2025高考幫備考教案數(shù)學第九章　統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第1講　隨機抽樣、統(tǒng)計圖表含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第1講隨機抽樣、統(tǒng)計圖表課標要求命題點五年考情命題分析預測1.了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法與隨機數(shù)法.會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系.2.了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.3.能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.4.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.隨機抽樣2023新高考卷ⅡT3；2020全國卷ⅡT18本講為高考的命題熱點，主要考查：（1）分層隨機抽樣，題型以選擇題和填空題為主，屬于中低檔題；（2）統(tǒng)計圖表的應用，著重考查頻率分布表、頻率分布直方圖、條形圖、折線圖等，單獨命題時以小題形式出現(xiàn)，與其他知識綜合命題時常作為問題情境出現(xiàn)在解答題中.預計2025年高考命題趨勢變化不大，重點在情境的創(chuàng)新.統(tǒng)計圖表2023新高考卷ⅡT19；2022新高考卷ⅡT19；2020新高考卷ⅡT9；2019全國卷ⅢT17學生用書P2081.簡單隨機抽樣（1）分類：放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣.除非特殊說明，本章所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣.（2）常用方法：①抽簽法和②隨機數(shù)法.辨析比較1.抽簽法和隨機數(shù)法的異同：（1）都是逐個、不放回抽樣；（2）總體中個體數(shù)不多時選擇抽簽法，總體量較大，樣本量較小時選擇隨機數(shù)法.2.能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.2.分層隨機抽樣一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為③分層隨機抽樣，每一個子總體稱為④層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為⑤比例分配.辨析比較簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣的辨析抽樣方法共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣（1）抽樣過程中每個個體被抽到的機會均等；（2）都是不放回抽樣.從總體中逐個抽取.分層隨機抽樣在各層抽樣時可采用簡單隨機抽樣.樣本容量較小.分層隨機抽樣將總體分成互不交叉的層，分層進行抽取.總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小.3.統(tǒng)計圖表（1）常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布表、頻率分布直方圖等.（2）頻率分布直方圖的制作步驟a.求極差.極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的⑥差.b.決定組距與組數(shù).當樣本量不超過100時，常分成5～12組.為方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”.c.將數(shù)據(jù)分組.使第一組的左端點略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右端點略大于數(shù)據(jù)中的最大值.d.列頻率分布表.計算各小組的頻率，作出頻率分布表.e.畫頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中，縱軸表示⑦頻率組距1.下列說法正確的是（D）A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本是簡單隨機抽樣B.某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽是簡單隨機抽樣C.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗，可用抽簽法D.某校有2000名學生，其中高一年級700人，高二年級600人，高三年級700人，現(xiàn)從中抽取20人了解學生在校學習壓力的情況，可用分層隨機抽樣的方法抽取解析A選項，不是簡單隨機抽樣，因為題中被抽取的總體中的個體數(shù)是無限的，而不是有限的；B選項，不是簡單隨機抽樣，個子最高的5名同學是確定的，不是等可能抽樣；C選項是簡單隨機抽樣，但總體中的個體數(shù)太多，不宜采用抽簽法；D選項，三個年級的學生個體差異比較明顯，所以適用分層隨機抽樣.2.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛.為檢驗該公司這三種型號轎車的質(zhì)量，公司質(zhì)檢部要抽取57輛進行檢驗，則下列說法錯誤的是（B）A.應采用分層隨機抽樣的方法抽取B.應采用簡單隨機抽樣抽取C.三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的可能性相等解析由題知，該公司質(zhì)檢部要對三種型號的轎車抽取57輛進行檢驗，所以該檢驗應采用分層隨機抽樣的方法，故選項A正確，選項B錯誤.對于選項C，1500＋6000＋2000＝9500（輛），所以三種型號的轎車依次應抽取57×15009500＝9（輛），57×60009500＝36（輛），57×200093.中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會試分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為100，則中卷錄取人數(shù)為（A）A.10 B.35 C.55 D.75解析由題意知，會試錄取人數(shù)為100，則中卷錄取人數(shù)為100×211+7+2＝4.[教材改編]某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由圖中數(shù)據(jù)可知a＝0.030.若要從身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學生中，用分層隨機抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為3.解析因為頻率分布直方圖中的各個小矩形的面積之和為1，所以有10×（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010）＝1，解得a＝0.030.（求頻率之和時，切勿忘記乘以組距）由頻率分布直方圖可知，身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學生總數(shù)為100×10×（0.030＋0.020＋0.010）＝60，其中身高在[140，150]內(nèi)的學生人數(shù)為100×10×0.010＝10.所以從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為1060×18＝3.（抽樣比＝身高在[學生用書P209命題點1隨機抽樣角度1簡單隨機抽樣例1（1）下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的是（B）A.從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本B.盒子里共有80個零件，從中抽取5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后不再把它放回盒子里C.從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗D.某班有50名學生，指定數(shù)學成績排名前三的3名學生參加學校組織的數(shù)學競賽解析A不是簡單隨機抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數(shù)是無限的，而不是有限的.B是簡單隨機抽樣.C不是簡單隨機抽樣，因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取.D不是簡單隨機抽樣，因為不是等可能抽樣.（2）設(shè)某總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從下面隨機數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始，從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體編號為03.18180792454417165807798386196216765003105523640505266238解析由題意得，選出來的這5個個體的編號依次是07，17，16，19，03，所以選出來的第5個個體編號為03.