詳解】

因為csin?￡=@/?sin2C+@csinCcosB，

242

由正弦定理可得sinCsin0=sinBsin2C+sin2CcosB，

242

貝IsinCsin+sinBsinCcosC+sin2Ceos5，

222

注意到Ce（0,7i）,則sinC>0,可得sin殳<=避^1!18（:（光。+避^111。以）56，

222

e5+C兀A

且nA+5+C=7L,則-----=------

222

乎sin（B+C）=岑

可得sinsinBcosC+sinCcosB）=sin（7i-A）,

則cos-=sinA=y[5sin-cos—，

2222

又因為Ae（0,7i）,則]￡I。']]A

，可知cos—>0,

2

可得sin4=4^,cos—=MI）拽

25225

所以sinA=2sin—cos一二一.

225

【小問2詳解】

A3

由（1）可得：cosA=2cos2—一1二—,

25

因為NABO=P,在RtA4BD中，可得4。=*-=。。，DB=ADsinA=-c,

2cosA33

又因為2DC=5DB,可得DC=9DB=WC,

23

則b=AC=AD+OC=5c,

在_ABC中，由余弦定理/=廿+，-2）ccosA，

BP180=25c2+c2—6c2=20c2>解得c=3,可知b=5c=15,

ii4

所以面積Sv"c=5)csinA=/倉!]153?j18.

16.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收

氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細胞的生長和繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，

加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力.某學校對男、女學

生是否喜歡長跑進行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計得到以下2x2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計

男生12080200

女生100100200

合計220180400

(1)試根據(jù)小概率值。=0.050的獨立性檢驗，能否認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)為弄清學生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9

人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，記隨機變量X表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布

列；

(3)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取12人，記其中喜歡長跑的人數(shù)為

匕求丫的數(shù)學期望.

2

2n(ad-bc)T,

附：力=(,+?(c+d)(a+c)3+d)，其中〃=a+6+c+d.

a01000.0500.0250.0100.001

%2.7063.8415.0246.63510.828

【答案】(1)有95%認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).

33

(2)分布列見解析(3)y

【解析】

【分析】（1）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得力2=9，結(jié)合附表，即可求解；

（2）求得男生的人數(shù)為4人，女生的人數(shù)為5人，根據(jù)題意，得到X的可能取值為0,1,2,3,求得相應(yīng)的

概率，列出分布列；

（2）根據(jù)題意，求得任抽I人喜歡長跑的概率為p=結(jié)合y服從二項分布，即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，由2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

一曰,400x(120x100-80x100)2400

可得；T=----------------------—=——w4.040>3.841,

200x200x220x18099

所以有95%認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

從調(diào)查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人,

80=4人，女生的人數(shù)為9x10°=5人,

其中男生的人數(shù)為9義

80+10080+100

從9人中隨機抽取3人，所以隨機變量X的可能取值為0』,2,3,

C31C2cl5

可得P(X=0)=^=—,P(X=0)=」^=一

C：21C：14

23

P(X=2)=^c'^c=J10,P(X=3)=cW=52,

C；21C；42

則隨機變量X的分布列為:

X0123

15105

P

21142142

【小問3詳解】解：由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率為/?=—,

111133

所以隨機變量y服從二項分布，即yB（12,—）,所以石（y）=i2x/=《.

17.如圖1,在，ABC中，AC=BC=4,AB=40，點。是線段AC的中點，點E是線段AB上的一

點，且DESAB,將VADE沿。E翻折到△PDE的位置，使得連接尸8,PC,如圖2所示,

點尸是線段尸8上的一點.

圖1圖2

⑴若BF=2PF，求證：C/〃平面PDE；

（2）若直線CE與平面PfiD所成角的正弦值為生畫，求線段的長.

【答案】（1）證明見詳解

⑵T

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可證平面3CDE,建系，利用空間向量證明線面平行；

⑵設(shè)BF-BP，求平面H犯的法向量，結(jié)合線面夾角的向量運算分析求2的值，即可得結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意可知：PE±DE,PE±BD,DEcBD=D,DE,BDI平面BC￡>E,

可得尸EJ_平面BCDE,

且DELBE,以E為坐標原點，EB,ED,EP分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標系,

則E(0,0,0),3(3①0,0),C(0,20,0),0(0,也0),P(0,0,⑹,

可得BP=(-3V2,0,V2),BC=(-272,2A/2,0),

設(shè)BF=2BP=(-3722,0,V22),2e[0,l],

則CF=BF-BC=(2①~304,—2后,伍)，

若BF=2PF，則X=g,CF=0,-2yf2,^-\,

由題意可知：平面PDE的法向量五=。,0,0），

因為分。歹=0，且C/a平面PDE，

所以C/〃平面PDE.

【小問2詳解】

由（1）可得：CF=（272-3722,-2A/2,V22）,DB=（3A/2,-A0）,DP=（0,-72,A/2）,

,、m-DB=3y[2x-拒y=0

設(shè)平面PSD的法向量加=（%,y,z）,則《廠l，

m-DP=-42y+42z=0

令x=l,則y=z=3,可得根=（1,3,3）,

|心I\m'CF\4724A

由題意可得：|cos見卬=^^=/=虧,

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