向量的數(shù)乘運(yùn)算 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算探究（一）：已知非零向量，作出

和

，并思考：（1）相加后，和的長(zhǎng)度和方向有什么變化？（2）這些變化與哪些因素有關(guān)？（一）探究向量的數(shù)乘

已知非零向量，作出

和

.如圖，.類(lèi)比數(shù)的乘法，我們把記作，即，顯然的方向與的方向相同，

的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的3倍，即.

已知非零向量，作出和

.類(lèi)似的，.我們把記作，即.顯然的方向與的方向相反，的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的3倍，即.-a（2）方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與

a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a方向相反；（1）長(zhǎng)度：|λa|=|λ|·|a|定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘(multiplicationofvectorbyscalar)，記作λa．它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：說(shuō)明：由(1)可知，當(dāng)λ=0時(shí)，λa

=0;

由(1)(2)可知，(-1)a=-a.（一）向量數(shù)乘的定義

探究（二）:引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=μa;當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=-μa，所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。

事實(shí)上，對(duì)于向量a(a≠0),b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa,那么由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線.

反過(guò)來(lái)，若向量a(a≠0)與b共線，且向量b的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的μ倍，即有|b|=μ|a|,那么實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線（二）探究向量共線定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.思考：為什么強(qiáng)調(diào)a≠0？（1）若a=b=0，λ∈R（2）若a=0，b≠0，則λ不存在.（二）向量共線定理=（2）求作向量

和

，并進(jìn)行比較看

它們之間有什么關(guān)系？（3）

求作向量和

，并進(jìn)行比較看

它們之間有什么關(guān)系？==（1）求作向量

和

，并進(jìn)行比較看它們

之間有什么關(guān)系？探究（三）:已知

為非零向量（三）探究向量數(shù)乘的運(yùn)算律

①λ(μa)=(λμ)a

設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb結(jié)合律第一分配律第二分配律特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb．向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有

λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b．（三）向量數(shù)乘的運(yùn)算律

例1.計(jì)算：解:向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，運(yùn)算中我們可以把向量看成未知數(shù)，把實(shí)數(shù)看成它的系數(shù)；然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)向量、整理系數(shù)等運(yùn)算.例題解析：

例2:如圖，

中，點(diǎn)

A是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線

段OB靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，

設(shè)

，.(1)用和表示向量；(2)若,求證：C、D、E三點(diǎn)共線；(3)若向量

共線

,

求m的值。

(1)用和表示向量；

解：分析：證明三點(diǎn)共線，只要證其中一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)所確定的直線上即可。本題中，應(yīng)該用向量知識(shí)證明C,D,E三點(diǎn)共線，可以先證明三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)確定的兩個(gè)向量（比如

）共線，再說(shuō)明這兩個(gè)向量共點(diǎn)即可。證明

共線，即證是否存在λ，使得.

(2)若,求證：C、D、E三點(diǎn)共線；解：由（1）知又DE與DC有公共點(diǎn)D，因此C、D、E三點(diǎn)共線.解：由（1）知(3)若向量

共線,

求m的值。可知存在實(shí)數(shù)λ，

整理得：；

(2-2

λ)

a=（λm-λ

+2

）b由a,b不共線，必有

.2-2

λ=λm-λ

+2=0否則，不妨設(shè)，則a=b.

2-2λ≠0由兩個(gè)向量共線的充要條件，得a,b共線，與已知矛盾.由a,b不共線，必有

.2-2

λ=

λm-λ

+2=0因此，當(dāng)向量

共線時(shí)，m=-.向量的數(shù)乘定義幾何意義向量數(shù)乘的運(yùn)算律λ(μa)=(λμ)a

(λ+μ)a=λa+μa

λ(a+b)=λa+λb兩個(gè)向量共線的充要條件及應(yīng)用課時(shí)小結(jié)：課后作業(yè)：1.化簡(jiǎn)[(2a+8b)-(4a-2b)]的結(jié)果是

(

)

A.2a-b B.2b-a