方法技巧（1）簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽??；③等可能抽取.（2）用隨機數(shù)法選取樣本時，要剔除重復的編號并重新產(chǎn)生隨機數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要個數(shù).角度2分層隨機抽樣例2（1）某中學有高中生960人，初中生480人，為了了解學生的身體狀況，采用分層隨機抽樣的方法，從該校學生中抽取容量為n的樣本，其中高中生有24人，那么n等于（D）A.12 B.18 C.24 D.36解析根據(jù)分層隨機抽樣方法知n960+480＝24960，解得n（2）某口罩廠的三個車間在一個小時內(nèi)共生產(chǎn)3600個口罩，在出廠前要檢查這批口罩的質(zhì)量，現(xiàn)決定采用分層隨機抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的口罩個數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的口罩個數(shù)為（C）A.800 B.1000 C.1200 D.1500解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b，則第二車間生產(chǎn)的口罩個數(shù)為3600×ba＋b＋c＝3600×方法技巧（1）在比例分配的分層隨機抽樣中，抽樣比＝樣本容量總體容量＝各層樣本容量（2）總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中相應的各層抽取的樣本量之比.訓練1（1）“夸父一號”的成功發(fā)射，實現(xiàn)了我國天基太陽探測衛(wèi)星跨越式突破，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報名的30位同學按01，02，…，30進行編號，利用下面的隨機數(shù)表來決定他們的出場順序，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列的數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選取的第5位同學的編號為（C）4567321212310701085213200112512932049234493582003623486969387481A.23 B.20 C.13 D.12解析依次從隨機數(shù)表中選取的有效編號為12，07，01，08，13，故選取的第5位同學的編號為13.故選C.（2）[多選]已知某地區(qū)有小學生120000人，初中生75000人，高中生55000人，當?shù)亟逃块T為了解本地區(qū)中小學生的近視率，按小學生、初中生、高中生進行分層隨機抽樣，抽取一個容量為2000的樣本，得到小學生、初中生、高中生的近視率分別為30％，70％，80％.下列說法中正確的有（ABD）A.從高中生中抽取了440人B.每名學生被抽到的概率為1C.估計該地區(qū)中小學生總體的平均近視率為60％D.估計高中生的近視人數(shù)為44000解析由題意，得每名學生被抽到的概率為2000120000+75000+55000＝1125，故B正確；從高中生中抽取了55000×1125＝440（人），故A正確；估計高中生的近視人數(shù)為55000×80％＝44000，故D正確；學生總?cè)藬?shù)為250000人，小學生占比為120000250000＝48％，同理，初中生、高中生占比分別為30％，22％，在容量為2000的樣本中，小學生、初中生和高中生分別有960人、600人和440人，則近視人數(shù)為960×30％＋600×70％命題點2統(tǒng)計圖表角度1條形圖、扇形（餅）圖、折線圖例3（1）[2023四川南充模擬]下圖是甲、乙兩人高考前10次數(shù)學模擬成績的折線圖，則下列說法錯誤的是（C）A.甲的數(shù)學成績最后3次逐漸升高B.甲的數(shù)學成績在130分及以上的次數(shù)多于乙的數(shù)學成績在130分及以上的次數(shù)C.甲有5次考試成績比乙高D.甲數(shù)學成績的極差小于乙數(shù)學成績的極差解析對于A，由題圖可知甲的最后三次數(shù)學成績逐漸升高，故A說法正確.對于B，甲的數(shù)學成績在130分及以上的次數(shù)為6，乙的數(shù)學成績在130分及以上的次數(shù)為5，故B說法正確.對于C，甲有7次考試成績比乙高，故C說法錯誤.對于D，由題圖可知，甲、乙兩人的數(shù)學成績的最高成績相同，甲的最低成績?yōu)?20分，乙的最低成績?yōu)?10分，因此甲的數(shù)學成績的極差小于乙的數(shù)學成績的極差，D說法正確.故選C.（2）[多選/2023濟南市模擬]某學校組建了辯論、英文劇場、民族舞、無人機和數(shù)學建模五個社團，高一學生全員參加，且每位學生只能參加一個社團.學校根據(jù)學生參加情況繪制如下統(tǒng)計圖，已知參加無人機社團和參加數(shù)學建模社團的學生人數(shù)相等，下列說法正確的是（AC）A.高一年級學生人數(shù)為120B.參加無人機社團的學生人數(shù)為17C.若按比例分層隨機抽樣從各社團抽取20人，則從無人機社團抽取的學生人數(shù)為3D.若甲、乙、丙三人報名參加社團，則共有60種不同的報名方法解析由題中統(tǒng)計圖可知，參加民族舞社團的學生人數(shù)為12，占高一年級學生人數(shù)的10％，所以高一年級學生人數(shù)為12÷10％＝120，所以參加英文劇場社團的學生人數(shù)為120×35％＝42，又參加辯論社團的學生人數(shù)為30，所以參加無人機社團的學生人數(shù)等于參加數(shù)學建模社團的學生人數(shù)等于（120－42－30－12）÷2＝18，故A正確，B不正確.若按分層隨機抽樣從各社團抽取20人，則從無人機社團抽取的學生人數(shù)為20×18120＝3，C正確.若甲、乙、丙三人報名參加社團，則每人有5種選法，共有53＝125（種）不同的報名方法，故D不正確.綜上所述，選方法技巧統(tǒng)計圖表的主要應用（1）扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.（2）折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.（3）條形圖和頻率分布直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.角度2頻率分布直方圖例4[2023長沙雅禮中學模擬]某學校為了調(diào)查學生一周在生活方面的支出（單位：元）情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60]內(nèi)的學生有60人，則下列說法不正確的是（A）A.樣本中支出在[50，60]內(nèi)的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C.n的值為200D.若該校有2000名學生，則約有600人支出在[50，60]內(nèi)解析設(shè)[50，60]對應小長方形的高為x，則（0.01＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03，所以樣本中支出在[50，60]內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3，A選項錯誤.n＝600.3＝200，樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200×（0.036＋0.03）×10＝132，B選項正確.該校有2000名學生，則約有2000×0.3＝600（人）支出在[50，60]內(nèi)，D選項正確.故選A.方法技巧與頻率分布直方圖相關(guān)的結(jié)論（1）頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.（2）頻率分布直方圖中縱軸表示頻率組距，故每組樣本的頻率為組距×頻率組距（3）頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù).訓練2（1）[2023陜西省寶雞市質(zhì)檢]某市教育局為得到高三年級學生身高的數(shù)據(jù)，對高三年級學生進行抽樣調(diào)查，隨機抽取了1000名學生，他們的身高都在A，B，C，D，E五個層次內(nèi)，分男、女生統(tǒng)計得到如下圖所示的樣本分布統(tǒng)計圖，則（B）A.樣本中A層次的女生比相應層次的男生人數(shù)多B.估計樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大C.D層次的女生和E層次的男生在整個樣本中的頻率相等D.