平面與平面平行 教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期春季課題8.5.3平面與平面平行教學(xué)目標(biāo)1.通過對具體實(shí)例直觀感知，操作確認(rèn)，抽象出平面與平面平行的判定定理，并用平面向量基本行的判定定理和性質(zhì)定理解決空間幾何中的簡單問題，了解定理的作用，進(jìn)一步定理進(jìn)行解釋,發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.借助長方體模型，直觀感知空間中平面與平面的平行關(guān)系，抽象出平面與平面平行的性質(zhì)定理；并依據(jù)基本事實(shí)對性質(zhì)定理進(jìn)行證明．提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.能用平面與平面平理解定理內(nèi)容.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：探究并理解平面與平面平行的判定定理.探究并證明平面與平面平行的性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn)：1.判定定理的探究中將“任意一條直線”轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”.2.性質(zhì)定理的探究中第三個平面的提出.教學(xué)過程一、新課引入引言：今天我們繼續(xù)研究空間中的平行關(guān)系，對于平行我們已經(jīng)研究過了直線與直線平行，直線與平面平行，今天繼續(xù)研究平面與平面平行.前面，研究直線與平面平行，是按照定義?判定?性質(zhì)這樣的研究思路進(jìn)行。對于平面與平面平行，依然按照這樣的研究思路。平面與平面平行的定義，我們已經(jīng)學(xué)過，今天我們來研究平面與平面平行判定定理和性質(zhì)定理.問題1：怎樣判定平面與平面平行呢？可以用定義判定兩個平面平行，但由于平面使無限延展的，如何保證兩個平面沒有公共點(diǎn)？類似于研究直線與平面的判定，我們可以想到把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題，根據(jù)平面與平面平行的定義，因?yàn)閮蓚€平面沒有公共點(diǎn)，所以一個平面內(nèi)的任意一條直線與兩一個平面沒有公共點(diǎn)，也就是說，因?yàn)橐粋€兩個平面平行，所以一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行.因?yàn)槎x給出了兩個平面平行的充要條件，所以可以想到，如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個平面平行，那么兩個平面平行．但是平面內(nèi)的直線有無數(shù)多條，我們難以對所有直線逐一檢驗(yàn).設(shè)計(jì)意圖：明確平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.二、新課講解1.探究平面與平面平行判定定理問題2：能否將“一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面”中的“任意一條直線”減少，得到更簡便的方法？圖1探究1：圖1在如圖1所示的長方體中，A1B1在平面A1B1BA內(nèi)，A1B1//平面ABCD，但平面A1B1BA與平面ABCD相交．所以減少到一條不可以.探究2：減少到兩條可以嗎？根據(jù)基本事實(shí)的推論2，3，兩條平行直線或兩條相交直線都可以確定一個平面．由此可以想到，由“一個平面內(nèi)的兩條平行直線與另一個平面平行”和“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，能否判斷這兩個平面平行？我們可以借助以下兩個實(shí)例進(jìn)行觀察。實(shí)例1：如圖2（1），a，b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行．請觀察硬紙片與桌面平行嗎？實(shí)例2:如圖2（2），c，d分別是三角尺的兩條邊所在直線，它們都和桌面平行，請觀察這個三角尺與桌面平行嗎？圖2追問3：兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面，為什么兩條相交直線可以判定兩個平面平行，而兩條平行直線不可以呢？你能從向量的角度解釋嗎？平面內(nèi)的兩條相交直線代表兩個不共線向量，由平面向量基本定理，它們可以把平面內(nèi)的任意向量表示出來，從而可以表示平面內(nèi)的任意直線；而兩條平行直線表示的向量是共線向量，它們不能“表示”這個平面上的任意一條直線．通過上面探究和分析我們可以歸納總結(jié)出平面與平面平行的判定定理.判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．圖形語言：符號語言:,a?β，b?β,a∩b=P,a//α,b//α?α//β設(shè)計(jì)意圖：通過探究1和探究2（實(shí)例1、2），將“利用任意一條直線”，轉(zhuǎn)化為“利用兩條相交直線”來判斷，最后從向量的角度解釋為什么選擇“兩條相交直線”，這一過程，體現(xiàn)了研究立體幾何圖形位置關(guān)系的一般思路，即從要研究的問題出發(fā)，結(jié)合要得到的目標(biāo)，由復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化．也體現(xiàn)了直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證這一立體幾何的研究方法.平面與平面平行判定定理的應(yīng)用.問題3：在實(shí)際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次如圖3，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說明這么做的道理嗎？圖3圖4設(shè)計(jì)意圖：圖4例1.如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．證明：ABCD-A1B1C1D1為正方體，∴D1C1A1B1,ABA1B1.∴D1C1AB.∴四邊形D1C1BA為平行四邊形.∴D1A//C1B.又D1A平面BC1D，C1B平面BC1D.∴D1A//平面BC1D.同理D1B1//平面BC1D.又D1AD1B1=D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．設(shè)計(jì)意圖：熟悉判定定理的應(yīng)用.體會：平面與平面的平行?直線與平面平行?直線與直線平行的轉(zhuǎn)化過程。規(guī)范書寫格式.3.探究平面與平面平行的性質(zhì)定理和證明利用判定定理，得到平面與平面平行的充分條件，可以判定平面與平面的平行.反過來，如果已知平面與平面平行，能推出什么結(jié)論呢？下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì)，也就是它的必要條件.問題4：類比直線與平面平行的研究，已知兩個平面平行，我們可以得到哪些結(jié)論？追問1：從哪些角度考慮我們能得到的結(jié)論？圖5圖5觀察長方體（圖5），得到以下這些結(jié)論：如果兩個平面平行，那么：（1）一個平面內(nèi)的直線必平行另一個平面；（2）一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn)，它們或者是異面直線，或者是平行直線.

追問2：沒有公共點(diǎn)的直線中，平行是一類重要位置關(guān)系．什么時(shí)候這兩條直線平行呢？在圖5中，平面A′C′與平面AC平行，在平面AC內(nèi)過點(diǎn)D有平行于直線B′D′的直線嗎？如果有，怎樣畫出這條直線？由直線B′D′和點(diǎn)D可以確定一個平面，這個平面也是平行直線DD′和BB′確定的平面，它與平面AC有唯一過點(diǎn)D的公共直線BD，直線BD與直線B′D′都在直線B′D′和點(diǎn)D確定的平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以BD∥B′D′．追問3：你能夠?qū)⑸厦娴奶骄拷Y(jié)果抽象為一般結(jié)論，并證明你的結(jié)論嗎？依據(jù)基本實(shí)時(shí)的推論，如果α//β，a?β，b?β,a//b，那么過a，b有且只有一個平面γ.這樣，我們可以把直線a，b看成是平面γ與平面α，β的交線，于是可以猜想：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．下面我們來證明這個結(jié)論.如圖，平面α//β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b圖6證明∵α∩γ=a,β∩γ=b圖6∴a?α,b?β.又α//β,∴a，b沒有公共點(diǎn).又a，b同在平面γ內(nèi)，∴a//b.性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．圖形語言：符號語言：α//β,α∩γ=a,β∩γ=b?a//b.設(shè)計(jì)意圖：先具體再抽象符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力．4.平面與平面平行判定定理的應(yīng)用例5.求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．圖7如圖7，α∥β,，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β圖7求證：AB＝CD．證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．∵α∥β∴BD∥AC．