樣本中B層次的學生人數(shù)和C層次的學生人數(shù)一樣多解析設(shè)樣本中女生有y人，則男生有（1000－y）人，設(shè)女生身高頻率分布直方圖中的組距為t，由（a＋1.5a＋2a＋2.5a＋3a）t＝1，所以at＝0.1，所以女生身高頻率分布直方圖中A層次頻率為0.2，B層次頻率為0.3，C層次頻率為0.25，D層次頻率為0.15，E層次頻率為0.1，所以樣本中A層次的女生人數(shù)為0.2y，男生人數(shù)為0.1（1000－y），由于y的取值未知，所以無法比較A層次中男、女生人數(shù)，A錯誤；D層次女生在女生樣本中頻率為0.15，所以在整個樣本中頻率為0.15y1000，E層次男生在男生樣本中頻率為0.15，所以在整個樣本中頻率為0.15（樣本中B層次的學生數(shù)為0.3y＋0.25（1000－y）＝250＋0.05y，樣本中C層次的學生數(shù)為0.25y＋0.3（1000－y）＝300－0.05y，由于y的取值未知，所以250＋0.05y與300－0.05y可能不相等，D錯誤；女生中A，B兩個層次的頻率之和為0.5，所以女生的樣本身高中位數(shù)為B，C層次的分界點，而男生A，B兩個層次的頻率之和為0.35，A，B，C三個層次的頻率之和為0.65，顯然中位數(shù)落在C層次內(nèi)，所以樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大，B正確.故選B.（2）[多選/2023南京市、鹽城市二模]新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于21世紀初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一.圖1，圖2分別是2017年至2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比（占我國汽車年總產(chǎn)量的比例）情況，則（BCD）圖1圖2A.2017—2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加B.2017—2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為626.4萬輛C.2022年我國汽車年總產(chǎn)量超過2700萬輛D.2019年我國汽車年總產(chǎn)量低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量解析對于選項A，題圖1中2019年新能源汽車年產(chǎn)量低于2018年新能源汽車年產(chǎn)量，A錯誤；對于選項B，極差為705.8－79.4＝626.4（萬輛），B正確；對于選項C，2022年我國汽車年總產(chǎn)量為705.8÷25.6％≈2757（萬輛），C正確；對于選項D，2019年我國汽車年總產(chǎn)量為124.2÷4.8％≈2588（萬輛），2018年我國汽車年總產(chǎn)量為127÷4.5％≈2822（萬輛），D正確.故選BCD.1.[命題點1角度2/2023新高考卷Ⅱ]某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（D）A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.解析由題意，初中部和高中部學生人數(shù)之比為400200＝21，所以抽取的60名學生中初中部應有60×23＝40（人），高中部應有60×13＝20（人），所以不同的抽樣結(jié)果共有C2.[命題點2角度1/全國卷Ⅰ]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是（A）A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半解析解法一設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以只有A是錯誤的.解法二設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟收入為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟收入為2x.因為0.6x＜0.37×2x，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的.3.[命題點2角度2/2021全國卷甲]為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（C）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6％B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10％C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間解析對于A，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為0.02+0.04×1×100%＝6%，故A正確；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1×100％＝10％，故B正確；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68（萬元），故C錯誤；對于D，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為（0.10＋0.14＋0.20＋0.20）×1×1004.[命題點2角度2/全國卷Ⅰ]某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7]頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6]頻數(shù)151310165（1）在圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）解析（1）頻率分布直方圖如圖所示.（2）根據(jù)（1）中的頻率分布直方圖，知該家庭使用節(jié)水龍頭50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為x1＝150×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為x2＝估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省水（0.48－0.35）×365＝47.45（m3）.學生用書·練習幫P3731.[2024寶雞段考]下列4個抽樣中，簡單隨機抽樣的個數(shù)是（B）①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；②倉庫中有1萬支奧運火炬，從中一次性抽取100支火炬進行質(zhì)量檢查；③某連隊從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的趕赴某市參加抗洪救災工作；④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽.A.0 B.1 C.2 D.3解析①不是簡單隨機抽樣，因為簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本總體的個數(shù)是有限的.②不是簡單隨機抽樣，雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”.③不是簡單隨機抽樣，因為50名黨員官兵是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求.④是簡單隨機抽樣，因為總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，是等可能抽樣.故選B.2.[2024四川遂寧月考]從遂寧市中小學生中抽取部分學生，進行肺活量調(diào)查.經(jīng)了解，該市小學、初中、高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男女生的肺活量差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（C）A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層隨機抽樣C.按學段分層隨機抽樣 D.按學校分層隨機抽樣解析已經(jīng)了解到該市小學、初中、高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男女生的肺活量差異不大，因此按學段分層隨機抽樣，這種方式具有代表性，比較合理.故選C.3.[2024河南鄭州模擬]為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，A市某高中全體教師開展了植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為5∶3∶2，若每種樹苗均按各年齡段報名人數(shù)的比例進行分配，則中年教師應分得梧桐樹苗（C）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵解析由題意，中年教師應分得樹苗的數(shù)量為600×35+3+2＝180，所以中年教師應分得梧桐樹苗的數(shù)量為180×40％＝72.故選4.[2024四川樂山月考]為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有8人，則第三組中有療效的人數(shù)為（B）A.8 B.10 C.12 D.18解析由題可知樣本總數(shù)為200.16+0.24＝50，設(shè)第三組有療效的人數(shù)為x，則x+850＝5.[2023上海春季高考]如圖為2017—2021年中國貨物進出口總額的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（C）A.從2018年開始，每年與上一年相比，2021年的進出口總額增長率最大B.從2018年開始，進出口總額逐年增大C.從2018年開始，進口總額逐年增大D.從2018年開始，每年與上一年相比，2020年的進出口總額增長率最小解析由題圖可知，2020年的進口總額小于2019年的進口總額，故C不正確；由題圖可知，2017—2021年的進出口總額依次為27.81，30.50，31.57，32.22，39.10，與上一年相比，2018年的增長率為30.50－27.8127.81≈9.7％，同理可得2019年，2020年，2021年的增長率分別約為3.5％，2.1％，21.4％，故6.[多選]某商戶收集并整理了其在2023年1月到8月線上和線下收入的數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是（ACD）A.該商戶這8個月中，月收入最高的是7月B.該商戶這8個月的線上總收入低于線下總收入C.該商戶這8個月中，線上、線下收入相差最小的是7月D.該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的頻率是0.5解析對于A：該商戶這8個月中，月收入分別為16萬元，13.5萬元，16萬元，17萬元，17萬元，16萬元，20萬元，17.5萬元，月收入最高的是7月，A正確；（提醒：月收入包含線上收入和線下收入）對于B：該商戶這8個月的線上總收入為72萬元，線下總收入為61萬元，B錯誤；對于C：根據(jù)折線圖可看出該商戶這8個月中，線上、線下收入相差最小的是7月，C正確；對于D：該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的有4個月，故所求頻率為0.5，D正確.7.[2024山西模擬]總體由編號為1，2，…，99，100的100個個體組成.現(xiàn)用隨機數(shù)法選取60個個體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若干個1～100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)的開始部分數(shù)據(jù)如下，則選出來的第5個個體的編號為31.8442178315745568877744772176335063解析簡單隨機抽樣中，隨機數(shù)法獲取的個體編號要在指定編號范圍內(nèi)，遇到大于最大編號或者重復號碼舍去不要，由給定的數(shù)據(jù)，從8數(shù)起至第5個仍是8，重復，舍去，所以選中的第5個個體的編號為31.8.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品，它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線.為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層隨機抽樣的方法進行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的產(chǎn)品個數(shù)分別是a，b，c，且2b＝a＋c，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了5600件產(chǎn)品.解析設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)了T甲，T乙，T丙件產(chǎn)品，則a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙,即aT甲＝bT乙＝cT丙.9.[2024海南?？糫某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓關(guān)心的熱點，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80％.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）現(xiàn)從年齡較小的第1，2，3組中用分層隨機抽樣的方法抽取24人，則每組抽到的人數(shù)分別是多少？解析（1）由頻率分布直方圖可得10×（0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01）＝1，解得a＝0.035.（2）由題意從年齡較小的第1，2，3組中用分層隨機抽樣的方法抽取的比例為0.01∶0.015∶0.035＝2∶3∶7，故第1組抽取24×22+3+7＝4第2組抽取24×32+3+7＝6第3組抽取24×72+3+7＝14（人）10.[多選/2024江西名校聯(lián)考]2023年夏天，國產(chǎn)動畫電影《長安三萬里》熱映，點燃“唐詩熱”，為此某市電視臺準備在該電視臺舉辦的“我愛背唐詩”節(jié)目前三屆參加總決賽的120名選手（假設(shè)每位選手只參加其中一屆總決賽）中，隨機抽取24名參加一個唐詩交流會，若按前三屆參加總決賽的人數(shù)比例分層隨機抽樣，則第一屆抽取6人，若按性別比例分層隨機抽樣，則女選手抽取15人，則下列結(jié)論正確的是（ABD）A.樣本容量是24B.第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有90人C.120名選手中男選手有50人D.第一屆參加總決賽的女選手最多有30人解析對于A，由樣本容量定義知，樣本容量為24，A正確；對于B，∵第一屆參加總決賽的選手有624×120＝30（人），∴第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有120－30＝90（人），B對于C，∵女選手共有1524×120＝75（人），∴男選手有120－75＝45（人），C錯誤；對于D，由B知，第一屆參加總決賽的選手共30人，∴第一屆參加總決賽的女選手最多有30人，D正確.故選11.[教育強國/多選/2023廣東調(diào)研]近年來國家教育系統(tǒng)全面加快推進教育現(xiàn)代化，建設(shè)教育強國，各級各類教育事業(yè)發(fā)展取得了新進展.根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《中華人民共和國2021年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中的數(shù)據(jù)，作出如圖所示的柱狀圖，則下列敘述正確的是（AD）A.2017—2021年，普通、職業(yè)本專科招生人數(shù)逐年增加B.普通、職業(yè)本?？圃?017—2018年招生人數(shù)增長最多C.2017—2021年，普通高中招生人數(shù)在普通、職業(yè)本?？?，中等職業(yè)教育及普通高中招生總?cè)藬?shù)中的占比逐年下降D.2017—2021年，中等職業(yè)教育平均招生人數(shù)為608萬解析由柱狀圖可知，2017—2021年，普通、職業(yè)本?？普猩藬?shù)依次為761萬、791萬、915萬、967萬、1001萬，人數(shù)逐年增加，所以A選項正確.2018—2021年，普通、職業(yè)本?？普猩藬?shù)每年比上年增長的人數(shù)分別為30萬、124萬、52萬、34萬，即2018—2019年增長人數(shù)最多，所以B選項不正確.2017—2021年，普通高中招生人數(shù)在普通、職業(yè)本專科，中等職業(yè)教育及普通高中招生總?cè)藬?shù)中的占比分別為800761+582+800≈0.373，793791+557+793≈0.370，839915+600+839≈0.356，876967+645+876≈0.352，9051001+656+905≈0.353，所以C選項不正確.2017—2021年，中等職業(yè)教育平均招生人數(shù)為12.[設(shè)問創(chuàng)新/多選]設(shè)某組數(shù)據(jù)均落在區(qū)間[10，60]內(nèi)，共分為[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]五組，對應頻率分別為p1，p2，p3，p4，p5.已知依據(jù)該組數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖為軸對稱圖形，給出下列四個條件，其中能確定該組數(shù)據(jù)頻率分布的條件是（AD）A.p1＝0.1，p3＝0.4 B.p2＝2p5C.p1＋p4＝p2＋p5＝0.3 D.p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5解析因為頻率分布直方圖為軸對稱圖形，所以p1＝p5，p2＝p4.對A，p1＝0.1，p3＝0.4，則p5＝0.1，p2＋p4＝1－p1－p3－p5＝1－0.1－0.4－0.1＝0.4，又p2＝p4，所以p2＝p4＝0.2，則p1，p2，p3，p4，p5的值都可以確定，所以由A中條件能確定該組數(shù)據(jù)的頻率分布；對B，p2＝2p5，則p1＝p5，p4＝2p5，有p1＋p2＋p4＋p5＝6p5，因為p5，p3的值都未知，所以得不到p1，p2，p3，p4，p5的值，所以由B中條件不能確定該組數(shù)據(jù)的頻率分布；對C，p1+p4=p2+p5=0.3，則p1＋p2＋p4＋p5＝0.6，所以p3＝0.4，但確定不了p1，p2，p4，p5的值，所以由C中條件不能確定該組數(shù)據(jù)的頻率分布；對D，p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5，因為p1＝p5，p2＝p4，所以p1＝2p2＝4p3＝2p4＝p5，則p1＝p5＝4p3，p2＝p4＝2p3，又p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，所以13p3＝1，即p3＝113，所以p1＝p5＝413課標要求命題點五年考情命題分析預測1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.百分位數(shù)的估計本講是高考命題的熱點，主要考查百分位數(shù)，樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，統(tǒng)計圖中的數(shù)字特征，總體趨勢估計等.預計2025年高考主要以生產(chǎn)生活實踐情境為載體考查樣本的數(shù)字特征及對總體的估計.樣本的數(shù)字特征2023新高考卷ⅠT9；2022全國卷乙T19；2022全國卷甲T2；2021新高考卷ⅠT9；2021新高考卷ⅡT9；2021全國卷甲T2；2021全國卷乙T17；2020全國卷ⅢT3；2019全國卷ⅡT5；2019全國卷ⅡT13；2019全國ⅢT17總體數(shù)字特征的估計2023全國卷乙T17；2022新高考卷ⅡT19；2022全國卷乙T19；2021全國卷乙T17；2020全國卷ⅡT18；2020全國卷ⅢT18；2019全國卷ⅡT19；2019全國卷ⅢT17分層隨機抽樣的均值與方差學生用書P2121.百分位數(shù)（1）定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有②（100－p）％的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.（2）四分位數(shù)：第25百分位數(shù)、中位數(shù)（第50百分位數(shù)）、第75百分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，這三個分位數(shù)統(tǒng)稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)數(shù)字特征概念特征平均數(shù)x＝③1nx與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，對樣本中的極端值更加敏感.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列后，處在最④中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的⑤平均數(shù)（當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時）.只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，有的樣本數(shù)據(jù)的改變不一定引起中位數(shù)的改變.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)⑥最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）.體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，對極端值不敏感，一組數(shù)據(jù)可能有n個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù).3.方差和標準差名稱定義樣本的方差和標準差假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個數(shù)的方差s2＝⑦1n[標準差s＝⑧1n[(總體的方差和標準差一般式如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為Y，則總體方差S2＝⑨1N∑加權(quán)式如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i＝1，2，…，k），則總體方差為S2＝⑩1N∑i=1總體標準差：S＝S24.分層隨機抽樣的樣本均值與方差以兩層隨機抽樣的情況為例.假設(shè)第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s2，第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為t2，則x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若記樣本均值為a，樣本方差為b2常用結(jié)論1.平均數(shù)的性質(zhì)（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為ax＋b.（2）若兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數(shù)分別為x和y，則x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均數(shù)為x＋y.2.方差的性質(zhì)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.特別地，當a＝1時，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù)，方差是不變的，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.1.下列說法正確的是（D）A.對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B.一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)唯一C.方差與標準差具有相同的單位D.如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變解析平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故A錯誤；一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)可以不唯一，故B錯誤；方差是標準差的平方，故它們的單位不一樣，故C錯誤.2.[全國卷Ⅲ]設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（C）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10解析因為數(shù)據(jù)axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.3.[多選/2021新高考卷Ⅱ]下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本x1，x2，…，xn離散程度的有（AC）A.x1，x2，…，xn的標準差 B.x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.x1，x2，…，xn的極差 D.x1，x2，…，xn的平均數(shù)解析平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).方差、標準差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選AC.4.[江蘇高考]已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是53解析數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10的平均數(shù)是6+7+8+8+9+106＝8，則方差是4+1+0+0+1+46＝5.[2023湖南省六校聯(lián)考]數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為m，第60百分位數(shù)為a，則m＋a＝10.解析共有10個數(shù)據(jù)，且為從小到大排列，所以中位數(shù)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，所以m＝4+52＝4.5，因為10×60％＝6，所以第60百分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a學生用書P213命題點1百分位數(shù)的估計例1（1）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14.5，第86百分位數(shù)為17.解析∵75％×20＝15，∴第75百分位數(shù)為14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)，即（2）[2023重慶二調(diào)]如圖是根據(jù)某班學生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的80％分位數(shù)為78.5.解析∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，∴80％分位數(shù)位于[70，80）中，令其為x，則x－7010解得x＝78.5.方法技巧1.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；（2）計算i＝n×p％；（3）若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第i+12.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的求解步驟（1）確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b）；（2）確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa％，fb％，則第p百分位數(shù)為a＋p％－fa％fb％－訓練1（1）已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（C）A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)解析因為100×75％＝75，為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.（2）[2023河北名校聯(lián)考]為科普航天知識，某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m（1≤m≤10）的值可以是7（8，9，10也可）.（寫出一個滿足條件的m的值即可）解析原數(shù)據(jù)去掉m后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6，7，7，8，8，9，10，因為7×0.25＝1.75，所以這7個數(shù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個數(shù)據(jù)從小到大排序后的第2個數(shù)與第3個數(shù)的平均數(shù)，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.命題點2樣本的數(shù)字特征角度1離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征例2（1）已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則（A）A.x＝4，s2＜2 B.x＝4，s2＝2C.x＞4，s2＜2 D.x＞4，s2＞2解析設(shè)7個數(shù)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7（2）[多選/2023新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（BD）A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為223＝663，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D綜上，選BD.角度2統(tǒng)計圖中的數(shù)字特征例3[多選/2023重慶市三檢]某學校共有2000名男生，為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ABD）A.樣本的眾數(shù)為6712B.樣本的中位數(shù)為662C.樣本的平均值為66D.該校男生體重超過70kg的學生大約為600人解析對于A，由頻率分布直方圖知樣本的眾數(shù)為65+702＝6712，故A正確；對于B，設(shè)樣本的中位數(shù)為x，因為前兩個矩形面積和為5×0.03＋5×0.05＝0.4，前三個矩形面積和為5×0.03＋5×0.05＋5×0.06＝0.7，所以中位數(shù)位于（65，70]之間，則有5×0.03+5×0.05+x-65×0.06=0.5，解得x＝6623，故B正確；對于C，樣本的平均值為57.5×0.15＋62.5×0.25＋67.5×0.3＋72.5×0.2＋77.5×0.1＝66.75，故C不正確；對于D，2000名男生中體重超過70kg方法技巧頻率分布直方圖中的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，一般用最高小長方形的底邊中點的橫坐標近似代替；（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中近似等于各組區(qū)間的中點值與對應頻率之積的和.訓練2（1）[2022全國卷甲]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（B）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70％B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差解析對于A，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是70％+75％2＝72.5％，所以A錯誤；對于B，講座后問卷答題的正確率分別是80％，85％，85％，85％，85％，90％，90％，95％，100％，100％，其平均數(shù)顯然大于85％，所以B正確；對于C，由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動較大，講座后問卷答題的正確率波動較小，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后問卷答題的正確率的標準差，所以C錯誤；對于D，講座前問卷答題的正確率的極差是95％－60％＝35％，講座后問卷答題的正確率的極差是100％－80％＝20％，所以講座前問卷答題的正確率的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差，所以D（2）[多選/2021新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（CD）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x－，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x－+c,m+c,σ命題點3總體數(shù)字特征的估計角度1總體集中趨勢的估計例4統(tǒng)計局就某地居民的月收入（單位：元）情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖），每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500，3000）內(nèi).（1）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人進行下一步分析，則月收入在[4000，4500）內(nèi)的應抽取多少人？（2）估計該地居民的月收入的中位數(shù).（3）假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數(shù).解析（1）因為（0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001）×500＝0.5，所以a=又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000，4500）內(nèi)的頻率為0.25，所以月收入在4000，4500內(nèi)的應抽取的人數(shù)為0.25×100（2）因為0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3500＋0.5因此估計該地居民月收入的中位數(shù)是3900元.（3）樣本平均數(shù)為2750×0.0002+3250方法技巧平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).角度2總體離散程度的估計例5[2023全國卷乙]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.（1）求z，s2.（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥2s210解析（1）由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則z＝110×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11s2＝110×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝（2）因為2s210＝26.1＝24.4，z＝所以可認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.方法技巧總體離散程度的估計標準差（方差）刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.訓練3[全國卷Ⅱ]某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40％的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）附：74≈8.602.解析（1）由題意可知，隨機調(diào)查的100個企業(yè)中增長率不低于40％的企業(yè)有14＋7＝21（個），產(chǎn)值負增長的企業(yè)有2個，所以這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40％的企業(yè)比例約為21100，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例約為2100＝（2）由題意可知，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)約為y＝1100×[2×（－0.1）＋24×0.1＋53×0.3＋14×0.5＋7×0.7]＝0.3方差約為s2＝1100×[2×（－0.1－0.3）2＋24×（0.1－0.3）2＋53×（0.3－0.3）2＋14×（0.5－0.3）2＋7×（0.7－0.3）2]＝0.0296所以標準差s＝0.0296＝0.000命題點4分層隨機抽樣的均值與方差例6某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學生每年平均閱讀了多少本文學經(jīng)典名著時，甲同學抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，則合在一起后的樣本平均數(shù)為5.4，方差為12.4.（精確到0.1）解析把甲同學抽取的樣本的平均數(shù)記為x，方差記為sx2；把乙同學抽取的樣本的平均數(shù)記為y，方差記為sy2；把合在一起后的樣本的平均數(shù)記為a則a＝10×5+8×610+8s2＝10＝10≈12.4.即合在一起后樣本的平均數(shù)為5.4，方差為12.4.方法技巧計算分層隨機抽樣的方差的步驟（1）確定x1，x2，s1（2）確定x；（3）應用公式s2＝n1n1＋n2[s12＋（x1－x）2]＋n2n1＋n2訓練4[2023安徽省示范高中聯(lián)考]為了調(diào)查公司員工的健康狀況，某公司男、女員工比例是2∶3，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)如下：男員工的平均體重為70kg，標準差為5kg；女員工的平均體重為50kg，標準差為6kg.則由此估計該公司員工的平均體重是58kg，方差是127.6kg2.解析設(shè)該公司員工的平均體重為xkg，方差為s2kg2，由題意得x＝70×25＋50×35＝58，所以方差s2＝[52＋（70－58）2]×25＋[62＋（50－58）2]×1.[命題點1/2023重慶名校聯(lián)考]從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)一個比m大，一個比m小的概率為514，已知m為上述數(shù)據(jù)的第x百分位數(shù)，則x的取值可能為（CA.50 B.60 C.70 D.80解析因為514＝1028＝C21C51C82，所以m＝4或m＝7.當m＝4時，數(shù)據(jù)的第x百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)，則2＜x％×8＜3，解得25＜x＜37.5，所有選項都不符合；當m＝7時，數(shù)據(jù)的第x百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，則5＜x％×8＜62.[命題點2/多選/2023濟南市統(tǒng)考]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為x.現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)xn＋1，且xn＋1＜x，組成新的樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，xn＋1，與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)可能（BD）A.平均數(shù)不變 B.眾數(shù)不變C.極差變小 D.第20百分位數(shù)變大解析x＝1n（x1＋x2＋…＋xn），新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x新＝1n+1x1+x2+…+xn+xn+1=1n+1（nx＋xn＋1）＜1n+1（nx＋x）＝x，故A錯誤.新增的數(shù)據(jù)xn＋1可能等于原樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)，故B正確.當xn＋1比原樣本數(shù)據(jù)中最小的數(shù)據(jù)還小時，會改變極差，且極差變大；當3.[命題點2，4/2023濰坊市高三統(tǒng)考]若一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（A）A.17，54 B.17，48 C.15，54 D.15，48解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則x＝10，所以樣本數(shù)據(jù)2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均數(shù)為2x1+4+2x2+4+…+2xn+4n＝2（x1＋x2＋…＋xn）+4nn＝2×n×x+4nn＝2x＋4＝24，所以將兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)為10n+24n2n＝17.又樣本數(shù)據(jù)2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差為1n{[2x1＋4－（2x＋4）]2＋[2x2＋4－（2x＋4）]2＋…＋[2xn＋4－（2x＋4）]2}＝4n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]＝8，所以1n[（x14.[命題點3/2021全國卷乙]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和（1）求x，y，s12，（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果y－x≥2s12解析（1）由表格中的數(shù)據(jù)易得：x＝－0.2+0.3+0+0y＝0.1+0.4+0.s12＝110×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]s22＝110×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，而2s12＋s2210＝25（s所以認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.5.[命題點4/2023廣州市調(diào)研]為調(diào)查某地區(qū)中學生每天的睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為（B）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75解析由題知，樣本數(shù)據(jù)中，初中生人數(shù)m＝800，每天睡眠時間的平均數(shù)x＝9，方差s12＝1；高中生人數(shù)n＝1200，每天睡眠時間的平均數(shù)y＝8，方差s估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)w＝mx＋nym＋n＝800×9+1200×8800+1學生用書·練習幫P3751.[2024福州市一檢]某市抽查一周空氣質(zhì)量指數(shù)變化情況，得到一組數(shù)據(jù)：80，76，73，82，86，75，81.以下關(guān)于這組數(shù)據(jù)判斷正確的有（C）A.極差為11 B.中位數(shù)為82C.平均數(shù)為79 D.方差為124解析對A，B，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為73，75，76，80，81，82，86，則這組數(shù)據(jù)的極差為86－73＝13，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80，A錯誤，B錯誤；對C，（80＋76＋73＋82＋86＋75＋81）÷7＝79，C正確；對D，[（80－79）2＋（76－79）2＋（73－79）2＋（82－79）2＋（86－79）2＋（75－79）2＋（81－79）2]÷7≈17.7，D錯誤.故選C.2.[2024湖北部分學校聯(lián)考]為了弘揚體育精神，某學校組織秋季運動會，在一項比賽中，學生甲進行了8組投籃，得分分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（C）A.8 B.9 C.8.5 D.9.5解析由題意可得10+8+a+8+7+9+6+88＝8，解得a將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，即6，7，8，8，8，8，9，10.因為8×75％＝6，為整數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8+92＝8.5，（求得整數(shù)6時，第6個數(shù)據(jù)并不是第75百分位數(shù)，第6個數(shù)據(jù)和第7個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)才是第75百分位數(shù)）故選3.[全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（A）A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差解析記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i（按從小到大的順序排列），易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.4.[2024河南名校聯(lián)考]在某次考試中，某班學生的最高分為100分，最低分為50分，且最高分只有1個，現(xiàn)將全班每個學生的分數(shù)按照yi＝axi＋b（a＞0）進行調(diào)整，其中xi是第i個學生的原始分數(shù)，yi是第i個學生調(diào)整后的分數(shù)，若調(diào)整后，全班的最高分為100分，最低分為60分，則（B）A.調(diào)整后分數(shù)的平均數(shù)和原始分數(shù)的平均數(shù)相同B.調(diào)整后分數(shù)的中位數(shù)高于原始分數(shù)的中位數(shù)C.調(diào)整后分數(shù)的標準差和原始分數(shù)的標準差相同D.調(diào)整后分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)多于原始分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)解析對于A，B：根據(jù)題意知100＝100a＋b，60＝50a＋b，所以a＝0.8，b＝20，于是yi=0.8xi+20，則yi－xi＝0.8xi＋20－xi＝20－0.2xi＝0.2（100－xi）對于C：根據(jù)yi＝0.8xi＋20，可得調(diào)整后分數(shù)的標準差等于原始分數(shù)的標準差的0.8倍，顯然調(diào)整后分數(shù)的標準差變小了，故C錯誤.對于D：如果原始分數(shù)相同，則調(diào)整后的分數(shù)也相同，故調(diào)整后分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)和原始分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)相同，故D錯誤.5.[多選/2024云南昆明模擬]甲、乙兩個旅游景區(qū)某月初連續(xù)7天的日均氣溫（單位：℃）數(shù)據(jù)如圖所示（氣溫均取整數(shù)），則關(guān)于這7天的日均氣溫，下列判斷正確的是（ABC）A.甲旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)相等B.甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)相等C.甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動比乙旅游景區(qū)的日均氣溫波動大D.乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為1℃解析對于A，B項，甲旅游景區(qū)的日均氣溫分別為5℃，3℃，6℃，3℃，7℃，5℃，6℃；乙旅游景區(qū)的日均氣溫分別為5℃，4℃，6℃，5℃，5℃，4℃，6℃.甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)為5℃，平均數(shù)為5+3+6+3+7+5+67＝5（℃）；乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)為5℃，平均數(shù)為5+4+6+5+5+4+67＝5（℃）.故A，B正確.對于C項，根據(jù)折線圖知甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動比乙旅游景區(qū)的日均氣溫波動大，故C正確.對于D項，乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為6－4＝2（℃），故D錯誤.6.[多選/2023合肥市二檢]如圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售量（單位：輛）的頻率分布直方圖，則（ACD）A.a的值為0.004B.估計這100家銷售商新能源汽車銷售量的平均數(shù)為135C.估計這100家銷售商新能源汽車銷售量的80％分位數(shù)為212.5D.若按分層隨機抽樣原則從這100家銷售商中抽取20家，則從銷售量在[200，300]內(nèi)的銷售商中抽取5家解析對于A，由頻率分布直方圖可得，50×0.002＋50×0.003＋50a＋50×0.006＋50a＋50×0.001＝1，得a＝0.004，故A正確；對于B，（25×0.002＋75×0.003＋125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001）×50＝150，故B錯誤；對于C，設(shè)80％分位數(shù)為x，易得x∈[200，250），則50×0.002+50×0.003+50×0.004+50×0.006+x－200×0.004＝0.8，解得x＝212.5，故C正確；對于D，銷售量在[200，300]內(nèi)的頻率為50×0.004＋50×7.[多選/2024馬鞍山市段考]某學校共有學生2000人，其中高一學生800人，高二、高三學生各600人，學校為了了解學生在暑假期間每天的讀書時間（單位：時），按照分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽取100人，其中高一學生、高二學生、高三學生每天讀書時間的平均數(shù)分別為x1＝2.7，x2＝3.1，x3＝3.3，每天讀書時間的方差分別為s12＝1，s22＝2，sA.從高一學生中抽取了40人B.抽取的高二學生每天的總讀書時間是1860小時C.被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為3小時D.估計該校全體學生每天的讀書時間的方差為s2＝1.966解析對于A，根據(jù)分層隨機抽樣，分別從高一學生、高二學生、高三學生中抽取40人、30人、30人，故A正確；對于B，抽取的高二學生每天的總讀書時間是x2×30＝93（時），故B錯誤；對于C，被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為40100×2.7+30100×3.1+30100×3.3=3（時），故C正確；對于D，被抽取的學生每天的讀書時間的方差為40100×[1＋（2.7－3）2]＋30100×[2＋（3.1－3）2]＋30100×[3＋（8.[2024新疆喀什模擬]樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為2.解析由樣本a，0，1，2，3的平均值為1，可得a+0+1+2+35＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為15×[（－1－1）2＋（0－1）2＋（1－1）2＋（2－1）2＋（3－1）29.[2024陜西商洛聯(lián)考]某品牌汽車2019—2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為54萬輛.解析設(shè)2020年的銷量為a萬輛，2021年的銷量為b萬輛，5＜a＜b＜22，由題意可知，中位數(shù)為a＋b2，平均數(shù)為5+a＋b+224，由a＋b2＝5+a＋b+224，得a10.[2024長沙市雅禮中學月考]某工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為28.50mm的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，在某次抽檢中，從該廠的1000個零件中抽出60個，測得其內(nèi)徑尺寸（單位：mm）如下：28.51×1328.52×628.50×428.48×1128.49×p28.54×128.53×728.47×q這里用x×n表示有n個尺寸為xmm的零件，p，q均為正整數(shù).若從這60個零件中隨機抽取1個，則這個零件的內(nèi)徑尺寸小于28.49mm的概率為415（1）求p，q的值.（2）已知這60個零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為xmm，標準差為smm，且s＝0.02，在某次抽檢中，若抽取的零件中至少有80％的零件內(nèi)徑尺寸在[x－s，x＋s]內(nèi)，則稱本次